LOGIKA MATEMATIKA
1 LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN 1. Pengertian Logika Matematika Logika berasal dari kata yunani kuno logos yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. 2. Kalimat Berarti dan Kalimat Terbuka a. Kalimat Berarti Kalimat berarti dalam penggunaannya pada logika matematika terbagi menjadi dua, yaitu kalimat deklaratif atau pernyataan atau proporsi dan kalimat non deklaratif. Kalimat non deklaratif tidak digunakan, karena kalimat non deklaratif adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya, dan biasanya berupa kalimat perintah, kalimat tanya, kalimat harapan atau kalimat terbuka. Perhatikan kalimat non deklaratif berikut ini. Semoga Tuhan mengampuni dosa-dosa kita Berapakah jumlah SMK di Indonesia? Makanlah jika anda lapar! Sedangkan kalimat deklaratif (pernyataan) adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah saja, dan tidak keduanya pada saat yang sama. Nilai kebenaran kalimat disesuaikan dengan keadaan sebenarnya. Pernyataan dilambangkan dengan sebuah huruf kecil, misalnya p, q, r dan sebagainya. Penrnyataan yang benar memiliki nilai kebenaran benar (B) sedangkan pernyataan salah memiliki nilai kebenaran salah (S). Berikut adalah contoh pernyataan. a. : Semua bilangan prima adalah ganjil. (S) b. : Jumlah titik sudut pada suatu balok adalah 8. (B) c. : Lagu kebangsaan Indonesia raya diciptakan oleh Kusbini. (S) d. : Jumlah hari pada bulan mei adalah 31 hari. (B) e. : Jika 2 = 6 maka = 3. (B)
2 Kalimat b, d, dan e merupakan contoh pernyataan yang bernilai benar, sedangkan kalimat a dan c merupakan contoh pernyataan yang bernilai salah. b. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung peubah (variabel). Sehingga, jika peubah tersebut diganti dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan dihasilkan suatu pernyataan. Berikut adalah contoh kalimat terbuka. a. 5 − 10 = 15, ∈ b. 3 + 7 = , dan ∈ Perhatikan kalimat a, jika p diganti dengan 5 maka kalimat tersebut menjadi pernyataan 25 − 10 = 15, dan pernyataan ini bernilai benar. Tetapi jika p diganti dengan 3 maka akan terbentuk pernyataan 15 − 10 = 25 yang bernilai salah. Latihan 1 Tentukan apakah kalimat-kalimat berikut merupakan pernyataan benar atau pernyataan salah. 1. Dasar Negara Republik Indonesia adalah Pancasila. 2. Ada nilai untuk 4 − 3 = 9. 3. Jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga adalah 180°. 4. Setiap orang membutuhkan oksigen untuk bernafas. 5. Semua binatang berkaki empat adalah pemakan daging. 6. Seratus sebelas adalah bilangan prima. 7. Tidak benar 5 dikali 6 hasilnya 30. 8. Belah ketupat memiliki panjang diagonal yang sama. Tentukan variabel atau peubah dari kalimat terbuka berikut agar menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar! 1. adalah bilangan prima kurang dari 20. 2. 2 + 5 = −20 3. 2 + 3 − 10 = 0 B. INGKARAN, KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI 1. Ingkaran (Negasi) Ingkaran atau negasi digunakan untuk menyangkal suatu pernyataan. Ingkaran (negasi) suatu pernyataan adalah suatu
3 pernyataan baru yang dibentuk dari suatu pernyataan awal sehingga nilai kebenarannya berubah. Ingkaran pernyataan atau negasi dinyatakan dengan "~". Jika suatu pernyataan bernilai benar, maka ~ bernilai salah. Sebaliknya jika bernilai salah, maka ~ bernilai benar. Cara sederhana yang bisa dilakukan untuk mendapatkan ingkaran suatu pernyataan adalah menambah kata “bukan“ atau “tidak benar” pada kalimat. Perhatikan contoh berikut. : Kuala Lumpur ibukota Malaysia. (B) ~ : Kuala Lumpur bukan ibukota Malaysia. (S) atau ~ : Tidak benar Kuala Lumpur ibukota Malaysia. (S) : Hari senin tes kompetensi logika matematika. ~ : Hari senin ada tes kompetensi logika matematika. Berdasarkan definisi di atas, dapat dibuat tabel kebenaran untuk ingkaran (negasi) sebagai berikut. ~ B S S B Untuk menentukan ingkaran atau negasi yang efektif dari pernyataan yang bervariasi, kamu dapat menggunakan tabel berikut. Pernyataan Negasi/Ingkaran Semua . . . Ada/beberapa . . . tidak Ada/beberapa . . . Semua . . . tidak . . . Sama dengan (=) Tidak sama dengan (≠) Lebih dari(>) Kurang dari atau sama dengan (≤) Lebih dari atau sama dengan (≥) Kurang dari (<) Kurang dari (<) Lebih dari atau sama dengan (≥) Kurang dari atau sama dengan (≤) Lebih dari(>) Latihan 2 Buatlah negasi dari pernyataan berikut. 1. 1 + 1 = 2 2. Serang ibukota provinsi Banten. 3. Frida memakai kacamata. 4. 2 + 7 > 5 5. Semua ikan bernafas dengan insang. 6. Beberapa siswa tidak masuk karena sakit.
4 2. Peryataan Majemuk Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari penggandaan dari beberapa pernyataan tunggal dengan kata hubung kalimat tertentu, yaitu dan, atau, tetapi, jika, jika . . . maka . . ., . . . jika dan hanya jika . . ., dan lain-lain. Berikut beberapa contoh kalimat majemuk. a. Sepeda motor merupakan alat transportasi paling murah tetapi dapat membahayakan pengemudinya. b. Jika musim hujan maka di Jakarta terjadi banjir. Dalam pelajaran logika (matematika), kata hubung kalimat diterjemahkan sebagai kata hubung logika yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. a. Konjungsi Konjungsi dari pernyataan dan adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan dan dengan menggunakan kata penghubung “”. Konjungsi dilambangkan dengan " ∧ ". Jika dan dua pernyataan, maka ∧ ( dibaca dan ) Nilai kebenaran konjungsi pernyataan dan bergantung pada nilai kebenaran dan , yaitu selalu mengikuti ketentuan “ konjungsi ∧ bernilai benar jika dan keduanya bernilai benar, dalam hal lain bernilai salah”. Berikut adalah tabel nilai kebenaran konjungsi. ∧ B B B B S S S B S S S S Perhatikan contoh berikut. : Bulan April terdiri dari 30 hari. (B) : Musim hujan di Indonesia terjadi antara bulan Oktober hingga April. (B) ∧ : Bulan April terdiri dari 30 hari dan musim hujan di Indonesia terjadi antara bulan Oktober hingga April. (B)
5 : Persegi memiliki empat sisi. (B) : 2 + 3 = 6. (S) ∧ Persegi memiliki empat sisi dan 2 + 3 = 6. (S) Latihan 3 1. Diketahui pernyataan berikut. : Dyah menyukai matematika. : Dyah siswi kelas X SMK jaya. Tulis pernyataan majemuk yang dinotasika sebagai berikut. a. ∧ b. ~ ∧ c. ∧ ~ 2. Jika diketahui pernyataan bernilai benar dan bernilai salah, tentukan nilai kebenaran pernyataan ~( ∧ ). b. Disjungsi Disjungsi dari pernyataan dan adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan dan dengan menggunakan kata penghubung “atau”. Disjungsi dilambangkan dengan notasi " ∨ ". Jika p dan q dua pernyataan maka ∨ dibaca “ atau ”. Nilai kebenaran disjungsi dua pernyataan dan dapat dilihat pada tabel kebenaran berikut. ∨ B B B B S B S B B S S S Perhatikan contoh berikut. : 102 = 100. (B) : 3 adalah bilangan ganjil. (B) ∨ : 102 = 100 atau 3 adalah bilangan ganjil. (B) : Ada 7 hari dalam satu minggu. (B) : Jakarta adalah ibu kota Jawa Timur. (S) ∨ : Ada 7 hari dalam satu minggu atau jakarta adalah ibu kota Jawa Timur. (B) : 11 adalah bilangan genap. (S) : Ada 13 bulan dalam satu tahun. (S) ∨ : 11 adalah bilangan genap atau ada 13 bulan dalam satu tahun. (S)
6 Latihan 4 1. Diketahui pernyataan berikut. : Cuaca hari ini tidak cerah. : Andri lulus ujian. Tulis pernyataan majemuk yang dinotasika sebagai berikut. a. ∨ b. ~ ∨ c. ~ ∨ ~ 2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut. a. 3 3 = 27 atau 3 2 = 8. b. 11 adalah bilangan prima atau 10 adalah kelipatan 5. c. Sudut lancip kurang dari 90° atau 5 3 = 25. c. Implikasi Pernyataan majemuk “ jika , maka ” yang dibentuk dari pernyataan dan disebut implikasi dan ditulis ⟹ . Pernyataan ⟹ dapat dibaca. a. Jika , maka , b. berimplikasi , c. hanya jika , d. jika , atau e. asal saja . Tentu saja sebuah implikasi dapat bbernilai benar atau salah. Nilai kebenaran implikasi ⟹ dapat dilihat pada tabel kebenaran berikut. ⟹ B B B B S S S B B S S B Dari tabel di atas, dapat dikatakan nilai kebenaran implikasi dan adalah sebagai berikut : “implikasi ⟹ bernilai salah jika bernilai benar dan bernilai salah, dalam hal lain implikasi bernilai benar”. Perhatikan contoh berikut. : Indonesia negara maju. (S) : Semua penduduk Indonesia sejahtera. (S) ⟹ : Jika Indonesia negara maju, maka semua penduduk Indonesia sejahtera. (B)
7 : Ada binatang berkaki empat. (B) : Ayam berkaki empat. (S) ⟹ : Jika ada binatang berkaki empat, maka ayam berkaki empat. (S) : Ada bilangan prima yang genap. (B) : 2 merupakan bilangan prima. (B) ⟹ : Jika ada bilangan prima yang genap, maka 2 merupakan bilangan prima.(B) Latihan 5 1. Diketahui pernyataan berikut. : ABC segitiga siku-siku. : Besar salah satu sudutnya 90°. Tulis pernyataan majemuk yang dinotasika sebagai berikut. a. ⟹ b. ~ ⟹ c. ⟹ ~ 2. Diketahui pernyataan bernilai salah dan benar. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut. a. ⟹ b. ( ∧ ) ⟹ c. ~ ⟹ ~ d. (~ ∧ ) ⟹ 3. Biimplikasi Dalam logika matematika, pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan dengan kata hubung “ . . . jika dan hanya jika . . .” disebut biimplikasi. Biimplikasi yang dibentuk dari pernyataan p dan q ditulis ⟺ . Pernyataan ⟺ dapat dibaca P jika dan hanya jika q Nilai kebenaran pernyataan biimplikasi dapat dilihat pada tabel berikut. ⟺ B B B B S S S B S S S B Dari tabel di atas, dapat dikatakan: “ Biimplikasi ⟺ bernilai benar jika dan bernilai sama, dalam kasus lain biimplikasi bernilai salah. Perhatikan contoh berikut. : Manusia dapat hidup. (B)
8 : Ada oksigen. (B) ⟺ : Manusia dapat hidup jika dan hanya jika ada oksigen. (B) : Semua bilangan prima ganjil. (S) : 7 termasuk bilangan prima. (B) ⟺ : Semua bilangan prima ganjil jika dan hanya 7 termasuk bilangan prima 3. Negasi Pernyataan Majemuk a. Negasi Konjungsi Missal, pernyataan di atas ditulis dalam logika matematika. : Saya suka buah. : Saya tidak suka sayur. ∧ : Saya suka buah dan tidak suka sayur. Maka ~( ∧ ) : Saya tidak suka buah atau saya suka sayur. ≡ ~ ∨ ~ Pernyataan ~( ∧ ) ekuivalen dengan ~ ∨ ~ , jadi secara umum, negasi pernyataan ∧ adalah ~ ∨ ~, atau ditulis: ~( ∧ ) ≡ ~ ∨ ~ Kebenaran hasil di atas dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran berikut. ~ ~ ∧ ~( ∧ ) ~ ∨ ~ B B S S B S S B S S B S B B S B B S S B B S S B B S B B Perhatikan contoh berikut. Tentukan negasi dari pernyataan berikut. a. 2 + 3 = 5 dan 5 bilangan prima. b. Hendri mengkonsumsi vitamin dan berolahraga setiap hari. Jawab: a. 2 + 3 ≠ 5 atau 5 bukan bilangan prima. b. Hendri tidak mengkonsumsi vitamin atau tidak berolahraga setiap hari. b. Negasi Disjungsi
9 Perhataikan pernyataan berikut. : Rani pergi ke sekolah. : Rani bermain di rumah Ima. Maka, ∨ : Rani pergi ke sekolah atau bermain di rumah Ima. Secara umum, negasi pernyataan ( ∨ ) adalah ~ ∧ ~ , atau ditulis : ~( ∨ ) ≡ ~ ∧ ~ Kebenaran hasil di atas dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran berikut. ~ ~ ∨ ~( ∨ ) ~ ∧ ~ B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B Perhatikan contoh berikut. Tentukan negasi dari pernyataan berikut. a. Hari ini hujan atau angin bertiup kencang. b. Daerah rawan gempa di Indonesia adalah Jakarta atau Banda Aceh. Jawab: a. Hari ini tidak hujan dan angin tidak bertiup kencang. b. Daerah rawan gempa di Indonesia adalah bukan Jakarta dan Banda Aceh. c. Negasi Implikasi Perhataikan pernyataan berikut. : Matahari bersinar cerah. : Hari ini tidak hujan. Maka, ⟹ : Jika matahari bersinar cerah maka hari ini tidak hujan. Secara umum negasi pernyataan ⟹ adalah ∧ ~, atau ditulis: ~( ⟹ ) ≡ ∧ ~ Kebenaran hasil di atas dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran berikut.
10 ~ ⟹ ~( ⟹ ) ∧ ~ B B S B S S B S B S B B S B S B S S S S B B S S Perhatikan contoh berikut. Tentukan negasi dari pernyataan berikut. a. Jika 3 bilangan rasional, maka 3 dapat dibuat pecahan 6 2 . b. Jika efisiensi manajemen ditingkatkan, maka keuntungan perusahaan akan naik. Jawab: a. 3 bilangan rasional dan 3 tidak dapat dibuat pecahan 6 2 . b. Efisiensi manajemen ditingkatkan dan keuntungan perusahaan tidak naik. d. Negasi Biimplikasi Secara umum negasi dari pernyataan biimplikasi adalah sebagai berikut ~( ⟺ ) ≡ ~ ⟺ atau, ~( ⟺ ) ≡ ⟺ ~ Kebenaran hasil di atas dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran berikut. ~ ~ ⟺ ~( ⟺ ) ~ ⟺ ⟺ ~ B B S S B S S S B S S B S B B B S B B S S B B B S S B B B S S S Perhatikan contoh berikut. Tentukan negasi dari pernyataan berikut. a. Ujian dibatalkan jika dan hanya jika hari ini hujan. b. Suatu negara maju jika dan hanya jika terletak di benua Eropa. Jawab: a. Ujian dibatalkan jika dan hanya jika hari ini tidak hujan. Ujian tidak dibatalkan jika dan hanya jika hari ini hujan. b. Suatu negara maju jika dan hanya jika tidak terletak di benua Eropa.
11 Suatu negara tidak maju jika dan hanya jika terletak di benua Eropa. Latihan 6 Tuliskan negasi dari kalimat berikut. 1. Asti pergi berllibur dan berbelanja di supermarket. 2. Semua guru hadir atau ada siswa yang terlambat. 3. Melly tidak memakai jaket jika dan hanya jika udara panas. 4. Jika ibu pergi berbelanja, maka kami makan malam bersama. 5. Jika lapangan kerja diperluas, maka tidak ada pengangguran. 6. Jika semua orang menjaga lingkungan, maka pemanasan global tidak terjadi. C. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Dari suatu implikasi, misalnya ⟹ , dapat diperoleh implikasi lain yaitu sebagai berikut. Konvers dari “ ⟹ " adalah " ⟹ " dan berlaku sebaliknya. Invers dari “ ⟹ " adalah “~ ⟹ ~" dan berlaku sebaliknya. Kontraposisi dari “ ⟹ " adalah “ ~ ⟹ ~" dan berlaku sebaliknya. Perhatikan contoh berikut. Jika saya pergi ke dokter, maka saya sakit. Jawab: Konvers ( ⟹ ) jika saya sakit, maka saya pergi ke dokter. Invers (~ ⟹ ~) jika saya tidak pergi ke dokter, maka saya tidak sakit. Kontraposisi (~ ⟹ ~) jika saya tidak sakit, maka saya tidak pergi ke dokter. Latihan 7 Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi berikut. 1. Jika langit hitam, maka hujan akan turun. 2. Iwan akan diberi komisi 10% jika ia berhasil memperbaiki mesin penggiling padi. 3. Jika terjadi pemanasan global, maka cuaca di dunia tidak dapat diprediksi. 4. Jika semua siswa naik kelas, maka ada guru yang tidak senang. D. PENARIKAN KESIMPULAN
12 Kesimpulan dapat bernilai valid (sah) dan ada juga yang tidak valid (tidak sah) tergantung dari premis-premis penyusunnya. Kesimpulan atau konklusi dikatakan berlaku atau sah, bila konjungsi dari premispremis berimplikasi konklusi. Sebaliknya, bila konjungsi dari premispremis tidak berimplikasi, maka kesimpulan dikatakan tidak sah. Sehingga, suatu kesimpulan dikatakan sah bila premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar. 1. Modus Ponens Modus ponens adalah argumentasi atau penarikan kesimpulan yang disajikan dalam bentuk sebagai berikut. Premis 1 : ⟹ Premis 2 : Konklusi : Berikut beberapa penarikan kesimpulan dengan modus ponens. Premis 1 : Jika saya giat belajar maka saya lulus ujian. Premis 2 : Saya giat belajar Konklusi : Saya lulus ujian 2. Modus Tollens Modus tollens adalah argumentasi yang disajikan dalam bentuk sebagai berikut. Premis 1 : ⟹ Premis 2 : ~ Konklusi : ~ Berikut beberapa penarikan kesimpulan dengan modus ponens. Premis 1 : Jika musim kemarau datang, maka penduduk kekurangan air. Premis 2 : Penduduk tidak kekurangan air. Konklusi : Musim kemarau tidak datang. 3. Silogisme Silogisme adalah argumentasi yang disajikan dalam bentuk sebagai berikut. Premis 1 : ⟹
13 Premis 2 : ⟹ Konklusi : ⟹ Berikut beberapa penarikan kesimpulan dengan modus ponens. Premis 1 : Jika hari ini hari Minggu, maka ayah tidak bekerja. Premis 2 : Jika ayah tidak bekerja, maka kami pergi bersama. Konklusi : Jika hari ini hari Minggu, maka kami pergi bersama. Latihan 8 Premis 1 : Jika minyak tanah langka, maka harga naik. Premis 2 : Harga tidak naik. Konklusi : ……………………………………………………………………………. Premis 1 : Jika bilangan ganjil, maka 2 bilangan ganjil. Premis 2 : Jika 2 bilangan ganjil, maka 2 + 1 bilangan genap. Konklusi : ……………………………………………………………………………. Premis 1 : Jika harga naik, maka barang yang ditawarkan naik. Premis 2 : Barang yang ditawarkan tidak naik. Konklusi : ……………………………………………………………………………. Premis 1 : Jika angin bertiup kencang, maka ada pohon yang tumbang. Premis 2 : Semua pohon tidak ada yang tumbang. Konklusi : …………………………………………………………………………….