Oleh: Elvi Hidayanti, S. Pd. Gr BAHAN AJAR
PELUANG Identitas Mata Pelajaran : MATEMATIKA Satuan Pendidikan : SMA Kelas/Semester : X / Genap Kompetensi Dasar (KD) 1. Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk (peluang kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak. 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian majemuk (peluang, kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat).
Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) 1. Mendefinisikan konsep ruang sampel dari suatu percobaan acak. 2. Menyusun ruang sampel dengan cara diagram pohon, mendaftar anggotanya, dan tabel dari suatu percobaan acak. 3. Menentukan ruang sampel dari suatu percobaan acak. 4. Menentukan titik sampel dari suatu percobaan acak. 5. Menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan ruang sampel dari suatu percobaan acak. 6. Menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan titik sampel dari suatu percobaan acak. Tujuan Pembelajaran Melalui model PBL dengan bantuan LKPD, peserta didik dapat: 1. Mendefinisikan konsep ruang sampel dari suatu percobaan acak dengan tepat. 2. Menentukan ruang sampel dari suatu percobaan acak dengan tepat. 3. Menyusun ruang sampel dengan cara diagram pohon, mendaftar anggotanya, dan tabel dari suatu percobaan acak dengan tepat. 4. Menentukan titik sampel dari suatu percobaan acak. 5. Menyelesaikan soal dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan ruang sampel dari suatu percobaan acak dengan tepat. 6. Menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan titik sampel dari suatu percobaan acak.
Peluang Definisi Peluang Ruang Sampel Ruang Sampel Peluang Suatu Kejadian Kejadian Tunggal Komplemen Kejadian Majemuk Saling Lepas Saling Bebas Bersyarat Frekuensi Harapan
Apa yang dimaksud dengan ruang sampel dan titik sampel? Untuk mengetahui apa itu ruang sampel dan titik sampel coba kalian amati masalah 1 dibawah ini. Permasalahan 1 Dari Surabaya ke Madiun dapat dilalui jika terlebih dahulu melewati Mojokerto. Jika dari Surabaya ke Mojokerto terdapat 3 jenis alat transportasi, sedangkan dari Mojokerto ke Madiun terdapat 2 jenis alat transportasi, maka ada berapa banyak pilihan transportasi untuk pergi dari Surabaya ke Madiun melewati Mojokerto? Setiap pilihan alat transportasidari Surabaya ke Madiun dapat disajikan dengan: A. Mendaftar anggotanya Dengan mendaftar anggotanya, diperoleh: {(A,D), (A, E), (B,D), (B, E), (C,D), (C, E)} B. Diagram Pohon D A, D A E A, E D B, D B E B, E D C, D C E C, E C. Tabel Dengan menggunakan Tabel diperoleh: A B C D A, D B, D C, D E A, E B, E C, E Surabaya Mojokerto Madiun A B C D E Surabaya ke Mojokerto Mojokerto ke Madiun Surabaya ke Madiun Surabaya ke Mojokerto Mojokerto ke Madiun
Permasalahan 1 Akan diadakan pemilihan ketua dan wakil ketua kelas. Tiga orang yang akan dipilih adalah James, Kevin, dan Linot. Ada berapa kemungkinan terpilihnya ketua dan wakil ketua tersebut? Tuliskan ruang sampel dan titik sampelnya. Untuk menentukan ruang sampel dari masalah tersebut dapat dilakukan dengan cara: A. Mendaftar anggotanya Dengan mendaftar anggotanya, diperoleh: {(James,Kevin), (James, Linot), (Kevin, Linot), (Kevin, James), (Linot,Kevin), (Linot, James)} B. Diagram Pohon Kevin James, Kevin James Linot James, Linot James Kevin, James Kevin Linot Kevin, Linot James Linot, James Linot Kevin Linot, Kevin C. Tabel Dengan menggunakan Tabel diperoleh: James Kevin Linot James James, Kevin James, Linot Kevin Kevin, James Kevin, Linot Linot Linot, James Linot, Kevin Ketua Wakil Ketua Ketua Wakil Ketua
Setelah mengamati beberapa masalah diatas, simak beberapa pengertian berikut. A. Percobaan Percobaan adalah suatu kegiatan untuk memperoleh hasil tertentu. Percobaan disebut juga dengan eksperimen atau kejadian. Contoh percobaan atau kejadian antara lain kejadian melambugkan dadu, kejadian melambugkan uang koin, kejadian mengambil kartu secara acak dari tumpukan kartu, dan lain-lain. B. Ruang Sampel Ruang Sampel adalah semua kemungkinan yang mungkin terjadi dari suatu percobaan atau kejadian. Ruang sampel juga biasa disebut dengan semesta dan disimbolkan dengan S. Ruang sampel berisi seluruh titik sampel yang ada, atau semua kemungkinan yang dapat muncul pada suatu percobaan. C. Titik Sampel Titik Sampel adalah hasil yang mungkin terjadi dari suatu kejadian. Titik sampel juga bisa disebut sebagai adalah himpunan bagian dari ruang sampel. D. Cara Menyusun Anggota Ruang Sampel Untuk menyusun anggota ruang sampel, terdapat tig acara, antara lain: 1. Mendaftar setiap anggotanya Cara pertama adalah menyusun anggota ruang sampel dengan mendaftar seluruh anggota ruang sampel secara berurutan. Cara ini bisa dipilih ketika anggota ruang sampelnya tidak terlalu banyak. Contohnya, kejadian melambungkan dua buah koin sekaligus, maka ruang sampel dari kegiatan tersebut adalah S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}. Titik sampel atau semua hasil yang mungkin terjadi dari percobaan tersebut adalah (A, A), (A, G), (G, A), dan (G, G). Banyak anggota ruang sampel → n(S) = 4 2. Diagram Pohon Cara kedua adalah menyusun anggota ruang sampel dengan diagram pohon. Cara ini bisa dipilih ketika anggota ruang sampelnya cukup banyak dan akan memakan waktu jika menggunakan cara mendaftar. Contohnya, kejadian melambungkan satu buah uang koin dan satu buah dadu, maka kemungkinan kejadiannya adalah munculnya angka (A) atau gambar (G) pada koin, dan salah satu mata dadu pada dadu. Misalkan, uang koin dianggap bagian pertama, sementara dadu dianggap bagian kedua, maka bisa digambarkan diagram pohon sebagai berikut: 3. Tabel A 1 2 3 4 5 6 d G 1 2 3 4 5 6
Maka, diperoleh ruang sampel S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)} dan titik sampel {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), dan (G, 6). Banyak anggota ruang sampel → n(S) = 12 3. Tabel Cara ketiga adalah menyusun anggota ruang sampel dengan tabel. Cara ini bisa dipilih ketika anggota ruang sampelnya sangat banyak dan akan memakan waktu jika menggunakan cara mendaftar maupun diagram pohon. Contohnya, kejadian melempar dua buah dadu sekaligus, maka pada masing-masing dadu akan ada 6 kemungkinan kejadian yang muncul, yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jika kita susun dalam sebuah tabel, maka didapatkan hasil sebagai berikut: Maka, diperoleh ruang sampel: S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Banyak anggota ruang sampel → n(S) = 36 LATIHAN Setelah kalian memahami apa itu ruang sampel dan titik sampel, cobalah selesaikan beberapa permasalahan berikut: 1. Mona hendak ke pasar membeli perlengkapan memasak. Ia berencana ke pasar Bersama dengan Yesi. Dari rumah Mona ke rumah Yesi ada 4 jalan berbeda yang dapat dilalui. Sedangkan dari rumah Yesi ke pasar ada 2 jalan berbeda yang dapat dilalui. Berdasarkan permasalahan tersebut, tentukanlah: a. Ada berapa banyak jalan berbeda yang dapat dilalui Mona untuk sampai ke pasar dengan terbelih dagulu ia harus menyusul Yesi? b. Jika dari rumah Yesi ke pasar, hanya dapat melalui 1 jalan karena jalan lain diperbaiki, ada berapa banyak jalan yang dapat dilalui Mona untuk sampai ke pasar dengan terbelih dagulu ia harus menyusul Yesi?
Catatan: penulisan ruang sampel suatu kejadian biasanya disimbolkan dengan huruf S. Sedangkan penulisan kejadian yang merupakan salah satu titik sampel ditulis dengan huruf selain S. Untuk lebih memahami penulisan simbol ruang sampel dan kejadian, cobalah mengerjakan soalselanjutnya. 1. Sebuah dadu dilambungkan sekali. Jika A adalah kejadian muncul mata dadu prima, maka tentukanlah: S = { .................................................................. } A = { .................................................................. } Banyaknya anggota di ruang sampel ada …… Banyaknya anggota dari kejadian A ada …… 2. Dua keping uang koin dilambungkan bersama sebanyak satu kali. Jika B adalah kejadian muncul tepat satu gambar pada uang koin, maka tentukanlah: S = { .................................................................. } B = { .................................................................. } Banyaknya anggota di ruang sampel ada …… Banyaknya anggota dari kejadian B ada …… 3. Sebuah uang koin dan sebuah dadu dilambungkan bersama sebanyak satu kali. Jika Q adalah kejadian muncul angka pada uang koin dan prima pada dadu, maka tentukanlah: S = { .................................................................. } B = { .................................................................. } Banyaknya anggota di ruang sampel ada …… Banyaknya anggota dari kejadian B ada ……
Kompetensi Dasar (KD) 1. Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk (peluang kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak. 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian majemuk (peluang, kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat).
Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) 1. Menjelaskan definisi peluang suatu kejadian dari suatu percobaan acak. 2. Menentukan nilai peluang suatu kejadian dari suatu percobaan acak. 3. Menjelaskan definisi frekuensi harapan dari suatu percobaan acak. 4. Menentukan frekuensi harapan dari suatu percobaan acak. 5. Menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian dari suatu percobaan acak. 6. Menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan frekuensi harapan dari suatu percobaan acak. Tujuan Pembelajaran Melalui model PBL dengan bantuan LKPD, peserta didik dapat: 1. Menjelaskan definisi peluang suatu kejadian dari suatu percobaan acak dengan tepat. 2. Menentukan nilai peluang suatu kejadian dari suatu percobaan acak dengan tepat. 3. Menjelaskan definisi frekuensi harapan dari suatu percobaan acak dengan tepat. 4. Menentukan frekuensi harapan dari suatu percobaan acak dengan tepat. 5. Menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian dari suatu percobaan acak dengan tepat. 6. Menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan frekuensi harapan dari suatu percobaan acak dengan tepat.
Peluang Definisi Peluang Ruang Sampel Ruang Sampel Peluang Suatu Kejadian Kejadian Tunggal Komplemen Kejadian Majemuk Saling Lepas Saling Bebas Bersyarat Frekuensi Harapan
Ayo Mengamati Pada pertemuan sebelumnya kalian sudah tahu apa yang dimaksud dengan ruang sampel dan titik sampel. Nah, pada pertemuan kali ini kalian akan belajar untuk memahami apa itu peluang suatu kejadian dan frekuensi harapan dari suatu kejadian. Kalian tentu sering mendengar kata peluang. Misalnya peluang peluang seorang anak masuk ke PTN, peluang Ronaldo menciptakan gol pada sebuah pertandingan bola, peluang ibu melahirkan seorang anak laki-laki. Lalu, apasih yang dimaksud dengan peluang? Apasih yang dimaksud dengan frekuensi harapan? Bagaimana cara menentukan peluang suatu kejadian? Untuk mengetahui apa itu peluang dan frekuensi harapan, coba kalian amati beberapa kejadian dibawah ini. PELUANG SUATU KEJADIAN Permasalahan 1 Seorang ibu hamil menginginkan anak yang ada di dalam kandungannya adalah laki-laki. Meurut kalian, berapakah peluang ibu tersebut akan melahirkan anak laki-laki? Jawab: Peluang ibu tersebut melahirkan anak laki-laki adalah 1 2 Dengan alasan bahwa anak tersebut lahir 1 dari 2 kemungkinan yang ada, yaitu jenis kelamin dari manusia ada 2 (laki-laki dan perempuan) Permasalahan 2 Di dalam alam semesta ini terdapat banyak fenomena alam yang diciptakan oleh Sang Pencipta. Salah satunya adalah adanya siang dan malam. Jika siang ada matahari, dan jika malam ada bulan. Menurut kalian, berapa peluang matahari terbit dari barat? Jawab: Peluang matahari terbit dari barat adalah 0, karena kejadian tersebut tidak mungkin terjadi atau kejadian tersebut adalah kejadian yang mustahil. Permasalahan 3 Adi dan ibunya sedang berlibur ke kebun binatang. Disana ia melihat ikan lumba-lumba. Kemudian ia bertanya kepada ibunya, “Bu, berapa peluang ikan lumba-lumba hidup di air?”. Menurut kalian, berapakah peluangnya? Jawab: Peluang ikan lumba-lumba hidup di air adalah 1, karena kejadian tersebut pasti terjadi. Permasalahan 4 Yadi melakukan percobaan dengan melambungkan dua buah uang koin secara bersama sebanyak satu kali. Dari percobaan tersebut Yani hendak menuliskan semua kemungkinan (ruang sampel) dari pasangan uang koin yang muncul. Ayo, bantulah Yadi untuk menuliskan semua kemungkinan dari pasangan uang koin yang muncul dengan menggunakan tabel.
Jawab: Banyaknya semua kemungkinan yang terjadi pada pelambungan dua buah uang koin adalah () = 4 cara Dengan menggunakan tabel, diperoleh: A G A A,A A,G G G,A G,G Berdasarkan percobaan yang dilakukan Yadi, diketahui bahwa Yadi ingin uang koin yang muncul adalah dua sisi uang koin kembar. Yadi menuliskan semua kemungkinan dari kejadian tersebut, yaitu: = {(, ), (, )}. Banyaknya kemungkinan munculnya dua sisi uang koin kembar pada pelambungan dua buah uang koin adalah 2 cara. Dari dua kejadian diatas, berapakah peluang Yadi mendapati yang muncul adalah sisi uang koin kembar? Jawab: Peluang Yadi mendapati yang muncul adalah sisi uang koin kembar adalah 2 4 , karena kemungkinan mendapati yang muncul adalah sisi uang koin kembar adalah 2 dari 4 kemungkinan. DEFINISI PELUANG SUATU KEJADIAN Jika suatu kejadian A dapat terjadi dengan n(A) cara dari keseluruhan n(S) cara pada ruang sampel, maka peluang dari kejadian A adalah: Menurut kalian, dari beberapa masalah diatas: Jika P(A) = 0, maka A adalah kejadian yang tidak mungkin terjadi (kemustahilan). Jika P(A) = 1, maka A adalah kejadian yang pasti terjadi (kepastian). () = () ()
AYO MENCOBA Dari kejadian berikut tentukanlah peluang kejadiannya: 1. Dua buah koin dilambungkan bersama sebanyak satu kali. Peluang munculnya tepat 2 angka pada pelambungan tersebut adalah … Jawab: A : Kejadian muncul tepat 2 gambar n(S) = 4 n(A) = 1 P(A) = 1 4 2. Tiga buah koin dilambungkan bersama sebanyak satu kali. Peluang munculnya tepat 2 angka pada sisi koin adalah … Jawab: A : Kejadian muncul tepat 2 angka n(S) = 8 n(A) = 3 P(A) = 3 8 3. Sebuah dadu dilambungkan bersama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata dadu genap adalah … Jawab: A : Kejadian muncul mata dadu ganjil n(S) = 6 n(A) = 3 P(A) = 3 6 = 1 2 4. Dua buah dadu dilambungkan sekali secara bersamaan. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 9 adalah … A : Kejadian muncul mata dadu berjumlah 9 n(S) = 36 n(A) = 4 P(A) = 4 36 = 1 9 5. Sebuah dadu dan satu koin dilambungkan sekali secara bersamaan. Peluang muncul mata dadu genap pada dadu dan muncul angka pada koin adalah … Jawab: A : Kejadian muncul mata dadu genap pada dadu dan muncul angka pada koin n(S) = 12 n(A) = 3 P(A) = 3 12 = 1 4
FREKUENSI HARAPAN Untuk memahami apa itu frekuensi harapan dari suatu kejadian, coba kalian amati beberapa masalah berikut. Permasalah 1 Sebuah instansi mengadakan tes seleksi masuk untuk menerima pegawai. Seorang HRD mengatakan bahwa peluang peserta lulus tes adalah 0,3. Jika terdapat 500 orang yang daftar pada instansi tersebut, maka menurut kalian, berapa orang yang lulus pada tes tersebut? Jawab: Peluang lulus tes = 0,3 Jumlah orang yang tes = 500 Jadi banyak orang yang lulus tes adalah 0,3 × 500 = 150 orang Banyak orang yang lulus tes pada permasalahan diatas adalah frekuensi harapan lulus tes. Untuk lebih memahami tentang apa itu frekuensi harapan, amatilah permasalahan masalah 2 berikut ini. Permasalah 2 Budi melakukan percobaan melambungkan 2 buah uang koin. Karena Budi suka dengan munculnya uang koin kembar, Budi hendak melambungkan dadu tersebut sebanyak 3.600 kali. Berapakah frekuensi harapan muncul angka kembar dalam percobaan yang dilakukan Budi? Jawab: Peluang mendapat uang koin kembar = 0,5 Percobaan dilakukan 3.600 kali Jadi frekuensi harapan munculnya uang koin kembar adalah = 0,5 x 3.600 = 1.800 kali. DEFINISI FREKUENSI HARAPAN Dalam n kali percobaan dengan peluang hasil kejadian A adalah P(A), maka frekuensi harapan kejadian A adalah : Keterangan: Fh = Frekuensi Harapan n = banyaknya percobaan P(A) = peluang kejadian A LATIHAN Setelah kalian memahami apa itu ruang sampel dan titik sampel, cobalah selesaikan beberapa permasalahan berikut: 1. Mona hendak ke pasar membeli perlengkapan memasak. Ia berencana ke pasar Bersama dengan Yesi. Dari rumah Mona ke rumah Yesi ada 4 jalan berbeda yang dapat dilalui. Sedangkan dari rumah Yesi ke pasar Fh = × ()
AYO MENCOBA Dari kejadian berikut tentukanlah frekuensi harapannya: 1. Pada pelambungan dua koin bersama sebanyak 40 kali, frekuensi harapan muncul tepat 1 gambar adalah …. Jawab: () = 2 4 , = 40, Fh = 2 4 × 40 = 20 2. Pada pelambungan dua dadu bersama sebanyak 36 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 12 adalah …. Jawab: () = 1 36 , = 36, Fh = 1 36 × 36 = 1
MARI BERLATIH A. Tentukan peluang kejadian dari persoalan berikut. 1. Pada pelambungan dua buah koin sebanyak satu kali. Peluang munculnya tepat 1 gambar adalah … 2. Pada pelambungan dua buah dadu sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah … 3. Pada pelambungan sebuah dadu dan sebuah koin bersama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata dadu prima pada dadu dan angka pada koin adalah … B. Tentukan frekuensi harapan dari setiap soal berikut. 1. Peluang hujan untuk satu hari pada bulan November 2019 adalah 0,6. Berapa kalikah hujan diharapkan terjadi pada bulan tersebut? 2. Pada percobaan melambungkan sebuah dadu sebanyak 108 kali, hitunglah frekuensi harapan muncul mata dadu ganjil? 3. Pada pelambungan dua dadu bersama sebanyak 720 kali. Berapa frekuensi harapan muncul mata dadu kembar?