การเคลื่อนที่แบบหมุน

1

การเคลือ่ นทีแ่ บบหมุน

7.1 ทอร์กและโมเมนต์ความเฉื่อยกบั การเคล่อื นท่ีแบบหมุน

ในการเคลอ่ื นทเี่ ชิงเส้นเมื่อมีแรงกระทำกับวัตถทุ ำให้มีความเรง่ ในทิศทางของแรงลัพธ์เชน่ เดยี วกับวัตถุ
ที่เคลื่อนที่แบบวงกลมมีความเรง่ สศู่ ูนยก์ ลางซง่ึ อยู่ในทิศทางเดยี วกับแรงสศู่ นู ย์กลาง

รูปที่ 1 วงแหวนรศั มี r หมนุ ในระนาบ xy รอบแกนหมุน z ในทศิ ทางทวนเข็มนาฬิกา

สำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนของวงแหวนรัศมี r รอบแกน z ดังรูปที่ 1 เมื่อแบ่งมวลของวงแหวน

ออกเป็นชิ้นเล็กๆ ให้มีมวล m และคิดเสมือนว่าวัตถุมวล m ติดที่ปลายคานเบาแข็งเกร็ง มีปลายหนึ่งอยู่ที่จดุ

กำเนิด o มีแรง ̅ กระทำกับมวล m ทิศทางตั้งฉากกับคานดังรูปที่ 2 ทำให้วัตถุมวล m มีความเร่งเชิงเส้น

̅ ในแนวเส้นสัมผสั กับส่วนโค้งอยู่ในระนาบ xy และมคี วามเรว็ เชิงเส้นเป็น ̅

รูปที่ 2 ทอรก์ ที่กระทำกบั ชิน้ วตั ถุมวล m เน่ืองจากมแี รงกระทำ

2

ทอร์ก (torque) ทก่ี ระทำกบั มวล m มคี า่ เท่ากับ ผลคณู แบบเวกเตอร์ของแรงกับการกระจัดทวี่ ัดจากการ
หมนุ

̅ = ̅ × ̅ (1)

ขนาดของทอรก์ มีค่าเทา่ กบั

= (2)

คอื มุมระหว่างเวกเตอรบ์ อกตำแหนง่ ̅ กับแรง กรณีท่ี = 90° จะได้

= (3)

ความสมั พนั ธ์ระหว่างปรมิ าณของการเคล่ือนทเี่ ชงิ เส้นและเชงิ มมุ คือ

= (4)

ความสัมพนั ธ์ระหว่างความเร่งเชงิ มุมกับความเรง่ เชิงเส้นจะได้

= (5)

เมื่อ คือ ความเร่งเชงิ เสน้ มีหน่วย เมตรต่อวนิ าที2 ทำใหข้ นาดของความเร็วเปลี่ยนและจากกฎ
การเคลือ่ นท่ีข้อทส่ี องของนวิ ตัน = นำคา่ จากสมการ (5) แทนในสมการ (3) จะได้

= (6)
= ( 2)

เรยี ก 2ว่า โมเมนตค์ วามเฉอ่ื ย (moment of inertia) ของวัตถุ มีหนว่ ย กิโลกรัม

เมตร2 ( 2) ใชส้ ญั ลักษณ์ I แทนลงในสมการ (6) จะได้

= (7)

จากสมการ (7) เขยี นความสมั พันธแ์ บบเวกเตอร์ได้ดังนี้

̅ = ̅ (8)

จากสมการ (8) จะเหน็ ได้ว่า ทอรก์ และความเรง่ เชิงมมุ มีทิศเดยี วกัน

3
ในกรณวี ัตถุท่หี มนุ เปน็ ช้ินมวลขนาดใหญ่ และทำการแบ่งมวลเปน็ หลายๆ ชนิ้ ดงั รูป 3 จะได้ว่า ̅
ของมวลทุกชิ้นเท่ากัน เนื่องจากหมนุ ไปพร้อมกนั และแกนหมนุ ตรึง โมเมนต์ความเฉ่ือยรวม จะเทา่ กบั ผลรวม
ของโมเมนตค์ วามเฉอ่ื ยของมวลทุกชิน้ เช่น ในกรณีวัตถปุ ระกอบดว้ ยมวล 3 ชนิ้ จะได้

