PR Matematika Pem. 10A Ed. 2019

Matematika

SMA/MA Kelas X Semester 1
Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam

Disusun oleh:
Miyanto

Disklaimer Daftar isi

Disklaimer

• Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna
membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran.

• Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI)
dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.

• Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini
disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar
saja.

• Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat
mengembangkannya sesuai kebutuhan.

• Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru
dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan
interaktif.

Daftar Isi

Bab I Fungsi Eksponensial

Bab II Fungsi Logaritma

BAB

I Fungsi Eksponensial

A. Sifat-Sifat Eksponensial

B. Grafik Fungsi Eksponensial

C. Persamaan dan Pertidaksamaan
Eksponensial

Kembali ke daftar isi

A. Sifat-Sifat Eksponensial

1. Pangkat Bulat Positif

Untuk a anggota himpunan bilangan real dan n anggota
himpunan bulat positif berlaku:

an dibaca: a pangkat n. an didefinisikan sebagai perkalian
berulang a sebanyak n kali (n faktor).
an disebut bilangan berpangkat
a disebut bilangan pokok
n disebut pangkat (eksponen)

2. Pangkat Bulat Nol

Untuk a anggota himpunan bilangan real dan a  0, berlaku:
a0 = 1.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Pangkat Bulat Negatif

Untuk a anggota himpunan bilangan real dengan a  0 dan n
 bilangan bulat positif, berlaku:

a–n = 1
an

4. Sifat-Sifat Pangkat Bilangan

Untuk a dan b anggota himpunan bilangan real serta p dan q
anggota himpunan bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal

Sederhanakan bentuk berikut.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Grafik Fungsi Eksponensial

1. Pengertian Fungsi Eksponensial

Diketahui x anggota himpunan bilangan real. Fungsi eksponensial
merupakan fungsi yang memetakan setiap x ke f(x) = ax, dengan a > 0 dan
a  1.

2. Bentuk Umum Fungsi Eksponensial

Bentuk umum fungsi eksponensial adalah y = f(x) = kax atau f : x  kax.
Keterangan:
x disebut peubah (variabel) bebas dengan daerah asal (domain)
D = {x | – < x < , x  R}.
a disebut bilangan pokok (basis) dengan syarat a > 0 dan
a  1 (0 < a < 1 atau a > 1).
y disebut variabel tak bebas.
k disebut konstanta.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Bentuk dan Sifat Grafik Fungsi Eksponensial

Salah satu bentuk grafik fungsi eksponensial ditunjukkan sebagai berikut.

Grafik fungsi eksponen berupa kurva mulus.
NB: grafik g(x) dihapus

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Cara Menggambar Grafik Fungsi Eksponensial

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi eksponensial sebagai berikut.
a. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan

memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan.
b. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat.
c. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus.

5. Materi Pengayaan

a.Pertumbuhan

1) Bunga Majemuk
Jumlah tabungan setelah t tahun dihitung dengan rumus:
Mt = M + (1 + i)t
Keterangan:
Mt = jumlah tabungan setelah t tahun
M = jumlah tabungan mula-mula
i = besar suku bunga
t = lama menabung (dalam tahun)

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2) Pertumbuhan Populasi

Jika jumlah populasi mula-mula P dan jumlah populasi setelah t

tahun adalah Pt, jumlah populasi
pada saat t tahun dinyatakan sebagai Pt = Peit.
Keterangan:

Pt = populasi setelah t tahun
P = populasi mula-mula

i = tingkat pertumbuhan populasi

e = 2,718

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Peluruhan

Misalkan terdapat t lembar kaca. Setiap lembar kaca mengurangi
cahaya yang menembusnya sebanyak i (i dalam persen). Persentase
cahaya P yang menembus t lembar kaca dapat dinyatakan sebagai P =
100(1 – i)t.
Jika intensitas cahaya berkurang secara kontinu, diperoleh:
P = 100e-it.

Contoh Soal

Diketahui grafik fungsi f(x) = k × 2x – 2. Grafik tersebut
melalui titik (2, 3). Tentukan:
a. nilai k,
b. nilai f(4).

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Persamaan dan Pertidaksamaan
Eksponensial

1. Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan dengan eksponensial
berbentuk variabel. Variabel tersebut dapat terletak pada eksponen atau
bilangan pokoknya. Persamaan eksponensial mempunyai beberapa bentuk
persamaan dan penyelesaian. Bentuk-bentuk persamaan eksponensial
dijelaskan sebagai berikut.

a. af(x) = am
Jika af(x) = am, a > 0 dan a  1 maka f(x) = m

b. af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x), a > 0 dan a  1 maka f(x) = g(x)

c. af(x) = bf(x)
Jika af(x) = bf(x), a > 0, a  1, b > 0, b 1, dan a  b maka f(x) = 0

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

d. h(x)f(x) = h(x)g(x)
Jika h(x)f(x) = h(x)g(x), penyelesaiannya sebagai berikut.
1) f(x) = g(x)
2) h(x) = 1
3) h(x) = 0, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya positif
4) h(x) = –1, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya

ganjil
e. f(x)h(x) = g(x)h(x)

Jika f(x)h(x) = g(x)h(x), penyelesaiannya sebagai berikut.
1) f(x) = g(x)

2) h(x) = 0, dengan syarat f(x)  0 dan g(x)  0.
f. A(af(x))2 + B(af(x)) + C = 0, a > 0, a  1, A  0, dan A, B, C  R

Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini digunakan pemisalan y = af(x)
sehingga diperoleh
Ay2 + By + C = 0. Setelah nilai y diperoleh, substitusikan kembali pada
pemisalan y = af(x) sehingga
diperoleh nilai x.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Pertidaksamaan Eksponensial

Pertidaksamaan eksponensial adalah pertidaksamaan yang eksponennya
memuat variabel. Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial
menggunakan sifat kemonotonan grafik fungsi eksponensial. Perhatikan
grafik fungsi eksponensial f(x) = ax berikut.

Grafik f(x) = ax, a > 1 Grafik f(x) = ax, 0 < a < 1

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Berdasarkan kedua grafik di atas diperoleh kesimpulan sebagai
berikut.
a. Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton naik.

Artinya untuk setiap x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika
f(x1) < f(x2).
b. Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton turun.
Artinya untuk setiap x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika
f(x1) > f(x2).

Tetap atau berubahnya tanda ketidaksamaan tergantung dari nilai
bilangan pokoknya.
Untuk a > 1
Jika af(x) > ag(x) maka f(x) > g(x)
Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x)
Jika af(x) < ag(x) maka f(x) < g(x)
Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x)

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Untuk 0 < a < 1
Jika af(x) > ag(x) maka f(x) < g(x)
Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x)
Jika af(x) < ag(x) maka f(x) > g(x)
Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x)

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponensial berikut.
a. (x + 3)2x – 1 = (x + 3)x + 2
b. (x + 2)x + 1 = (2x + 6)x + 1

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

BAB

II Fungsi Logaritma

A. Bentuk Logaritma

B. Fungsi Logaritma
dan Grafiknya

C. Persamaan dan Pertidaksamaan
Logaritma

Kembali ke daftar isi

A. Bentuk Logaritma

1. Pengertian Logaritma

Logaritma merupakan kebalikan (invers) dari eksponen
(pemangkatan). Suatu bentuk eksponen dapat diubah menjadi bentuk
logaritma dan sebaliknya.
an = b ⇔ alog b = n dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0
a merupakan bilangan pokok (basis) logaritma;
b merupakan numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya;
n merupakan hasil logaritma (nilai pangkat).
Dari bentuk logaritma an = b ⇔ alog b = n, diperoleh bentuk-bentuk
berikut.
a. alog 1 = 0 sebab a0 = 1.
b. alog a = 1 sebab a1 = a. a.
c. alog an = n.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Nilai Logaritma

Nilai logaritma suatu bilangan dapat dicari menggunakan tabel
logaritma atau kalkulator.
Perhatikan bagian-bagian hasil logaritma berikut.

Dalam tabel logaritma hanya tertulis bilangan desimal (mantisa) yang
menyatakan hasil logaritma suatu bilangan. Adapun bilangan bulat
(karakteristik) harus ditentukan atau dicari.
Nilai karakteristik log x sebagai berikut.
a. 1 < x < 10 ---> log x = 0, . . . (misal: log 2 = 0,3010)
b. 10 ≤ x < 100 ---> log x = 1, . . . (misal: log 55,9 = 1,7474)
c. 100 ≤ x < 1.000 ---> log x = 2, . . . (misal: log 871,2 = 2,9401)
d. 1.000 ≤ x < 10.000 ---> log x = 3, . . . (misal: log 7035,3 = 3,8473)

dan seterusnya.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Sifat Logaritma

Misalkan a, b, dan c bilangan real positif dan a ≠ 1, berlaku sifat-sifat
berikut.

a. a log bc  a log b  a log c

b. a log b  a log b  a log c
c

c. a log bc  c a log b
d. a log b  c log b dengan c  1

c log a
e. a log b  b log c  a log c dengan b  1

f. am log bn  n a log b
m

g. a a logb  b

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal

Diketahui log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, dan log 5 = 0,699. Tentukan nilai:
a. log 30;
b. log 8; dan
c. log 0,3.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Fungsi Logaritma dan Grafiknya

1. Pengertian Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma merupakan fungsi yang memuat variabel x
dalam operator logaritma, yaitu memuat
variabel x sebagai numerus. Bentuk paling sederhana dari fungsi
logaritma adalah f(x) = alog x dengan a > 0 dan a ≠ 1 0 < a < 1
atau a > 1).
Domain fungsi logaritma tersebut adalah D = {x | x > 0, x
bilangan real}.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Grafik Fungsi Logaritma

Perhatikan grafik fungsi logaritma berikut.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Dari grafik tersebut diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1

a. Grafik f(x) = kalog x dan g(x) = k a log x simetris terhadap
sumbu X.

b. b. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu X di titik (k, 0).
c. Sumbu Y merupakan asimtot, yaitu garis yang didekati grafik
fungsi tetapi tidak sampai berpotongan dengan fungsi tersebut.
d. Grafik fungsi f(x) = kalog x merupakan fungsi monoton naik
karena untuk setiap x1 < x2 berlaku f(x1) < f(x2).

1

a. Grafik fungsi g(x) = k a log x merupakan fungsi monoton turun
karena untuk setiap x1 < x2 berlaku g(x1) > g(x2).

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

Langkah-langkah menggambar grafik tersebut sebagai berikut.
a. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan

memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan.
b. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat.
c. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus.

Contoh Soal

Diketahui fungsi logaritma f(x) = 4 – 2log (x + 3).
Tentukan:
a. domain fungsi;
b. nilai fungsi untuk x = 1 dan x = –1.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Persamaan dan

Pertidaksamaan Logaritma

1. Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan pada bentuk logaritma
yang di dalamnya memuat variabel. Variabel tersebut dapat
menempati numerus atau bilangan pokok. Beberapa bentuk
persamaan logaritma beserta penyelesaiannya dijelaskan sebagai
berikut.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan pada bentuk
logaritma yang memuat variabel sebagai numerus. Pertidaksamaan
logaritma dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
kemonotonan grafik fungsi logaritma. Perhatikan grafik fungsi
logaritma f(x) = alog x berikut.

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Berdasarkan kedua grafik tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.
a. Untuk a > 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton naik.

Artinya untuk setiap x1 dan x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika
f(x1) < f(x2).
b. Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton turun.

Artinya untuk setiap x1 dan x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika
f(x1) > f(x2).

Untuk a > 1:
a. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
b. Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
c. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
d. Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Untuk 0 < a < 1:
a. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
b. Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
c. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
d. Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0

Contoh Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut.
a. 2log (x – 3) + 2log (x – 2) = 1
b. 3log (x2 – 8) = 4log (x2 – 8)
c. xlog (2x2 – 7x + 6) = 2

2. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut.
a. xlog (4x – 5) > xlog (2x – 6)
b. (x – 1)log (3x + 1) ≤ (x – 1)log (2x – 1)

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab