เมทริกซ์ (1)

เมทริกซ์

จัดทำโดย

นายชวินธร ธนรักษ์
4/1 25

ประเภทของเมทริกซ์

1. เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์
เขียนแทนด้วย 0

2. เมทริกซ์แถว (Row matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีแถวเพียงแถวเดียว

3. เมทริกซ์หลัก (Column matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีหลักเพียงหลัก
เดียว
4. เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับ
จานวนหลัก (มีมิติ n´ n)

เมทริกซ์จัตุรัสยังอาจแบ่งประเภทย่อยๆได้เป็น
1) เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix) คือ เมทริกซ์ที่นิยามโดย

2. เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular matrix) คือ เมทริกซ์ซึ่งมี
สมาชิกที่อยู่เหนือหรือใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทั้งหมด

ข้อควรรู้ เส้นทแยงมุมหลัก (main
diagonal) คือ เส้นทแยงมุมของเม
ทริกซ์จัตุรัสที่ลากจาก มุมซ้ายบนไปยัง
มุมขวาล่างของเมทริกซ์

การบวก ลบ และคูณ
เมทริกซ์

การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์ เราจะนำสมาชิกของเมทริกซ์แต่ละเม
ทริกซ์มาบวก ลบ คูณกัน ซึ่งการดำเนินการเหล่านี้มีสมบัติและข้อยกเว้น
ต่างกันไป เช่น การบวกต้องเอาสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน
เป็นต้น
การบวกเมทริกซ์
เมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันได้นั้น ต้องมีมิติเท่ากัน และการบวกจะนำ
สมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน
เช่น

การลบเมทริกซ์
การลบเมทริกซ์จะคล้ายๆกับการบวกเมทริกซ์เลย คือ มิติของเมทริกซ์ที่
จะนำมาบวกกันจะต้องเท่ากัน แต่ต่างกันตรงที่สมาชิกข้างในเมทริกซ์จะ
ต้องนำมาลบกัน เช่น
สมบัติการบวกเมทริกซ์

1.สมบัติปิดการบวก คือ เมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันบวกกันแล้วผลลัพธ์ยัง
เป็นเมทริกซ์เหมือนเดิมและมิติก็เท่าเดิมด้วย

2.สมบัติการสลับที่การบวก คือ ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ จะได้ว่า A
+B = B +A

3.สมบัติการเปลี่ยนหมู่ คือ (A + B) + C = A + (B + C)
4.สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก ซึ่งเอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์

คือ เมทริกซ์ศูนย์ (สมาชิกทุกตำแหน่งเป็น 0) เขียนแทนด้วย
5.สมบัติการมีตัวผกผัน คือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใดๆแล้วจะได้ว่า (-A)

เป็นเมทริกซ์ผกผันของ A ซึ่งเมื่อนำ A มาบวกกับ -A แล้วจะได้เม
ทริกซ์ศูนย์

การคูณเมทริกซ์ ด้วยจำนวนจริง
การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงคือ การนำจำนวนจริงค่าหนึ่งคูณกับเม
ทริกซ์ ซึ่งวิธีการคูณแบบนี้น้องๆสามารถนำจำนวนจริงนั้นเข้าไปคูณกับ
สมาชิกในตำแหน่งในเมทริกซ์ (ต้องคูณทุกตัวแหน่ง) และเมทริกซ์นั้นจะ
เป็นกี่มิติก็ได้ เช่น

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง
ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ m×n และ c, d เป็นจำนวนจริง

1.(cd)A = c(dA) = d(cA)
2.c(A + B) = cA + cB
3.(c + d)A = cA + dA
4.1(A) = A และ -1(A) = -A
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
เมทริกซ์ที่จะคูณกันได้ต้องมีหลักเกณฑ์ดังนี้
1.) จำนวนหลักของเมทริกซ์ตัวหน้าต้อง เท่ากับ จำนวนแถวของเมทริกซ์
ตัวหลัง
2.) มิติของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเท่ากับ จำนวนแถวของตัวหน้าคูณจำนวน
หลักของตัวหลัง
เช่น

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
1.) สมบัติการเปลี่ยนหมู่
ถ้า A, B และ C เป็นเมทริกซ์ที่สามารถคูณติดต่อกันได้ จะได้ A(BC) =
(AB)C
2.) สมบัติการมีเอกลักษณ์
เอกลักษณ์การคูณของเมทริกซ์ คือ
น้องๆสามารถทำความรู้จักกับเมทริกซ์เอกลักษณ์เพิ่มเติม ได้ที่ >>> เม
ทริกซ์เอกลักษณ์
**เมทริกซ์ที่มีเอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัส
3.) สมบัติการรแจกแจง
(A + B)C = AC + BC
A(B +C) = AB + AC
แต่!! เมทริกซ์จะมีสมบัติการแจกแจง เมื่อ A + B, B + C, AB, AC, BC
สามารถหาค่าได้

ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือ ค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับเม
ทริกซ์จัตุรัส ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ
A ด้วย det(A) หรือ
โดยทั่วไปการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เจอในข้อสอบจะไม่เกินเมทริกซ์ 3×3
เพราะถ้ามากกว่า 3 แล้ว จะเริ่มมีความยุ่งยาก
**ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นจำนวนจริงและมีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่จะ
สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส เช่น เมทริกซ์ B ก็จะมีค่าดีเทอร์มิแนนต์
เพียงค่าเดียวเท่านั้น**

การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2

หลักการจำคือ คูณลง ลบ คูณขึ้น

การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3×3 จะซซับซ้อนกว่า 2×2 นิด
หน่อย แต่ยังใช้หลักการเดิมคือ คูณลง ลบ คูณขึ้น และสิ่งที่เพิ่มมาก็คือ
การเพิ่มจำนวนหลักเข้าไปอีก 2 หลัก ซึ่งหลักที่เพิ่มนั้นก็คือค่าของ 2
หลักแรกนั่นเอง
สมบัติเกี่ยวกับ ดีเทอร์มิแนนต์

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (ทับศัพท์ว่า ทรานสโพส) คือ
เมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็น
แถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ A ที่มีมิติ m × n
จะเขียนแทนด้วย A*T (บางครั้งอาจพบในรูปแบบ A*t,A*tr, t*A
หรือ A*′) ซึ่งจะมีมิติเป็น n × m (สลับกัน) นิยามโดย

สำหรับทุกค่าของ i และ j ที่ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ m ตัวอย่างเช่น

คณุ สมบัติ
กำหนดให้เมทริกซ์bA,B และ สเกลาร์ c คุณสมบัติของเมทริกซ์สลับ
เปลี่ยนมีดังนี้
1.เมทริกซ์ที่สลับเปลี่ยนสองครั้งจะได้เมทริกซ์ต้นแบบ

2.การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติการกระจายในการบวก เมื่อ
เมทริกซ์ทั้งสองสามารถบวกกันได้
3.การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติการกระจายในการคูณ เมื่อ
เมทริกซ์ทั้งสองสามารถคูณกันได้ โปรดสังเกตว่าลำดับของการคูณจะ
เรียงย้อนกลับ ไม่ว่าจะมีกี่เมทริกซ์ก็ตาม

4.การสลับเปลี่ยนของสเกลาร์ ก็จะได้สเกลาร์ตัวเดิม จึงสามารถดึงตัว
ร่วมออกมาได้
5.ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะมีค่าเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์
สลับเปลี่ยน

6.ผลคูณจุด (dot product) ของเวกเตอร์สองคอลัมน์ a กับ b
สามารถคำนวณได้จาก
7.เมทริกซ์ผกผันของการสลับเปลี่ยน เท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ
การผกผัน

เมทริกซ์แต่งเติม

เมทริกซ์แต่งเติม (อังกฤษ: augmented matrix) คือเมทริกซ์ที่เกิด
จากการรวมกันของเมทริกซ์อื่นสองเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากัน เพื่อ
ประโยชน์ในการคำนวณหาตัวผกผันของเมทริกซ์และการแก้ระบบ
สมการเชิงเส้นเป็นต้น
ตัวอย่าง กำหนดให้เมทริกซ์ A และ B

จะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B) เท่ากับ

ตัวอย่าง

เมทริกซ์ผกผัน

นระบบจานวนจริง จานวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ย่อมมีอินเวอร์สการคูณ
เมทริกซ์ก็มีอินเวอร์สการคูณ เช่นกัน สาหรับในหัวข้อนี้ เราจะมาศึกษา
เกี่ยวกับอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์

กฎของคราเมอร์

ระบบจานวนจริง จานวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ย่อมมีอินเวอร์สการคูณ เม
ทริกซ์ก็มีอินเวอร์สการคูณ เช่นกัน สาหรับในหัวข้อนี้ เราจะมาศึกษา
เกี่ยวกับอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์