= 1 12 + 2 22 + 3 32

ในกรณีท่ีมวล n ชน้ิ จะได้โมเมนต์ความเฉื่อยรวมดงั นี้

= 1 12 + 2 22 + ⋯ + 2 (9)
= ∑ =1 2

รูปท่ี 3 โมเมนต์ความเฉอื่ ยของมวล 3 ชน้ิ
รูปที่ 4 โมเมนต์ความเฉื่อยของมวลหลาย ๆ ชิ้นในมวลขนาดใหญ่

4

7.2 โมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกนหมนุ สมมาตร

โมเมนต์ความเฉื่อยของวตั ถรุ ูปตา่ งๆ รอบแกนสมมาตร สามารถคำนวณได้โดยสมการ = ∑ =1 2
สำหรบั โมเมนต์ความเฉ่ือยของวตั ถรุ ูปต่างๆ ที่น่ารู้ มีดงั ตาราง 7.1 ต่อไปนี้

ตาราง 7.1 โมเมนต์ความเฉ่ือยรอบแกนหมนุ สมมาตรของวตั ถุรปู ทรงต่างๆ

รปู รา่ งวตั ถุ แกนหมนุ รูป โมเมนตค์ วามเฉ่ือย

ทรงกลมตัน รอบแกนผา่ นศูนยก์ ลาง = 2 2
5
มวล m รศั มี R มวล

ทรงกลมกลวง รอบแกนผ่านศูนยก์ ลาง = 2 2
3
มวล m รัศมี R มวล

ทรงกระบอกตัน รอบแกนของ = 1 2
มวล m รัศมี R ทรงกระบอก 2

ยาว L รอบแกนผา่ นศูนยก์ ลาง = 1 2 + 1 2
มวล ตั้งฉากกับระนาบ 4 12
ทรงกระบอกตนั
มวล m รัศมี R ทรงกระบอก

ยาว L

ทรงกระบอกกลวง รอบแกนผ่านศูนย์กลาง = 1 ( 12 + 22)
มวล m รัศมีภายใน มวล ตั้งฉากกบั ระนาบ 2
1 รศั มภี ายนอก
ทรงกระบอก = 2
2 รอบแกนผ่านศนู ย์กลาง
มวล ต้ังฉากกบั ระนาบ
วงแหวนบาง มวล
m รัศมี R ของวงแหวน

รูปร่างวตั ถุ แกนหมนุ 5 โมเมนตค์ วามเฉ่ือย
รูป

วงแหวน รอบแกนผา่ นศูนย์กลาง = 1 2
มวล m รัศมี R มวลบนระนาบของวง 2

แหวน

แผ่นกลมบาง รอบแกนผ่านศนู ยก์ ลาง = 1 2
มวล m รศั มี R มวลบนระนาบของแผน่ 4

แผ่นกลมบาง รอบแกนผา่ นศนู ยก์ ลาง = 1 2
มวล m รัศมี R มวลตง้ั ฉากกับแผน่ 2

แทง่ วัตถเุ ล็ก รอบแกนผ่านศูนยก์ ลาง = 1 2
มวล m ยาว L มวล ต้งั ฉากกับแท่งวัตถุ 12

แทง่ วตั ถเุ ล็ก รอบแกนหมุนผ่านปลาย = 1 2
มวล m ยาว L ตงั้ ฉากกบั แท่งวตั ถุ 3

การหมุนของวัตถุทั้งหมดในตารางข้างบนเป็นการหมุนรอบแกนที่ผ่านศูนย์กลางมวลและเป็นแกน
หมุนสมมาตรของวัตถุ สำหรับตารางรูปสุดท้ายเป็นการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่หมุนรอบแกนที่ผ่าน
ปลายแทง่ วัตถุและต้ังฉากกบั ระนาบการหมุน

