Modul 1 Integral

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA







BAB 1. INTEGRAL



Kompetensi dasar :
1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.
1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi
aljabar dan fungsi trigonometri sederhana.
1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan
volume benda putar.






Pernahkah kamu berulang tahun semasa anak-anak ? Topi apa yang kamu
kenakan ? Topi tersebut berbentuk kerucut. Dapatkah kamu menghitung luas
permukaan dan volume dari topi tersebut ? Dengan menggunakan integral
kamu bisa menentukan luas permukaan dan volumenya.




PERTEMUAN ke-1 s.d ke-3
Indikator : 1. Memahami definisi integral
2. Mengenal arti integral tak tentu
3. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar
4. Menentukan integral tak tentu fungsi trigonometri


A. PENGERTIAN INTEGRAL
Dikelas XI kamu telah mempelajari turunan. Dengan turunan kamu dapat memahami integral.
Contoh : f(x) = 3x + 5 maka f’(x) = 6x
2

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x) , maka F(x) merupakan anti turunan
atau integral dari f(x), dinotasikan :


 f(x) dx = F(x) + C



Keterangan :  = notasi integral

f(x) = fungsi integran
F(x) = fungsi integral umum
C = Konstanta pengintegralan







1
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


B. INTEGRAL TAK TENTU


☼ Integral tak tentu fungsi Aljabar
1.  a dx = ax + C

n
2.  x dx = n 1 1 x n+1 + C , untuk n ≠ – 1


3.  ( f(x)  g(x) ) dx =  f(x) dx  g(x) dx


☼ Integral tak tentu fungsi Trigonometri

Rumus dasar :

1.  sin x dx = – cos x + C
2.  cos x dx = sin x + C

3.  sec x dx = tan x + C
2


Rumus fungsi trigonometri :

1.  sin ax dx = – 1 cos ax + C
a
2.  sin (ax + b) dx = – 1 cos (ax + b) + C
a
3.  cos ax dx = 1 sin ax + C
a
4.  cos (ax + b) dx = 1 sin (ax + b) + C
a

Contoh :


1. Tentukan penyelesaian integral berikut :
5
3
a.  3x – 4x + 6 dx = ... b.  2x  x 2x  3 dx = ...
2
2
Penyelesaian :

2
a.  3x – 4x + 6 dx = 2 3 x 2 1  1 4 x 1 1  6 x  C
1
1
2
3
= x – 2x + 6x + C
3
5
-2
3
b.  2x  x 2x  3 dx =  ( 2x +2x – 3x ) dx
2
2
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


2 2 3
= x 3 1  x 1 1  x 2 1  C
3 1 1 1 ( 2  )
1
1 3
4
= x + x + + C
2
2 x
2. Tentukan penyelesaian integral trigonometri berikut :
a.  ( 2 sin x + cos 3x ) dx = ... b.  sin 5x cos 3x dx = ...


Penyelesaian :

a.  ( 2 sin x + cos 3x ) dx = – 2 cos x + 1 sin 3x + C
3

b.  sin 5x cos 3x dx =  1 ( sin (5x + 3x) + sin ( 5x – 3x) ) dx
2
=  1 sin 8x dx +  1 sin 2x dx
2
2
1 1
= – cos 8x – cos 2x + C
16 4

LATIHAN 1


Tentukan Penyelesaian integral berikut ini !

1.  2x ( 2x – 1 ) dx = …
x
2.  2 (  3x x )( 5 2x  ) 3 dx = ...


 1  2
3.    x x   dx = ...

 x x 
4.  2 cos 3x sin x dx = ...
5.  4 sin 2x sin x dx = ...























3
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


PERTEMUAN ke-4 dan ke-5
Indikator : 1. Mengenal arti integral tentu
2. Menentukan nilai integral tentu
3. Mengenal sifat-sifat integral tentu


C. INTEGRAL TENTU
Adalah integral dengan batas-batas integrasi yang sudah ditentukan, dinotasikan :
b
 f (x )dx  [F (x )]  F (b ) F (a )

b
a
a
a dan b adalah batas bawah integrasi dan batas atas integrasi.
Contoh :

4
4
1. Tentukan nilai dari  (x  x 3 ) dx.
1 
Penyelesaian :


4 1  1 4  4
 (x  x 3 ) dx =  x 5  x 
4
1  5  4 1  
 1 1   1 1 
1
1
=  ( ) 4 5  ( ) 4 4    (  ) 5  (  ) 4 
 5 4   5 4 
2816 9 1
=  = 141
20 20 4

2
2. Tentukan nilai dari  cos 2 2 x dx.
0
4
4
3.  (x  x 3 ) dx.
1 
Penyelesaian :


 
2 2 1
 cos 2 2 x dx =  1 (  cos 4x )dx
0 0 2

1  1  2
=  x  sin 4x 
2  4 0 

1  1     1  
0
=    sin  4       sin0 4   
2  2 4  2    4  
1  1   1  
=    sin 2     sin0  0 
2  2 4   4  


4
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


1    
=     0    00  =

2  2   4

Sifat-sifat integral tentu

b b
1.  cf ( x) dx  c  f ( x) dx , dengan c = konstanta
a a
b b b


2.  xf ( )  g( x)  dx  f ( x) dx  g( x) dx
a a a
c b b

3.  f ( x) dx  f ( x) dx   f ( x) dx , dengan a,b,c bil real
a c a
b a

4.  f ( x) dx   f ( x) dx
a b
b b
5.  f ( x) dx   f ( t) dt
a a


Contoh :
Selesaikan integral berikut dengan sifat-sifat integral

3 1 5 1 3
a.  x ( 2  2 ) dx   x ( 2  2 ) dx b.  (cos x  cos 3x )dx
1 x 3 x 0
Penyelesaian :
3 1 5 1 5 1

2
a.  x ( 2  2 ) dx   x ( 2  2 ) dx = ( x  2 ) dx
1 x 3 x 1 x
5
2

=  x ( 2  x ) dx
1
1  1 5
=  3  x 3   1  x

1  1 1 
=  3 ) 5 ( 3    5   ) 1 ( 3 1  
3
8
= 40
15
  
3 3 3

b.  (cos x  cos 3x )dx =  cos x dx  cos x 3 dx
0 0 0

 1 
=  sin x    3sin x  3
3
0
3 0
5
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


   1   
=   sin 3  sin 0   3   sin 3 3  sin 0 . 3 


1   1 1
=  2  3  0  3  0   0 = 2 3


LATIHAN 2


1. Hitunglah nilai dari integral berikut :
1 1
3 2 2

2

2
a.  x 2 x dx b.  8 ( x 2 x ) dx   8 ( x 2 x ) dx
0 0 4
0 a 4
2. Tentukan nilai a dari  2 ( x 2  x 3 )dx   2 ( x 2  x 3 )dx 
1  0 3
1

2
3. Jika x = 1 – 3y tentukan nilai (  x ) dy
x
0

3
4.  sin 3x sin x dx = ...
0

4
5.  4 (sin 2  cos ) x dx = ...
x
0

PERTEMUAN ke-6 dan ke-10
Indikator : 1. Menentukan integral dengan cara subtitusi
2. Menentukan integral dengan cara subtitusi trigonometri
3. Menentukan integral dengan cara parsial


D. TEKNIK PENGINTEGRALAN

1. Pengintegralan Subtitusi
Dilakukan untuk menyederhanakan fungsi dengan mengganti variabel dalam fungsi
sehingga dapat diintegralkan dengan mudah.


 ( f ( x)) n d( f ( x   u n du dengan u = f(x) dan n ≠ - 1
)
)
Contoh :
Tentukan hasil integral berikut :


2
a.  2 ( x 7 )( x  7 x 12 ) 6 dx b.  cos 4 xsin xdx
Penyelesaian :

2

7
a.  2 ( x 7 )( x  7 x 12 ) 6 dx =  x ( 2  x 12 ) 6 2 ( x  ) dx
7
2
misalkan u = x – 7x + 12
6
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


du  2 x 7  du  2 ( x 7 ) dx , maka


dx


 x ( 2  x 12 ) 6 2 ( x  ) dx = u 6 du
7
7
1
7
= u  C
7
1
2
= ( x  7 x 12 ) 7  C
7
b.  cos 4 xsin xdx
misalkan u = cos x
du   sin x  du   sin xdx   du  sin xdx , maka
dx
 cos 4 xsin xdx = u 4 ( du )


1
5
= – u  C
5
1
= – cos 5 x  C
5
LATIHAN 3



Carilah hasil dari integral berikut dengan cara subtitusi

7
2
)
2
1.  x ( 3  4 x  3 x ( 6 x  16 x 6 ) dx
5
1
2.  6 ( x 3  x  ) dx
2
5
x 3 4  x 2  x


3.  x 3 ( 2  6 x 1 ) cos( x  x 3 2  x 5 ) dx
3
4.  sin x dx
cos 7 x

2
5.  sin 2 xcos xdx
0
2. Pengintegralan Subtitusi Trigonometri
Dilakukan dengan pemisalan pada bentuk integral yang memuat :
2
2
1. a  x , pemisalannya x = a sin  sehingga
a  x = a cos 
2
2
2
2. a  x 2 , pemisalannya x = a tan  sehingga
a  x = a sec 
2
2
2
3. x  a 2 , pemisalannya x = a sec  sehingga
x  a = a tan 
2
2
7
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


Contoh :

 dx
9  x 2


Penyelesaian :
misalkan x = 3 sin 
dx  3 cos   dx  3 cos d 
d 

d
 dx =  3 cos 
9  x 2 9  3 sin ) 2
(

d
=  3 cos 
2
1 ( 9  sin  )
=  3 cos d 
3 cos 


=  d    C  arc sin x  C
3
LATIHAN 4


Selesaikan integral berikut dengan cara subtitusi trigonometri
1.  4  x dx
2
2.  9  4x 2 dx

3.  dx
x x 2 1
4
4.  16  x 2 dx

0
1
2
5.  1  4x 2 dx
0
3. Pengintegralan Parsial
Suatu fungsi y = uv, maka turunannya
dy du dv
y’ = u’v + v’u dapat ditulis  v  u
dx dx dx
d( uv) du dv
  v  u
dx dx dx
 d( uv  vdu  udv kedua ruas diintegralkan :
)
 d( uv)  vdu  udv




 uv  vdu  udv , maka

8
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


 u dv  uv   v du → Bentuk Umum integral Parsial


Contoh :
Tentukan  x sin x dx

Penyelesaian :
misalkan u = x dv = sin x dx

du = dx  dv  sin xdx  v  cos x
 x sin x dx = - x cos x -  cos xdx

= - x cos x + sin x + C


LATIHAN 5


Selesaikan integral berikut dengan pengintegralan parsial
1.  x x  4 dx

3
4
2.  8x 2 ( x  ) dx
x
3.  2 dx 3
1
(x  ) 2
4.  x cos x dx

x
5.  x 2 sin( 2  ) 1 dx
PERTEMUAN ke-11 dan ke-13
Indikator : 1. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada
koordinat.
2. Menghitung volume benda putar

E. LUAS DAERAH DAN VOLUME BENDA PUTAR

1. Luas Daerah antara dua kurva

Y C f(x) Luas Daerah diarsir
L = Luas ABCD – Luas ABFE
D b b

g(x) =  f ( x) dx  g( x) dx
F a a
b
=  ( f ( x)  g( x)) dx
E
X a
0 A B Jadi luas Daerah :
b b

L =  ( f ( x)  g( x)) dx = ( y 1  y ) dx
2
a a
Contoh :

9
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA




Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 2x dan y = 6x – x 2
2
Penyelesaian :
Absis perpotongan kedua kurva y1 = y2
x - 2x = 6x – x 2
2
2
2x – 8x = 0
x(2x – 8) = 0 maka x = 0 atau x = 4
4

2
Luas = (( 6 x  x )  x ( 2  2 x)) dx
0
4

= ( 8x  2x 2 )dx
0
 2 3  4 1 1
= 4x 2  3 x  0  = 21 3 - 0 = 21 3



LATIHAN 6
2
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x – 4x + 3, sumbu X, garis x = 4 dan
garis x = 5
3
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = sin 2x, sumbu X dari x = sampai
4
dengan x = 
3. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x – x dan y = 3x – x 2
2
2
2
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = 7 – x dan y = x – 2x + 1
5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x dan y = cos x


2. Volume benda Putar
a. Mengelilingi sumbu X
i. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan
garis x = b diputar mengeliligi sumbu X sejauh 360 :
0
b b
V    ( f ( x)) 2 dx atau V    y 2 dx

a a
ii. Volume benda putar yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) diputar
0
mengelilingi sumbu X sejauh 360 :
b b
2
V    ( f ( x)) 2  ( g( x)) 2 dx atau V    y  y 2 2 dx
1
a a





Contoh :


10
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA




Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 5x – x – 4 dan sumbu X
2
diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 0
Penyelesaian :
Titik potong sumbu X, maka y = 0
2
x – 5x + 4 = 0
( x – 1 )(x – 4 ) = 0 maka x = 1 atau x = 4
4
V =   y 2 dx

1
4
=   x 5 (  x  ) 4 2 dx
2
1
4
=   x ( 4  10 x  33 x  40 x 16 ) dx
3

2
1
1  5  4
=   5  x 5  2 x 4  11x 3  20x 2  16x  1 
 8 7  1
=  12  4   8 

 10 10  10



b. Mengelilingi sumbu Y
i. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x = f(y), sumbu Y, garis y = a, dan
garis x = b diputar mengeliligi sumbu Y sejauh 360 adalah :
0
b b
V    ( f ( y)) 2 dy atau V    x 2 dy
a a
ii. Volume benda putar yang dibatasi kurva x = f(y) dan x = g(y) diputar
mengelilingi sumbu Y sejauh 360 :
0
b b
V    ( f ( y)) 2  ( g( y)) 2 dy atau V    x  x 2 2 dy
2
1
a a
Contoh :

2
Hitunglah volume benda putar yang dibatasi kurva y = 4 – x , sumbu Y, garis y = 0
garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 0
Penyelesaian :
2
Kurva y = 4 – x , maka x = 4 – y
2
2
V =   x 2 dy
0
2
=   4 (  y) dy

0


11
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA



 1 2  2
=    4  2 y  0 
y
=  6(  ) 0  6 
LATIHAN 7
1. Tentukan volume benda putar yang dibatasi kurva y = x – 5x diputar mengelilingi
2
sumbu X sejauh 360 0
2
2
2. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi kurva y = x dan y = 8x – x diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360 0
3. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi kurva y = x dan y = x diputar
2
mengelilingi sumbu X sejauh 360 0
4. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi kurva y = x + 5, y = 2 dan y = 5 diputar
mengelilingi sumbu Y sejauh 360 0
5. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi kurva y = x dan x = y diputar
2
2
mengelilingi sumbu Y sejauh 360 0





















































12
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


RANGKUMAN


1. Bentuk integral
 f(x) dx = F(x) + C

2. Beberapa rumus integral tak tentu
a. Aljabar
1.  a dx = ax + C

n
2.  x dx = n 1 1 x n+1 + C , untuk n ≠ – 1


3.  ( f(x)  g(x) ) dx =  f(x) dx  g(x) dx
b. Trigonometri

1.  sin x dx = – cos x + C
2.  cos x dx = sin x + C

2
3.  sec x dx = tan x + C
3. Integral Tentu
a. Bentuk Umum

b
 f (x )dx  [F (x )]  F (b ) F (a )
b

a
a
b. Sifat-sifat integral tentu
b b
1.  cf ( x) dx  c  f ( x) dx , dengan c = konstanta
a a
b b b


2.  xf ( )  g( x)  dx  f ( x) dx  g( x) dx
a a a
c b b

3.  f ( x) dx  f ( x) dx   f ( x) dx , dengan a,b,c bil real
a c a
b a

4.  f ( x) dx   f ( x) dx
a b
b b
5.  f ( x) dx   f ( t) dt
a a
4. Teknik Pengintegralan
a. Subtitusi
 ( f ( x)) n d( f ( x   u n du
)
)






13
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


b. Subtitusi trigonometri

2
2
1. a  x , pemisalannya x = a sin  sehingga
a  x = a cos 
2
2
2
2. a  x 2 , pemisalannya x = a tan  sehingga
a  x = a sec 
2
2
2
3. x  a 2 , pemisalannya x = a sec  sehingga
x  a = a tan 
2
2
c. Parsial
 u dv  uv   v du

