เมทริกซ์ คณิตศาสตร์ อ.เก่ง

[ MATRIX ]

เมทริกซ์

ปริยาภัทร พรสมบูรณ์ศิริ ม.4/3 เลขที่11

1

เมทริกซ์
คือ

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกใดๆ เขียนเรียงกัน
เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวใน
แนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์
เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียน วงเล็บ คร่อมตารางไว้

(ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม)

เช่น

เรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว
เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก
และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์
การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง
เช่น จากตัวอย่างด้านบน

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

2

เมทริกซ์

เรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ mxn
เรียกจำนวน m และ n ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์

ใช้สัญญลักษณ์ เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A ซึ่งมี

m แถว และ n หลัก โดยที่ (หรือ ) หมายถึง สมาชิกที่

อยู่ในตำแหน่ง แถว I และหลัก j ของเมทริกซ์

3

ประเภทเมทริกซ์

1.เมทริกซ์แถว

คือ เมทริกซ์ที่มีแถวเพียงแถวเดียว

2.เมทริกซ์หลัก

คือ เมทริกซ์ที่มีหลักเพียงหลักเดียว

3.เมทริกซ์จัตุรัส

คือ เมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์
ขนาด N × N ยกเว้น N = 1

4.เมทริกซ์ศูนย์

คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย 0

4

ประเภทเมทริกซ์

5.เมทริกซ์ทแยงมุม

คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่เหนือและใต้ทแยงมุมเป็นศูนย์

6.เมทริกซ์สเกลาร์

คือ เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกที่อยู่ในแนวทแยงมุมเท่ากัน และสมาชิก
ที่อยู่เหนือ, ใต้ทแยงมุมเป็นศูนย์

7.เมทริกซ์เอกลักษณ์

คือ เมทริกซ์จตุรัสที่สมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักทุกค่าเป็น 1 และ
สมาชิกตำแหน่งอื่น ๆ มีค่าเป็น 0 เราใชัสัญลักษณ์ แทนเมทริกซ์
เอกลักษณ์มิติ NXN

5

ประเภทเมทริกซ์

8.เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ทุกตัวที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุม
หลักมีค่าเท่ากับ 0 ตำแหน่งที่เหลือมีค่าเท่าใหร่ก็ได้

9.เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ทุกตัวที่อยู่บนส้นทแยงมุม
หลักมีค่าเท่ากับ 0 ตำแหน่งที่เหลือมีค่าเท่าใหร่ก็ได้

10.เมทริกซ์สมมาตร

คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัว
เอง สังเกตได้จาก เส้นทแยงมุม ซึ่งสมาชิกทุกตัวที่อยู่เหนือและใต้เส้น
ทแยงมุม จะมีค่าเท่ากันเหมือน การสะท้อน ใน กระจกเงา

6

ประเภทเมทริกซ์

11.เมทริกซ์เสมือนสมมาตร

คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่
สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม

7

การบวกเมทริกซ์

เมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันได้นั้น ต้องมีมิติเท่ากัน และการ
บวกจะนำสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน
เช่น

สมบัติของการบวกเมทริกซ์

1.สมบัติปิดการบวก คือ เมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันบวกกันแล้ว
ผลลัพธ์ยังเป็นเมทริกซ์เหมือนเดิมและมิติก็เท่าเดิมด้วย

2.สมบัติการสลับที่การบวก คือ ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ จะได้
ว่าA+B = B+A

3.สมบัติการเปลี่ยนหมู่ คือ (A+B)+C=A+(B+C)

4.สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก ซึ่งเอกลักษณ์การบวกของเม
ทริกซ์ คือ เมทริกซ์ศูนย์ (สมาชิกทุกตำแหน่งเป็น 0) เขียนแทน
ด้วย

5.สมบัติการมีตัวผกผัน คือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใดๆแล้วจะได้ว่า
(-A) เป็นเมทริกซ์ผกผันของ A ซึ่งเมื่อนำ A มาบวกกับ -A แล้ว
จะได้เมทริกซ์ศูนย์

8

การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง คือ การนำจำนวนจริงค่าหนึ่ง
คูณกับเมทริกซ์ ซึ่งวิธีการคูณแบบนี้สามารถนำจำนวนจริงนั้น
เข้าไปคูณกับสมาชิกในตำแหน่งในเมทริกซ์(ต้องคูณทุก
ตำแหน่ง) และเมทริกซ์นั้นจะเป็นกี่มิติก็ได้
เช่น

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ mxn และ c, d เป็นจำนวนจริง

1.(cd)A = c(dA) = d(cA)

2. c(A + B) = cA + cB

3. (c + d)A = cA + dA

4. 1(A) = A และ -1(A) = -A

9

การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ที่จะคูณกันได้ต้องมี
หลักเกณฑ์ดังนี้

1.) จำนวนหลักของเมทริกซ์ตัวหน้าต้อง เท่ากับ จำนวน
แถวของเมทริกซ์ตัวหลัง

2.) มิติของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเท่ากับ จำนวนแถวของตัว
หน้าคูณจำนวนหลักของตัวหลัง
เช่น

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเม
ทริกซ์

1.สมบัติการเปลี่ยนหมู่
ถ้า A, B และ C เป็นเมทริกซ์ที่สามารถคูณติดต่อกันได้ จะได้
A(BC) = (AB)C

2.สมบัติการมีเอกลักษณ์
เอกลักษณ์การคูณของเมทริกซ์ คือ In

3.สมบัติการรแจกแจง
(A + B)C = AC + BC
A(B +C) = AB + AC
แต่เมทริกซ์จะมีสมบัติการแจกแจง เมื่อ A + B, B + C, AB,
AC, BC สามารถหาค่าได้

10

การคูณเมทริกซ์

วิธีการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

11

การลบเมทริกซ์

การลบเมทริกซ์จะคล้ายๆกับการบวกเมทริกซ์เลย คือ มิติของ
เมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันจะต้องเท่ากัน แต่ต่างกันตรงที่
สมาชิกข้างในเมทริกซ์จะต้องนำมาลบกัน

เช่น

12

ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์ คือ ค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส
ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ A
ด้วย det(A) หรือ |A|
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2

การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3

13

ดีเทอร์มิแนนต์

สมบัติเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ขนาด n×n

1. โดยที่ คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

2.ถ้าสมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง (หรือหลักใดหลักหนึ่ง) เป็น 0 ทุกตัว
จะได้ว่า

3.ถ้า B คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับแถว (หรือหลัก) ของ A เพียง
คู่เดียว จะได้ว่า

4.ถ้า B เกิดจากการคูณค่าคงตัว c ในสมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง (หลัก
ใดหลักหนึ่ง) ของ A จะได้ว่า

5.

6. และ
7.

14

ดีเทอร์มิแนนต์

สมบัติเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ขนาด n×n

8.A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ

9.A เป็ยเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ

10.ถ้า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้วจะได้ว่า

11.ถ้า c เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า (n คือมิติของเมทริกซ์ A)

12.สามเหลี่ยมล่าง และสามเหลี่ยมบน
ถ้า สมาชิกที่อยู่ใต้เส้นทะแยงมุมหลัก (หรือบนเส้นทะแยงมุมหลัก)
เป็น 0 ทุกตัว จะได้ว่า ค่าดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับ ผลคูณของ
สมาชิกเส้นทะแยงมุมหลัก

15

อินเวอร์ส

หมายถึง อินเวอร์สของการคูณของเมตริกซ์ ซึ่งเมตริกซ์ที่จะ
หาอินเวอร์สได้นั้นจะต้องมีค่ากำหนดไม่เท่ากับศูนย์ อินเวอร์ส
ของเมตริกซ์ A จะใช้สัญญาลักษณ์ A-1 ทั้งนี้ A A-1= A-1A
การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 1x1

การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 2x2

กำหนดให้ a,b,c,d € R

16

กฎของคราเมอร์

วิธีการนี้เป็นอีกวิธีที่ใช้ช่วยแก้ระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งคิดค้น
โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ชื่อ Gabrial Cramer

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปรโดยใช้
กฏของคราเมอร์

ให้ระบบสมการเชิงเส้น

เมื่อ a1,a2,b1,b2,d1,d2 เป็นค่าคงตัว สามารถใช้กฏของคราเมอร์
หาคำตอบของระบบสมการได้เช่นกันโดยที่

โดยกฎของคราเมอร์จะได้คำตอบของระบบสมการนี้ คือ

17

กฎของคราเมอร์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปรโดยใช้
วิธีของคราเมอร์

ให้ระบบสมการเชิงเส้น

เมื่อ a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,d1,d2,d3 เป็นค่าคงตัว สามารถ
เขียนในรูปของ AX=D ได้ดังนี้

โดยกฎของคราเมอร์จะได้คำตอบของระบบสมการนี้ คือ

สำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์ของเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่า สามารถทำได้
โดยใช้หลักการเดียวกัน

Thyoaun!k