ความคล้าย

คณติ ศาสตร์
3ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

แผนผงั สาระการเรียนรู้
ความคลา้ ย

1. ความคลา้ ย
2. รูปสามเหล่ียมที่คลา้ ยกนั
3. สมบตั ิของรูปสามเหลี่ยมท่ีคลา้ ยกนั
4. การนาความรู้เก่ียวกบั ความคลา้ ยไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั ช้ีวดั

เขา้ ใจและใชส้ มบตั ิของรูปสามเหล่ียมที่คลา้ ยกนั ในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์และปัญหา
ในชีวติ จริง (ค 2.2 ม.3/1)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2

ความคล้าย

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

1. ความคล้าย

ในชีวติ ประจาวนั นกั เรียนจะไดเ้ ห็นสิ่งของบางอยา่ งที่มีความคลา้ ยคลึงกนั ซ่ึง
นกั เรียนสามารถที่จะระบุวา่ คลา้ ยคลึงหรือเหมือนกนั ท่ีจุดใด อยา่ งไร ดงั ตวั อยา่ งรูปตอ่ ไปน้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จากตวั อยา่ ง สิ่งท่ีนกั เรียนสังเกตเห็นจะมีจุดที่เหมือนกนั และจุดท่ีแตกต่างกนั โดย
สรุปได้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 1

ใหน้ กั เรียนพจิ ารณารูปเรขาคณิตต่อไปน้ี

สองรูปน้ีคลา้ ยกนั หรือไม่ (ใหน้ กั เรียนช่วยกนั อภิปรายวา่ คลา้ ยกนั หรือไม่คลา้ ยกนั อยา่ งไร)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 2

ใหน้ กั เรียนพิจารณารูปเรขาคณิตต่อไปน้ี

สองรูปน้ีคลา้ ยกนั หรือไม่ (ใหน้ กั เรียนช่วยกนั อภิปรายวา่ คลา้ ยกนั หรือไม่คลา้ ยกนั อยา่ งไร)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 3

ใหน้ กั เรียนพิจารณารูปเรขาคณิตต่อไปน้ี

สองรูปน้ีคลา้ ยกนั หรือไม่ (ใหน้ กั เรียนช่วยกนั อภิปรายวา่ คลา้ ยกนั หรือไม่คลา้ ยกนั อยา่ งไร)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 4

ใหน้ กั เรียนพจิ ารณารูปเรขาคณิตต่อไปน้ี

สองรูปน้ีคลา้ ยกนั หรือไม่ (ใหน้ กั เรียนช่วยกนั อภิปรายวา่ คลา้ ยกนั หรือไม่คลา้ ยกนั อยา่ งไร)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 5

ใหน้ กั เรียนพจิ ารณารูปเรขาคณิตต่อไปน้ี

สองรูปน้ีคลา้ ยกนั หรือไม่ (ใหน้ กั เรียนช่วยกนั อภิปรายวา่ คลา้ ยกนั หรือไม่คลา้ ยกนั อยา่ งไร)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2. รูปสามเหลยี่ มที่คล้ายกนั

พจิ ารณารูปสามเหล่ียมที่คลา้ ยเป็นเช่นใดจากตวั อยา่ งดงั ต่อไปน้ี

ใหน้ กั เรียนพจิ ารณามุมของ ABC และ XYZ แบบมุมตอ่ มุมท้งั สามมุม
จะพบวา่ ABC = XYZ เป็นมุมฉาก เช่นกนั

BAC = YXZ เท่ากบั 25 เช่นกนั
ACB = XZY เท่ากบั 65 เช่นกนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จาก ABC และ XYZ มีขนาดของมุมท่ีเท่ากนั สามคู่
เราจะเรียกวา่ รูปสามเหลย่ี มทคี่ ล้ายกนั หรือรูปสามเหลย่ี มคล้าย
ABC กบั XYZ มีขนาดของมุมท่ีเท่ากนั สามคู่
แสดงวา่ ABC คลา้ ยกบั XYZ
โดยเขียนในรูปสญั ลกั ษณ์ไดว้ า่ ABC ~ XYZ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

การสมนัยกนั ของรูปสามเหลยี่ มคล้าย

รูปสามเหล่ียมคลา้ ยจะพิจารณาการสมนยั กนั ที่มุมและดา้ น
มุมทส่ี มนัยกนั ของรูปสามเหลย่ี มคล้าย กาหนดให้ ABC ~XYZ ดงั รูป

จากรูป ABC และ XYZ มีขนาดของมุมท่ีเท่ากนั สามคู่ ดงั น้ี
ABC = XYZ เท่ากบั 72° เรียก ABC และ XYZ เป็นมุมที่สมนยั กนั
BAC = YXZ เท่ากบั 65° เรียก BAC และ YXZ เป็นมุมที่สมนยั กนั
ACB = XZY เท่ากบั 43° เรียก ACB และ XZY เป็นมุมที่สมนยั กนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

การเขียนสัญลกั ษณ์ของรูปสามเหลี่ยมคลา้ ยจะเรียงลาดบั ของมุมที่สมนยั กนั
ในตาแหน่งเดียวกนั หรือมุมที่เท่ากนั ในตาแหน่งเดียวกนั เช่น ABC ~ XYZ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ด้านทสี่ มนัยกนั ของรูปสามเหลย่ี มคล้าย
กาหนดให้ IJK ~ PQR

จากรูป IJK และ PQR มีดา้ นท่ีสมนยั กนั สามคู่ ดงั น้ี
IK สมนยั กบั PR เพราะเป็นดา้ นท่ีอยตู่ รงขา้ มมุมของมุมท่ีสมนยั กนั คือ มุม 90° ท้งั คู่
JK สมนยั กบั QR เพราะเป็นดา้ นที่อยตู่ รงขา้ มมุมของมุมท่ีสมนยั กนั คือ มุม 30° ท้งั คู่
IJ สมนยั กบั PQ เพราะเป็นดา้ นท่ีอยตู่ รงขา้ มมุมของมุมท่ีสมนยั กนั คือ มุม 60° ท้งั คู่

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 1

พจิ ารณารูปสามเหล่ียมที่กาหนด วา่ เป็นรูปสามเหล่ียมคลา้ ยกนั หรือไม่ ถา้ เป็นรูปสามเหลี่ยม
คลา้ ยกนั ใหห้ ามุมท่ีสมนยั กนั และดา้ นที่สมนยั กนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

1) วธิ ีทา ตรวจสอบวา่ ABC = DEF หรือไม่

DEF มีมุมภายในรูปสามเหล่ียม
รวมกนั ได้ 180°

จะได้ DEF = 180°– (45° + 67°)

= 180°– 112°

จะเห็นวา่ ABC และ DEF มีมุมเท่ากนั สามคู่ คือ = 68°

ABC = DEF มีขนาดเท่ากบั 68° เท่ากนั เป็นมุมที่สมนยั กนั

BCA = EFD มีขนาดเท่ากบั 67° เท่ากนั เป็นมุมที่สมนยั กนั

CAB = FDE มีขนาดเท่ากบั 45° เท่ากนั เป็นมุมที่สมนยั กนั

และมีดา้ นท่ีสมนยั กนั คือ AB สมนยั กบั DE, BC สมนยั กบั EF และAC สมนยั กบั DF
ดงั น้นั ABC ~ DEF

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2) วธิ ีทา

GHI มุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกนั ได้ 180°

จะได้ GHI = 180°– (40°+ 50°)
= 180°– 90°
= 90°

JKL มุมภายในรูปสามเหล่ียมรวมกนั ได้ 180°

จะได้ JKL = 180°– (40°+ 90°)
= 180°– 130°
= 50°

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จะเห็นวา่ GHI และ JKL มีมุมเท่ากนั สามคู่ คือ

GHI = JKL มีขนาดเท่ากบั 50° เท่ากนั เป็นมุมท่ีสมนยั กนั
HIG = KLJ มีขนาดเท่ากบั 90° เท่ากนั เป็นมุมท่ีสมนยั กนั
IGH = LJK มีขนาดเท่ากบั 40° เท่ากนั เป็นมุมท่ีสมนยั กนั
และมีดา้ นท่ีสมนยั กนั คือ GH สมนยั กบั JK, HI สมนยั กบั KL และGI สมนยั กบั JL
ดงั น้นั GHI ~ JKL

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

3) วธิ ีทา

จะเห็นวา่ MNO ~ POR เนื่องจากมีมุมที่เท่ากนั สามคู่ตามท่ีกาหนด
และมีมุมที่สมนยั กนั คือ NOM สมนยั กบั QRP, MNO สมนยั กบั PQR
และ OMN สมนยั กบั RPQ
และมีดา้ นท่ีสมนยั กนั คือ MN สมนยั กบั PQ,NO สมนยั กบั QR และ MO สมนยั กบั PR

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างท่ี 2

จากรูปที่กาหนด BCA = BED
พิจารณาวา่ ABC กบั DBE

คลา้ ยกนั หรือไม่ าคลา้ ยกนั มีดา้ นใดท่ีสมนยั กนั

วธิ ีทา

พจิ ารณา ABC และ DBE
BCA = BED (กาหนดให)้
ABC = DBE (มุมร่วม)

BAC = BDE (ขนาดของมุมภายในท้งั สามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกนั
เท่ากบั 180° เม่ือมุมสองคู่มีขนาดเท่ากนั มุมคู่ท่ีเหลือจึงมีขนาดเท่ากนั )

ดงั น้นั ABC ~ DBE
มีดา้ นท่ีสมนยั กนั คือ AB สมนยั กบั DB,BC สมนยั กบั BE และ AC สมนยั กบั DE

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างท่ี 3

พจิ ารณาวา่ ABC และ DEF
คลา้ ยกนั หรือไม่ เพราะเหตุใด

วธิ ีทา

พิจารณา ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหนา้ จวั่ เนื่องจากมีดา้ นเท่ากนั สองดา้ น

จะไดว้ า่ ACB^C = 50 เป็นมุมยอดของ ABC (กาหนดให)้
BAC = BCA เป็นมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั

BAC = BCA
180°– 50°
= 2

= 65°

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

และ DEF เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่ เน่ืองจากมีดา้ นเท่ากนั สองดา้ น
จะไดว้ า่ EDF = 65° เป็นมุมท่ีฐานของรูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่ (กาหนดให)้

EFD = 65° เป็นมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั จะตอ้ งเท่ากนั
DEF = 50° ขนาดของมุมภายในท้งั สามมุมของรูปสามเหล่ียมรวมกนั

เท่ากบั 180°

ดงั น้นั ABC ~ DEF เพราะมีมุมที่เท่ากนั สามคู

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

กจิ กรรมชวนคดิ

จากรูปท่ีกาหนด ประกอบดว้ ย รูปสามเหล่ียมและรูปสี่เหล่ียม ตวั เลขที่ระบุท่ีมุม
แสดงวา่ มุมน้นั ๆ มีขนาดเท่ากนั จะเป็นตวั เลขเดียวกนั A, B, C, D, E, F, G, H และ I
เป็นช่ือของรูปสามเหล่ียมแตล่ ะรูป ใหน้ กั เรียนหารูปสามเหลี่ยมท่ีคลา้ ยกนั มีดว้ ยกนั
ท้งั หมดกี่คู

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

3. สมบัติของรูปสามเหลยี่ มคล้ายกนั

พจิ ารณารูปสามเหล่ียมสองรูปที่เป็นรูปสามเหล่ียมคลา้ ยกนั ดงั รูปต่อไปน้ี

จาก ABC ~ PQR จะมีดา้ นท่ีสมนยั กนั สามคู่ คือ
AB สมนยั กบั PQ เพราะตรงขา้ มกบั มุม y ท่ีขนาดเท่ากนั
BC สมนยั กบั QR เพราะตรงขา้ มกบั มุม z ที่ขนาดเท่ากนั
AC สมนยั กบั PR เพราะตรงขา้ มกบั มุม x ท่ีขนาดเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ถา้ นาความยาวของดา้ นท่ีสมนยั กนั มาหาอตั ราส่วน จะไดด้ งั น้ี

AB = 4 = 1
PQ 8 2
BC 3 1
QR = 6 = 2

AC = 6 = 1
PR 12 2

จะพบวา่ อตั ราส่วนของความยาวดา้ นท่ีสมนยั กนั จะมีคา่ เท่ากนั

AB = AC = BC = 1
PQ PR QR 2

จะไดว้ า่ รูปสามเหลี่ยมคลา้ ยกนั สองรูป อตั ราส่วนของความยาวด้านท่ีสมนัยกนั จะเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

สมบัตขิ องรูปสามเหลยี่ มคล้ายกนั
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คลา้ ยกนั จะมีสมบตั ิ ดงั น้ี
• มุมท่ีสมนยั กนั มีขนาดเท่ากนั สามคู่

• ดา้ นท่ีสมนยั กนั จะมีดว้ ยกนั สามคู่

• อตั ราส่วนของดา้ นท่ีสมนยั กนั จะเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 1

กาหนดให้ ABC ~ ADE มีความยาวดา้ น ดงั รูป หาความยาวของ AD และ AE

วธิ ีทา ABC ~ ADE

ดงั น้นั AB = BC = AC
AD = DE AE
AB BC
จะได้ AD DE

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

แทนคา่ AB = 2.5 เซนติเมตร BC = 3 เซนติเมตร และ DE = 6 เซนติเมตร

2.5 = 3
AD 6
2.5 × 6
AD = 3

AD = 5 เซนติเมตร

จะได้ BC = AC
DE AE

แทนคา่ BC = 3 เซนติเมตร DE = 6 เซนติเมตร และ AC = 4.5 เซนติเมตร

3 = 4.5
6 AE
4.5 × 6
AE = 3

AE = 9 เซนติเมตร

ดงั น้นั AD ยาว 5 เซนติเมตร และ AE ยาว 9 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 2

กาหนดให้ ABC ~ CDE มีความยาวดา้ น ดงั รูป หาความยาวของ DE

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

วธิ ีทา ABC ~ CDE

ดงั น้นั CD = CE = DE
AB = AC BC
CD DE
จะได้ AB BC

แทนค่า CD = 9 เซนติเมตร AB = 16 เซนติเมตร และ BC = 32 เซนติเมตร

9 = DE
16 32
9 × 32
DE = 16

DE = 18 เซนติเมตร

ดงั น้นั DE ยาว 18 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างท่ี 3

กาหนดให้ ABC ~ DEF ซ่ึงรูปสามเหล่ียมท้งั สองเป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า
โดย ABC มีความยาวดา้ นเท่ากบั 3 เซนติเมตร และอตั ราส่วนความยาวดา้ นของรูป
สามเหล่ียมที่คลา้ ยกนั เป็น 0.6 อยากทราบวา่ ความยาวดา้ นของ DEF เป็นเท่าไร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

วธิ ีทา ABC ~ DEF

ดงั น้นั AB = BC = AC
DE EF DF
AB
จะได้ DE = 0.6 (กาหนดใหอ้ ตั ราส่วนเป็น 0.6 แสดงวา่

จะตอ้ งนาดา้ นของรูปสามเหลี่ยมท่ี

เลก็ กวา่ เป็นตวั เศษเพราะอตั ราส่วน

3 = 0.6 เป็นทศนิยมไม่เกิน 1)
DE
DE = 3
0.6
DE = 5 เซนติเมตร

ดงั น้นั ความยาวดา้ นของ DEF เท่ากบั 5 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างท่ี 4

จากรูปท่ีกาหนด หาความยาวดา้ น PS ซ่ึงยาว m หน่วย

วธิ ีทา เนื่องจาก STR = QPR (กาหนดให)้
SRT = PRQ (มุมร่วม)
PQR = TSR (ขนาดของมุมภายในสามเหลี่ยมรวมกนั เท่ากบั 180°)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ดงั น้นั STR ~ QPR

จะได้ ST = TR = RS
PQ PR RQ
TR RS
พิจารณา PR = RQ

5 = 3
(m + 3) (5 + 2)

5(5 + 2) = 3(m +3)

35 = 3m + 9
35 – 9
3 = m

m ≈ 8.67

ดงั น้นั ดา้ น PS ยาวประมาณ 8.67 หน่วย

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

4. การนาความรู้เกย่ี วกบั ความคล้ายไปใช้ในการแก้ปัญหา

จากที่นกั เรียนทราบสมบตั ิของรูปสามเหลี่ยมคลา้ ยแลว้ นกั เรียนสามารถนา
สมบตั ิของรูปสามเหลี่ยมคลา้ ยมาแกป้ ัญหาที่สอดคลอ้ งในทางคณิตศาสตร์ โดยที่นกั เรียน
ทราบแลว้ วา่ รูปสามเหล่ียมคลา้ ยจะตอ้ งมีมุมขนาดเท่ากนั สามคู่ และอตั ราส่วนของความ
ยาวดา้ นคู่ที่สมนยั กนั เท่ากนั สามารถนาความรู้ไปใชใ้ นการคานวณหาความยาวดา้ นของ
รูปสามเหลี่ยมคลา้ ยกนั ได้ สามารถประยกุ ตใ์ ช้ ในการหาระยะท่ีมีความยาวมาก ๆ หรือ
ระยะทางที่ใชเ้ คร่ืองมือวดั ไดย้ าก เช่น ความสูงของอาคาร ตน้ ไม้ ภูเขา ความกวา้ งของแม่น้า
เม่ือกาหนดเงื่อนไขท่ีเหมาะสม ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างท่ี 1

พ้นื ทางลาดชนั ยาว 5 เมตร ไปถึงหนา้ อาคารท่ีมีความสูง 3 เมตร ดงั รูป ถา้ มีนกั เรียนคนหน่ึง
เดินข้ึนบนทางลาดชนั มาได้ 2 เมตร จุดท่ีนกั เรียนคนน้ียนื จะมีความสูงจากพ้ืนราบก่ีเมตร

วธิ ีทา ให้ AC แทนความยาวของทางลาดชนั 5 เมตร

BC แทนความสูงของหนา้ อาคาร 3 เมตร

AE แทนระยะทางท่ีเดินข้ึนทางลาดชนั 2 เมตร
DE แทนความสูงของจุดท่ียนื บนทางลาดชนั จากพ้ืนราบ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

พิจารณา ABC และ ADE

ABC = ADE มีขนาดของมุมเท่ากบั 90° เพราะต้งั ฉากกบั พ้นื
BAC = DAE เป็นมุมร่วม

180° ABC – BAC = 180° ADE – DAE มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมเท่ากนั

ดงั น้นั ABC ~ ADE มีมุมเท่ากนั สามคู่ มุมต่อมุม

แสดงวา่ AE = DE = AD
AC BC AB
AE DE
จะได้ AC = BC

2 = DE
5 3
2×3
DE = 5

DE = 1.2 เมตร

ดงั น้นั จุดท่ีนกั เรียนคนน้ียนื จะมีความสูงจากพ้ืนราบ 1.2 เมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 2

ปกรณ์ตอ้ งการหาความสูงของยอดเจดีย์ จึงนาไมร้ ูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ท่ีมีดา้ นประกอบ

มุมฉาก AB = 40 เซนติเมตร และ BC = 30 เซนติเมตร โดยใหด้ า้ น AB ขนานกบั พ้ืนดินและ
นารูปสามเหลี่ยม ABC มาเลง็ ท่ียอดเจดีย์ ณ จุดที่ห่างจากจุดก่ึงกลางของฐานเจดีย์ 50 เมตร

ถา้ ระดบั สายตาของปกรณ์อยสู่ ูงจากพ้ืนดิน 1.5 เมตร อยากทราบวา่ เจดียส์ ูงเท่าไร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

วธิ ีทา

ให้ AB แทนความยาวดา้ นของไมร้ ูปสามเหล่ียมมุมฉากยาว 40 เซนติเมตร
BC แทนความสูงดา้ นของไมร้ ูปสามเหลี่ยมมุมฉากยาว 30 เซนติเมตร
AD แทนระยะทางจากจุดท่ีเลง็ ถึงจุดก่ึงกลางของฐานเจดีย์ 50 เมตร
DE แทนความสูงของเจดียถ์ ึงระดบั สายตาของปกรณ์

พจิ ารณา ABC และ ADE

ABC = ADE มีขนาดของมุมเท่ากบั 90° เพราะต้งั ฉากกบั พ้นื
BAC = DAE เป็นมุมร่วม
180° ABC – BAC = 180° ADE – DAE มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมเท่ากนั

ดงั น้นั ABC ~ ADE มีมุมเท่ากนั สามคู่ มุมต่อมุม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

แสดงวา่ AE = DE = AD
AC BC AB
DE AD
จะได้ BC = AB

DE = 50
0.3 0.4
50 × 0.3
DE = 0.4

DE = 37.5 เมตร

แต่ระดบั สายตาของปกรณ์อยหู่ ่างจากพ้นื 1.5 เมตร

ดงั น้นั เจดียส์ ูงจากพ้นื ฐานถึงยอดเจดีย์ คือ 1.5 + 37.5 = 39 เมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 3

ความสูงจากพ้ืนดินถึงระดบั สายตาของสมชายสูง 1.5 เมตร ยนื มองเห็นยอดไมแ้ ละยอดตึก
อยใู่ นแนวเดียวกนั ถา้ ตน้ ไมอ้ ยหู่ ่างจากตึก 20 เมตร และเงาของเขายาว 2 เมตร อยากทราบวา่

ตึกหลงั น้ีสูงกวา่ ตน้ ไมเ้ ท่าไร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

วธิ ีทา

จากรูป จุด B จุด E จุด F และจุด C อยใู่ นแนวเดียวกนั

พจิ ารณา BDE และ FGC

BDE = FGC มีขนาดเท่ากบั 90°
DEB = GCF (มุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของ

เส้นตดั จากเส้นขนาน AB กบั GF มีขนาดเท่ากนั )

EBD = CFG (เป็นมุมท่ีเหลือของรูปสามเหล่ียมยอ่ มเท่ากนั เน่ืองจาก
ขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกนั ได้ 180°)

ดงั น้นั BDE ~ FGC มีมุมเท่ากนั สามคู่ มุมต่อมุม

แสดงวา่ BD = DE = EB
FG GC CF
BD DE
จะได้ FG = GC

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

แทนคา่ FG = 1.5 เมตร DE = 20 เมตร และ GC = 2 เมตร

จะได้ BD = 20
1.5 2
20 × 1.5
BD = 2

BD = 15 เมตร

ดงั น้นั BD ยาว 15 เมตร
นนั่ คือ ตึกสูงกวา่ ตน้ ไม้ 15 เมตร