5. Luas daerah dan volume benda putar
a. Luas daerah

b b

L =  ( f ( x)  g( x)) dx = ( y 1  y ) dx
2
a a
b. Volume benda putar
1. Diputar terhadap sumbu X
☼ Oleh satu kurva
b b
V    ( f ( x)) 2 dx atau V    y 2 dx
a a
☼ Oleh dua kurva
b b
V    ( f ( x)) 2  ( g( x)) 2 dx atau V    y  y 2 2 dx
2
1
a a
2. Diputar terhadap sumbu Y
☼ Oleh satu kurva
b b
V    ( f ( y)) 2 dy atau V    x 2 dy
a a
☼ Oleh dua kurva
b b
V    ( f ( y)) 2  ( g( y)) 2 dy atau V    x  x 2 2 dy
2
1
a a















14
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


EVALUASI BAB I
I. Pilihlah jawaban yang paling tepat !

1. Nilai dari 2 x dx adalah ... a. 7
2
4 3 b. 8
a. x  C 3
2
3 7
3 4 c. 3
b. x  C
3
2 d. 4
3 3 3
c. x  C e. 2
2
4 3
2 4 Soal Ujian Nasional Tahun 2005
d. x  C 5
3

3 6. Hasil dari cos xdx  ....
4 2 1 6
.
e. x  C a.  cos x sin x  C
3
3 6
2.  2 cos( 4x  )dx  .... b. 1 cos 6 x sin x  C
.
5
6
a. 2 sin(4x + 5) + C c. 2 3 1 5
b. – 2 sin(4x + 5 ) + C  sin x  3 sin x  5 sin x  C
c. ½ sin(4x + 5) + C 2 3 1 5
d. – ½ sin(4x + 5) + C d. sin x  3 sin x  sin x  C
5
e. sin(4x + 5 ) + C 2 3 1 5
3 e. sin x  sin x  sin x  C
3. Diketahui  3 ( x 2  2x  )dx  25 . Nilai 1 a = 3 5
1
a 2 Soal Ujian Nasional Tahun 2005
a. – 4 
b. – 2 7.  . x sin xdx  ....
c. – 1 0 
d. 1 a. 4
e. 2 
Soal Ujian Nasional Tahun 2007 b. 3
 
4. Nilai  sin 2x . cos x dx .... c.

0 2
a.  4 d. 
3 e. 3
b.  1 2
3 Soal Ujian Nasional Tahun 2004
c. 1 8. Hasil  x 9  x 2 dx  ....
3
1
d. 2 a.  ( 9  x ) 9  x  C
2
2
3 3
e. 4 b.  2 9 (  x ) 9  x  C
2
2
3 3
Soal Ujian Nasional Tahun 2006 c. 2 9 (  x ) 9  x  C
2
2
1 3
5. Hasil dari  3x . 3x 2  dx ....

1
0
15
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA


d. 2 9 (  x ) 9  x  2 9 (  x ) 9  x  C Soal Ujian Nasional Tahun 2007
2
2
2
2
3 9 10. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2
dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi
e. 1 9 (  x ) 9  x  1 9  x  C sumbu x sejauh 360 . Volume benda
0
2
2
2
3 9 putar yang terjadi adalah …satuan
Soal Ujian Nasional Tahun 2001 volum.
9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y a. 2
= 15 3 
x dan garis x + y = 6 adalah … SL. b. 15 2 
2
a. 54 5
b. 32 c. 14 3 
c. 20 5 5
6 d. 14 2 
d. 18 5
e. 10 2 e. 10 3 
3 5
Soal Ujian Nasional Tahun 2004


II. Jawablah dengan tepat !

1. Tentukan nilai dari :
1 
2
1
a.  (x 2  ). cos xdx  .... b.  2x  sin x .dx  ....
0
2. Tentukan nilai dari :

2
2
2
1
a.  . x sin(x 2  )dx  .... b.  (sin x  cos x )dx  ....
0
3.
Perhatikan gambar disamping !
Tentukan luas daerah diarsir










4. Tentukan volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x 2
dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 0














16
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam