เซต ชลหญิง

น่วยก ร รยนร้ท ซต ( Sets )

คว ม ม ยข ง ซต

ซต ปนค นย ม ( Underfined Term ) ค ว่ ซต ช้ ทน งท ปนกล่มข งคน ตว์ ร งข งซงม
คว ม ม ย ดยวกบค ล ยค นภ ทย ช่น กลม่ ฝง ม่ ชด ล

งท ย่ น ซต รยกว่ ม ชก ( Element ) ข ง ซต ช้ ญลก ณ์ ทนค ว่ ปน ม ชกข ง
ล ช้ ญลก ณ์ ทนค ว่ ม่ ปน ม ชกข ง

ตว ย่ งท ก นด ้ A = { 1 , 2 , 5} จ ดว้ ่ A
1 ปน ม ชกข ง A ร ย่ น A ขยน ทนดว้ ย 1 A A
2 ปน ม ชกข ง A ร ย่ น A ขยน ทนดว้ ย 2 A
5 ปน ม ชกข ง A ร ย่ น A ขยน ทนดว้ ย 5 A
3 ม่ ปน ม ชกข ง A ร ม่ ย่ น A ขยน ทนดว้ ย
ม่ ปน ม ชกข ง A ร ม่ ย่ น A ขยน ทนดว้ ย

ก ร ขยนช ซต ดยทว ปนยม ช้ ก รภ งกฤ ตวพมพ์ ญ่ ช่น A , B , C รยกช ซต ล ช้ ก ร
ภ งกฤ ตวพมพ์ ลก ช่น a , b , c ขยน ทน ม ชกข ง ซต

้ A = { a , e , i , o , u } ่ นว่ A ปน ซตทม a , e , i , o ล u ปน ม ชก

วธก ร ขยน ซตม 2 วธ

1. วธก ร ขยน ซต บบ จก จง ม ชก ( Roster or Tabular Form ) ปนวธก ร ขยน ซต ดย ขยน
ม ชก ต่ล ตวข ง ซตลง น คร ง ม ยวง ลบปกก ล ช้ คร ง ม ยจลภ ค ( , ) คนร ว่ ง ม ชก ต่ล ตว
ช่น ซตข งจ นวนนบทน้ ยกว่ ร ท่ กบ ขยน ทนดว้ ย { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

ถ้ ม ชกมจ นวนม ก ้ ชจ้ ด มจด ( ) ต่ ท้ ย พ ดงว่ ม ม ชก น ซง ปนท ข้ จกนทว ป
ว่ ม รบ้ ง ย่ น ซต ตว ย่ ง ช่น ซตข งจ นวนนบทน้ ยกว่ 11 ขยน ทนดว้ ย { 1 , 2 , 3 , , 10 } ดงว่
ม , , , , ล ปน ม ชกข ง ซตดว้ ย

มย ต

1. ซต ดทม ม ชกตว ดยวกนปร กฏม กกว่ 1 ครง ถ้ ว่ ปน ม ชก พยงตว ดยว
ช่น { 1 , 2 , 1 } = { 1 , 2 }

2. ม ชก น ซต ม รถ ลบทกน ด้ ดย มถ่ ต น่ง ช่น { 1 , 2 , 3 } = { 2 , 3 , 1 } = { 3 , 1 , 2 }

รงเรียนชลกันยานกุ ูล 1
เซต

3. ม ชก น ซต จ ปน ซต กก ด้ ชน่ A = { a , { b } , { c , d } } ซต A ม ม ชกทง มด 3 ตว

ตว ย่ งท จง ขยน ซตต่ ปน บบ จก จง ม ชก

1. ซตข ง ร นภ งกฤ ขยน ปน A = ..
..
2. ซตข งจ นวนค่ ขยน ปน B = ..

3. ซตข งจ นวนนบตง ต่ 1 ถง 100 ขยน ปน C =

2. วธก ร ขยน ซต บบบ ก ง น ข ร บบบรรย ยลกษณ ( Builder or Descriptive Form )
ขยน ดย ชว้ ง ลบปกก ล้ มร บตว ปรท ปนตว ทนข ง ม ชก น ซต พร้ มทงบ ก ง น ขข งก ร ปน
ม ชก ดย ช้ คร ง ม ย | คนร ว่ งตว ปร ล ง น ข

ตว ย่ งท 3 A = { x | x ปนพยญชน ้ ตว รก นภ งกฤ } งกฤ คร ง ม ย
่ นว่ A ปน ซตซงปร ก บดว้ ย ม ชก x ดยท x ปนพยญชน ้ ตว รก นภ
ทนค ว่ “ ดยท ”

ญลก ณ์ท ช้ ทน ซตข งจ นวนต่ ง
ทน ซตข งจ นวน ตม ( Integer )

+ ทน ซตข งจ นวน ตมบวก ( Positive Integer )
ทน ซตข งจ นวน ตมลบ ( Negative Integer )

0 ทน ซตข งจ นวน ตม นย์ ( Zero Integer )
Q ทน ซตข งจ นวนตรรกย ( Rational Number or Quotient )
Q/ ทน ซตข งจ นวน ตรรกย ( Irrational Number )
Q + ทน ซตข งจ นวนตรรกย ท ปนบวก ( Positive Rational Number )
Q ทน ซตข งจ นวนตรรกย ท ปนลบ ( Negative Rational Number )
R ทน ซตข งจ นวนจรง ( Real Number )
R + ทน ซตข งจ นวนจรงบวก ( Positive Real Number )
R ทน ซตข งจ นวนจรงลบ ( Negative Real Number )
N ทน ซตข งจ นวนนบ ( Counting Number or Natural Number )
O ทน ซตข งจ นวนค ( Odd Number )
E ทน ซตข งจ นวนค่ ( Even Number )
P ทนจ นวน ฉพ (Prime number)

รงเรยี นชลกันยานกุ ลู 2
เซต

ตวอย่ งท 4 จง ขยน ซตต่ ปน บบ จก จง ม ชก ...
1. ซตข งจ นวน ตมทม กกว่ ...

2. ซตข งจ นวน ตมบวกท ปนจ นวนค่

ตว ย่ งท 5 จง ขยน ซต A ล B บบ จก จง ม ชก ...
1) ก นด A = { x | x ปนจ นวน ตมทม กกว่ 5 ล น้ ยกว่ 15 } .

B = { x | x ปนจ นวนค่บวก ล x < 21 } ...
...
2) ก นด A = { x | x I ล x + x = 14 }
B = { x | x R ล x2 + x = -1 }

ชนดข ง ซต

1. ซตจ กด ( Finite Sets ) ค ซตทมจ นวน ม ชก ท่ กบจ นวน ตมบวก ร นย์ จ นวน ม ชก

ข ง ซต A (The number of elements in set A) ขยน ทนดว้ ย n (A) ช่น

A = { x | x ปนพยญชน นภ ทย } n (A) = ตว

B = { x | x I ล x2-3x-4 = 0 } n (B) = ตว

C = { x | x I- ล x2 < 0 } n (C) = ตว

D={} n (D) = ตว

2. ซตว่ ง ( Empty Set or Null Set ) ค ซตท ม่ม ม ชก ลย ช้ ญลก ณ์ ร { }
ญลก ณ์ ปน ก รกรก ่ นว่ ฟ ย ( phi ) ช่น
A = { x | x I+ ล x + 2 = x }, B = { x | x I ล x2 + 1 = 0 }, C = { x | x I- ล x > -1 }

3. ซต นนต์ ( Infinite Sets ) ค ซตท ม่ ช่ ซตจ กด ล ม่ ม รถบ กจ นวน ม ชก ด้ น่น น

ล ชจ้ ด มจด ทน ม ชก น ซง ปนท ข้ จว่ ยงม ม ชก ด กบ้ งท ย่ น ซต ช่น
1
A={1,2,3, } ล B={1, 1 , 1 , 27 , }
3 9
=

รงเรียนชลกนั ยานกุ ลู 3
เซต

4. ซตท ท่ กน ( Equal Sets or Identical Sets ) ค ซตทม ม ชก ม นกนทกตว ต่ จ รยง ม ชก

ต่ งกน ร จจ ม ม ชกบ งตวซ กนก ด้ ช่น

1. A = { x | x ทนพยญชน นค กรรมก ร A = ..

B = { x | x ทนพยญชน นค ร ก ม้ = ..

.

2. C = { 1 , 2 } ล D = { 2 , 1 } .

3. ก นด ้ G = {x | x I ล x2 x 12 = 0 } = } ..
U = {x | x I ล x2 = 25} = ..

N = {x | x I ล (x 5)(x + 5) = 0 } = ..
ซตค่ ด ท่ กนบ้ ง

..

5. ซตท ทยบ ท่ กน ( Equivalent Sets ) ค ซตทมจ นวน ม ชก ท่ กน ร จบค่กน บบ 1 1 ด้

ช่น A = { 1 , 2 , 5 } ล B = { a , b , c } .

กภพ มพทธ์ ( Relative Universe )

กภพ มพทธ์ ค ซตทก นดขน ดยมข้ ตกลงว่ จ มก่ ล่ วถง ง ดน ก น ปจ ก ม ชก
ข ง ซตทก นดขนน นยม ช้ ทน กภพ มพทธ์

ตวอย่ งท

1. ก หนด ห้ คอ ซตของจ นวนจรง

ถ้ A = { x | x2 = 9 } ล B = { x | x3 = -8 }

จ ด้ A = . ล B=

ต่ถ้ ก นด ้ ค ซตข งจ นวน ตมบวก

จ ด้ A = ... ล B =

2. ก นด ้ = { x | x ปนจ นวน ตม ล 10 < x 23}

A = { x | x ปนจ นวน ฉพ } ดว้ ่ A = .
.
B = { x | x รดว้ ย 3 ลงตว} ดว้ ่ B = .

C = { x | x > 17} ดว้ ่ C =

รงเรยี นชลกนั ยานุกลู 4
เซต

บ ซต ( Subsets )

ซต A ปน บ ซตข ง ซต B กต่ ม ม ชกทกตวข ง ซต A ปน ม ชกข ง ซต B
ขยน ทนดว้ ย ญลก ณ์ A B

ซต A ม่ ปน บ ซตข ง ซต B กต่ ม ม ม ชกข ง ซต A ย่ งน้ ย นงตวท ม่ ปน ม ชกข ง
ซต B ขยน ทนดว้ ย ญลก ณ์ A B

ตว ย่ งท 7 ก นด ้ A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5}, C = {1, 3, 5, 7} ล D = {2, 3, 5, 9}

จงพจ รณ ว่ ซต ด ปน บ ซตข ง ซต ด

...

...

ตว ย่ งท 8

1. จงพจ รณ ว่ ซตต่ ปน ปน บ ซตกน ร ม่

1) A = { 2, 3 } , B = { 2, 3, 4 } จ ด้ A B .. .

2) A = { 3, 4, 5 } , B = { 4, 5, 6 } .. . ...

3) A = { 2, { 3 } } , B = { 0, 2, { 3 }... ...

4) A = { 3, { 4 } } , B = { { 3 }, 4 } ..

2. ตม ญลก ณ์ ร พ ดงว่ ซตค่ ดต่ ปน ปน บ ซต ล ม่ ปน บ ซต.

1) { 1 } { 1, 2, 3, { 1 } }

2) { 1, { 1 } } { 1, 2, 3, { 1 } }

3) { 4, 5 } { 1, { 2 }, { 4, 5 } }

4) { { 3 }, 1, { 4 , 5 } } { 1, { 2 }, { 3 }, { 4, 5 } }

5) { { 1 }, { 2 }, } { 1, 2, { 1, 2 }, }

ตว ย่ งท 9 ก นด ้ A = { a, b, c } จง บ ซตท ปน ป ดท้ ง มดข ง ซต A
บ ซตท ปน ป ดท้ ง มดข ง ซต A ค ซตทง มดทม ม ชกซง ปน ม ชกข ง A จง ด้ ก่

ข้ ง กต
* ซตทก ซต ปน บ ซตข งตว ง นนค ถ้ A ปน ซต ด ลว้ A A
** ซตว่ ง ปน บ ซตข งทก ซต นนค ถ้ A ปน ซต ด ลว้ A

รงเรียนชลกันยานุกูล 5
เซต

ตว ย่ งท 10 ...
. ก นด ้ B = { 1, 2 } จง บ ซตทง มดข ง ซต B ...

2. ก นด ้ C = {1, {2,3}, } จง บ ซตทง มดข ง ซต C ...
I ...

ตว ย่ งท 11

. ก นด A = { , { }, 1, { 1 } } จง ตม คร ง ม ยถก ร ผด น้ ข้ ต่ ปน

1) A 7) { , 1 } A

2) A 8) { { , 1 } } A

3) } A 9) { } A

4) { } } A 10) { { }, { 1 } } A

5) 1 } A 11) { { }, 1 } A

6) { 1 } } A 12) { 1, { 1 } } A

2. ตม คร ง ม ย น้ ข้ คว มทถกต้ ง ล ตม คร ง ม ย น้ ข้ คว มท มถ่ กต้ ง

1) { 0, 1 } { 0, 1, { 2, 3}, {4} } 9) 0 { 0, , {1} }

2) 0, 1 { 0, 1, { 2, 3}, {4} } 10) 0 { 0, , {1} }

3) { {2, 3} } { 0, 1, { 2, 3}, {4} } 11) { 0 } { 0, , {1} }

4) { {4} } { 0, 1, { 2, 3}, {4} } 12) { 1 } { 0, , {1} }

5) {2, 3} { 0, 1, { 2, 3}, {4} } 13) { 1 } { 0, , {1} }

6) { 4 } { 0, 1, { 2, 3}, {4} } 14) { { 1 } } { 0, , {1} }

7) { 0, , {1} } 15) { 0, , {1} }

8) { } { 0, , {1} }

รงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู 6
เซต

บ ซต ท้ ( Proper Subset ) ...
...
นย ม ก นด ้ A ล B ปน ซต
1) A ปน บ ซต ทข้ ง B กต่ ม A B ล A B ...
2) A ปน บ ซต ม่ ทข้ ง B กต่ ม A B ล A = B ...

ตวอย่ งท 12
1. A = { a, b, c } จง บ ซตทง มด พร้ มทงบ ก บ ซต ท้ ล บ ซต ม่ ท้

2. ้ D = { 1, 2, 3}. จง บ ซตทง มดข ง D ล บ ก บ ซต ท้

มบตข ง บ ซต ้ A , B ล C ปน ซต ด
1) A ( ซตว่ ง ปน บ ซตข งทก ซต )
2) A A ( ซตทก ซต ปน บ ซตข งตวมน ง )
3) ถ้ A B ล B A ลว้ A = B
4) ถ้ A ล B ปน ซตจ กด ล A B ลว้ n ( A ) n ( B )
5) ม A ปน ซตจ กด จ ดว้ ่ จ นวน บ ซตทง มดข ง A = 2n ม n ปนจ นวน ม ชกทง มดข ง ซต A
6) ม A ปน ซตจ กด จ นวน บ ซต ทข้ ง A = 2n-1 ซต ม n ปนจ นวน ม ชกทง มดข ง ซต A

รงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล 7
เซต

พ ว ร์ ซต ( Power Set )

นย ม พ ว ร์ ซตข ง ซต A ม ยถง ซตข ง บ ซตทง มดข ง ซต A ขยน ทนดว้ ย ญลก ณ์
P(A) นนค P(A) = { x | x A }

ตว ย่ งท 13 จง พ ว ร์ ซตข ง ซต ล่ น
1) A =
2) B = { 1 } .
3) C = { 2, {3} } .
.
4) ก นด ้ A = { 2 } จง P(P(A)) ...

5) จง P(P(P( ))) ...
...
6) ก นด ้ A = { a, b, c } ล B = { a, b, c, d } จง P(A) ล P(B)
...
...
...

...
...
...
...
...

ข้ ง กต
1. นกรณท A ปน ซตจ กด ล n(A) = k ลว้ n(P(A)) = 2k
2. นกรณท A ปน ซต นนต์ ร ร้ ง P(A) ด้ ต่ ปน ซต นนตด์ ว้ ย

รงเรียนชลกันยานกุ ูล 8
เซต