Kelas_11_SMA_Matematika_Siswa_2017

Alternatif Penyelesaian:
Misa kan i ik A(x, y) er e ak pa a garis ersebu se ingga
A(x, y) CO(0,0) A '(x ', y ') Csumbu y A ''(x '', y '')

angka (Proses pencerminan er a ap i ik O( ))
x ' ... ... x ...
y ' ... ... y ...
angka 2 (Proses pencerminan er a ap sumbu y)
x '' ... ... x ' ... ... ... ...
y '' ... ... y ' ... ... ... ...
sehingga:
x '' ... dan y '' ...
angka 4 (Proses menen ukan persamaan ba angan)
en ukan x dan y a am ben uk x dan y
x= … dan y= …
angka (Proses menen ukan persamaan ba angan)
ubs i usi x dan y ke 2x – y se ingga ipero e persamaan ba angan.
2( ) ( )

4.2.4 Pen erminan erhadap Garis y = x
Ki a akan mencoba menemukan konsep pencerminan er a ap garis y = x
engan me akukan pengama an pa a pencerminan i ik i ik. ecara in uk i
ki a akan menemukan po a. Per a ikan gambar beriku

MATEMATIKA 143

Gambar 4.8: Refleksi i ik er a ap garis y = x

oba kamu ama i pencerminan beberapa i ik er a ap garis y = x pada
koor ina kar esius i a as kemu ian kamu u iskan koor ina i ik ersebu
beser a ba angann a pa a abe i ba a ini

Tabel 4.5: Koor ina pencerminan i ik er a ap garis y = x

Titik Koordinat Bayangan

A( ) A( )
B(... , ...) B'(... , ...)
C(... , ...) C'(... , ...)

D(... , ...) D'(... , ...)
E(... , ...) E'(... , ...)

er asarkan pengama an pa a abe secara umum ika i ik A(x, y) icerminkan
terhadap garis y = x akan mempun ai koor ina ba angan A'(y, x) bukan
Mari ki a en ukan ma riks pencerminan er a ap garis y = x. Misa kan ma riks

transformasinya adalah C a b sehingga,
A(x, y) Cy x A '( y, x) c d

y a b x ax by

x c d y cx dy

144 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Dengan kesamaan matriks, 01
y = ax + by a an b 10
x = cx + dy c an d

engan emikian ma riks pencerminan er a ap garis y = x adalah

Titik A(x, y) icerminkan er a ap garis y = x menghasilkan bayangan
A'(x', y ) i u is engan

A(x, y) Cy x A '(x ', y ')

x' 0 1 x
y' 1 0 y

imana ma riks pencerminan er a ap garis y = x adalah 0 1 .
10

Contoh 4.9

Jika titik A( 2) icerminkan er a ap garis y = x maka en ukan a ba angan
i ik ersebu

Alternatif Penyelesaian:
A( 1, 2) Cy x A '(x ', y ')

x' 0 1 1 2

y' 1 0 2 1

Jadi, bayangan titik A adalah A (2 )

Contoh 4.10

Jika garis 4x – 3y icerminkan er a ap garis y = x maka en ukan
ba angan garis ersebu

MATEMATIKA 145

Alternatif Penyelesaian:
Misa kan i ik A(x, y) memenu i persamaan 4x – 3y se ingga
A(x, y) Cy x A '(x ', y ')

x' 0 1 x y

y' 1 0 y x

x' = y y = x'
y' = x x = y'

engan mensubs i usi x dan y ke garis maka i emukan ba angann a
4(y) –3(x) a au (x) + 4y

Latihan 4.5

Titik A( ) icerminkan er a ap i ik O( ) kemu ian i an u kan engan
pencerminan er a ap sumbu y an i an u kan agi engan pencerminan
terhadap garis y = x. en ukan ba angan i ik A ersebu .

Alternatif Penyelesaian: Csumbu y A''(x '', y '') Cy x A'''(x ''', y ''')
A( 1, 3) CO(0,0) A '(x ', y ')

angka (Proses pencerminan er a ap i ik O( ))

x ' ... ... 1 ...
y ' ... ... 3 ...
angka 2 (Proses pencerminan er a ap sumbu y)

x '' ... ... x ' ... ... ... ...
y '' ... ... y ' ... ... ... ...
angka (Proses pencerminan er a ap garis y = x)

x ''' ... ... x '' ... ... ... ...
y ''' ... ... y '' ... ... ... ...

Jadi, bayangan titik A adalah A'''(…, …)

146 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

4.2. Pen erminan erhadap Garis y = –x

Ki a akan mencoba menemukan konsep pencerminan er a ap garis y = –x
engan me akukan pengama an pa a pencerminan i ik i ik. ecara in uk i
ki a akan menemukan po a. Per a ikan gambar beriku

Gambar 4.9: Pencerminan i ik er a ap garis y = –x

oba kamu ama i pencerminan beberapa i ik er a ap garis y = –x pada
koor ina kar esius i a as kemu ian kamu u iskan koor ina i ik ersebu
beser a ba angann a pa a abe i ba a ini

Tabel 4.6: Koor ina pencerminan i ik er a ap garis y = –x

Titik Bayangannya

A( 4) A (4 )
B(... , ...) B'(... , ...)
C(... , ...) C'(... , ...)
D(... , ...) D'(... , ...)
E(... , ...) E'(... , ...)

er asarkan pengama an pa a abe secara umum ika i ik A(x, y)

icerminkan er a ap garis y = –x akan mempun ai koor ina ba angan

A'(–y, –x) bukan Mari ki a en ukan ma riks pencerminan er a ap garis

y = –x. Misa kan ma riks rans ormasin a a a a C a b sehingga,
cd

MATEMATIKA 147

A(x, y) Cy x A '( y, x)

y ab x ...
x cd y ...

Dengan kesamaan matriks,

–y = . . . a = . . . dan b = . . .

–x = . . . c = . . . dan d = . . . ... ...

engan emikian ma riks pencerminan er a ap garis y = –x adalah ... ... .

Titik A(x, y) icerminkan er a ap garis y = –x menghasilkan bayangan
A'(x', y ) i u is engan

A(x, y) Cy x A '(x ', y ')

x' 0 1 x
y' 1 0 y

Contoh 4.11

Jika titik A( 2) icerminkan er a ap garis y = –x maka en ukan a ba angan
i ik ersebu

Alternatif Penyelesaian:
A(1, 2) Cy x A '(x ', y ')

x' 0 1 1 2
y' 1 0 2 1

Jadi, bayangan titik A adalah A ( 2 )

Contoh 4.12

Jika garis 4x – 3y icerminkan er a ap garis y = –x maka en ukan
ba angan garis ersebu

148 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian:
Misa kan i ik (x,y) memenu i persamaan 4x – 3y se ingga
A(x, y) Cy x A '(x ', y ')

x' 0 1 x y

y' 1 0 y x

x' y y x'

y' x x y'

engan mensubs i usi x dan y ke garis maka i emukan ba angann a
4(–y) – 3(–x) a au x – 4y .

Uji Kompetensi 4.1
. Per a ikan gambar

er asarkan gambar en ukan rans asi ang menggeser masing masing
ob ek ersebu

MATEMATIKA 149

2. un ukkan engan gambar pa a bi ang koor ina kar esius pergeseran
ob ek beriku o e rans asi T:
a. Titik A(–3, –4) ditranslasi oleh T( 7)
b. Ruas garis AB dengan A( ) an B(2, –3) ditranslasi oleh T(–2, 4)
c. egi iga ABC dengan A( ) B( 2) an C( 4) i rans asi
oleh T( )
d. Garis 2y – 3x i rans asi o e T(4 )
e. ingkaran engan pusa i P( ) an ra ius 2 sa uan i rans asi
oleh T( )

. en ukan koor ina asi pergeseran i ik o e rans asi T beriku
a. Titik A( 2 ) o e rans asi T ( ) i an u kan engan rans asi
T2( )
b. Titik B( ) o e rans asi T ( 2 4) i an u kan engan rans asi
T2(–2, –4)
c. i ik C(–3, 2) oleh translasi T ( ) i an u kan engan rans asi
T2( 4)
d. Titik D(4 ) o e rans asi T ( 2) i an u kan engan rans asi
T2( )
e. Titik D( ) o e rans asi T ( ) i an u kan engan rans asi
T2( )

4. en ukan koor ina i ik asa o e rans asi beriku .
a. Titik A(x, y) ditranslasi oleh T( ) men a i A (7 4)
b. Titik B(x, y) ditranslasi oleh T( ) men a i B ( 2)
c. i ik C(x, y) ditranslasi oleh T(–4, 6) menjadi C ( )
d. Titik D(x, y) ditranslasi oleh T( ) men a i D ( )
e. Titik E(x, y) ditranslasi oleh T( ) men a i E ( )

. engan menggunakan konsep en ukan asi pergeseran ungsi ungsi
beriku o e rans asi T.
a. Garis y = 2 ditranslasi oleh T( )
b. Garis 2y – 3x i rans asi o e T(4 )
c. Parabo a y = x2 – 3x + 2 ditranslasi oleh T(2 )
d. Parabola x = y2 – 2x – 2 ditranslasi oleh T(–2, 2)
e. Lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y i rans asi o e T(–3, –2)

150 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

. un ukkan engan gambar pencerminaan ob ek pa a bi ang koor ina
kar esius beriku
a. Titik A( 4) icerminkan er a ap i ik O( )
b. Titik B( 2) icerminkan er a ap i ik sumbu x
c. i ik C( 2) icerminkan er a ap i ik sumbu y
d. Titik D( ) icerminkan er a ap i ik sumbu y = x
e. Titik E(2 4) icerminkan er a ap i ik sumbu y x
. Ruas garis engan A( 2 ) an B(2 ) icerminkan er a ap
titik O( )
g. egi iga ABC dengan A( ) B( 2) an C( 4) icerminkan
er a ap sumbu x
h. Garis 2y – 3x icerminkan er a ap sumbu y
i. Parabola y = x2 icerminkan er a ap garis y = x
j. Garis y = 2x icerminkan er a ap y x

7. engan menggunakan konsep refleksi en ukan asi pencerminan ungsi
ungsi beriku
a. Garis y 2 icerminkan er a ap i ik O( )
b. Garis 2y – 3x icerminkan er a ap sumbu x.
c. Parabo a y = x2 – 3x 2 icerminkan er a ap sumbu y.
d. Parabola x = y2 – 2y 2 icerminkan er a ap garis y = x.
e. Lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y icerminkan er a ap garis
y x.

4.3 Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)
oba kamu ama i ingkungan seki armu b ek apa ang bergerak berpu ar
an ak con o ob ek ang bergerak berpu ar seper i arum am bergerak

berpu ar menun ukkan angka kincir angin kipas angin an ain ain. Pa a
kesempa an ini ki a akan memba as gerak berpu ar (ro asi) sua u ob ek
engan su u pu aran an pusa pu aran pa a bi ang koor ina . Per a ikan
Gambar

MATEMATIKA 151

Masalah 4.4
oba kamu per a ikan gambar beriku

Gambar 4.10: Ro asi ob ek engan pusa ro asi berbe a

erikan komen armu en ang perpu aran se iap ob ek ersebu
Pa a gambar er apa iga ob ek (segi iga) ang ipu ar engan su u
pu aran er en u. asi pu aran akan bergan ung pa a pusa pu aran an besar
su u pu aran bukan. Gambar a a a pu aran ob ek engan su u pu aran
bera a pa a ob ek i u sen iri. Gambar a a a pu aran ob ek engan pusa
bera a i u ung pinggir ob ek i u sen iri an Gambar menun ukkan pu aran
ob ek engan pusa pu aran bera a i uar ob ek i u. amun ben uk an
ukuran ob ek i ak beruba se e a menga ami ro asi.

152 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Per a ikan gambar beriku

Gambar 4.11: Ro asi ob ek pa a pusa O( )

engan emikian secara in uk i ipero e si a ro asi sebagai beriku
Sifat 4.3

angun ang ipu ar (ro asi) i ak menga ami peruba an ben uk an ukuran.
eriku n a ki a akan me akukan percobaan kemba i un uk men apa kan
konsep ro asi. Per a ikan pergerakan i ik pa a gambar beriku

Gambar 4.12: Ro asi i ik engan su u an Pusa O( )

MATEMATIKA 153

Kamu masi inga konsep rigonome ri bukan Pa a segi iga OCA, koordinat

objek adalah A(r cos , r sin ). ipu ar sebesar su u an Pusa O( )

sehingga posisi objek menjadi di koordinat A'(r cos( ), r sin( ).

engan emikian ki a akan mencoba mencari konsep ro asi.

Misa kan ma riks ro asi a a a a b sehingga:
cd

A(x, y) Rotasi A '(x ', y ')

A(r cos , r sin ) Rotasi A '(r cos( ), r sin( ))

r cos( ) a b r cos ar cos br sin
r sin( ) c d r sin cr cos dr sin

cos cos sin sin a cos b sin
sin cos cos sin c cos d sin

Ini berarti
a cos , b sin dan c sin , d cos

engan emikian ma riks ro asi sebesar su u an pusa ro asi O( ) a a a

cos sin .
sin cos

agaimana ika pusa ro asi i i ik P(p, q) Kamu bo e menggeser ( rans asi)
er ebi a u u pusa ro asi ke i ik O( ) kemu ian er a i proses ro asi
kemu ian i rans asi kemba i se au pusa ro asi sebe umn a.

Titik A(x, y) ipu ar engan pusa P(p, q) an su u menghasilkan
bayangan A'(x', y ) i u is engan

A(x, y) R[P( p,q), ] A '(x ', y ')

x ' cos sin x p p
y ' sin cos y q q

154 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Ma riks ro asi engan su u (ber a anan ara arum am) a a a
cos sin .
sin cos

nga su u i i ung ber a anan ara arum am seba ikn a a a a
(seara arum am).

Contoh 4.13 ber a anan ara

Jika titik A( 2 ) iro asi engan pusa O( ) an su u
arum am maka en ukan a ba angan i ik ersebu

Alternatif Penyelesaian:

A( 2, 3) R[O(0,0),90 ] A '(x ', y ')

x ' cos 90 sin 90 2
y ' sin 90 cos 90 3

x' 0 1 2 3

y' 1 0 3 2

Jadi, bayangan titik A adalah A'(–3,–2)

Contoh 4.14 searah

Jika garis x –2y iro asi engan pusa P( ) an su u
arum am maka en ukan a ba angan garis ersebu

Alternatif Penyelesaian:
Misa kan i ik A(x, y) memenu i persamaan x – 2y se ingga
A(x, y) R[P(1, 1), 180 ] A '(x ', y ')

x ' cos( 180 ) sin( 180 ) x 1 1

y ' sin( 180 ) cos( 180 ) y ( 1) 1

x' 1 0 x 1 1

y ' 0 1 y ( 1) 1

x' x 1 1
y' y 1 1

MATEMATIKA 155

x' x 2
y' y 2
x' = –x + 2 x = 2 – x'
y' = –y – 2 y = –y' – 2
engan mensubs i usi x dan y ke garis maka i emukan ba angann a
(2 – x) – 2(–y 2) a au x – 2y .
4.4 Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)
oba kamu berikan con o perka ian ( i a asi) ang er a i i ingkungan
seki armu ebagai con o ba on ang i iup akan mengembang kare ge ang
apa irenggang an ain ain. emua i u membicarakan perka ian ukuran
objek. Tetapi, pada kesempatan ini, kita akan membahas konsep perkalian
objek dengan pendekatan koordinat.

Masalah 4.5
oba ama i gambar beriku . erikan pen apa mu

Gambar 4.13: i a asi ob ek pa a pusa O( )

156 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

ika iama i kamu me i a ukuran ob ek akan semakin besar engan '
perka ian ska a 2. Kemu ian arak 2 a a a ua ka i arak 2
a a a ua ka i an arak 2 a a a ua ka i . e api bangun se e a
perka ian engan ak or ska a mempun ai besar an ukuran ang sama
e api mempun ai ara ang ber a anan. Per a ikan uga arak sama
engan arak arak a a a sama engan arak an arak
a a a sama engan arak .
a ini berar i un uk me akukan perka ian i a asi ibu u kan unsur
ak or perka ian an pusa perka ian.
engan mengama i perka ian ob ek apa iambi kesimpu an sebagai
beriku

Sifat 4.4
angun ang iperbesar a au iperkeci ( i a asi) engan ska a k dapat
menguba ukuran a au e ap ukurann a e api i ak menguba ben uk.

Jika k maka bangun akan iperbesar an er e ak seara er a ap
pusa i a asi engan bangun semu a.
Jika k maka bangun i ak menga ami peruba an ukuran an
letak.
ika k maka bangun akan iperkeci an er e ak seara
er a ap pusa i a asi engan bangun semu a.
ika k maka bangun akan iperkeci an er e ak ber a anan
ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a.
Jika k maka bangun i ak akan menga ami peruba an ben uk

an ukuran an er e ak ber a anan ara er a ap pusa i a asi
engan bangun semu a.
Jika k maka bangun akan iperbesar an er e ak ber a anan
ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a.

MATEMATIKA 157

eriku n a ama i i a asi i ik i ik pa a gambar beriku .

Gambar 4.14: i a asi i ik engan pusa P(a, b)

Kamu ama i i ik pusa ob ek an asi i a asi ob ek. ma i uga arak ob ek
ke pusa an arak asi i a asi ke pusa pa a bi ang koor ina i a as.

oba kamu engkapi abe beriku an en ukan po a a au konsep me a ui
angka angka beriku

Tabel 4.7: i a asi i ik pa a pusa P(a, b) dan skala k

No. Pusat Objek Hasil Pola

. P( ) A(2, 2) A'(6, 6) 6 3 2 0 0
6 2 0 0

2. P( ) B(–2, 2) B'(…,…) ...
3. P( ) C(…,…) C ( 4) ...

4. P( ) D( 2) D ( 2 ) 2 4 8 10 10
5 2 1 1

. P( ) E(…,…) E'(…,…) ...

158 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

ecara in uki ipero e kesimpu an beriku

Titik A(x, y) i i a asi engan pusa P(p, q) dan skala k menghasilkan
bayangan A'(x', y ) i u is engan

A(x, y) D[P( p,q),k ] A '(x ', y ')

x' k x p p
y' y q q

Contoh 4.15

Jika titik A( 2 ) i i a asi engan pusa O( ) an ska a maka en ukan a
ba angan i ik ersebu

Alternatif Penyelesaian:

A(–2, 3) D[O(0,0),3] A'(x', y')

x' 3 2 6
y' 3 9

Jadi, bayangan titik A adalah A ( )

Contoh 4.16

Jika garis 2x – 4y i i a asi engan pusa P( ) an ska a 2 maka
en ukan a ba angan garis ersebu

Alternatif Penyelesaian:
Misa kan i ik A(x, y) memenu i persamaan 2x – 4y se ingga
A(x, y) D[P(1, 1), 2] A '(x ', y ')

x' 2 x1 1 2x 3
y' y ( 1) 1 2y 3

x' = –2x + 3 x= 3 x'
y' = –2y – 3 2

y= 3 y'
2

MATEMATIKA 159

engan mensubs i usi x dan y ke garis maka i emukan ba angann a

2( 3 x ' ) – 4( 3 y ' ) a au x + 2y 2
2
2

Uji Kompetensi 4.2

. en ukan koor ina i ik i ik o e ro asi R engan su u an pusa P
serta arah rotasi sebagai beriku

No. Titik Sudut Arah Pusat

a. A(2 ) er a anan ara arum am P( )

b. B( ) eara arum am P( )

c. C( 2 ) er a anan ara arum am P(2 )

d. D( ) 27 er a anan ara arum am P(–2, 3)
e. E(2, 2) 4 eara arum am P( 2)

2. en ukan ben uk persamaan o e i a asi R engan su u an pusa P
ser a ara ro asi sebagai beriku

No. Fungsi Sudut Arah Pusat

a. 2y – 3x eara arum am P( )

b. 3y – 4x er a anan ara arum am P( )

c. y = x2 – 2x + 6 er a anan ara arum am P(2 )

d. y = – 2x2 – x + 2 27 er a anan ara arum am P(–2, 3)

e. x2 + y2 4 4 eara arum am P( 2)

160 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

. en ukan koor ina i ik i ik o e i a asi D dengan skala k an pusa P
beriku

No. Titik Skala Pusat

a. A(2 ) k=2 P( )
b. B( ) k = –2 P( )
c. C( 2 ) k=3 P(2 )
d. D( ) k P(–2, 3)
e. E(2, 2) k=2 P( 2)

4. en ukan ben uk persamaan o e i a asi D dengan skala k an pusa P
beriku

No. Fungsi Skala Pusat

a. 2y – 3x k = 2 P( )
P( )
b. 3y – 4x k = –2 P(2 )
P(–2, 3)
c. y = x2 – 2x + 6 k = 3 P( 2)

d. y = – 2x2 – x + 2 k

e. x2 + y2 4 k=2

. i ik A(2 ) i ro asi se au 27 pa a pusa O( ) kemu ian i an u kan
engan i a asi pa a ska a 2 engan pusa i a asi P( ). ke sa
rans ormasi ersebu an en ukan koor ina ak ir i ik A.

MATEMATIKA 161

4.5 Komposisi Transformasi
e an u n a ki a akan memba as komposisi rans ormasi. nga rans ormasi

merupakan ungsi se ingga konsep komposisi rans ormasi sama a n a
engan komposisi ungsi pa a umumn a ang e a kamu pe a ari sebe umn a
di kelas X.

Af Bg C

a bc

(g f )

Gambar 4.15 Fungsi komposisi (g f )

er asarkan gambar i a as ungsi f memetakan anggota domain ke tepat
sa u anggo a ko omain per ama ( impunan B) kemu ian ungsi g akan
me an u kan peme aan ke anggo a ko omain ke ua ( impunan C). emen ara
ungsi komposisi (g f ) akan meme akan anggo a omain ( impunan A)
secara angsung ke ko omain ke ua ( impunan C). ekarang bagaimana ika
ungsin a berupa rans ormasi geome ri seper i rans asi refleksi ro asi an

i a asi oba kamu pa ami masa a beriku

Masalah 4.6
Misa kan sembarang i ik A(x, y) ditranslasikan dengan T (a , b ) kemu ian

i an u kan engan rans asi T2(a2, b2). en ukan koor ina ak ir i ik A
ersebu

162 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian:

esuai engan konsep rans asi maka persoa an ini apa ise esaikan secara

ber a ap. amun proses rans asi ber a ap ini apa me a irkan konsep

komposisi rans asi. oba kamu ama i

A(x, y) T1 a1 A'(x ', y ') T2 a2 A"(x", y ")
b1 b2

x" a2 x' dimana x' a1 x
y" b2 y' y' b1 y

x" a2 a1 x
y " b2 b1 y

x" M MT2 T1 x
y" y

x" M T2 T1 x dimana, M MT2 TT12 T1 a2 ab22+ab11 a1
y" y b2 b1

Proses komposisi rans asi ersebu apa kamu i a pa a skema beriku

T2 a2
b2
A'(x', y') A"(x", y")

T1 a1 (T2 T )
b1

A(x, y)

Skema 4.1 Komposisi Translasi

MATEMATIKA 163

ecara umum ma riks komposisi rans asi i u iskan sebagai beriku

a c
Jika matriks translasi T adalah b dan matriks translasi T2 adalah d

maka matriks komposisi translasi T T2 a au T2 T i u iskan
ac

MT1 T2 MT1 MT2 = b + d

ca
MT2 T1 MT2 MT1 = d + b

Contoh 4.17

Titik A( ) i rans asikan engan T ( 2) kemu ian i an u kan engan
translasi T2( 4 ). en ukan koor ina ak ir i ik A ersebu

Alternatif Penyelesaian:
A(6, −8) ⎯M⎯T⎯2 T⎯1 → A'(x ', y ')

x" M MT2 T1 x
y" y

x" M MT2 T1 x'
y" y'

x" 4 3 6
y" 1 2 8

x" 1

y" 7

Posisi akhir titik A menjadi A ( 7).

164 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Masalah 4.7

oba kamu ama i cermin i ukang cukur (a au sa on). i epan ki a a a

cermin an i be akang ki a uga er apa cermin. a i kamu memi iki

ba angan i cermin i epanmu an i be akangmu bukan ika kamu

ama i ebi an u ba anganmu i cermin epan akan mempun ai

ba angan uga i cermin be akang an seba ikn a. a ini menun ukkan

er a i pencerminan ber a ap engan irimu sebagai ob ek. a ini akan

me a irkan konsep komposisi refleksi. Mari ki a urunkan ormu an a

secara umum.

Misa kan sembarang i ik A(x, y) irefleksikan engan C i an u kan

engan refleksi er a ap C2 imana ma riks refleksi C adalah ab
ef d dan
c

ma riks refleksi C2 adalah g h . apa ka kamu menemukan konsep

komposisi refleksi

Alternatif Penyelesaian:
engan me akukan pencerminan ber a ap maka
A(x, y) C1 A'(x ', y ') C2 A"(x", y ")

⎛ x ' ⎞ = M ⎛ x ' ⎞ dimana M C2 = ⎛ e f⎞
⎜ y ' ⎟ ⎜ y ' ⎟ ⎜ g ⎟
⎝ ⎠ C2 ⎝ ⎠ ⎝ h ⎠

⎛ x '' ⎞ = M ⎛ x ' ⎞ dimana MC = ⎛ a b⎞
⎜ y '' ⎟ ⎜ y ' ⎟ ⎜ c ⎟
⎝ ⎠ C1 ⎝ ⎠ ⎝ d ⎠

⎛ x '' ⎞ = M MC1 C2 ⎛ x ⎞
⎜ y ⎟ ⎜ y ⎟
⎝ '' ⎠ ⎝ ⎠

⎛ x '' ⎞ = M C1 ⎛ x ⎞ dimana M C1 = ⎛ a b⎞⎛ e f⎞
⎜ y ⎜ y ⎟ ⎜ c ⎟ ⎜ ⎟
⎝ '' ⎟ C2 ⎝ ⎠ C2 ⎝ d ⎠ ⎝ g h ⎠
⎠

MATEMATIKA 165

Proses i a as apa i i a pa a skema beriku

A'(x', y') C2 A"(x", y")

C
(C2 C )

A(x, y)

Skema 4.2: Komposisi Refleksi

ecara umum ma riks komposisi refleksi i u iskan sebagai beriku

ab
ika ma riks refleksi C adalah c d an ma riks refleksi C2 adalah
e f maka ma riks komposisi refleksi C C2 a au C2 C iu iskan,

g h

M M M MC1 C2 ab e f
C1 C2 cd g h

M M M MC2 C1 e f ab
C2 C1 g h cd

Contoh 4.18
Garis 2x y icerminkan engan C C2 di mana C a a a cermin
er a ap sumbu x dan C2 a a a cermin er a ap garis y = –x. en ukan
persamaan ba angan garis ersebu

166 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian:
Misa kan i ik A(x, y) memenu i persamaan garis se ingga ber asarkan konsep
komposisi refleksi ang e a i emukan
A(x, y) C1 C2 A '(x ', y ')

x' M C1 C2 x dimana M C12 MMCC22 a a a ma riks pencerminan C C2
y' y

x' M MC1 C2 x dimana MCC12 dan MCC22 a a a ma riks pencerminan C dan C2
y' y

x' 1 0 1 0 x

y' 0 1 0 1 y

x' 1 0 x
y' 0 1 y

x' x
y' y

Dengan kesamaan matriks maka diperoleh x = –x' dan y = y' sehingga persamaan
bayangan garis menjadi 2(–x) (y) a au 2x y .

Konsep komposisi rans asi an komposisi refleksi sama a n a engan
konsep komposisi ro asi an komposisi i a asi. engan menggunakan konsep
komposisi ungsi maka komposisi ro asi a au komposisi i a asi merupakan
proses ber a ap ungsi ro asi a au ungsi i a asi.

Masalah 4.8

Misa kan i ik A(x, y) ipu ar engan pusa O( ) an su u i an u kan
ro asi engan pusa O( ) an su u 2 menghasilkan bayangan
A (x y ). apa ka kamu bangun ormu a komposisi ro asi

MATEMATIKA 167

Alternatif Penyelesaian:

Masa a ini a a a komposisi ro asi engan pusa ang sama ai u i O( ).

x' R1 x cos 1 sin 1 x
y' y sin 1 cos 1 y

x" R2 x' cos 2 sin 2 x'
y" y' sin 2 cos 2 y'

x'
engan mensubs i usi y ' diperoleh,

x" R2 R1 x cos 2 sin 2 cos 1 sin 1 x
y" y sin 2 cos 2 sin 1 cos 1 y

R2 R1 x cos( 2 1) sin( 2 1) x
y sin( 2 1) cos( 2 1) y

Per a ikan skema komposisi ro asi beriku A"(x", y")

A'(x', y') R2(O, )

R (O, ) (R2(O, ) R (O, ))

A(x, y)

Skema 4.3 Komposisi rotasi

168 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

engan emikian ipero e ormu a un uk komposisi ro asi pa a pusa pu ar
( ) sebagai beriku

rJoikaasiR s1e[Ob,e1s]adr an2 pRa2[Oa,a 2s]u a aa ro asi sebesar pa a su u O( ) an
u O( ) engan maka ma riks komposisi ro asi

i u is

MM cos( 2 1) sin( 2 1)
RR[O0, 1 ] R[O0,,a2 ] sin( 2 1) cos( 2 1)

Contoh 4.19

Perhatikan contoh-contoh berikut!
Titik A(a, b) dirotasi dengan R1 R2 dimana R a a a ro asi engan su u

ber a anan ara arum am pa a pusa O( ) an R2 adalah rotasi
engan su u ber a anan ara arum am pa a pusa P(b, 2a). en ukan
posisi akhir titik A ersebu

Alternatif Penyelesaian:
engan konsep ungsi komposisi maka

A(a, b) R1 R2 A '(x ', y ')

x' M R1 M R2 a dimana M R2 cos 90 sin 90 0 1
y' b sin 90 cos 90 1 0

x' M R1 0 1 a0 0 1
y' 1 0 b0 0 0

x' M R1 0 1 a dimana M R1 cos180 sin180 0
y' 1 0 b sin180 cos180 1

x' 0 1 0 1 a b b
y ' 1 0 1 0 b 2a 2a

MATEMATIKA 169

x ' 0 1 2b b
y ' 1 0 a 2a

x ' 3ba b
y ' 32a 2b
Jadi, posisi akhir titik A ersebu a a a A ( b,3a).

Contoh 4.20

Garis 2x – y iro asi engan R R dimana R adalah rotasi dengan
su u ber a anan ara arum am pa a pusa P( 2). en ukan persamaan
posisi ak ir garis ersebu

Alternatif Penyelesaian:
Misa kan i ik memenu i garis ersebu se ingga

A(x, y) R1 R1 A '(x ', y ')

x' M R1 R1 x dimana M R1 cos 90 sin 90 01
y' y sin 90 cos 90 10

x' M R1 0 1 x1 1
y' 1 0 y2 2

x' M R1 y3
y' x1

x' 0 1 y 3 1 1
y' 1 0 x 1 2 2

x' x 2
y' y 4

Dengan kesamaan matriks maka diperoleh x = –x' + 2 dan y = –y' + 4 sehingga
persamaan garis menjadi 2(–x + 2) – (–y 4) a au 2x + y .

170 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Masalah 4.9

Misa kan i ik A(x, y) i i a asi engan pusa O( ) an ak or ska a k
i an u kan i a asi engan pusa O( ) an ak or ska a k2 diperoleh
koordinat hasil dilatasi A (x y ). engan cara ang sama pa a konsep
komposisi pa a rans ormasi sebe umn a emukan konsep komposisi
i a asi pa a pusa ang sama ai u i O( )

Alternatif Penyelesaian:

x' D1 x k1 x
y' y y

x" D2 x' k2 x'
y" y' y'

engan mensubs i usi x' D1 x k1 x diperoleh,
y' y y

x" D2 D1 x k2k1 x
y" y y

(D2 D1) x k2k1 x
y y

Per a ikan skema

D D2 0, k21 0, k1

A'(x', y') A"(x", y")

D D2 0, k2 1 0, k1 D D2 0, k2

1 0, k1

A(x, y)

Skema 4.4 Komposisi dilatasi

MATEMATIKA 171

engan emikian ormu a un uk komposisi i a asi pa a pusa O( ) a a a
x" x kd1 anxy
Jika titik A(x, y) iro asi bye"r uruD2 urDu1 o ey D1[O k2 D2[O,k2 ] maka,

,k1 ]

(D2 D1) x k2k1 x
y y

Contoh 4.21
Titik A( ) i i a asi engan D D2 dimana D adalah dilatasi dengan faktor
ska a pa a pusa O( ) an D2 a a a i a asi engan ak or ska a 2 pa a pusa
P(2 ). en ukan koor ina ak ir i ik ersebu

Alternatif Penyelesaian:
engan menggunakan konsep komposisi i a asi maka

A(3, 5) D1 D2 A '(x ', y ')

x' M D1 D2 3
y' 5

x' MMDD11 2 3 0 0
y' 5 0 0

x' 3 6 2 2
y' 10 1 1

x ' 12 2 14
y ' 27 1 28

Jadi, koordinat akhir titik A ersebu a a a A ( 4 2 )

Contoh 4.22

Jika Dk a a a i a asi ke k dengan faktor skala k k 1 pa a pusa O( ) maka
en ukan i a asi i ik A( ) o e D D2 D3 . . . D .

172 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian:

engan menggunakan konsep komposisi i a asi pa a pusa ang sama maka

x' M D1 D2 D3 ... D10 x
y' y

x' M D1 M D2 M D3 ...M D10 11
y' 55

x' 1 2 3 ... 10 11
y' 55
1 1 2 1 3 1 10 1

x ' 1 2 3 ... 10 11
y ' 2 3 4 11 55

x ' 1 11
y ' 11 55

x' 1
y' 5

Jadi, posisi akhir titik A ersebu se e a i a asi a a a A ( ).

Uji Kompetensi 4.3

. engan konsep komposisi rans ormasi en ukan koor ina i ik A setelah
i rans asi beriku
a. Titik A( 2) i rans asikan engan T ( 2) kemu ian i an u kan
dengan translasi T2( 2 ).

b. Titik B( 4) i rans asikan engan T ( 2) kemu ian i an u kan
dengan translasi T2(4 ) i an u kan agi engan rans asi T3( 2 ).

c. i ik C( ) i rans asikan engan T2 T dimana T (3, 4) dan
T2(4 ).

MATEMATIKA 173

d. Titik D( 2 ) i rans asikan engan T T2 dimana T ( 2 4) an
T2( ).

e. Titik E( ) i rans asikan engan T2 T T2 dimana T (2 ) an
T2( 2).

2. engan konsep komposisi rans ormasi en ukan persamaan sua u ob ek
se e a i rans asi beriku
a. Garis 2x – 3y 4 i rans asikan engan T ( 2) kemu ian
i an u kan engan rans asi T2(2 ).
b. Garis –3x y i rans asikan engan T ( 4) kemu ian
i an u kan engan rans asi T2(4 ) i an u kan agi engan rans asi
T3( ).
c. Garis x + 3y i rans asikan engan T T2 dimana T ( 2)
dan T2( 2 ).
d. Parabola y – 2x2 + 3x 4 i rans asikan engan T2 T dimana
T ( 2 2) an T2( ).
e. Parabola 2y = 2x2 – 4x i rans asikan engan T T T2 dimana
T (2 ) an T2( 2).

3. Jika C a a a pencerminan er a ap i ik O( ) C2 a a a pencerminan
er a ap sumbu x, C3 a a a pencerminan er a ap sumbu y, C4 adalah
pencerminan er a ap garis y = x, dan C a a a pencerminan er a ap
garis y x maka en ukan koor ina ba angan i ik o e komposisi
pencerminan beriku
a. Titik A(2 2) icerminkan engan C2 C
b. Titik B( 2 2) icerminkan engan C C2
c. i ik C( 4 ) icerminkan engan C3 C4
d. Titik D( ) icerminkan engan C C2 C3
e. Titik E( ) icerminkan engan C4 C C

174 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

4. Jika C a a a pencerminan er a ap i ik O( ) C2 a a a pencerminan
er a ap sumbu x, C3 a a a pencerminan er a ap sumbu y, C4 adalah
pencerminan er a ap garis y = x, dan C a a a pencerminan er a ap
garis y x maka en ukan koor ina ba angan ob ek o e komposisi
pencerminan beriku
a. Garis 2x + 4y 7 icerminkan engan C C2
b. Garis –x + 3y icerminkan engan C3 C
c. Garis x + 2y icerminkan engan C C C4
d. Parabola y = –x2 + 3x 2 icerminkan engan C C4
e. Parabola –y + 2x2 x icerminkan engan C2 C3 C4

. ika R a a a ro asi se au ber a anan ara arum am engan pusa
O( ) R2 a a a ro asi se au 27 ber a anan ara arum am engan
pusa O( ) R3 a a a ro asi se au seara arum am engan pusa
P( ) an R4 a a a ro asi se au seara arum am engan pusa
P( ) maka en ukan posisi ob ek o e komposisi ro asi beriku
a. Titik A(2 2) iro asi engan R R2
b. Titik B( 2) iro asi engan R2 R
c. i ik C( ) iro asi engan R3 R4
d. Garis –x y iro asi engan R2 R
e. Parabola 2y = 2x2 – 3x + 4 dirotasi dengan R4 R3

. emukan ormu a komposisi ro asi R R2 terhadap titik A(x, y) dimana
a a a ro asi engan su u an pusa ro asi P (a, b) dan R2 adalah rotasi
engan su u 2 an pusa i a asi P2(c, d).

7. ika Rk a a a ro asi ke k se au seara arum am engan masing
masing pa a pusa O( )maka en ukan ro asi i ik A( 2 4) o e R R2
R3 . . . R .

MATEMATIKA 175

. ika D a a a i a asi engan ak or ska a 2 pa a pusa O( ) D2 adalah
i a asi engan ak or ska a pa a pusa O( ) D3 adalah dilatasi dengan
ak or ska a 2 pa a pusa P( ) an D4 adalah dilatasi dengan faktor

ska a 4 pa a pusa P( ) maka en ukan posisi ob ek o e komposisi
i a asi beriku
a. Titik A( 2 4) i i a asi engan D D2
b. Titik B( 4) i i a asi engan D3 D4
c. i ik C( 2) i i a asi engan D D4
d. Garis 3x + 2y i i a asi engan D2 D
e. Parabola 3y = 2x2 i i a asi engan D4 D3
. emukan ormu a komposisi i a asi D D2 terhadap titik A(x, y) dimana
D adalah dilatasi dengan faktor skala k an pusa i a asi P (a, b) dan D2
adalah dilatasi dengan faktor skala k2 an pusa i a asi P2(c, d).
. ika Dk a a a i a asi ke k dengan faktor skala h pa a pusa P( )
maka en ukan i a asi i ik A( 2 4) o e D D2 D2 . . . D .

176 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

D. Penutup

e e a ki a memba as ma eri rans ormasi ki a membua kesimpu an sebagai
asi pengama an pa a berbagai konsep an a uran rans ormasi sebagai
beriku

. rans ormasi ang ika i er iri ari rans asi (pergeseran) refleksi
(pencerminan) ro asi (perpu aran) an i a asi (perka ian) ser a
komposisinya.

2. Ma riks rans ormasi ang ipero e a a a

No. Transformasi Matriks Transformasi
. Translasi T(a, b)
2. Refleksi i ik O( ) a
3. Refleksi umbu x b
4. Refleksi umbu y
. Refleksi Garis y = x 10
6. Refleksi Garis y = –x 01
7. Ro asi sebesar su u
. Dilatasi [k,P(a,b)] 10
01

10
01

01
10

01
10

cos sin
sin cos

x' k x a a
y' y b b

MATEMATIKA 177

MT Ma riks rans asi M M MT2 T1 T2 T1
MT Ma riks rans ormasi
M M MT2 T1
T2 T1

. rans ormasi mempun ai si a si a sebagai beriku
Translasi

angun ang igeser ( rans asi) i ak menga ami peruba an ben uk an
ukuran.
e e si

angun ang icerminkan (refleksi) engan cermin a ar i ak menga ami
peruba an ben uk an ukuran. arak bangun engan cermin (cermin a ar)
a a a sama engan arak ba angan engan cermin ersebu .
Rotasi

angun ang ipu ar (ro asi) i ak menga ami peruba an ben uk an
ukuran.
Dilatasi

angun ang iperbesar a au iperkeci ( i a asi) engan ska a k apa
menguba ukuran a au e ap ukurann a e api i ak menguba ben uk.

Jika k maka bangun akan iperbesar an er e ak seara er a ap
pusa i a asi engan bangun semu a.
Jika k maka bangun i ak menga ami peruba an ukuran an e ak.
ika k maka bangun akan iperkeci an er e ak seara
er a ap pusa i a asi engan bangun semu a.
ika k maka bangun akan iperkeci an er e ak ber a anan
ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a.
Jika k = maka bangun i ak akan menga ami peruba an ben uk
an ukuran an er e ak ber a anan ara er a ap pusa i a asi engan
bangun semu a.
Jika k < maka bangun akan iperbesar an er e ak ber a anan
ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a.

178 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

e an u n a ki a akan memba as en ang ma eri barisan an ere .
Ma eri pras ara ang arus kamu kuasai a a a impunan ungsi an
operasi i ung bi angan. a ini sanga berguna a am penen uan ungsi
ari barisan ersebu . emua apa ang kamu su a pe a ari sanga berguna
un uk me an u kan ba asan beriku n a an se uru konsep an a uran a uran
ma ema ika ibangun ari si uasi n a a an i erapkan a am pemeca an
masa a ke i upan.

MATEMATIKA 179

BAB

5

Barisan

A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar

Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar

Setelah mengikuti pembelajaran barisan, siswa Melalui pembelajaran materi barisan , siswa
mampu: memperoleh pengalaman belajar:

3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan 1. Menemukan konsep dan pola barisan
jumlah pada barisan Aritmetika dan melalui pemecahan masalah autentik.
Geometri.
2. Berkolaborasi memecahkan masalah aktual
4.6 Menggunakan pola barisan Aritmetika dengan pola interaksi sosial kultur.
dan Geometri untuk menyajikan dan
menyelesaikan masalah kontekstual 3. Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif)
(termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga dalam menyelidiki dan mengaplikasikan
majemuk, dan anuitas) konsep dan pola barisan dalam
memecahkan masalah autentik.

• Pola BilanganIstilah Penting
• Beda
• Rasio
• Aritmetika
• Geometri

180 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

B. Diagram Alir

Fungsi Materi
Prasyarat

Masalah Barisan
Autentik Bilangan

Suku awal U Syarat Suku awal
U
Rasio n Barisan Barisan n
s Aritmetika Geometri s Rasio
u u
Deret r Suku ke-n
Suku ke-n r Geometri

Deret

Aritmetika

Jumlah n suku Jumlah n suku
pertama pertama

MATEMATIKA 181

C. Materi Pembelajaran

5.1 Menemukan Pola Barisan
Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang

dapat dipecahkan secara arif dan kreatif melalui pros-
es matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan,
berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan
akan ditemukan melalui pemecahan masalah, melihat
pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi
sebagai alternatif pemecahan masalah.
Perhatikan ilustrasi berikut. Data uang saku seorang anak sekolah setiap
hari adalah Rp10.000,00 dan untuk menumbuhkan niat menabung orang
tuanya menambahkan sebesar Rp1.000,00 tiap harinya.
Jika uang saku tersebut disusun dengan bilangan-bilangan maka kita akan
memperoleh susunan bilangan seperti berikut.

10.000, 11.000, 12.000, 13.000, ...

+1000 +1000 +1000

Perhatikan bilangan tersebut mempunyai keteraturan dari urutan pertama,
kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari
bilangan sebelumnya ditambah 1.000. Bilangan-bilangan yang disusun berurut
dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan.

Konsep tentang fungsi akan kita gunakan dalam penerapan menemukan pola
dari barisan, karena barisan merupakan suatu fungsi dengan domain bilangan
bulat positif dan range bilangan real. Materi tentang fungsi sudah dipelajari
i ab ke as . Pa a bab ersebu i u iskan efinisi ungsi ai u Misa kan
A dan B himpunan, Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang
memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan
B. Jika kita perhatikan sebuah barisan maka suku ke-n dengan n merupakan
bilangan bulat positif disebut sebagai domain akan berpasangan terhadap rumus
suku ke-n dari barisan itu dan disebut range, yang merupakan bilangan real.

182 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan
suku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U1, bilangan kedua di-
tulis U(2) atau U2, dan seterusnya. Maka kita dapat membuat aturan pengaitan
seperti berikut ini.

11.000 12.000 13.000 14.000 ... n

U1 U2 U3 U4 ... Un
Dari pasangan di atas diperoleh bentuk umum barisan bilangan adalah U1,
U2, U3, ..., Un, ... Dengan Un = f(n) yang disebut dengan rumus umum suku
ke-n dari barisan bilangan. Untuk memahami barisan dan pola barisan mari
perhatikan masalah-masalah berikut ini.

Masalah 5.1

Beberapa kelereng dikelompokkan dan disusun sehingga setiap kelompok
tersusun dalam bentuk persegi sebagai berikut.

Gambar 5.1: Susunan Kelereng

Kelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan : 1, 4, 9,
16, 25.

K1 K2 K3 K4 K5

14 9 16 25

Gambar 5.1: Jumlah Kelereng pada Setiap Kelompok

MATEMATIKA 183

Permasalahan:
Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan tersebut?

Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut? Tentukan banyak kelereng pada
kelompok ke-15?

Alternatif Penyelesaian:
1. Kemungkinan metode yang dapat digunakan adalah membuat susunan benda

berikutnya dan menghitung kembali banyak kelereng pada susunan itu.
erna i pen e esaian ini i ak efisien karena arus men usun kemba i

banyak kelereng untuk kelompok berikutnya.

K6 36

Gambar 5.2: Jumlah Kelereng pada Kelompok ke-6

2. Alternatif penyelesaian lainnya adalah menemukan pola barisan tersebut.
Perhatikan tabel berikut dan lengkapilah!

Tabel 5.1: Pola Banyak Kelereng Pada Setiap Kelompok

Kelompok Banyak Kelereng Pola

K1 1 1=1×1

K2 4 4=2×2

K3 … … = …

K4 … … = …

K5 … … = …

...

...

...

Kn … … = …

Dengan pola barisan pada tabel yang kamu lengkapi di atas, dapatkah
kamu menentukan bilangan berikutnya? Berapakah bilangan untuk kelompok
ke-15?

184 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Apakah mungkin ada pola lain untuk menyelesaikan masalah di atas?
Coba kamu lengkapi tabel berikut.

Tabel 5.2: Pola Banyak Kelereng pada Setiap Kelompok

Kelompok Banyak Kelereng Pola
1
K1 …=…
K2 4
K3 …=…
K4 9
K5 …=…
. …
. …=…
. …
…=…
Kn .
. .
. .
? .
…=…

Bagaimana pola barisan dari tabel yang kamu lengkapi di atas? Dapatkah
kamu menentukan bilangan berikutnya? Berapakah bilangan untuk kelompok
ke-15?

Kamu dapat dengan mudah menentukan bilangan-bilangan berikutnya pada
sebuah barisan bilangan jika dapat menemukan pola barisannya. Silahkan pelajari
pola barisan pada beberapa contoh berikut.

Contoh 5.1

Perhatikan barisan huruf berikut:
ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD...
Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf pada urutan
25 × 33!

Alternatif Penyelesaian:
Pertama, kita perlihatkan urutan setiap huruf pada barisan, sebagai berikut.

A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D ...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ...

MATEMATIKA 185

Jika kamu amati dengan teliti, kelompok huruf ABBCCCDDDD pada urutan
1 sampai 10 berulang, bukan? Perulangan kelompok huruf terjadi pada setiap
kelipatan 10 huruf pertama. Jadi, huruf pada urutan 1 sama dengan huruf pada
urutan 11, urutan 21, urutan 31, dan seterusnya.

Kedua, huruf pada urutan 25 × 33 adalah huruf pada urutan 32 × 27 = 864
atau 864 = 860 + 4 = 86 × 10 + 4 sehingga perulangan kelompok huruf tersebut
mengalami perulangan sebanyak 86 kali. Dengan demikian, huruf pada urutan
ke-864 sama dengan huruf pada urutan ke-4 atau C, bukan? Perhatikan tabel di
bawah ini!

Tabel 5.3: Urutan Barisan Huruf

Urutan Huruf Urutan Huruf ... Urutan Huruf Urutan Huruf
ke- ke- ke- ke-

1 A 11 A ... 851 A 861 A

2 B 12 B ... 852 B 862 B

3 B 13 B ... 853 B 863 B

4 C 14 C ... 854 C 864 C

5 C 15 C ... 855 C

6 C 16 C ... 856 C

7 D 17 D ... 857 D

8 D 18 D ... 858 D

9 D 19 D ... 859 D

10 D 20 D ... 860 D

Contoh 5.2

Sebuah barisan bilangan asli dituliskan sebagai berikut: 12345678910111
21314151617181920212223242526... sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11
= 0, suku ke-12 = 1, dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yang
menempati suku ke-2004?

186 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian: ?
Mari kita amati kembali barisan tersebut, sebagai berikut.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 ...

u u u u u u u u u u u u u u u u u u ... u

un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ...
Kita akan mencari angka yang menempati suku ke-2004 dengan menghitung

banyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut.

Langkah 1.
Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (1 sampai 9):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 9 = 9 suku.

Langkah 2.
Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 99)
10, 11, 12, 13, ..., 19 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku
20, 21, 22, 23, ..., 29 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku
...
90, 91, 92, 93, ..., 99 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku

Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 20 = 180 suku. Jadi,
banyak suku pada barisan 1 sampai 99 adalah 9 + 180 = 189 suku.

Langkah 3.
Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (100 sampai 999)
Jika ratusan (1 sampai 6)
100, 101, 102, 103, ..., 109 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
110, 111, 112, 113, ..., 119 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
120, 121, 122, 123, ..., 129 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
...
690, 691, 692, 693, ..., 699 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku

Banyak suku untuk barisan bilangan ratusan dengan ratusan 1 sampai 6 adalah
6 × 10 × 30 = 1800 suku.

MATEMATIKA 187

Jadi terdapat sebanyak 9 + 180 + 1800 = 1989 suku pada barisan bilangan
1 sampai dengan 699 sehingga suku ke-1989 adalah 9. Suku berikutnya (suku
ke-1990) adalah barisan bilangan dengan ratusan 7 sebagai berikut.

9700701702703704

uuuuuuuuuuuuuuuu

Angka pada suku ke-2004 adalah 4.

Contoh 5.3

Tentukan pola barisan pada 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ..., 1 . Tentukanlah banyak
2 6 12 20 30 42 9900
suku pada barisan tersebut.

Alternatif Penyelesaian: = 1, 2, 3,... maka barisan di
Jika un adalah suku ke-n sebuah barisan dengan
atas disajikan dalam tabel berikut.

Tabel 5.4: Pola Barisan

Suku ke Nilai Pola Berdasarkan pola barisan
u1
u2 1 11 un 1 n yang telah diperoleh
u3 2
u4 2 12 1 n2
u5 1 pada tabel di samping maka
6 11
6 22 2 un 1 atau
1
12 11 9900
12 32 3
1 1 = 1
20 11 n2 n 9900
20 42 4
1 n2 + n = 9900
30 11 n2 + n − 9900 = 0
30 52 5 (n − 99)(n +100) = 0
n 99

188 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Suku ke Nilai Pola
u6
1 11
42 42 62 6

... ... ...

un ? ? 1

n2 n

Barisan 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ..., 1 terdiri atas 99 suku.
2 6 12 20 30 42 9900

Diskusikan dengan temanmu mengapa yang digunakan n = 99?

Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ...
maka dari barisan di atas disajikan dalam tabel berikut.

Tabel 5.5: Pola

Suku Jumlah suku-suku Nilai

s1 u1 1
2

s2 u1 + u2 2
3

s3 u1 + u2 + u3 3
4

s4 u1 + u2 + u3 + u4 4
5

s5 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 5
6

s6 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 6
... ... 7

...

MATEMATIKA 189

Suku Jumlah suku-suku Nilai

sn u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + ... + un sn n
n1

Berdasarkan tabel di atas, s1, s2, s3, ..., snn, ... yaitu 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,..., 99 ,...
adalah sebuah barisan dengan pola sn n1 .
2 3 4 5 6 100

Karena n = 99 maka s99 1 1 1 1 1 1 ... 1 99
2 6 12 20 30 42 9900 100

Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ...
atau sn = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 + un dan sn–1 = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 maka
sn = sn–1 + un atau un = sn – sn–1.

Contoh 5.4

Suatu barisan dengan pola sn = 2n3 – 3n2. Tentukan pola barisan tersebut kemudian
tentukanlah suku ke-10.

Alternatif Penyelesaian:
Dengan rumus un = sn – sn–1 maka dapat ditentukan sn = 2n3 – 3n2 atau
sm = 2m3 – 3m2. Misalkan m = n – 1 maka
sn 1 2 n 1 3 3 n 1 2

sn 1 2n3 6n2 6n 2 3n2 6n 3

sn 1 2n3 9n2 12n 5

Jadi,
un sn sn 1 2n3 3n2 2n3 9n2 12n 5

un 6n2 12n 5
Pola barisan tersebut adalah un 6n2 12n 5 sehingga:
u10 = 6(10)2 −12(10) + 5 = 600 −120 + 5 = 485
Jadi, suku ke-10 pada barisan tersebut adalah 485.

190 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

5.2 Menemukan Konsep Barisan Aritmetika

Pada subbab di atas, kita telah membicarakan masalah pola dari barisan
bilangan secara umum. Berikutnya, kita akan belajar menemukan konsep
barisan aritmetika.

Masalah 5.2

Perhatikan gambar tumpukan jeruk di
samping ini! Bagaimana cara menentukan
atau menduga banyak jeruk dalam satu
tumpukan?

Gambar 5.3: Tumpukan Buah Jeruk

Alternatif Penyelesaian:
Jika diperhatikan gambar di atas, maka diperoleh susunan dari beberapa

jeruk. Jeruk itu dapat disusun membentuk sebuah piramida.

Gambar 5.4: Susunan piramida jeruk

Jumlah jeruk pada bagian bawah tumpukan akan lebih banyak dibandingkan
pada susunan paling atas. Misalkan susunan jeruk tersebut disederhanakan
menjadi sebuah susunan segitiga, seperti gambar di bawah ini.

Gambar 5.5: Susunan bulatan bentuk segitiga

MATEMATIKA 191

• Mengapa harus dengan susunan segitiga, coba lakukan dengan susunan segi
empat. Apa yang kamu temukan?
Banyaknya bulatan yang tersusun dari setiap kelompok dapat dituliskan
dengan bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. Bilangan tersebut membentuk barisan.
Perhatikan polanya pada Gambar 5.4:

13 6 10 15

+2 +3 +4 +5

Gambar 5.5: Pola susunan jumlah jeruk dalam tumpukan

Ternyata beda antara setiap dua bilangan yang berdekatan membentuk
barisan yang baru yaitu 2, 3, 4, 5,... Perhatikan skema berikut.

1 3 6 10 15

+2 +3 +4 +5

+1 +1 +1

Gambar 5.7: Pola turunan jumlah jeruk dalam tumpukan

Beda setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,... adalah tetap
yaitu 1. Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,... disebut ”Barisan Aritmetika”
dan barisan 1, 3, 6, 10, 15, ... disebut ”Barisan Aritmetika Tingkat Dua”.
• Coba kamu bentuk sebuah barisan aritmetika tingkat tiga?

Masalah 5.3

Perhatikan masalah disamping!
Jika tinggi satu anak tangga adalah
20 cm, berapakah tinggi tangga jika
terdapat 15 anak tangga? Tentukanlah
pola barisannya!

Gambar 5.8: Tangga

192 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK