UKURAN PENYEBARAN DATA STATISTIKA PENDIDIKAN KELOMPOK 3 DESMIRA MAHARANI (2310246262) NURINA PUSPA DEWI (2310246266) ESSY PUSPITA RAHIM (2310246269) PUTRI AISYAH (2310246270) FITRI NOVRIYENI (2310246271) WIDYA SWASTO (2310246274) PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS RIAU 2023
UKURAN PENYEBARAN DATA 1 2 3 SIMPANGAN RATA-RATA VARIANS STANDAR DEVIASI 4 5 6 JANGKAUAN ANTAR KUARTIL SIMPANGAN KUARTIL JANGKAUAN Data Tunggal & Berkelompok Data Tunggal & Berkelompok Data Tunggal & Berkelompok Data Tunggal & Berkelompok Data Tunggal & Berkelompok Data Tunggal & Berkelompok
Jangkauan (Range) Data Tunggal dan Data Kelompok Jangkauan merupakan selisih antara data terbesar dengan data terkecil. 1 RUMUS = − Keterangan : J = jangkauan atau Range 1 = Nilai atau data terkecil = Nilai atau data terbesar Data Tunggal
Jangkauan (Range) Data Tunggal dan Data Kelompok Jangkauan merupakan selisih antara data terbesar dengan data terkecil. 1 RUMUS = − Keterangan : J = jangkauan atau Range = tepi atas kelas yang yang terakhir = tepi bawah kelas yang yang pertama Data kelompok
Contohsoal: Jangkauan antar Kuartil –Data Tunggal Contoh : Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Hitunglah jangkauan dari data tinggi badan tersebut ! Pertama, urutkan data terlebih dahulu 160, 165, 167, 169, 170, 170, 172, 173, 175, 180 Maka diperoleh jangkauan dari data tersebut adalah 20. Kemudian rentang dari data tersebut = – 1 = 180 – 160 = 20
Contoh soal: Jangkauan antar Kuartil –Data kelompok Berikutini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Tinggi Badan Frekuensi 151-155 2 156-160 4 161-165 4 166-170 5 171-175 3 176-180 2 Hitunglah jangkauan dari data tinggi badan tersebut!
PENYELESAIAN Range tinggi badan 20 orang mahasiswa dapat ditentukan dengan menggunakan Rumus, sehingga didapat = 180,5 – 150,5 = 30 Maka diperoleh jangkauan dari data tersebut adalah 30.
Jangkauan antar Kuartil Data Tunggal dan Data Kelompok Jangkauan antar kuartil merupakan selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. 2 RUMUS = − Keterangan : QR= jangkauan antar kuartil 3 = Quartil Atas 3 = Quartil Bawah Ukuran ini dihitung dengan cara menentukan beda antara kuartil ketiga dan kuartil pertama
Contohsoal: Jangkauan antar Kuartil –Data Tunggal Contoh : Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Hitunglah simpangan kuartil dari data tinggi badan tersebut ! Pertama, urutkan data terlebih dahulu 160, 165, 167, 169, 170, 170, 172, 173, 175, 180 banyak data = 10 Maka diperoleh jangkauan antar kuartil dari data tersebut adalah 8. Kemudian tentukan nilai (3) dan (1) = 165+ 167 2 = 166 = 173+175 2 = 174 Setelah memperoleh nilai 1 dan 3, maka dapat ditentukan nilai jangkauan antar kuartilnya, () = (₃ – ₁) = (174− 166) = 8
Contoh soal: Jangkauan antar Kuartil –Data kelompok Berikutini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Tinggi Badan Frekuensi 151-155 2 156-160 4 161-165 4 166-170 5 171-175 3 176-180 2 Hitunglah jangkauan antar kuartil dari data tinggi badan tersebut!
Ketahuilah terlebih dahulu rumus letak kuartil dan rumus Quartil pada data berkelompok, sebagai berikut Letak 1 = 1 4 Letak 2 = 2 4 Letak 3 = 3 4 Rumus Quartil = = 0 + 4 − , I = 1,2,3 PENYELESAIAN
Cari letak quartil 1 dan quartil 3 Letak 1 = 1 4 = 1(20) 4 = 5 Letak 3 = 3 4 = 3(20) 4 = 15 Untuk mengetahui secara mudah dimana letak Q1 dan Q3 berada maka kita tambahkan kolom Tinggi Badan Frekuensi Frekuensi Kumulatif 151-155 2 2 156-160 4 6 161-165 4 10 166-170 5 15 171-175 3 18 176-180 2 20 Jumlah 20 maka Q1 berada pada tinggi badan 156-160 Q3 berada pada tinggi badan 166- 170
• Nilai = + − Batas bawahkelas quartil = 156-0,5= 155,5 C = interval = 156- 160 = 156,157,158,159,160= 5 = = 2 = 4 , sehingga = , + − = , + = , + = ,
• Nilai 3= 0 + 4 − Batas bawah kelas quartil = 166-0,5 = 165,5 C = interval = 166- 170 = 166,167,168,169,170 = 5 3 4 = 15 = 10 = 5 , sehingga 3= 165,5+ 5 15 −10 5 3= 165,5+ 5 1 3= 165,5+ 5 = , • = 3 − 1 = 170,5 – 165,5 = 5 Jadi, jangkauan antar kuartilnya adalah 5
Simpangan Kuartil Data Tunggal dan Data Kelompok d = ½ ₃ – ₁ Dalam menentukan simpangan kuartil menggunakan rumus yang sama, namun untuk nilai 1 dan 3 , disesuaikan dengan jenis datanya, apakah data tunggal atau data kelompok 3
Contohsoal: Simpangan Kuartil –Data Tunggal Contoh : Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Hitunglah simpangan kuartil dari data tinggi badan tersebut ! Pertama, urutkan data terlebih dahulu 160, 165, 167, 169, 170, 170, 172, 173, 175, 180 banyak data = 10 Maka diperoleh simpangan kuartil dari data tersebut adalah 3. Kemudian tentukan nilai (3) dan (1) = .+ Letak 1 = (1 .10 + 2) 4 = 12 4 = 3, maka diperoleh nilai 1 = 167 Letak 3 = (3.10+2) 4 = 32 4 = 8, maka diperoleh nilai 3 = 173 Setelah memperoleh nilai 1 dan 3, maka dapat ditentukan nilai simpangan kuartilnya, () = ½ (₃ – ₁) = 1 2 (173− 167) = 1 2 (6) = 3
Contohsoal: Simpangan Kuartil –Data kelompok Berikutini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Tinggi Badan Frekuensi 151-155 2 156-160 4 161-165 4 166-170 5 171-175 3 176-180 2 Hitunglah simpangan kuartil dari data tinggi badan tersebut! Tinggi Badan Frekuensi Frekuensi Kumulatif 151-155 2 2 156-160 4 6 161-165 4 10 166-170 5 15 171-175 3 18 176-180 2 20 Jumlah 20
Contohsoal: Simpangan Kuartil –Data kelompok Tinggi Badan Frekuensi Frekuensi Kumulatif 151-155 2 2 156-160 4 6 161-165 4 10 166-170 5 15 171-175 3 18 176-180 2 20 Jumlah 20 Letak kuartil ke-1. = 4 () ↔ 1 = 1 4 (20) ↔ 1 = 5 kuartil tersebut berada di rentang berat badan 156-160 tepi bawah , 1 = 156 – 0,5 = 155,5 panjang data (interval) = 5 substitusikan nilai elemen-elemen yang diketahui pada persamaan berikut 1 = 1 + 4 − 1 = 155,5 + 5 1 4 (20) − 2 4 = 159,25 kuartil ke-1 dari data tinggi badan tersebut adalah 159,25.
Contohsoal: Simpangan Kuartil –Data kelompok Tinggi Badan Frekuensi Frekuensi Kumulatif 151-155 2 2 156-160 4 6 161-165 4 10 166-170 5 15 171-175 3 18 176-180 2 20 Jumlah 20 kuartil tersebut berada di rentang berat badan 166-170 tepi bawah 3 = 166 – 0,5 = 165,5 panjang data (interval) = 5 substitusikan nilai elemen-elemen yang diketahui pada persamaan berikut 3 = 3 + 4 − 3 = 165,5 + 5 3 4 (20) − 10 5 = 160,5 kuartil ke-3 dari data tinggi badan tersebut adalah 160,5. letak kuartil ke-3. = 4 () ↔ 3 = 3 4 (20) ↔ 3 = 15
Contohsoal: Simpangan Kuartil –Data kelompok Berikutini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Tinggi Badan Frekuensi 151-155 2 156-160 4 161-165 4 166-170 5 171-175 3 176-180 2 Hitunglah simpangan kuartil dari data tinggi badan tersebut! Sehingga kita peroleh simpangan kuartil dari data tersebut adalah = ½ (₃ – ₁) = 1 2 160,5 − 159,25 = 0,625
4 Simpangan Rata – Rata ( Mean Deviation ) Data Tunggal dan Data Berkelompok Simpangan rata-rata (mean deviation) adalah rata-rata jarak antara nilai-nilai data menuju rata-ratanya, disimbolkan dengan . Data Tunggal = 1 =1 − = = Dimana: = Banyak Data = Nilai data ke- = Rata - Rata
ContohSoal : Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Hitunglah simpangan kuartil dari data tinggi badan tersebut ! Data Tunggal Jawab: Pertama, hitung terlebih dahulu rata-ratanya = = = = = + + + + + + + + + = = , Selanjutnya hitung − Simpangan rata-ratanya, yaitu = = − = , = , Jadi simpangan rata-rata tinggi badan 10 orang siswa adalah 3,92.
Dimana: = Banyaknya KelasInterval = Frekuensi KelasInterval Ke - = Nilai Titik Tengah KelasInterval Ke- = Rata – Rata Data Berkelompok 4 Simpangan Rata – Rata ( Mean Deviation ) Data Tunggal dan Data Berkelompok Data Berkelompok = = − = = = =
ContohSoal : Data Berkelompok Berikut ini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Hitunglah simpangan rata-rata dari data tinggi badan tersebut! Jawab: Tentukan Nilai Tengah dan Hitung Rata – Rata ( ) Rata-rata dapat dihitung menggunakan rumus berikut. = =1 =1 = 3305 20 = 165,25 Dengan demikian rata-ratanya adalah 165,25.
Jawab: Data Berkelompok Hitung Simpangan Rata - Rata Simpangan rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus berikut. = = − = = = , Jadi simpangan rata-rata tinggi badan 20 mahasiswa tersebut adalah 6,25.
5 VARIANS
VARIANS DATA TUNGGAL VARIANS VARIANS DATA KELOMPOK VARIANS rata-rata hitung dari deviasi kuadrat setiap data terhadap ratarata hitungnya. Simbol: = .
2.UNTUK SAMPEL (n≤30) Ket: 2: varians : rata-rata i: bilangan asli(1,2,3,..) 2: varians : rata- rata : Data ke-i N : banyak data 2 = =1 ( − ) 2 − 1 2 = =1 ( − ) 2 1.UNTUK POPULASI (n>30) VARIANS DATA TUNGGAL
Contoh Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172,167,180,170,169,160,175,165,173,170 Hitunglah varians dari data tersebut! = 160 + 165 + 167 + 169 + 170 + 170 + 172 + 173 + 175 + 180 10 = 170,1 2 = =1 − 2 − 1 = 272,9 10− 1 = 30,32 1 3 2
2.UNTUK SAMPEL (n≤30) Ket: 2: varians 2: varians : rata- rata : Data ke-i : frekuensi 2 = =1 · ( − ) 2 =1 − 1 2 = =1 · − 2 =1 1.UNTUK POPULASI (n>30) VARIANS DATA KELOMPOK
Contoh Berikut ini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Tinggi Badan Frekuensi 151-155 2 156-160 4 161-165 4 166-170 5 171-175 3 176-180 2 Hitunglah varians dari data tinggi badan tersebut!
= . = 3305 20 = 165,25 2 = =1 · − 2 =1 = 1073,75 20 = 53,6875 2 3 1
6 Standar deviasi
DATA TUNGGAL Standar deviasi DATA KELOMPOK Standar Deviasi Standar deviasi atau simpangan baku adalah persebaran data pada suatu sampel untuk melihat seberapa jauh atau seberapa dekat nilai data dengan rata-ratanya. Simbol: S
2.UNTUK SAMPEL (n≤30) Ket: S : standar d : rata-rata i: bilangan asli(1,2,3,..) : rata- rata : Data ke-i N : banyak data = =1 − 2 − 1 1.UNTUK POPULASI (n>30) STANDAR DEVIASI DATA TUNGGAL = =1 − 2
Contoh Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172,167,180,170,169,160,175,165,173,170 Hitunglah standar deviasi dari data tersebut! = 160 + 165 + 167 + 169 + 170 + 170 + 172 + 173 + 175 + 180 10 = 170,1 Σ − 2 = 172 − 170,1 2 + 167− 170,1 2 + 180− 170,1 2 + 170 − 170,1 2 + 169− 170,1 2 + 160 − 170,1 2 + 175 − 170,1 2 + 165− 170,1 2 + 173 − 170,1 2 + 170 − 170,1 2 1 2 Σ − 2 = 1,9 2 + −3,1 2 + 9,9 2 + −0,1 2 + −1,1 2 + −10,1 2 + 4,9 2 + −5,1 2 + 2,9 2 + −0,1 2 Σ − 2 = 3,61 + 9,61 + 98,01 + 0,01 + 1,21 + 102,1 + 24,01 + 26,01 + 8,41 + 0,01 Σ − 2 = 272,9 3 = =1 − 2 − 1 = 272,9 10 − 1 = 30,33 = 5,507 4
2.UNTUK SAMPEL (n≤30) Ket: S : Standar deviasi : rata- rata : Data ke-i : frekuensi 1.UNTUK POPULASI (n>30) STANDAR DEVIASI DATA KELOMPOK = − ) 2 = − ) 2 − 1
Contoh Hitunglah standar deviasi dari data tinggi badan mahasiswa yang disajikan pada tabel dibawah ini ! Berat badan (Kg) Frekuensi 151-155 2 156-160 4 161-165 4 166-170 5 171-175 3 176-180 2
Penyelesaian Menghitung jumlah frekuensi : = 2 + 4 + 4 + 5 + 3 + 2 = 20 Menghitung jumlah nilai rata-rata : Berat badan (Kg) . 151 – 155 153 2 153 . 2 = 306 156 – 160 158 4 158 . 4 = 632 161 – 165 163 4 163 . 4 = 652 166 – 170 168 5 168 . 5 = 840 171 – 175 173 3 173 . 3 = 519 176 – 180 178 2 178 . 2 = 356 Jumlah 20 3305 Berdasarkan perhitungan diperoleh = 3305 Jadi, nilai rata-rata sebagai berikut : = = 3305 20 = 165,25 Menghitung nilai − , ( −
Penyelesaian Dari perhitungan diatas diperoleh ( − )^2 = 1073,75 Menghitung standar deviasi : = ( − ) 2 = 1.073,75 20 = 53,6875 = 7.3271