PR Matematika Wajib 10A Ed. 2019

2. Pertidaksamaan Irasional

a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Irasional

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Sifat Bilangan Positif
1) Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x < y maka
berlaku x² < y².
2) Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x ≤ y maka
berlaku x² ≤ y².
3) Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x > y maka
berlaku x² > y².
4) Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x ≥ y maka
berlaku x² ≥ y².

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan
Irasional

1) Mengubah pertidaksamaan irasional ke bentuk umum.

2) Menentukan nilai ruas kanan.

a) Jika ruas kanan nol atau positif ( 0), lakukan langkah
berikut.

i. Menghilangkan tanda akar dengan
menguadratkan kedua ruas, lalu menentukan
penyelesaiannya.

ii. Menentukan syarat bilangan di bawah tanda akar,
lalu menyelesaiaknnya.

iii. Menentukan irisan penyelesaian dari langkah i
dan ii sebagai penyelesaian pertidaksamaan.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b) Jika ruas kanan bernilai negatif (< 0), lakukan
langkah berikut.
i. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan
untuk nilai ruas kanan < 0.
ii. Menentukan syarat bilangan di bawah tanda
akar, lalu menyelesaiaknnya.
iii. Menentukan irisan penyelesaian dari langkah i
dan ii sebagai penyelesaian pertidaksamaan.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c) Jika ruas kanan belum pasti bernilai lebih besar atau
sama dengan nol, lakukan langkah berikut.
i. Uraikan ruas kanan menjadi dua kemungkinan
yaitu < 0 atau  0.
ii. Untuk ruas kanan < 0, lakukan langkah-langkah
pada 2a sehingga diperoleh penyelesaian 2a.
iii. Untuk ruas kanan  0, lakukan langkah-langkah
pada 2b sehingga diperoleh penyelesaian 2b.
iv. Menentukan gabungan penyelesaian 2a dan 2b
di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 1

Tentukan penyelesaikan pertidaksamaan x  2 > 3.
Jawaban:

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

BAB Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel
III

A. Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel
(SPLTV)

B. Menyelesaikan
Masalah yang
Berkaitan dengan
(SPLTV)

Kembali ke daftar isi

A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
(SPLTV)

1. Bentuk SPLTV
2. Menyelesaikan

SPLTV

Sumber: Dokumen Penerbit
Gambar 3.1 Dua paket sembako yang
berisi beras dan minyak goreng

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Bentuk Sistem SPLTV

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
dengan a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂, dan d₃
bilangan real; nilai a ₁, b ₁ dan c ₁ tidak ketiganya 0;
nilai a₂, b₂, dan c₂ tidak ketiganya 0; nilai a₃, b₃, dan
c₃ tidak ketiganya 0.
2. Menyelesaikan SPLTV
Penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan cara
eliminasi,substitusi atau gabungan eliminasi dan
substitusi

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV berikut.
2x + y + z = 4
3x – y + 2z = –5
x + 2y + 2z = 5

Jawaban:
a. Menggunakan cara eliminasi

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

a. Menggunakan cara eliminasi

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Menggunakan cara substitusi

Kembali ke awal subbab

c. Menggunakan cara gabungan eliminasi dan substitusi

Kembali ke awal subbab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan
SPLTV
Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan
sebagai berikut.
1. Membuat model matematika SPLTV
2. Menyelesaikan model matematika SPLTV.
3. Membuat kesimpulan.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh

Bu Wati, Bu Yanti, dan Bu Sita belanja buah di toko
buah. Bu Wati membeli 2 kg jeruk, 1 kg apel, dan 4 kg
pir seharga Rp112.000,00. Bu Yanti membeli 2 kg apel
dan 1 kg pir seharga Rp58.000,00. Bu Sita membeli 3
kg jeruk dan 2 kg pir seharga Rp79.000,00. Buah
apakah yang paling mahal?
Jawaban:
Langkah 1: Membuat model matematika.
Misalkan:
x adalah harga 1 kg jeruk;
y adalah harga 1 kg apel;
z adalah harga 1 kg pir.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

a. Bu Wati membeli 2 kg jeruk, 1 kg apel, dan 4 kg pir
seharga Rp112.000,00 sehingga diperoleh persamaan:
2x + y + 4z = 112.000 . . . (1)

b. Bu Yanti membeli 2 kg apel dan 1 kg pir seharga
Rp58.000,00 sehingga diperoleh persamaan:
2y + z = 58.000 . . . (2)

c. Bu Sita membeli 3 kg jeruk dan 2 kg pir seharga
Rp79.000,00 sehingga diperoleh persamaan:
3x + 2z = 79.000 . . . (3)

Dari persamaan 1), 2), dan 3) diperoleh SPLTV:
2x + y + 4z = 112.000 . . . (1)
2y + z = 58.000 . . . (2)
3x + 2z = 79.000 . . . (3)

