Lembar Pengesahan
Bahan ajar ini dibuat oleh
Nama : Elvi Hidayanti, S.Pd.
Instansi asal : SMAS Al Islamiyah
Dan digunakan sebagai bahan ajar pada
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas : 11
Materi : Lingkaran
Sekolah : SMA
Menyetujui, Sidoarjo, 8 Desember 2022
Kepala Sekolah Penyusun
Ahmad Thobaro, S.Ag Elvi Hidayanti, S.Pd.
i
Prakata
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena atas rahmat serta
karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan bahan ajar matematika
peminatan dengan materi lingkaran kelas 11 untuk SMA kurikulum merdeka tahun pelajaran
2022/2023 ini.
Bahan ajar ini disusun untuk memenuhi kebutuhan tugas peyusunan modul ajar pada
Pendidikan Profesi Guru di bidang guru Matematika.
Dengan terselesainya bahan ajar ini, penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Bapak Dr. Mohammad Syaifuddin, MM selaku dosen mata kuliah
pendidikan profesi guru, yang telah membimbing hingga bahan ajar ini dapat
terselesaikan
2. Ibu Nurul Jazilah, S.Pd selaku guru pamong pendidikan profesi guru, yang telah
membantu membimbing hingga bahan ajar ini dapat diselesaikan
3. Teman-teman PPG Prodi Pendidikan Matematika, khususnya kelompok B yang
telah mendukung, bekerja sama serta memberikan motivasi sehingga laporan ini
terselesaikan.
4. Keluarga yang telah memberikan fasilitas dan motivasi.
Dalam penulisan bahan ajar ini penulis merasa masih banyak kekurangan-kekurangan
baik pada teknis penulisan maupun materi mengenai matriks. Demi lebih baiknya karya-karya
saya selanjutnya, kritik dan saran sangat penulis perlukan.
Demikianlah sekelumit kata yang dapat saya sampaikan, semoga bahan ajar ini dapat
bermanfaat untuk dunia pendidikan, baik digunakan oleh siswa dan atau digunakan sebagai
referensi bahan ajar oleh rekan sesama guru.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Sidoarjo, 8 Desember 2022
Elvi Hidayanti, S.Pd.
ii
Daftar Isi
A. Pendahuluan ..................................................................................... i
1. Lembar Pengesahan ..................................................................................... ii
2. Prakata ..................................................................................... iii
3. Daftar isi
..................................................................................... 1
B. Inti ..................................................................................... 2
1. Peta Konsep ..................................................................................... 2
2. Identitas Bahan Ajar ..................................................................................... 2
3. Capaian Pembelajaran ..................................................................................... 2
4. Tujuan Pembelajaran ..................................................................................... 3
5. Deskripsi Singkat ..................................................................................... 4
6. Petunjuk
7. Uraian Materi ..................................................................................... 16
..................................................................................... 17
C. Penutup ..................................................................................... 20
1. Rangkuman ..................................................................................... 20
2. Evaluasi
3. Daftar Istilah
4. Daftar Pustaka
iii
1
A. Identitas Bahan Ajar
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas : 11
Fase :F
Elemen : Geometri
B. Capaian Pembelajaran
Di akhir fase F, peserta didik dapat menerapkan teorema tentang
lingkaran, dan menentukan panjang busur dan luas juring lingkaran
untuk menyelesaikan masalah (termasuk menentukan lokasi posisi
pada permukaan Bumi dan jarak antara dua tempat di Bumi).
C. Tujuan Pembelajaran
Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat menyelesaikan
permasalahan kedudukan garis terhadap lingkaran dengan benar.
D. Deskripsi Singkat Materi
Bahan ajar ini disusun sebagai satu alternatif sumber bahan ajar
peserta didik untuk memahami materi lingkaran di kelas 11. Melalui
bahan ajar ini kalian diajak untuk menyelesaikan masalah kontekstual
yang berkaitan dengan lingkaran. Dalam modul ini, kita akan
mempelajari tentang persamaan lingkaran, kedudukan titik dan garis
terhadap lingkaran, dan persamaan garis singgung lingkaran. Dengan
demikian siswa diharapkan dapat menyusun persamaan lingkaran
yang diketahui titik pusat dan jari-jarinya, menganalisis lingkaran
yang memenuhi kriteria tertentu secara analitik, dan menyelesaikan
masalah yang terkait dengan persamaan lingkaran. Selain itu
diharapkan kalian juga dapat menentukan kedudukan suatu titik dan
garis terhadap lingkaran, serta menganalisis secara analitik
kedudukan suatu titik dan garis terhadap lingkaran.Terakhir kalian
diharapkan dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran
yang melalui suatu titik pada lingkaran, persamaan garis singgung
2
lingkaran dengan gradien m, dan persamaan garis singgung lingkaran
yang melalui titik di luar lingkaran.
E. Petunjuk Penggunaan bahan ajar
1. Pelajari daftar isi serta peta konsep bahan ajar dengan cermat
karena daftar isi dan peta konsep bahan ajar ini akan menuntun
anda dalam mempelajari bahan ajar ini dan kaitannya dengan
bahan ajar yang lain.
2. Untuk mempelajari bahan ajar ini haruslah berurutan, karena
materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari
materi berikutnya.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua
soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui
kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Kerjakan soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui
kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan,
catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap
muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi
bahan ajar ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan
mendapat pengetahuan tambahan.
3
KEGIATAN BELAJAR 1
Persamaan Lingkaran
Lebih dari seribu tahun yang lalu, para ahli
matematika Bangsa Yunani biasa memandang garis
singgung sebuah lingkaran sebagai sebuah garis yang
menyentuh lingkaran hanya di satu titik. Descartes bahkan
mempunyai argument bahwa pasti ada dua titik potong
ketika sebuah garis memotong lingkaran. Jika hanya ada
satu titik potong, maka garis itu pastilah garis singgung
lingkaran. Mereka hanya menenmpatkan lingkaran sebagai bangun yang stagnan.
Berlawanan dengan ide-ide tersebut, Issac Newton, orang Inggris yang
menemukan Hukum Universal Gravitasi, mempunyai pendapat yang berbeda mengenai
garis singgung. Ia memandang garis singgung pada sebuah titik sebagai limit posisi dari
sebuah garis yang melalui titik itu dan titik lain yang bergerak semakin dekat ke titik
tadi. Dengan demikian, lingkaran menurut Newton merupakan lintasan lengkung
tertutup sederhana yang membolehkan gerakan dan oleh karena itu lingkaran disebut
bangun yang dinamis.
DEFINISI LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama ( jari-jari lingkaran )
terhadap sebuah titik tertentu ( pusat lingkaran ) yang digambarkan pada bidang
kartesius.
P (a ,b) = Pusat Lingkaran
r = jari-jari lingkaran
r = AP = BP = CP
4
Dalam menentukan persamaan lingkaran, kita harus mengerti tentang formula jarak.
Berikut ini diberikan beberapa formula untuk menentukan jarak.
1. Jarak antara dua titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2), ditentukan oleh :
2. Jarak titik A(x1 , y1) terhadap garis lurus ax + by + c = 0 dirumuskan :
A. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari r
B. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di M(a, b) dan Berjari-jari r
Perhatikan gambar berikut.
5
Lingkaran L berpusat di M(a, b) dan berjari-jari r. Misalkan P(x, y) adalah
sembarang titik yang terletak pada lingkaran L.
Jari-jari MP = r
MQ = x – a
PQ = y – b
Segitiga PMQ siku-siku di Q, maka berdasarkan Theorema Phytagoras berlaku :
C. Persamaan Umum Lingkaran
6
LATIHAN SOAL
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) berjari-jari 3
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(−5, 12)
3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan (x – 1)2 + (y + 3)2 = 20
4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan 4x2 + 4y2 – 8x + 12y – 3
=0
5. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan ruas garis yang
menghubungkan titik A(0, −2) dan B(4, 4)
7
KEGIATAN BELAJAR 2
Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
A. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Jika titik P(x1 , y1) sembarang dan L adalah lingkaran dengan jari-jari r, maka ada tiga
posisi titik P terhadap lingkaran L, yaitu P terletak pada lingkaran, P di dalam lingkaran,
dan P di luar lingkaran.
Perhatikan gambar.
Perhatikan ilustrasi di atas. Titik terletak di dalam lingkaran, pada lingkaran, dan
di luar lingkaran. Kedudukan sebuah titik terhadap lingkaran dapat kita tentukan
dengan cara membandingkan jarak titik tersebut ke pusat lingkaran dengan panjang
jari-jari lingkaran.
Dengan menguraikan persamaan di atas, dalam persamaan umum diperoleh hubungan
Contoh.
Tentukan kedudukan titik A(−3, 5), B(7, 6), dan C(1, −2) terhadap lingkaran x2 + y2 =
34.
Jawab:
Kedudukan titik A, B, dan C terhadap lingkaran x2 + y2 = 34 dapat ditentukan dengan
cara mensubstitusikan titik A, B, dan C ke ruas kiri persamaan lingkaran (x2 + y2),
kemudian membandingkan dengan nilai r2 = 34 (di ruas kanan) .
8
B. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Jika garis = + sembarang dan L adalah lingkaran dengan jari-jari r, maka ada
tiga kedudukan garis terhadap lingkaran L sebagaimana ditunjukkan pada gambar
berikut.
Langkah-langkah menentukan kedudukan garis = + terhadap lingkaran L
sebagai berikut:
a. Substitusi y dari persamaan garis = + ke persamaan lingkaran L.
b. Susun persamaan kuadrat sekutu dalam variabel x (bentuk 2 + + = 0).
c. Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu dengan rumus = 2 − 4 .
d. Periksa tanda diskriminan D dengan kriteria:
Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran pada dua titik.
Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran (ada satu titik potong)
Jika D < 0 maka garis tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.
9
Contoh.
Tentukan kedudukan garis x + y – 2 = 0 terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0.
Jawab:
10
LATIHAN SOAL
1. Tentukan kedudukan titik A(7,5) terhadap lingkaran berpusat di titik (1, 3) dengan
jari-jari 5.
2. Tentukan nilai n jika titik A(–3, n) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 13.
3. Jika titik (1, 3) terletak pada lingkaran 3x2 + 3y2 + ax – 6y – 9 = 0, tentukan nilai a
dan pusat lingkaran.
4. Tentukan kedudukan garis y = x + 6 terhadap lingkaran x2 + y2 – 8x – 4y – 4 = 0
5. Diketahui garis 4x – 3y + c = 0 dan lingkaran x2 + y2 + 12x = 0. Tentukan Batas-
batas nilai c agar garis tersebut memotong lingkaran di dua titik yang berbeda.
6. Tentukan nilai c sehingga garis y = –2x + c menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x –
y + 3 = 0.
11
KEGIATAN BELAJAR 3
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
A. Persamaan Garis Singgung Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran
Perhatikan gambar berikut.
Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran
dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r. Kemudian
dibuat suatu garis singgung yang melalui titik P
seperti pada gambar. Persamaan umum garis
singgung tersebut adalah − 1 = ( − 1).
Gradien garis yang menghubungkan titik O(0, 0)
dan titik P(x1, y1) adalah
Garis singgung lingkaran dan garis OP saling tegak lurus sehingga
12
B. Persamaan Garis Singgung Yang Gradiennya Diketahui
Perhatikan gambar berikut.
Sebuah garis yang mempunyai gradien m
dan melalui titik (0 , c) dinyatakan dengan
= + . Jika garis tersebut menyinggung
lingkaran 2 + 2 = 2 , maka persamaan garis
singgung lingkaran tersebut dapat diperoleh
dengan langkah-langkah berikut.
Substitusikan = + ke dalam persamaan lingkaran 2 + 2 = 2 , sehingga
diperoleh
Garis menyinggung lingkaran (memotong lingkaran pada satu titik) jika nilai
diskriminan persamaan kuadrat di atas sama dengan 0 (D = b2 – 4ac = 0)
13
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 2 + 2 = 2 yang mempunyai gradien m
adalah
Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran
dengan persamaan baku ( − )2 + ( − )2 = 2 dirumuskan oleh
C. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran
Perhatikan gambar di samping.
Dari sebuah titik ( 1 , 1) di luar lingkaran selalu
dapat dibuat dua buah garis singgung pada lingkaran
(lihat gambar).
14
Persamaan garis singgung melalui titik ( 1, 1) di luar lingkaran dapat ditentukan
dengan 3 cara:
1. Menggunakan diskriminan persamaan kuadrat sekutu.
2. Menggunakan rumus persamaan garis singgung dengan gradien diketahui.
3. Mencari titik singgung dengan cara menentukan persamaan garis kutub (polar) dari
titik P dan memotongkannya dengan lingkaran.
LATIHAN SOAL
1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik K(−5, 7) pada lingkaran x2
+ y2 = 74.
2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik M(2, 4) pada lingkaran (x +
4)2 + (y – 2)2 = 40.
3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P(8, 2) pada lingkaran x2 +
y2 − 12x + 4y + 20 = 0.
4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 20 yang bergradien 2.
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 16 yang tegak lurus garis
2x – y – 8 = 0.
15
RANGKUMAN
16
EVALUASI
17
18
KUNCI JAWABAN EVALUASI
19
Daftar Istilah
Daftar Pustaka
Achmad, Asmar. 2020. Modul Pembelajaran SMA Matematika Peminatan Kelas XI. Jakarta:
Kemdikbud.
20