6

ตวั อยา่ งที่ 1 ระบบล้อกบั เพลาประกอบดว้ ยลอ้ มวล 1รัศมี R ยึดตดิ กบั เพลามวล 2 รศั มี r ถา้ ถ่วง
น้ำหนักของมวล m ท่เี ชือกพันรอบลอ้ ดงั รปู ขนาดความเร่งเชงิ มมุ ของลอ้ และเพลา จะเป็นเท่าใด

รูปประกอบตัวอยา่ งขอ้ 1

แนวคิด โมเมนต์ความเฉื่อยรวมเทา่ กับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยแตล่ ะสว่ นแล้วใช้สมการของ
ทอรก์ ได้

วธิ ีทำ โมเมนตค์ วามเฉ่ือยของล้อและเพลารอบแกนหมนุ คือ

= 1 1 2 + 1 2 2
2 2

ให้ T เป็นแรงดึงในเส้นเชือก จะมีสมการการเคลือ่ นท่สี องสมการ คือ สมการการเคล่ือนทีเ่ ชิงเส้นของ

มวล m และสมการการเคลอ่ื นทแ่ี บบหมุนของล้อและเพลา คือ

− = (1)

และ = = (2)

ซง่ึ จากสมการท่ี 1 จะได้ = − และนำค่า T ไปแทนในสมการ 2 แลว้ ใช้ความสัมพนั ธ์
= จะหาค่า ไดค้ ือ

( − ) =

=
+ 2

เมอื่ ผลรวมโมเมนตค์ วามเฉื่อยมคี ่า = 1 1 2 + 1 2 2
2 2

ตอบ ขนาดความเร่งเชงิ มุมของลอ้ และเพลาจะมีคา่ เทา่ กับ =
+ 2

โดยที่ = 1 1 2 + 1 2 2
2 2

7
7.3 พลังงานจลนข์ องการเคล่ือนท่แี บบหมนุ

รูปท่ี 5 อตั ราเรว็ ของระบบมวลยอ่ ย ๆ

จากการศึกษาเก่ยี วกับพลงั งานจลน์ เราทราบแล้ววา่ วตั ถุมวล m ทเ่ี คลอื่ นท่ดี ้วยอัตราเร็ว v มี

พลงั งานจลน์ ซ่ึง = 1 2 สำหรับวัตถทุ ่มี ีการหมนุ ถ้าเราพิจารณามวลยอ่ ยที่ประกอบขนึ้ เปน็ วตั ถุ
2
แตล่ ะมวลยอ่ ยมกี ารเคลือ่ นที่ดว้ ยอตั ราเร็วเชงิ เส้นต่าง ๆ ขึ้นอยูก่ ับระยะที่มวลยอ่ ยหา่ งจากแกนหมนุ นั่นคือ

แต่ละก้อนมวลย่อยมีพลังงานจลน์ พลังงานจลน์รวมของทุก ๆ มวลยอ่ ยทปี่ ระกอบขน้ึ เปน็ วัตถนุ น้ั จะเป็น

พลังงานจลนข์ องวตั ถเุ นื่องจากการหมุน ซึง่ สามารถหาไดโ้ ดยการพจิ ารณาวัตถปุ ระกอบด้วยมวลยอ่ ย

1, 2, … , หมนุ รอบแกน z ซ่ึงอยู่กบั ท่ีด้วยขนาดของความเรว็ เชิงมุม ดังรปู 5

ถา้ ให้ เปน็ พลังงานจลน์รวมของมวลย่อย ดงั นัน้ จะได้

= 1 1 12, 1 2 22, … , 1 2 = 1 ∑ =1 2 (10)
2 2 2 2

ให้ เป็นอตั ราเรว็ ของมวลย่อย

เนื่องจากแต่ละกอ้ นมวลย่อย เคลือ่ นทห่ี มุนไปกับวัตถุ น่นั คือทกุ มวลย่อยมีการเคล่ือนท่ใี นแนววงกลม
ด้วยอัตราเร็วเชิงมมุ เท่ากนั เท่ากับอตั ราเรว็ เชิงมุมของวัตถุ โดยใชค้ วามสัมพันธ์ = วัตถุประกอบด้วย
มวลย่อย ๆ จะได้ 1 = 1 และ =

เม่ือ เป็นระยะห่างจากแกนหมุนกับมวล ดงั นัน้ จะเขยี น ได้ใหมเ่ ป็น

= 1 ( )2
2
∑

=1

8

= 1 2 ) 2
2
(∑

=1

จาก = ∑ =1 2 คอื โมเมนตค์ วามเฉ่ือย

นัน่ คอื = 1 2 (11)
เมอื่ 2

คอื โมเมนต์ความเฉ่ือยของการหมุน

คอื ความเรว็ เชิงมุมของการหมุน

คอื พลังงานจลนข์ องการหมุน มหี นว่ ยเปน็ จลู ( )

ตวั อยา่ ง 2 ม้าหมุนชุดหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนในแนวดิ่ง 900 กิโลกรัม เมตร2 ถ้าผลัก
ใหห้ มุนรอบแกนหมุนน้ีในอัตรานาทลี ะ 12 รอบ จงหาพลงั งานจลน์ของมา้ หมุนน้ี

แนวคิด ใช้สมการพลังงานจลนข์ องการหมุนเพยี งอย่างเดียว

วธิ ีทำ = 2

เมื่อ = 12 −1
ดังนน้ั อัตราเรว็ เชิงมุม
เมือ่ 60

= 2 (12 / )

60

= 900 2

จากสมการ = 1 2
2

= 1 (900 2) (2 (12 2
2
60 / ))

= 710.6

ตอบ พลงั งานจลน์ของการหมนุ เท่ากับ 710.6 จลู

9

7.4 โมเมนตัมเชงิ มุมและอัตราการเปลี่ยนโมเมนตมั
เชงิ มุมมวล m ติดอยู่ทปี่ ลายคานเบายาว r อกี ปลายตรงึ อย่จู ุด o คานหมนุ อยู่ในระนาบ xy รอบแกนหมุน
ตรึงแนน่ z ดังรูป 6 ท่จี ุด A มีแรงกระทำในแนวเส้นสมั ผสั กับส่วนโคง้ ขณะนนั้ มีความเรว็ ในแนวเสน้ สมั ผสั เป็น
̅ จงึ ทำให้มีโมเมนตัมของ m ดังน้ี

̅ = ̅ (12)

รูป 6 การหมนุ ของวตั ถุรอบแกน z

แต่ถ้าวัตถุมีการหมุน วตั ถนุ นั้ ก็จะมีโมเมนตมั เชิงมุมด้วย โมเมนตมั เชงิ มมุ (angular momentum)
มีสัญลักษณ์เป็น ̅ โดยโมเมนตมั เชิงเส้นและเชิงมมุ มคี วามสัมพนั ธแ์ บบเวกเตอร์ดังนี้

̅ = ̅ × ̅ (13)

ขนาดของ ̅ มคี า่ ดงั น้ี

= (14)

เมือ่ = 90° จะได้ = (15)

และทิศทางของโมเมนตัมเชิงมมุ จะเปน็ ไปตามกฎมือขวา และจากสมการ (15) เมื่อแทนคา่ =
จะไดข้ นาดของโมเมนตัมเชงิ มุม คอื

= (16)

= ( ) (122

= 2 ) (7.23)

= (17)

̅ = ̅ (18)

10

และเมื่อพจิ ารณาโมเมนตัมเชงิ มมุ ท่เี ปลย่ี นแปลง ในกรณีท่ี คงตวั

∆ ̅ = ∆( ̅ ) (7.25)

∆ ̅ = (∆ ̅ ) (19)

และจากสมการ (8)

̅ = ̅ (7.28)

̅ = ∆ ̅ (20)

∆

แทนค่าสมการ (19) ในสมการ (20) จะได้

̅ = ∆ ̅ (21)

∆

จากสมการ (21) เมื่อมี 1̅ , 2̅ , … , ̅ กระทำกบั วตั ถจุ ะสรุปได้ว่า

̅รวม = ∑ =1 ̅ = ∆ ̅ (22)
∆

จากสมการ (22) กลา่ วได้ว่า ผลรวมของทอร์กเนื่องจากแรงภายนอกมคี า่ เทา่ กับอัตราการเปลี่ยนแปลง

ของโมเมนตัมเชิงมมุ และในกรณีทผี่ ลรวมของทอร์กมคี ่าเท่ากบั ศูนย์จะได้

(23)

̅รวม = ∑ ̅ = 0

=1

∆ ̅
∆ = 0
∆ ̅ = 0

นน่ั คอื ̅ 1 = ̅ 2

จากสมการ (23) พิจารณาได้ว่า ถ้าทอร์กหรือผลรวมทอร์กเนื่องจากแรงภายนอกที่กระทำต่อวัตถุที่
กำลังหมุนเท่ากับศูนย์ ทำให้โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุมีค่าคงตัว เรียกความสัมพันธ์นี้ว่า กฎการอนุรักษ์
โมเมนตัมเชงิ มมุ (Law of conservation of angular momentum)

เราสามารถนำกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมไปอธิบายการเคลื่อนที่แบบหมุนต่าง ๆ ได้ เช่น การ
หมุนตัวของนักสเกตบนลานน้ำแข็ง ดังรูป 7 ในตอนแรกนักสเกตหมุนตัวโดยกางขาและโน้มตัวด้วยความเร็ว
เชิงมุมค่าหนึ่งดังรูป ก ต่อมานักสเกตหุบแขนขาเข้าหาลำตัวดังรูป ข จะปรากฏว่าตัวเขามีการหมุนรอบตัวเอง

11

เร็วขึ้นแสดงว่าความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้น ซึ่งอธิบายได้ว่า เมื่อนักสเกตหุบแขนขาลงระยะการกระจายของมวล
รอบแกนหมุนน้อยลงทำให้ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยลดลงโดยโมเมนตัมเชิงมุมยังคงเท่าเดิมจึงทำให้ค่าความเร็ว
เชิงมุมเพิ่มข้ึนเป็นไปตามกฎการอนรุ กั ษ์โมเมนตัมเชิงมุม

ก. ขณะท่ีกางขาและโนม้ ตัว ข. ขณะที่หบุ ขาและตัวตรง

รูปท่ี 7 การหมนุ ตวั ของนกั เล่นเสกตน้ำแขง็

นอกจากการเลน่ สเกตแลว้ เรายังสามารถแสดงกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมโดยใช้เก้าอี้ท่ีหมุนรอบ
ตัวเองได้คล่อง เมื่อให้คนนั่งถือดัมเบลแล้วเหยียดแขนให้สุดแล้วหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 1 จากนั้นให้
ดึงดัมเบลเข้ามาให้ชิดตัว คราวนี้ตัวเขาจะหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 2 จะได้ว่าค่าของความเร็วเชิงมุมคร้ัง
หลังจะสงู กว่าครัง้ แรก

รูปท่ี 8 คนนัง่ บนเก้าอี้หมนุ

รูปที่ 9 ลูกขา่ งไจโรสโคป

12
การนำความรู้เรื่องกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมไปอธบิ ายหลกั การหมนุ ของลูกข่างไจโรสโคป
(gyroscope) ซ่ึงเป็นลูกขา่ งที่ออกแบบให้มแี รงเสียดทานที่จดุ หมนุ นอ้ ยที่สดุ และสามารถหมนุ ได้อยา่ งอิสระ
แลว้ ประยุกต์สรา้ งเป็นเข็มทิศ เพราะเม่อื ลกู ข่างชนดิ นหี้ มุน จะมีโมเมนตมั เชงิ มมุ ค่าหน่ึงที่คงตัว มนั จะชีท้ ิศทาง
เดิมเสมอ เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมเป็นปริมาณเวกเตอร์ ถา้ ไม่มีทอร์กภายนอกมากระทำ ลูกข่างไจโรสโคปน้ี
จะชท้ี ศิ ทางท่ีแนน่ อนจงึ สามารถนำมาใชเ้ ป็นเข็มทิศท่ีให้ความแมน่ ยำสูงแทนเข็มทิศแบบแมเ่ หลก็ ท่ีอาจชี้
ทิศทางคลาดเคลื่อน เม่ือมสี ารแมเ่ หล็กหรือสนามแม่เหล็กอืน่ มาใกล้
สมการท่ี (22) เปน็ สมการทีเ่ ป็นจริงทว่ั ไป โดยที่ทอรก์ อาจจะเปลี่ยนแปลงและไม่จำเปน็ ตอ้ งมีทิศทาง
เดยี วกบั แกนหมุน แตท่ ศิ ทางของการเปลีย่ นแปลงโมเมนตัมเชิงมมุ จะมที ิศทางเดียวกบั ทอร์กเสมอเป็นไปตาม
สมการ (22) ด้วย เชน่ เดียวกับ การหมนุ ควง (precession) ของลูกข่างไจโรสโคป ดังรูป 9 เม่อื มีทอร์กมา
กระทำเป็นไปตามสมการน้ีทุกประการ

รูปท่ี 10 การหมุนควงของลกู ขา่ งไจโรสโคป

เมอื่ เป็นอัตราเรว็ เชงิ มมุ ของการหมุนควง มีหนว่ ย เรเดียนตอ่ วินาที (rad/s)
เป็นอัตราเร็วเชิงมุมของการหมุนรอบแกนตัวเองของลูกข่าง มีหน่วย เรเดียนต่อ
วนิ าที (rad/s)

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมจะช่วยให้เราเข้าใจสถานการณ์และปรากฏการณ์ต่าง ๆ มากมาย
เชน่ การหมนุ ของลูกขา่ ง หมุนรอบตัวเองของโลก การหมุนของใบพัดลม เปน็ ตน้

13

ตัวอย่าง 3 ชายคนหนึ่งถือดัมเบลไว้สองมือยืนบนแป้นที่หมุนได้อย่างเสรี ไม่มีแรงเสียดทานและแกนหมุนอยู่
ในแนวดิ่ง ขณะท่ีเขากางแขนออก โมเมนตค์ วามเฉือ่ ยของชายคนน้นั รวมดมั เบลและแปน้ เท่ากบั 2.25 กโิ ลกรัม
เมตร2 ความเร็วเชิงมุมในการหมุน 5 เรเดียนต่อวินาที แต่เมื่อเขาหุบแขนทั้งสองข้างเข้าหาตัว โมเมนต์ความ
เฉื่อยรวมเทา่ กบั 1.80 กิโลกรมั เมตร2 ขนาดของความเรว็ เชงิ มุมในการหมุนในขณะท่หี ุบแขนมีคา่ เท่าใด

รปู แสดงการหมนุ ตัวของชายถือดมั เบลในมอื สองขา้ ง

แนวคดิ เนื่องจากไม่มีทอรก์ จากภายนอกจึงทำให้โมเมนตัมเชิงมมุ คงตวั

วิธีทำ 1 = 2.25 2

1 = 5.0 /
2 = 1.80 2

2 = ขนาดของความเรว็ เชิงมมุ ในการหมนุ ขณะหบุ แขน

จากสมการ 1 = 2

ดงั นนั้ 1 1 = 2 2

(2.25 2)(0.5 / ) = (1.80 2) 2
จะได้ 2 = 6.25 /

ตอบ ขนาดของความเร็วเชงิ มุมในการหมนุ ขณะหุบแขนเทา่ กับ 6.25 เรเดยี นต่อวนิ าที

14

7.5 การเคลอื่ นทีท่ ั้งแบบเลื่อนท่แี ละแบบหมุน

ถ้าพจิ ารณาการเคล่อื นที่ของวัตถุบางอย่างรอบตวั เรา เช่น ลกู บอล ลกู กอลฟ์ ลกู เทนนิส ล้อ
รถจักรยาน ล้อรถยนต์ จะพบว่าวัตถุเหล่านี้มกี ารเคลื่อนท่ีทั้งสองแบบ คือ ทัง้ แบบเล่ือนที่ และแบบหมนุ ไป
ด้วย เรยี กการเคลื่อนท่แี บบน้ีว่า การกลิ้ง (rolling motion) ถ้าเปน็ การเคลื่อนทีแ่ บบหมุนอสิ ระ อย่างเชน่ ลกู
บอล ลกู กอลฟ์ ลกู เทนนิส จะเปน็ การหมนุ รอบศนู ย์กลางมวล แต่ถ้าเปน็ การเคล่ือนที่ของล้อรถจักรยาน ล้อ
รถยนต์จะเป็นการหมนุ รอบแกนคงที่

การเคล่อื นที่ของกระสนุ ปืนจากปนื บางชนิด กระสนุ ปนื ทถ่ี ูกยิงจะถูกร่องในลำกล้องบงั คับใหห้ มุนรอบ
ตวั เอง เมื่อมันหลุดจากลำกลอ้ งกจ็ ะหมนุ ด้วยความเร็วเชิงมมุ โดยมโี มเมนตัมเชงิ มุมคา่ หน่งึ ทิศทางของ
โมเมนตมั เชงิ มุมจะอยใู่ นแนวเดยี วกบั การเคลื่อนท่ี ทำให้ลูกปืนเคลอื่ นท่ีเขา้ ชนเป้าได้แมน่ ยำและทำใหส้ ว่ นหวั
อยดู่ า้ นหนา้ ส่วนท้ายตลอดเวลา ถ้าไม่มีโมเมนตมั เชงิ มมุ ลกู ปืนจะเคล่ือนทแ่ี บบหมนุ ควง คอื สว่ นหัวกับ
ส่วนทา้ ยจะสลับกันอย่ดู ้านหนา้ และจะทำให้เคลื่อนที่ไดไ้ ม่ไกลนัก

เนอื่ งจากการกลงิ้ มีทั้งเล่ือนที่และหมุน พลงั งานจลน์ของการเคลื่อนทแี่ บบกล้งิ ของวัตถุ จึงเปน็ ผลรวมของ
พลงั งานจลน์ของการเคลือ่ นท่ี 2 แบบนน่ั คือ พลงั งานจลน์ของการเคลื่อนทแ่ี บบเลอื่ นทร่ี วมกับพลังงานจลน์
ของการเคลื่อนทแี่ บบหมนุ ดังนน้ั จะได้วา่

= 1 2 + 1 2 (24)

2 2

เม่อื เปน็ พลังงานจลนข์ องวตั ถุมวล m มหี น่วย จลู ( )

เป็นโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตั ถรุ อบแกนหมนุ

มหี น่วย กโิ ลกรัม เมตร2 ( 2)

เปน็ ความเร็วของการเล่ือนทข่ี องศนู ย์กลางมวล

มหี น่วย เมตรตอ่ วนิ าที ( / )

เป็นความเร็วเชิงมุม มหี นว่ ย เรเดยี นต่อวินาที ( / )

ในการศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่แบบหมุนจะช่วยให้เกิดความเข้าใจการเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ ของ
วตั ถทุ อี่ ยู่รอบตัวเราได้ดีขึน้ เพราะมีวตั ถุเป็นจำนวนมากท่ีมีการเคลื่อนทแ่ี บบหมุน ไม่ว่าจะเป็นเคร่ืองยนต์
ลอ้ รถยนต์ แกนมอเตอร์ ใบพัดลม เคร่ืองจักรตา่ ง ๆ แมแ้ ตโ่ ลกเองก็มีการเคลือ่ นท่แี บบหมุน การศึกษาการ
เคล่ือนทแ่ี บบหมนุ จะนำไปสคู่ วามเขา้ ใจในระบบสรุ ิยะจนถึงระบบจักรวาลได้