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Langkah 2: Menyelesaikan SPLTV.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Langkah 3: Membuat kesimpulan.
Harga 1 kg jeruk Rp 17.000,00, harga 1 kg apel Rp
22.000,00, dan harga 1 kg pir Rp 14.000,00.
Jadi, buah yang paling mahal adalah buah apel.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

BAB Sistem Pertidaksamaan
Dua Variabel
IV

A. Pertidaksamaan Dua
Variabel

B. Sistem
Pertidaksamaan Dua
Variabel

Kembali ke daftar isi

A. Pertidaksamaan Dua Variabel

Sumber: Dokumen
Penerbit
Gambar 4.1 Buku dan
bolpoin

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtdLDV)
2. Menentukan Penyelesaian PtdLDV
3. Menyusun PtdLDV Suatu Daerah Penyelesaian
4. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (PtdKDV)
5. Menentukan Penyelesaian PtdKDV

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
(PtdLDV)

Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan
variabel x dan y dapat dituliskan sebagai
berikut.
ax + by ≤ c
ax + by ≥ c
ax + by < c
ax + by > c
dengan a, b, c ∈ bilangan real

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Menentukan Penyelesaian PtdLDV

Langkah 1: Menggambar garis pembatas.
Aturan menggambar garis pembatas sebagai
berikut.
a. Jika PtLDV memiliki tanda ketidaksamaan ≤

atau ≥, garis pembatas digambarkan utuh.
b. Jika PtLDV memiliki tanda ketidaksamaan <

atau >, garis pembatas digambarkan putus-
putus.
Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan
daerah penyelesaian (DP).

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh

Langkah 1: Menggambar garis pembatas x – y = 3.
Menentukan dua titik yang
dilalui garis x – y = 3.

Garis x – y = 3 melalui titik (0, –3)

dan (3, 0).

Garis x – y = 3 disajikan dalam Sumber: Dokumen Penerbit
Gambar 4.2. Gambar 4.2 Garis x – y = 3

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan DP.

a. Dari Gambar 4.2 terlihat titik

(0, 0) di luar garis x – y = 3

sehingga titik (0, 0) dipilih

sebagai titik uji.

b. Mensubstitusikan titik (0, 0)

ke dalam pertidaksamaan x –

y < 3. Sumber: Dokumen Penerbit
x–y<3⇔0–0<3⇔0<3 Gambar 4.3 Daerah penyelesaian
x–y<3

Pernyataan 0 < 3 bernilai benar sehingga DP memuat

titik (0, 0).

DP x – y < 3 disajikan dalam Gambar 4.3.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Menyusun PtdLDV Suatu Daerah
Penyelesaian

Langkah 1: Menentukan persamaan garis
pembatas DP.
Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan
tanda ketidaksamaan.
Aturan dalam menentukan tanda ketidaksamaan
sebagai berikut.
Jika garis pembatas DP digambarkan utuh (––––),
dipilih tanda ketidaksamaan ≤ atau ≥.
Jika garis pembatas DP digambarkan putus-putus
(– – – –), dipilih tanda pertidaksamaan < atau >.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh

Tentukan PtdLDV daerah
penyelesaian gambar di
samping.

Jawaban:
Langkah 1: Menentukan persamaan garis pembatas DP.
Dari gambar terlihat garis pembatas memotong
sumbu Y di titik (0, 2) dan memotong sumbu X di titik
(4, 0).
Persamaan garis pembatas:
2x + 4y = 8 ⇔ x + 2y = 4.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan
tanda ketidaksamaan.
a. Dari gambar terlihat titik (2, 2) di dalam DP

sehingga dipilih titik (2, 2) sebagai titik uji.
b. Mensubstitusikan titik (2, 2) ke x + 2y, lalu

membandingkan hasilnya dengan 4.
2 + 2 × 2 = 2 + 4 = 6 ≥ 4 (dipilih tanda ketidaksamaan
≥ karena garis pembatas x + 2y = 4 digambarkan
utuh)
Dengan demikian, diperoleh pertidaksamaan x + 2y
≥ 4.
Jadi, pertidaksamaan daerah penyelesaian adalah
x + 2y ≥ 4.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel
(PtdKDV)

Bentuk umum PtdKDV:
y < ax² + bx + c
y > ax² + bx + c
y ≤ ax² + bx + c
y ≥ ax² + bx + c
Keterangan:
a ≠ 0, a, b, dan c ∈ bilangan real
a dan b dinamakan koefisien
c dinamakan konstanta

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

5. Menentukan Penyelesaian PtdKDV

Langkah 1: Menggambar sketsa grafik y = f(x).
a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu

koordinat.
1) Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0.
2) Grafik memotong sumbu Y jika x = 0.
b. Menentukan titik puncak grafik (p, q).

Titik puncak grafik y = f(x) = ax2 + bx + c adalah
b
(p, q) dengan p = 2a dan q = f(p).

c. Menentukan beberapa titik bantu.

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan
daerah penyelesaian

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 1

Tentukan DP PtdKDV y < –x² + 2x + 3.
Jawaban:
Langkah 1: Menggambar sketsa grafik y = f(x) = –x² + 2x + 3.
a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X.

Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0.

Grafik memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan (3, 0).

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y.
Grafik memotong sumbu Y jika x = 0.
x = 0 maka y = f(0) = –0² + 2 × 0 + 3 = 3.
Grafik memotong sumbu Y di titik (0, 3).

c. Menentukan titik puncak grafik
y = f(x) = –x² + 2x + 3 mempunyai nilai a = –1, b = 2,
dan c = 3.

q = f(p) = f(1) = –1² + 2 × 1 + 3 = –1 + 2 + 3 = 4
Titik puncak grafik (1, 4).

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

d. Menentukan beberapa titik bantu.

Diperoleh titik bantu (–2, –

5), (2, 3), dan (4, –5).

Tanda pertidaksamaannya

<, berarti grafik

digambarkan putusputus

(– – – –).

Sketsa grafik y = f(x) = –x² +

2x + 3 seperti seperti

gambar di samping. Sumber: Dokumen Penerbit
Gambar 4.2 Grafik y = f(x) = –x² + 2x + 3

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan
daerah penyelesaian y < –x² + 2x + 3.

a. Dari gambar terlihat titik (0, 0)

di luar grafik sehingga titik (0, 0)

dipilih sebagai titik uji.

b. Mensubstitusikan titik (0, 0) ke

dalam pertidaksamaan y < –x² +

2x + 3.

0 < –0² + 2 × 0 + 3 ⇔ 0 < 3

Pernyataan 0 < 3 bernilai benar

sehingga DP memuat titik (0, 0). Sumber: Dokumen Penerbit

DP y < –x² + 2x + 3 disajikan Gambar 4.6 Daerah penyelesaian

dalam Gambar 4.3. y < –x² + 2x + 3

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 2

Tentukan PtdLDV daerah
penyelesaian gambar di samping.
Jawaban:
Langkah 1: Menentukan persamaan
grafik yang membatasi DP
pertidaksamaan.
Dari gambar terlihat grafik memiliki titik
puncak A(–2, 2) sehingga persamaan grafik:

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan tanda
ketidaksamaan.
Dari gambar terlihat titik T(0, 0) di dalam daerah
penyelesaian sehingga titik T(0, 0) dipilih sebagai titik
uji.
Substitusikan x = 0 ke –x² – 4x – 2 sehingga
diperoleh:
–0² – 4 × 0 – 2 = –2

Jadi, pertidaksamaan DP adalah –x2 – 4x – 2 < y
atau y > –x2 – 4x – 2.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Sumber: Dokumen Penerbit
Gambar 4.2 Daerah penyelesaian SPtdLKDV dan SPtdKDV

1. Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Dua
Variabel (SPtdLKDV)

2. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel
(SPtdKDV)

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat
Dua Variabel (SPtdLKDV)

SPtdLDV terdiri atas PtdLDV
dan PtdKDV.
DP SPtdLKDV merupakan
irisan dari daerah
penyelesaian PtdLDV dan
PtdKDV penyusun SPtdLKDV
tersebut.

Gambar 4.3 DP y ≤ x² – 2x + 2
dan 2x + 5y > 12

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua
Variabel (SPtdKDV)

SPtdKDV terdiri atas
lebih dari satu PtdKDV.
Daerah penyelesaian
SPtdKDV merupakan
irisan dari daerah
penyelesaian PtKDV
penyusunnya tersebut.

Gambar 4.4 DP y ≤ x² + x – 2
dan y < – x² + x + 6

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 1

Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
berikut.

y < –x² – 2x
x–y≥1
Jawaban:
Langkah 1: Menggambar
sketsa grafik y = –x² – 2x
dan garis x – y = 1.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Sketsa grafik y = –x² – 2x dan garis x – y = 1 seperti
gambar berikut.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Langkah 2: Melakukan uji
titik untuk menentukan DP.
Dari gambar terlihat, titik
(–1, 0) terletak luar kedua
grafik sehingga titik (–1, 0)
dipilih sebagai titik uji.
Substitusikan titik (–1, 0) ke
pertidaksamaan seperti tabel
di samping.
Daerah yang diarsir pada
gambar di samping
merupakan DP sistem
pertidaksamaan.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 2

Tentukan PtdLDV daerah
penyelesaian gambar di
samping.
Jawaban:
Langkah 1: Menentukan
persamaan grafik
Persamaan grafik yang
memotong sumbu X di
titik (–4, 0) dan (–1, 0):

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Persamaan grafik yang
memotong sumbu X di
titik (–4, 0) dan (–1, 0):

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab