RELASI DAN FUNGSI_merged

FUNGSI

1. RELASI

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan atau
hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A ke anggota-

anggota himpunan B. Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan

dengan tiga cara:

a. Diagram panah

b. Himpunan pasangan berurutan

c. Diagram cartecius

Contoh 1: himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, } dan himpunan B =
Diketahui

{becak, mobil, sepeda, motor, bemo} relasi yang menghubungkan

himpunan A ke himpunan B adalah “ banyak roda dari”. Tunjukkan relasi

tersebut dengan:

a. Diagram panah

b. Himpunan pasangan berurutan

c. Diagram cartecius

Jawab: b. y
a. “ banyak roda dari”

AB Becak
Mobil
1 • • Becak Sepeda
2 • •Mobil Motor
3 • •Sepeda
4 • •Motor
5 • •Bemo

Bemo

b. Himpunan pasangan 0 1 2 3 4

berurutan
{(2, sepeda), (2, motor),
(3, becak), (3, bemo), (4, mobil)}

2. FUNGSI
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah

suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat
satu anggota B. secara matematis:

1

f=A→B

x ⟼ f(x) = y

Contoh 2:

Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {2, 4, 6, 8, 10}

relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B adala “setengah

dari”. Tunjukkan relasi tersebut dengan:

a. Diagram panah

b. Himpunan pasangan berurutan

c. Diagram cartecius

Jawab:

a. “ setengah dari” b.

AB 8

1• •2 6
2• •4 4
3• •6 2
4• •8

• 10

01 23 4

c. Himpunan pasangan

berurutan
{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}
Dari penyelesaian pada contoh 2, di dapat pernyataan sebagai berikut:

 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} adalah domain (daerah asala atau daerah

definisi) fungsi.

 Himpunan B = {2, 4, 6, 8, 10} adalah kodomain (daerah kawan)

 {2, 4, 6, 8} adalah range (daerah hasil/daerah nilai) fungsi.

 2 adalah bayangan atau peta dari 1, 4 adalah bayangan atau peta dari

2, 6 adalah bayangan atau peta dari 3, dan 8 adalah bayangan atau

peta dari 4.

Contoh 3:

Suatu fungsi f dinotasikan dengan f: x ⟼ 2x − 3 . Jika diketahui

kodomainnya himpunan bilangan real dan daerah asalnya {−1, 0, 1, 2, 3}.

Tentukan:

a. Rumus fungsi c. Range

b. Himpunan pasangan berurutan d. Bayangan/peta dari 10

2

Jawab:

a. ( ) = 2 − 3
b. (−1) = −5

(0) = −3
(1) = −1
(2) = 1
(3) = 3

c. Range (−5, −3, −1, 1, 3)
d. ( ) = 2 − 3

(10) = 17

Latihan 1

1. Nyatakan relasi “ pangkat tiga dari” dari himpunan A =

{−2, −1, 0, 1, 2, 3} ke himpunan B =

{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dalam bentuk:

a. Diagram panah

b. Himpunan pasangan berurutan

c. Diagram cartecius

2. suatu fungsi f(x) dinotasikan dengan f: x ⟼ 5x − 8 dengan domain

6 ≤ x ≤ 11 dan kodomainnya himpunan bilangan real. Tentukan:

a. Rumus fungsi c. Range

b. Himpunan pasangan berurutan d. Bayangan/peta dari 5

B. FUNGSI LINEAR

1. Bentuk Umum Fungsi Linear

Fungsi linear mempunyai pangkat tertinggi satu. Fungsi ini

menetapkan setiap x ∈ R ke suatu bentuk ax + b, dengan a ≠ 0 a dan b

konstanta. Jika digambarkan grafik fungsi linear akan berupa garis lurus.

Contoh 4:

Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x − 2 dengan daerah asal {x| −

1 ≤ x ≤ 2, x ∈ R}

a. Buat table titik-titik yang memenuhi persamaan di atas

b. Gambarkan dalam diagram cartecius

c. Tentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

Jawab:
a. −1 0 1 2

= 4 − 2 −6 −2 2 6

3

b. y

6•
4
2•

-2 2 4 6
-2

-4
• -6

c. Titik potong dengan sumbu Titik potong dengan sumbu
= 0
= 0 = 4 − 2
= −2
= 4 − 2
1 (0, −2)

= 2
1
(2 , 0)

2. Gradient Persamaan Garis Lurus ( )

 Bila diketahui persamaan berbentuk y = mx + c maka gradiennya

adalah m

 Bila diketahui persamaan berbentuk ax + by + c = 0 atau ax + by =

−c maka gradiennya adalah
a

m = −b

 Bila diketahui persamaan melalui dua titik (x1, y1) atau (x2, y2) maka

gradiennya adalah y2 − y1
x2 − x1
m =

Contoh 5:

1. Tentukan gradient persamaan garis berikut:

a. y = 3x − 4 b. 2y = −5x + 6

Jawab:
a. = 3

Jadi, gradient y = 3x − 4 adalah 3

4

b. 5 + 2 − 6 = 0
5

= − = − 2
Jadi, gradient 2y = −5x + 6 adalah − 5

2

2. Tentukan gradient persamaan garis4 + 5 − 20 = 0
Jawab:

4
= − = − 5
Jadi, gradient 4 + 5 − 20 = 0 adalah − 4

5

3. Tentukan gradient garis yang melalui titik (−2, 3) dan (1, 6)

Jawab: y2 − y1
x2 − x1
m =

6−3
= 1 + 2
= 3

Latihan 2:

1. Buatlah grafik fungsi = 2 − 5 dengan daerah asal {x| − 2 ≤ x ≤

3, x ∈ R}

2. Tentukan gradient garis dengan persamaan:

a. = 5 − 4
3
b. = 6 + 4

c. 3 − 5 = −15

d. 3 + 4 − 24 = 0

3. Tentukan gradient garis yang melalui titik:

a. (−1, 3) dan (4, −2)

b. (−5, −1) dan ( −2, 4)

3. Menentukan Persamaan Garis Lurus

 Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dengan gradient m

y − y1 = m(x − x1)

 Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2)
y − y1 x − x1
y2 − y1 = x2 − x1

 Persamaan garis lurus yang melalui titik potong sumbu x (a, 0) dan

sumbu y (0, b)

bx + ay = ab

5

Contoh 6:

1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (−2,1) dengan

gradient −2

Jawab:
y − y1 = m(x − x1)
− 1 = −2( + 2)
− 1 = −2 − 4
2 + − 1 + 4 = 0
2 + + 3 = 0
Jadi, persamaan garis adalah 2 + + 3 = 0

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (−2, 3) dan (1, 4)

Jawab:
y − y1 x − x1
y2 − y1 = x2 − x1

− 3 + 2
4−3=1+2
− 3 + 2

1=3
3 − 9 = + 2
3 − − 9 − 2 = 0
3 − − 11 = 0
Jadi, persamaan garis 3 − − 11 = 0

3. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (−3, 0) dan (0, 4)
Jawab:

bx + ay = ab
4x − 3y = (−3)(4)
4x − 3y = −12
4 − 3 + 12 = 0
Jadi, persamaan garis 4 − 3 + 12 = 0

Latihan 3:
Tentukan persamaan garis
a. Melalui titik (−3, 8)dan bergradien 3
b. Melalui titik (−1, 4)dan bergradien 2
c. Melalui titik (−1, 3)dan (5, −3)

4. Kedudukan Dua Garis Lurus

 Dua garis saling berpotongan

Dua garis lurus misal garis k dan garis l saling berpotongan

6

apabila kedua gradient garis tersebut tidak sama, yaitu:

mk ≠ ml
Titik potong dapat ditentukan dengan cara eliminasi dan subtitusi.

Contoh 7:

Tentukan koordinat titik potong dari dua garis dengan persamaan 2x −

3y + 13 = 0 dan x + 2y = 4

Jawab:

2 − 3 = −13 + 2 = 4

+ 2 = 4 + 6 = 4
= −2
2 − 3 = −13

2 + 4 = 8 −
−7 = −21

= 3

Jadi, titik potong dua garis adalah (−2.3)

 Dua garis saling sejajar

Kedudukan dua garis lurus saling sejajar (∕∕) apabila terdapat

hubungan antara dua gradiennya yaitu:

m1 = m2
m1 gradien garis pertama dan m2 gradien garis kedua
Contoh 8:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2, −3) dan sejajar

dengan garis x − 2y + 3 = 0

Jawab:

−1 1
= − = −2 = 2
1
Karena garis sejajar (//) maka 1 = 2 = 2

y − y1 = m(x − x1)
1
+ 3 = 2 ( − 2)
1
+ 3 = 2 − 1
1
− 2 + 3 + 1 = 0
1
− 2 + 4 = 0
2 − + 8 = 0

Jadi, persamaan garis adalah 2 − + 8 = 0

7

 Dua garis tegak lurus

Kedudukan dua garis lurus saling tegak lurus (⊥) apabila terdapat

hubungan antara dua gradiennya yaitu:

m1 × m2 = −1

Contoh 9:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (−3, 5) dan tegak lurus

garis 6x − 3y − 10 = 0

−6
= − = −3 = 2
Karena garis tegak lurus (⊥) maka 1. 2 = −1

1
2 = − 2
y − y1 = m(x − x1)

1
y − 5 = − 2 (x + 3)

13
− 5 = − 2 − 2

13
+ 2 − 5 + 2 = 0
2 + − 10 + 3 = 0
2 + − 7 = 0
Jadi, persamaan garis adalah 2 + − 7 = 0

Latihan 4:
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis + 2 = 5

dengan garis 3 − + 13 = 0 dan sejajar garis 3 = 4 − 2
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis 3 − 2 +

19 = 0 dengan garis 3 + 4 = −14 dan tegak lurus garis 5 + 4 −
20 = 0

C. FUNGSI KUADRAT
1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
y = f(x) = ax2 + bx + c
Dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat
Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat pada sumbu koordinat
cartecius lambang f(x) dapat diganti dengan . Grafik fungsi kuadrat
( ) = 2 + + berbentuk parabola simetris.
2. Sifat-sifat Grafik Fungsi kuadrat

 Berdasarkan nilai a
(1) Jika > 0 (positif) maka grafik atau parabola terbuka ke atas

8

(2) Jika < 0 (negative) maka grafik atau parabola terbuka ke bawah
 Berdasarkan nilai diskriminan (D)
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat ( ) = 2 + + adalah:

= 2 − 4
(1) Jika > 0 grafik memotong sumbu di dua titik berbeda (Gambar a)
(2) Jika = 0 grafik menyinggung sumbu di ( = 0) di sebuah titik

(Gambar b)
(3) Jika < 0 grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu

(Gambar c)

3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkahnya:
(1) Menentukan titik potong dengan sumbu ( = 0)

2 + + = 0
(2) Menentukan titik potong dengan sumbu ( = 0)

Mensubtitusikan nilai = 0 ke dalam persamaan
(3) Menentukan sumbu simetri dan koordinat titik balik
 Persamaan sumbu simetri


= − 2 = − 4
 Koordinat titik puncak/ atau titik balik adalah
(− , − )

2 4

(4) Menentukan beberapa titik bantu lainnya ( jika diperlukan ). Ambil

9

sebarang nilai ∈ kemudian subtitusikan ke persamaan fungsi

kuadrat. Hubungkan titik-titik tersebut untuk mendapat grafik fungsi

kuadrat.

Contoh 10:

1. Gambarkan grafik fungsi kuadrat y = x2 − 4x − 5

Jawab:

1. = 2 − 4 − 5

= 1 = −4 = −5

Karena > 0 maka grafik akan terbuka ke atas

(1) Titik potong dengan sumbu ( = 0)

= 2 − 4 − 5

0 = 2 − 4 − 5

( + 1)( − 5) = 0

= −1 dan = 5

Jadi, titik potong dengan sumbu adalah titik (−1, 0) dan 5, 0)

(2) Titik potong dengan sumbu ( = 0)

= 2 − 4 − 5

= (0)2 − 4(0) − 5

= −5

Jadi, titik potong dengan sumbu adalah titik (0, −5)

(3) Sumbu simetri dan koordinat titik balik

− −(−4) 4
= 2 = 2(1) = 2 = 2

− − 2 − 4
= 4 = 4
− −((−4)2 − 4(1)(−5))
= 4 =
4(1)

− −(16 + 20)
= 4 =
4
− −(36)
= 4 = 4
−
= 4 = −9
Jadi, koordinat titik baliknya adalah (2, −9)

(4) Menentukan beberapa titik bantu misalkan = 1 maka

= 2 − 4 − 5

= (1)2 − 4(1) − 5

= −8

Jadi titik bantuny (1, −8)

Dari langkah di atas kita gambarkan ke dalam koordinat cartecius

10

2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat y = −x2 + 2x + 8

Jawab:

2. = − 2 + 2 + 8

= −1 = 2 = 8

Karena < 0 maka grafik akan terbuka ke atas

(1) Titik potong dengan sumbu ( = 0)

= − 2 + 2 + 8

0 = − 2 + 2 + 8

(− + 4)( + 2) = 0

= 4 dan = −2

Jadi, titik potong dengan sumbu adalah titik (4, 0) dan −2, 0)

(2) Titik potong dengan sumbu ( = 0)

= − 2 + 2 + 8
= (0)2 + 2(0) + 8

= 8

Jadi, titik potong dengan sumbu adalah titik (0, 8)

(3) Sumbu simetri dan koordinat titik balik

− −(2) −2
= 2 = 2(−1) = −2 = 1

− − 2 − 4
= 4 = 4
− −((2)2 − 4(−1)(8))
= 4 =
4(−1)

− −(4 + 32)
= 4 = −4

− (36)
= 4 = 4

−
= 4 = 9
Jadi, koordinat titik baliknya adalah (1, 9)

11

(4) Menentukan beberapa titik bantu misalkan = 0 maka
= − 2 + 2 + 8
= (0)2 + 2(0) + 8

= 8

Jadi titik bantuny (0, 8)

Dari langkah di atas kita gambarkan ke dalam koordinat cartecius

Latihan 5:

Sketsalah grafik fungsi kuadrat berikut ini:
a. ( ) = − 2 − 2 + 8
b. ( ) = 2 + 6 + 5

4. Menerapkan Fungsi Kuadrat

 Menentukan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c jika diketahui grafik

fungsi melalui tiga titik

Contoh 11:
Tentukan fungsi kuadrat melalui titik (1, −4)(0, −3) dan (4, 5)

Jawab: (0, −3) (4, 5)
Titik (1, −4) ↓↓ ↓↓

↓↓



12

( ) = 2 + +

Jika = 1
( ) = (1)2 + (1) + = −4

( ) = + + = −4 ⋯ (1)

Jika = 0
( ) = (0)2 + (0) + = −3

( ) = + + = −3 ⋯ (2)

Jika = 4
( ) = (4)2 + (4) + = 5

( ) = 16 + 4 + = 5 ⋯ (3)

Subtitusi (2) ke (1)

+ + = −4

+ − 3 = −4

+ = −1 ⋯ (4)

Subtitusi (2) ke (3)

16 + 4 + = 5

16 + 4 − 3 = 5

16 + 4 = 8 ⋯ (5)

Eliminasi (4) dan (5)

+ = −=18| × 1166|
16 + 4 ×

16 + 16 = −16

16 + 4 = 8 −
12 = −24
−24

12 = 12
2 = −2

Subtitusi = −2 ke (4)

+ = −1

− 2 = −1

+ = 1

Jadi, fungsi kuadratnya

( ) = 2 + +

( ) = 2 − 2 − 3

Jadi, fungsi kuadratnya adalah 2 − 2 − 3

 Menentukan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c jika diketahui dua
titik potong terhadap sumbu x dan satu titik lainnya dapat ditentukan
dengan rumus
f(x) = a(x − x1)(x − x2)

13

Contoh 12:

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik

A(1, 0) dan B(−3, 0) dan memotong sumbu y di titik (0, 3)

Jawab:

Fungsi kuadrat memotong sumbu di titik A(1, 0) dan B(-3, 0)

Fungsi kuadrat memotong sumbu di titik (0, 3)

( ) = ( − 1)( − 2)
Subtitusikan titik A(1, 0) dan B(-3, 0) ke ( )

Subtitusikan titik A 1, 1 2, 2ke ( )
( ) = ( − 1)( − (−3))

( ) = ( − 1)( + 3) ⋯ (1)

Subtitusi titik (0, 3) ke (1)

Subtitusi titik ,

( ) = ( − 1)( + 3)

( ) = (0 − 1)(0 + 3) = 3

( ) = (−1)(3) = 3

( ) = (1) − 3 = 3

( ) = (1) − 3 = 3
−3
( ) = (1) − 3 = −1

Subtitusi = −1 ke (1)

( ) = ( − 1)( + 3

( ) = −1( − 1)( + 3)

( ) = −1( 2 + 3 − − 3)

( ) = −1( 2 + 2 − 3)

( ) = −1( 2 + 3 − − 3)

( ) = − 2 − 2 + 3

Jadi, fungsi kuadratnya adalah − 2 − 2 + 3

 Menentukan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c jika diketahui titik

puncak grafik (xp, yp) dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan

rumus
f(x) = a(x − xp)2 + yp

Contoh 13:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (−1, 9) dan
melalui titik (3, −7)
Jawab:
Titik puncak (−1, 9) melalui titik (3, −7)
Titik puncak , melalui titik ,
( ) = ( − )2 +
Subtitusikan (−1, 9) ke ( )

14

( ) = ( − (−1))2 + 9

( ) = ( + 1)2 + 9 ⋯ (1)

Subtitusikan (3, −7) ke (1)

( ) = ( + 1)2 + 9

( ) = (3 + 1)2 + 9 = −7

( ) = (4)2 + 9 = −7

( ) = 16 + 9 = −7

( ) = 16 = −7 − 9

( ) = 16 = −16

( ) = 16 = −16
16
( ) = 16 = −1

Subtitusikan = 1 ke (1)
( ) = ( + 1)2 + 9

( ) = −1( + 1)2 + 9

( ) = −1( 2 + 2 + 1) + 9

( ) = −1( 2 + 2 + 1)+9
( ) = − 2 − 2 − 1 + 9

( ) = − 2 − 2 + 8

Jadi, fungsi kuadratnya adalah − 2 − 2 + 8

Latihan 6:
1. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui

a. Titik (1, −15)(0, −8) dan (−1, 5)
b. Titik (4, 5) dan titik puncaknya (−2, 1)
2. Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu di titik (6, 0) dan
(2, 0) dan memotong sumbu di titik (1, 5)

15