PR Matematika Wajib 10A Ed. 2019

Matematika

SMA/MA Kelas X Semester 1
Mata Pelajaran Wajib

Disusun oleh:
Ngapiningsih

Disklaimer Daftar isi

Disklaimer

• Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna
membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran.

• Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI)
dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.

• Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini
disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar
saja.

• Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat
mengembangkannya sesuai kebutuhan.

• Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru
dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan
interaktif.

DDafataftraIsriIsi

BAB I Persamaan dan Pertidaksamaan
Nilai Mutlak

BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan
Rasional dan Irasional

BAB III Sistem Persamaan Linear Tiga
Variabel

BAB IV Sistem Pertidaksamaan Dua
Variabel

BAB Persamaan dan
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
I

A. Konsep Nilai
Mutlak

B. Persamaan Nilai
Mutlak

C. Pertidaksamaan
Nilai Mutlak

Kembali ke daftar isi

A. Konsep Nilai Mutlak

1. Konsep Nilai Mutlak
Suatu Bilangan

2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak
3. Fungsi Nilai Mutlak

Sumber: Dokumen Penerbit
Gambar 2.1 Letak Objek pada garis
bilangan vertikal

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Konsep Nilai Mutlak Suatu Bilangan

Nilai mutlak dari sebarang x ∈ bilangan real,
dinotasikan dengan |x| (dibaca ”nilai mutlak dari
x”), didefinisikan sebagai berikut.
|x| = x jika x ≥ 0

–x jika x < 0
Contoh:
|5| = 5 karena 5 > 0.
|–9| = –(–9) = 9 karena –9 < 0.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak

a. |–x| = |x|
b. |x| = x²
c. |x|² = |–x²| = x²
d. Untuk sebarang x, y ∈ bilangan real berlaku

sebagai berikut.
1) |x – y| = |y – x|
2) |xy| = |x||y|

3) x  x ,y  0

yy

4) |x + y| ≤ |x| + |y|
5) |x| – |y| ≤ |x – y|

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang variabelnya di
dalam tanda mutlak.

a. Fungsi Nilai Mutlak f(x) = |x|
x jika x ≥ 0

f(x) = |x| =

– x jika x < 0

b. Fungsi Nilai Mutlak f(x) = |ax + b|
ax + b jika (ax + b) ≥ 0

f(x) = | ax + b | =

–(ax + b) jika (ax + b) < 0

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 1

Diketahui a = 5 dan b = –2, maka:
|ab| = |5 × (–2)| = |–10| = –(–10) = 10
|a||b| = |5| × |–2| = 5 × 2 = 10
|a + b| = |5 + (–2)| = |3| = 3
|a| + |b| = |5| + |–2| = 5 + 2 = 7
|a² – b²| = |5² – (–2)²| = |25 – 4| = |21| = 21
|2b – 4| = |2 × (–2) – 4| = |–4 – 4| = |–8| = –(–8) = 8

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 2

Nilai|x| + 2|x| + |–5x| untuk nilai x < –2 sebagai
berikut.
Oleh karena x < –2 maka |x| = –x dan |–5x |= –5x.
Sehingga:
|x| + 2|x| + |–5x| = –x + 2(–x) + (–5x)

= –x – 2x – 5x = –8x
Jadi, nilai|x| + 2|x| + |–5x| adalah –8x.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Persamaan Nilai Mutlak

Sumber: lauwtjunnji.weebly.com 1. Bentuk Umum
Gambar 2.1 Diameter besi beton Persamaan Nilai Mutlak
diukur menggunakan jangka
sorong 2. Penyelesaian Persamaan
Nilai Mutlak

3. Menentukan
Penyelesaian Persamaan
Nilai Mutlak

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak

Untuk f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x
1. |f(x)| = c dengan syarat c ≥ 0
2. |f(x)| = |g(x)|
3. |f(x)| = g(x) dengan syarat g(x) ≥ 0

2. Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak

x₁ merupakan penyelesaian persamaan nilai
mutlak |f(x)| = c, |f(x)| = |g(x)|, dan |f(x)| = g(x)
jika |f(x₁)| = c, |f(x₁)| = |g(x₁)|, dan |f(x₁)| = g(x₁)
bernilai benar

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Menentukan Penyelesaikan Persamaan Nilai
Mutlak

a. Menggunakan grafik
1) |f(x)| = c dengan syarat c ≥ 0
Grafik y₁ = |f(x)| dan y₂ = c digambarkan pada
satu bidang kartesius
2) |f(x)| = |g(x)|
Grafik y₁ = |f(x)| dan y₂ = |g(x)| digambarkan
pada satu bidang kartesius.
3) |f(x)| = g(x) dengan syarat g(x) ≥ 0
Grafik y₁ = |f(x)| dan y₂ = g(x) digambarkan pada
satu bidang kartesius.
Titik potong kedua grafik merupakan penyelesaian
persamaan.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Menggunakan definisi nilai mutlak
Menurut definisi:
f(x) = | ax + b | = ax + b jika (ax + b) ≥ 0
–(ax + b) jika (ax + b) < 0

Dari definisi dapat diperoleh hubungan berikut.
|ax + b| = c ⇔ ax + b = c atau –(ax + b) = c

⇔ ax + b = c atau ax + b = –c
Sehingga persamaan |ax + b| = c dapat diselesaikan
dengan menyelesaikan persamaan ax + b = c atau
ax + b = –c.

c. Menguadratkan kedua ruas
Boleh dilakukan jika kedua ruas bernilai positif.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 1

Tentukan penyelesaian persamaan |x – 2| = 3.
Jawaban:
1. Menggunakan grafik

Misalkan y₁ = |x – 2| dan y₂ = 3.
Grafik y₁ = |x – 2| dan y₂ = 3 sebagai berikut

Dari gambar terlihat
kedua grafik
berpotongan di titik x = 5
atau x = –1. Jadi,
penyelesaian
|x – 2| = 3 adalah 5 atau
–1.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Menggunakan definisi nilai mutlak
|x – 2| = 3 ⇔ x – 2 = 3 atau x – 2 = –3
⇔ x = 5 atau –x + 2 = 3
⇔ x = 5 atau x = –1
Jadi, penyelesaian |x – 2| = 3 adalah –1 atau 5.

3. Menguadratkan kedua ruas
|x – 2| = 3 ⇔ |x – 2² = 3²
⇔ (x – 2)² = 3²
⇔ (x – 2)² – 3² = 0
⇔ ((x – 2) + 3)((x – 2) – 3] = 0
⇔ (x + 1)(x – 5) = 0
⇔ x = –1 atau x = 5
Jadi, penyelesaian |x – 2| = 3 adalah –1 atau 5.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 2

Tentukan penyelesaian persamaan |x – 2| = |6 + 2x|.

Jawaban:

|x – 2| = |6 + 2x| ⇔ (|x – 2|)² = (|6 + 2x|)²

⇔ (x – 2)² = (6 + 2x)² ← Sifat |x|² = x²

⇔ (x – 2 ² – (6 + 2x)² = 0

⇔ (x – 2 + (6 + 2x))(x – 2 – (6 + 2x)) = 0

⇔ (3x + 4)(–x – 8) = 0

⇔ 3x + 4 = 0 atau –x – 8 = 0

⇔x=– 4 atau x = –8
3

Jadi, penyelesaiannya adalah – 4 atau –8.
3

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 3

Tentukan penyelesaian persamaan |2x + 16| = x + 4

Jawaban: Ruas kanan belum tentu
|2x + 16| = x + 4 bernilai positif. Gunakan cara
Pembuat nol nilai mutlak: analisis nilai x.

|2x + 16| = 0 ⇔ 2x + 16 = 0 ⇔ 2x = −16 ⇔ x = –8

Garis bilangan:

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1) Untuk interval x ≤ –8:

|2x + 16| = –(2x + 16)

⇔ |2x + 16| = x + 4

⇔ –(2x + 16) = x + 4

⇔ –2x – 16 = x + 4

⇔ –3x = 20

⇔ x = – 20
3
20
Oleh karena x = – 3 tidak termuat pada interval x ≤ –8,

persamaan |2x + 16| = x + 4 pada interval x ≤ –8 tidak

mempunyai penyelesaian atau penyelesaiannya { }.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Sumber: magazine.job-like.com 1. Bentuk Umum
Gambar 2.1 Pendirian pasar modern harus Pertidaksamaan Nilai
memperhatikan keberadaan pasar Mutlak
tradisional
2. Penyelesaian
Pertidaksamaan Nilai
Mutlak

3. Penyelesaian
Pertidaksamaan Nilai
Mutlak

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Beberapa bentuk umum pertidaksamaan nilai
mutlak sebagai berikut.

a. |f(x)| > c e. |f(x)| > |g(x)| i. |f(x)| > g(x)
b. |f(x)| ≥ c f. |f(x)| ≥ |g(x)| j. |f(x)| ≥ g(x)
c. |f(x)| < c g. |f(x)| < |g(x)| k. |f(x)| < g(x)
d. |f(x)| ≤ c h. |f(x)| ≤ |g(x)| l. |f(x)| ≤ g(x)

Dengan c bilangan real dan f(x) atau g(x) merupakan
fungsi dalam variabel x.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Misalkan |x| adalah nilai mutlak x dan a suatu
bilangan real.
a. Jika |x| ≤ a maka –a ≤ x ≤ a.
b. Jika |x| ≥ a maka x ≤ –a atau x ≥ a.
Misalkan f(x) suatu fungsi dalam variabel x maka
berlaku fungsi nilai mutlak |f(x)| sebagai berikut.
a. Jika |f(x)| ≤ a maka –a ≤ f(x) ≤ a.
b. Jika |f(x)| ≥ a maka f(x) ≤ –a atau f(x) ≥ a.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 1

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan |x – 2| ≥ 3.
Jawaban:
Jika |f(x)| ≥ a maka f(x) ≤ –a atau f(x) ≥ a.
Sehingga diperoleh:
|x – 2| ≥ 3
⇔ x – 2 ≤ –3 atau x – 2 ≥ 3
⇔ x ≤ –3 + 2 atau x ≥ 3 + 2
⇔ x ≤ –1 atau x ≥ 5
Jadi, penyelesaian |x – 2| ≥ 3 adalah x ≤ –1 atau x ≥ 5.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 2

Tentukan penyelesaian |2x + 1| < |2x – 3|.

Jawaban:

|2x + 1| < |2x – 3|

⇔ |2x + 1|² < |2x – 3|² ← Kedua ruas bernilai positif. Kedua
⇔ (2x + 1)² < (2x – 3)² ruas dikuadratkan.

⇔ (2x + 1)² –21(2x – 3)² < 0

⇔ (2x + 1 + (2x – 3))(2x + 1 – (2x – 3)) < 0

⇔ (4x – 2)  4 < 0

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Pembuat nol:
(4x – 2)  4 = 0
⇔x= 1

2

Garis bilangan:

Penyelesaian: x < 1

2

Jadi. penyelesaian |2x + 1| < |2x – 3| adalah x < 1 .

2

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh 3

Tentukan penyelesaian |4x – 6|< 3x + 4.

Jawaban:

|4x – 6|< 3x + 4

Pembuat nol nilai mutlak: 3
2
|4x – 6| = 0 ⇔ 4x – 6 = 0 ⇔ x =

Garis bilangan:

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1) Untuk interval x ≤ 3
2

|4x – 6| = –(4x – 6)

|4x – 6| < 3x + 4

⇔ –(4x – 6) < 3x + 4

⇔ –4x + 6 < 3x + 4

⇔ –4x – 3x < 4 – 6

⇔ –7x < –2

⇔x> 2
Irisan x7> 2 dan x ≤ 3 adalah 2 < x ≤ 3 . . . . (1)

7 2 72

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2) Untuk interval x ≥ 3
2

|4x – 6| = 4x – 6

|4x – 6| < 3x + 4

⇔ 4x – 6 < 3x + 4

⇔ 4x – 3x < 4 + 6

⇔ x < 10

Irisan x < 10 dan x ≥ 3 adalah 3 ≤ x < 10. . . . (2)

22

3) Gabungan penyelesaian (1) dan (2) adalah

2 < x < 10. 2
7 7

Jadi, penyelesaian |4x – 6| < 3x + 4 adalah < x< 10.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

IIBAB Pertidaksamaan Rasional

dan Irasional

A. Persamaan dan
Pertidaksamaan Kuadrat

B. Persamaan dan
Pertidaksamaan Rasional

C. Persamaan dan
Pertidaksamaan
Irasional/Bentuk Akar

Kembali ke daftar isi

A. Persamaan dan Pertidaksamaan
Kuadrat

1. Persamaan Kuadrat
2. Pertidaksamaan

Kuadrat

Sumber: Dokumen Penerbit
Gambar 2.1 Skema lapangan sepak bola

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Persamaan Kuadrat

a. Bentuk umum persamaan kuadrat:
ax² + bx + c = 0

dengan a, b, dan c bilangan nyata (real) dan a ≠ 0.
b. Penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat

dapat ditentukan dengan cara:
1) Memfaktorkan
2) Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
3) Rumus abc

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 3x – 2 = 0.
Jawaban:
1. Dengan cara memfaktorkan

2x² + 3x – 2 = 0
 (2x – 1)(x + 2) = 0
 (2x – 1) = 0 atau (x + 2) = 0
 x = 2 atau x = –2

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat
sempurna

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Dengan menggunakan rumus abc.

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 3x – 2 = 0
adalah –2 atau 2.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Pertidaksamaan Kuadrat

a. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat:
1) ax² + bx + c < 0
2) ax² + bx + c  0
3) ax² + bx + c > 0
4) ax² + bx + c  0
Syarat a  0 dan a, b, c bilangan nyata atau real.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
kuadrat:

1) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi
bentuk umum (ruas kanan sama dengan nol).

2) Menguraikan ruas kiri menjadi faktor-faktor
linear.

3) Menentukan nilai pembuat nol fungsi.
4) Meletakkan harga-harga nol pada garis

bilangan, lalu menentukan tanda positif dan
negatif pada setiap selang/interval yang
terbentuk.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

5) Menentukan penyelesaian pertidaksamaan.
Penyelesaian pertidaksamaan diperoleh
berdasarkan tanda selang/interval pada
garis bilangan.
a) Jika tanda ketidaksamaan  atau >,
penyelesaiannya pada selang/interval
yang bertanda positif (+).
b) Jika tanda ketidaksamaan  atau <,
penyelesaiannya pada selang/interval
yang bertanda negatif (–).

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan –x² + 2x + 8 < 0.
Jawaban:

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Persamaan dan Pertidaksamaan
Rasional

1. Persamaan
Rasional

2. Pertidaksamaan
Polinomial

3. Pertidaksamaan
Rasional

Sumber : https://goo.gl/c2yxKu
Gambar 2.2 Memperkirakan panjang lapangan
dengan jarak tempuh lari

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Persamaan Rasional

a. Konsep persamaan rasional

Persamaan rasional adalah persamaan dalam
bentuk pecahan yang memuat satu atau lebih
variabel pada pembilang atau penyebutnya.

b. Penyelesaian Persamaan Rasional

Misalkan terdapat persamaan rasional

ax + b = d .
c ex +
f

x₁ merupakan penyelesaian persamaan rasional

ax + b = d jika ax1 + b = d bernilai benar.
c ex + c ex1 +
f f

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Pertidaksamaan Polinomial

a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Polinomial Satu
Variabel
Bentuk umum polinomial:

Jika P(x) suatu polinomial berderajat n, bentuk
umum pertidaksamaan polinomial:

P(x) < 0 P(x) ≥ 0
P(x) > 0 P(x) ≤ 0

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Menyelesaikan Pertidaksamaan Polinomial.

1) Ubahlah pertidaksamaan polinomial menjadi bentuk umum.
2) Buatlah ruas kiri pertidaksamaan menjadi bentuk perkalian

faktor-faktornya.
3) Tentukan nilai-nilai pembuat nol dan letakkan pada garis

bilangan dengan ketentuan sebagai berikut.
a) Jika tanda ketidaksamaan  atau , nilai pembuat nol

diberi tanda dengan bulatan hitam.
b) Jika tanda ketidaksamaan > atau <, nilai pembuat nol

dengan putih.
4) Tentukan tanda setiap interval yang dibatasi oleh nilai-nilai

pembuat nol pada garis bilangan.
5) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh

Tentukan penyelesaian (x + 1)(x – 1)(x – 3) < 0.
Jawaban:
Pembuat nol:
(x + 1)(x – 1)(x – 3) = 0
⇔(x + 1) = 0 atau (x – 1) = 0 atau (x – 3) = 0
⇔ x = –1 atau x = 1 atau x = 3
Garis bilangan:

Penyelesaian:
x < –1 atau 1 < x < 3

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Pertidaksamaan Rasional

a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Rasional
b. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Rasional

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan
Rasional

1) Buatlah ruas kanan pertidaksamaan rasional menjadi
nol.

2) Buatlah ruas kiri pertidaksamaan rasional menjadi
bentuk pecahan (rasional).

3) Tentukan nilai-nilai yang membuat pembilang bernilai
nol dan penyebut bernilai nol.

4) Tentukan nilai-nilai yang membuat ruas kiri terdefinisi
yaitu penyebut tidak sama dengan nol.

5) Letakkan nilai-nilai pembuat nol pembilang dan
penyebut pada garis bilangan kemudian tentukan tanda
setiap interval yang terbentuk.

6) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian x  1  1.
2x  3
Jawaban:

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Persamaan dan Pertidaksamaan
Irasional/Bentuk Akar

1. Persamaan Irasional
2. Pertidaksamaan

Irasional

Sumber: https://goo.gl/SJpCo3
Gambar 2.3 Tinggi maksimum
pantulan trampolin dapat dihitung

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Persamaan Irasional

a. Bentuk Umum Persamaan Irasional

b. Sifat Bilangan di Bawah Tanda Akar

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Menentukan Penyelesaian Persamaan
Irasional

1) Mengubah persamaan irasional ke bentuk umum.
2) Menetapkan syarat bagi bilangan/fungsi di dalam

tanda akar.
3) Menetapkan syarat bagi bilangan hasil penarikan

akar.
4) Menguadratkan kedua ruas, lalu menentukan

penyelesaiaannya.
5) Menentukan irisan penyelesaian dari langkah 2),

3), dan 4).

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh

Tentukan penyelesaian 3x  2 = x – 4.
Jawaban:

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab