άλγεβρα α΄λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ

α΄λυκείου

Ταμβάκης Θανάσης

περιλαμβάνει:

• Αναλυτική Θεωρία
• Μεθοδολογία και σχόλια για

τη λύση των ασκήσεων

• Ασκήσεις προς λύση
• Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις
• Θέματα που καλύπτουν όλο το

φάσμα της ύλης.

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

Σύνολα

1

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

2

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

ΣΥΝΟΛΑ

• Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή
μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα απ΄ το άλλο.

• Βασικά αριθμητικά σύνολα
→ Φυσικοί αριθμοί Ν. Είναι οι αριθμοί 0,1,2,3,……….
→ Ακέραιοι αριθμοί Ζ. Είναι οι ……..,-3,-2,-1,0,1,2,3,………..
→ Ρητοί αριθμοί Q. Είναι όσοι έχουν (ή μπορούν να πάρουν) τη μορφή , με α,β Ζ και β 0.

Στους ρητούς ανήκουν οι τέλειοι δεκαδικοί (π.χ. 1,25) και οι περιοδικοί δεκαδικοί (2,33333…)

→ Άρρητοι αριθμοί. Είναι όσοι δεν μπορούν να γραφούν σε μορφή . Στους άρρητους ανήκουν

οι μη περιοδικοί δεκαδικοί (1,2890834672….) και οι ρίζες που έχουν άπειρα δεκαδικά (√2 ,√7)
→ Πραγματικοί αριθμοί R. Είναι όλοι οι αριθμοί είτε είναι ρητοί είτε άρρητοι.
• Παράσταση συνόλου
→ Με αναγραφή των στοιχείων του. Γράφουμε όλα τα στοιχεία ανάμεσα σε δυο άγκιστρα, από

μια φορά το καθένα, χωρίζοντάς τα με κόμμα.
π.χ. το σύνολο των μονοψήφιων άρτιων αριθμών είναι το Α={2,4,6,8}
→ Με περιγραφή των στοιχείων του. Περιγράφουμε μια ιδιότητα που έχουν τα στοιχεία του.
Έτσι αν από ένα σύνολο Ω επιλέξουμε εκείνα τα στοιχεία που έχουν μια ιδιότητα Β, τότε
δημιουργούμε το σύνολο {χ Ω/το χ έχει την ιδιότητα Β}
π.χ. το σύνολο των περιττών ακεραίων αριθμών είναι το Α={χ Ζ/χ είναι περιττός}
• Ίσα σύνολα. Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία (ακόμα αν

κι αυτά είναι γραμμένα με διαφορετική σειρά). Συμβολίζουμε Α = Β.
•Kενό σύνολο. Είναι το σύνολο το οποίο δεν έχει κανένα στοιχείο. Συμβολίζεται ∅ ή { }

3

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

• Υποσύνολο συνόλου. Το Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι
και στοιχείο του Β. Συμβολίζουμε Α⊆Β.
Ισχύει: → Α⊆Α για κάθε σύνολο Α.
→ Αν Α⊆Β και Β⊆Γ, τότε Α⊆Γ.
→ Αν Α⊆Β και Β⊆Α, τότε Α=Β.
→ Ν⊆Ζ⊆Q⊆R.

• Βασικό σύνολο (σύνολο αναφοράς) Ω, είναι το σύνολο από τα στοιχεία του οποίου δημιουργούμε
άλλα σύνολα.

• Διαγράμματα Vennείναι κλειστές γραμμές με τις οποίες παριστάνουμε τα σύνολα.

Ω Α ⊆ Ω Α ⊆ Β ⊆ Ω

• Πράξεις συνόλων.
→ Ένωση συνόλων Α∪B={x Ω/χ Α ή χ Β}. Είναι το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά και τα

μη κοινά στοιχεία των δυο συνόλων.
Ισχύει: α) αν Α⊆Β, τότε Α∪Β=Β
β) Α∪ ∅=Α και Α∪Α=Α
γ) Α⊆(Α∪Β) και Β⊆(Α∪Β)
π.χ. έστω Α={1,2,3,4} και Β={3,4,5,6,7}

τότε Α∪Β={1,2,3,4,5,6,7}

4

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

→ Τομή συνόλων Α∩Β={χ Ω/χ Α και χ Β}. Είναι το σύνολο που αποτελείται μόνο από τα κοινά
στοιχεία των δυο συνόλων.
Ισχύει: α) αν Α⊆Β, τότε Α∩Β=Α

β) Α∩ ∅=∅ και Α∩Α=Α
γ) Α∩Β⊆Α και Α∩Β⊆Β
δ) αν Α∩Β=∅, τα Α, Β λέγονται ξένα μεταξύ τους

π.χ. έστω Α={1,2,3,4,5} και Β={4,5,6,7}
τότε Α∩Β={4,5}

→ Συμπλήρωμα του συνόλου Α ως προς το Ω, είναι το Α’={χ Ω/χ∉Α}. Είναι το σύνολο των
στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α.
Ισχύει: α) Ω’=∅ και ∅′=Ω
β) Α∩Α’=∅ και Α∪Α’=Ω
γ) (Α’)’=Α
π.χ. έστω Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9} και Α={1,3,5,7,9}
τότε Α’={2,4,6,8}

→ Διαφορά συνόλων Α – Β ={χ Ω/χ Α και χ∉Β}. Είναι το σύνολο των στοιχείων του Α που δεν

ανήκουν στο Β.

π.χ. έστω Α={1,2,3,4,5} και Β={3,4,5,6} ΑΒ

τότε Α –Β ={1,2} και Β – Α ={6}

5

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

• Λυμένα παραδείγματα

1. Θεωρούμε ως βασικό σύνολο το Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} καθώς και τα

υποσύνολά του Α={χ Ω/χ άρτιος} και Β={χ Ω/χ πολλαπλάσιο του 3}.

α) Να παραστήσετε τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους.
β) Να βρείτετασύνολα: (i) A∪B , (ii) A∩B , (iii) A’ , (iv) B’ , (v) (A∪B)’ , (vi) A∩B’

Λύση.

α) Α={2,4,6,8,10,12,14} και Β={3,6,9,12,15}
β) (i) A∪B={2,3,4,6,8,9,10,12,14,15} , (ii) A∩B={6,12} , (iii) A’={1,3,5,7,9,11,13,15}

(iv) B’={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14} , (v) (A∪B)’={1,5,7,11,13} , (vi) A∩B’={2,4,8,10,14}

2. Έστω το βασικό σύνολο Ω={1,2,3,4,5} και τα σύνολα Α={χ Ω/(χ-1)(χ-2)(χ-3)=0},
Β={χ Ω/2 χ 5}. α) Να βρείτε τα σύνολα (Α∪Β)’ , Α’∩Β’ , Α’∪Β’ , (Α∩Β)’ .
β) Τι παρατηρείτε;

Λύση.
α) Από την εξίσωση έχουμε (χ-1)(χ-2)(χ-3)=0⇔χ=1 ή χ=2 ή χ=3. Άρα τα σύνολα είναι
Α={1,2,3} και Β={2,3,4}

→ Α∪Β={1,2,3,4}, άρα (Α∪Β)’={5}
→ Α’={4,5} , Β’={1,5} , άρα Α’∩Β’={5}
→ Α’∪Β’={1,4,5}
→ Α∩Β={2,3} , άρα (Α∩Β)’={1,4,5}

β) Παρατηρούμε ότι (Α∪Β)’=Α’∩Β’ και Α’∪Β’=(Α∩Β)’.

3. Έστω τα σύνολα Α={(χ,y)/χ Ν,y Ν και χy=3} , Β={(χ,y)/χ Ν,y Ν και χ+y=4}.
α) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα Α και Β.
β) Να εξετάσετε αν ισχύει Α⊆Β.

6

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

Λύση.
α) Α={(1,3),(3,1)} και Β={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.
β) Επειδή και τα δυο στοιχεία του Α ανήκουν στο Β, άρα Α⊆Β.

4. Στο διπλανό σχήμα έχουμε το διάγραμμα

Vennγια τα υποσύνολα Α και Β ενός ΑΒ

Βασικού συνόλου Ω. .2 .4 .5 .7

Βρείτε τα σύνολα: .1 .3 .6
α)Α∪Β, β) Α∩Β, γ) Α’, δ) (Α∪Β)’, ε) (Α∩Β)’, στ) Α-Β Ω

Λύση.
α) Α∪Β={1,2,3,4,5,6} , β) Α∩Β={3,4} , γ) Α’={5,6,7} , δ) (Α∪Β)’={7} ,
ε) (Α∩Β)’={1,2,5,6,7} , στ) Α-Β={1,2}.

5. Με βασικό σύνολο το Ω={1,2,3,4,5} θεωρούμε τα υποσύνολα Α={1,χ} και Β={1,χ-1,6-χ}, χ 1,
για τα οποία ισχύει Α⊆Β.
α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό χ.
β) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα:
i) Α∩Β , ii) A∪B , iii) A-B , iv) A’-B’ , v) (B-A)’ , vi) A’∩B’

Λύση.
α) Επειδή τα στοιχεία του Α ανήκουν στο Β, ισχύει χ=χ-1 ή χ=6-χ ⇔ 0=-1(αδύνατο) ή 2χ=6⇔χ=3
β) Για χ=3 , Α={1,3} και Β={1,2,3}. Άρα

i) A∩B={1,3} , ii) A∪B={1,2,3} , iii) A-B=∅ , iv) A’={2,4,5} καιΒ’={4,5} άραΑ’-Β’={2} ,
v) B-A={2} άρα (Β-Α)’={1,3,4,5} , vi) A’∩B’={4,5}.

7

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

• Άλυτες ασκήσεις

1. Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα

α) Α={χ Ν/2 χ 5} , β) Β={χ Ζ/-3 χ 2} , γ) Γ={χ Ζ/χ2-4=0} , Δ={χ R/χ3-4χ=0}

2. Ομοίως τα σύνολα
α) Α={χ Ν/χ άρτιος και χ 5} , β) Β={χ Ν/χ πολλαπλάσιο του 6 και 30 χ 66} ,
γ) Γ={χ Q/(χ2-9)(χ2-√3χ)=0} , δ) Δ={(χ,y) με χ,y N/ όπου χ+y=3}

3. Δίνονται τα σύνολα Α={χ Ζ/-2 χ 5} , Β={χ Ν/-1 χ 3} , Γ={χ Ζ/-1 χ 2}.
Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα:
Α , Β , Γ , Α∪Β , Α∪Γ , Β∪Γ , Α∩Β , Α∩Β∩Γ , (Α∪Β)∩Γ , (Α∪Β)∩(Γ∪Β).

4. Δίνεται το βασικό σύνολο Ω={1,2,3,4,5,6,7,8} και τα υποσύνολά του Α={1,2,3,4} και Β={4,5,6}.
Να βρείτε τα σύνολα: Α∪Β, Α∩Β, Α’, Β’, Α-Β, Β∩Α’, (Α∪Β)’, (Α∩Β)’, (Α-Β)∩Β, (Α-Β)∪(Β-Α).

5. Αν Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} είναι το βασικό σύνολο και Α={1,9}, Β={0,2,4,6,8}, Γ={0,3,6,9}
υποσύνολα του Ω, να βρείτε:
α) Α∩Β, Α∩Γ, Β∩Γ, Β’, Γ’.
β) Α∪Β, Α∩Β’, Α∩ ∅, Α∩ ∅’, Γ’∩ ∅.

6. Δίνονται τα σύνολα Α={λ Ζ/ ακέραιος} και Β={λ Ν/ λ2-1=0}.
Να δείξετε ότι τα Α, Β είναι ξένα μεταξύ τους.

7. Αν Α={χ Ν/χ διαιρέτης του 12} και Β={χ Ν/χ πολλαπλάσιο του 3 και χ 17} , να βρείτε τα
σύνολα Α∪Β και Α∩Β.
8

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

Πιθανότητες

9

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

10

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
 

•Πείραμα τύχης είναι κάθε πείραμα του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά
του. (π.χ. η ρίψη ενός ζαριού)

• Δειγματικός χώρος ονομάζεται το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης
και συμβολίζεται με Ω. (π.χ. στη ρίψη ζαριού Ω={1,2,3,4,5,6})

• Ενδεχόμενο Α ή γεγονός, ονομάζεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω, δηλ. Α⊆Ω.
Τα στοιχεία από τα οποία αποτελείται είναι τα ευνοϊκά αποτελέσματα του
πειράματος. (π.χ. Α={1,3,5} δηλ. το ενδεχόμενο να φέρω μονή ζαριά)

Ένα ενδεχόμενο μπορεί να είναι:
→ Απλό, όταν αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο του Ω (π.χ. Α={6})
→ Σύνθετο, όταν αποτελείται από περισσότερα του ενός στοιχεία.
→ Βέβαιο, όταν είναι ο δειγματικός χώρος Ω.
→ Αδύνατο, όταν είναι το κενό σύνολο ∅.

• Το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου ή ενός ενδεχομένου Α, συμβολίζεται με
Ν(Ω) ή Ν(Α). (π.χ. για τη ρίψη ζαριού Ν(Ω)=6 και αν Α={1,3,5} τότε Ν(Α)=3 )

• Ασυμβίβαστα ονομάζονται δυο ενδεχόμενα Α και Β, όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία δηλαδή αν
Α∩Β=∅.

11

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

• Πράξεις με ενδεχόμενα.

→ ωΑ πραγματοποιείται το Α

→ ω Α’ ή ω∉Α δεν πραγματοποιείται το Α (όχι Α)

→ ω Α∪Β πραγματοποιείται το Α ή το Β (ένα τουλάχιστον απ’ τα Α, Β)

→ ω Α∩Β πραγματοποιείται το Α και το Β (συγχρόνως τα Α, Β)

→ ω (Α∪Β)’=Α’∩Β’ δεν πραγματοποιείται το Α ή το Β (κανένα απ’ τα Α, Β)

→ ω Α-Β ή ω Α∩Β’ πραγματοποιείται το Α και δεν πραγματοποιείται το Β (μόνο το Α)

→ ω (Α∩Β)’=Α’∪Β’ δεν πραγματοποιείται το Α ή δεν πραγματοποιείται το Β (το πολύ ένα

απ’ τα Α,Β πραγματοποιείται / τουλάχιστον ένα απ’ τα Α,Β δεν

→ ω (Α-Β)∪(Β-Α) πραγματοποιείται)
πραγματοποιείται το Α και όχι το Β ή το Β και όχι το Α

(πραγματοποιείται ακριβώς ένα (μόνο) απ’ τα Α,Β / μόνο το Α ή μόνο το Β)

• Κλασικός ορισμός πιθανότητας

Έστω Ω={ω1,ω2,……ων} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, του οποίου τα απλά

ενδεχόμενα {ωi} έχουν την ίδια δυνατότητα εμφάνισης (δηλ. είναι ισοπίθανα).

Πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α του Ω, ορίζουμε τον αριθμό

ή ϊώ ώ
P(A)= ή ώ ώ=

Από τον ορισμό ισχύουν:

→ P(Ω) = =1

→ P(∅) = =0

→ Για κάθε ενδεχόμενο Α⊆Ω ισχύει ότι 0 P(A) 1

12

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

• Kανόνες λογισμού πιθανοτήτων
→ Απλός προσθετικός νόμος: Αν Α∩Β=∅ (ασυμβίβαστα) τότε P(Α∪Β)=P(A)+P(B)

Απόδειξη

Έστω Ν(Α)=κ και Ν(Β)=λ. Τότε το Α∪Β έχει κ+λ στοιχεία, γιατί διαφορετικά τα Α και Β δεν θα ήταν
ασυμβίβαστα. Δηλαδή έχουμε Ν(Α∪Β)=κ+λ=Ν(Α)+Ν(Β). Επομένως

P(Α∪Β) = ∪ = + = P(A)+P(B)
=

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος και ισχύει και για περισσότερα από δυο
ενδεχόμενα. Π.χ. P(A∪B∪Γ)=P(A)+P(B)+P(Γ).

→ Προσθετικός νόμος: Για δυο ενδεχόμενα Α,Β⊆Ω ισχύει P(Α∪Β)=P(A)+P(B)-P(Α∩Β)

Απόδειξη

Για τα ενδεχόμενα Α και Β, έχουμε: Ν(Α∪Β)=Ν(Α)+Ν(Β)-Ν(Α∩Β) (1) , αφού στο άθροισμα

Ν(Α)+Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων του Α∩Β υπολογίζετε δυο φορές.

Διαιρώντας κατά μέλη την (1) με Ν(Ω), έχουμε ∪∩
=+-

και επομένως P(Α∪Β)=P(A)+P(B)-P(Α∩Β)

→ Συμπληρωματικά ενδεχόμενα :
Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α’ ισχύει P(A’)=1-P(A) ή P(A)=1-P(A’)

Απόδειξη
Επειδή Α∩Α’=∅ , ( Α και Α’ είναι ασυμβίβαστα) έχουμε σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο
P(A∪A’)=P(A)+P(A’) ⇔ P(Ω)=P(A)+P(A’) ⇔ 1=P(A)+P(A’) ⇔ P(A’)=1-P(A) ήP(A)=1-P(A’)

13

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

→ Πιθανότητα της διαφοράς Α-Β :Για δυο ενδεχόμενα Α,Β⊆Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P(A∩B)
Απόδειξη
Επειδή τα ενδεχόμενα Α-Β και Α∩Β είναι ασυμβίβαστα και (Α-Β)∪(Α∩Β)=Α, έχουμε
P(A)=P(A-B)+P(A∩B). Άρα P(A-B)=P(A)-P(A∩B)
→ Αν Α⊆Β , τότε P(A) P(B)
Aπόδειξη
Επειδή Α⊆Β έχουμε διαδοχικά

Ν(Α) Ν(Β) ⇔ ⇔P(A) P(B).

• Απόδειξη ανισοτήτων μορφής κ P(A∪B) λ ή κ P(A∩B) λ
→ Για δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύουν

Α∩Β⊆Α άρα P(A∩B) P(A) (1)
Α∩Β⊆B άρα P(A∩B) P(B) (2)
A⊆A∪B άρα P(A) P(A∪B) (3)
B⊆A∪B άρα P(B) P(A∪B) (4)
→ Για να αποδείξουμε μια ανισότητα μορφής P(A∩B) λ ήP(A∩B) λ ή P(A∪B) λ ήP(A∪B) λ,
Εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους
α) Εκμεταλλευόμαστε τις σχέσεις (1), (2), (3), (4), όταν το λ ισούται με κάποια από τις P(A) ή P(B).
β) Μετασχηματίζουμε με ισοδυναμίες την ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε,
χρησιμοποιώντας τον προσθετικό νόμο ( P(Α∪Β)=P(A)+P(B)-P(Α∩Β) ), μέχρι να καταλήξουμε
σε μια ανισότητα που προφανώς ισχύει (π.χ. P(A∪B) 1 ή P(A∩B) 0 κ.λ.π.)

14

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

• Λυμένα παραδείγματα

1. Από τις οικογένειες με τρία παιδιά επιλέγουμε στην τύχη μια και εξετάζουμε τα παιδιά της, ως

προς το φύλο και την σειρά γέννησης αυτών.

α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος.

β) Να βρείτε τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Α: το δεύτερο παιδί της οικογένειας είναι αγόρι.

Β: τουλάχιστον δυο παιδιά είναι αγόρια.

Γ: το πολύ ένα παιδί είναι αγόρι.

Δ: το τρίτο παιδί της οικογένειας είναι κορίτσι.

Ε: τα δυο πρώτα παιδιά της οικογένειας είναι του ίδιου φύλου και το τρίτο παιδί είναι

αντίθετου φύλου.

Ζ: τα παιδιά να είναι του ίδιου φύλου.

γ) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα :
Α’, Α∩Β, Α∩Ε, Δ∩Ε, Β∩Γ, Α-Δ, Α∪Β.

Λύση.

α) 1Ο παιδί Α Κ

2Ο παιδί ΑΚ ΑΚ

3Ο παιδί Α ΚΑ Κ Α ΚΑ Κ

Άρα Ω={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ}

β) Α={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ} , Β={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ} , Γ={ΑΚΚ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ} ,
Δ={ΑΑΚ, ΑΚΚ, ΚΑΚ, ΚΚΚ} , Ε={ΑΑΚ, ΚΚΑ} , Ζ={ΑΑΑ, ΚΚΚ}

γ) Α’={ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ} , Α∩Β={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΚΑΑ} , Α∩Ε={ΑΑΚ}
Δ∩Ε={ΑΑΚ} , Β∩Γ={ } ή ∅ , Α-Δ={ΑΑΑ, ΚΑΑ} , Α∪Β={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΑΚΑ}.

15

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

2. Δίνεται ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.

Να εξετάσετε ποια απ’ τα παρακάτω ζεύγη ενδεχομένων είναι ασυμβίβαστα.

α) Α={χ Ω/χ: πολλαπλάσιο του 3} , Β={χ Ω/χ: άρτιος}

β) Α={χ Ω/χ: διαιρέτης του 12} , Β={χ Ω/χ: περιττός}

γ) Α={χ Ω/το άθροισμα των ψηφίων του χ δεν ανήκει στο Ω} , Β={2,4,6}.

Λύση.
α) Α={3,6,9,12,15} και Β={2,4,6,8,10,12,14} . Είναι Α∩Β={6,12} ∅ , άρα όχι ασυμβίβαστα.
β) Α={1,2,3,4,6,12} και Β={1,3,5,7,9,11,13,15}. Είναι Α∩Β={1,3} ∅ , άρα όχι ασυμβίβαστα.
γ) Α=∅ , Β={2,4,6} . Είναι Α∩Β=∅ , άρα ασυμβίβαστα.

3. Ρίχνουμε ένα ζάρι δυο φορές και κάθε φορά καταγράφουμε την ένδειξη της άνω έδρας.

α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο Ω του πειράματος.

β) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:

Α={και στις δυο ρίψεις έρχεται το ίδιο αποτέλεσμα} , Β={(χ,y) Ω/χ+y=7}

Γ={(χ,y) Ω/χy<5} , Δ={(χ,y) Ω/x+y 10} , E={(χ,y) Ω/χ+y=περιττός}

Λύση.

α) 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Άρα ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι το σύνολο
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
β) Α={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} , Β={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}

Γ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(3,1),(4,1)} , Δ={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}
Ε={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)}

16

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

4. Από μια τράπουλα με 52 χαρτιά επιλέγουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των

ενδεχομένων:

α) το χαρτί να είναι επτά, β) το χαρτί να είναι επτά ή κούπα, γ) το χαρτί να μην είναι επτά.

Λύση.

α) Έστω Α το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι επτά. Η τράπουλα έχει 4 επτάρια, οπότε Ν(Α)=4.

Ω: όλα τα χαρτιά της τράπουλας, δηλ. Ν(Ω)=52.

Άρα P(Α) = ==.

β) Έστω Β το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι κούπα, τότε Ν(Β)=13

Α∩Β το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι επτά και κούπα, τότε Ν(Α∩Β)=1

Α∪Β το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι επτά ή κούπα, τότε P(Α∪Β)=P(A)+P(B)-P(Α∩Β) =

=+- ∩ =+ - = .

γ) Α’ το ενδεχόμενο το χαρτί να μην είναι επτά, τότε

P(A’)=1-P(A) = 1 - = .

5. Ένα Λύκειο έχει 50 μαθητές, από τους οποίους 20 είναι στην Α’ τάξη. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα
μαθητή του Λυκείου, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Β’ τάξης είναι 34%. Να βρείτε:
α) την πιθανότητα ώστε ο μαθητής να είναι της Α’ τάξης.
β) πόσους μαθητές έχει η Β’ τάξη.
γ) την πιθανότητα ο μαθητής να είναι της Γ’ τάξης.

Λύση.
Ο δειγματικός χώρος Ω έχει στοιχεία τους 50 μαθητές. Άρα Ν(Ω)=50.
Έστω τα ενδεχόμενα:
Α: ο μαθητής που επιλέχθηκε είναι της Α’ τάξης , οπότε Ν(Α)=20
Β: ο μαθητής που επιλέχθηκε είναι της Β’ τάξης , οπότε P(B)=34%
Γ: ο μαθητής που επιλέχθηκε είναι της Γ’ τάξης

17

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

α) Η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι: P(Α) = = = =40%

β) Αν χ οι μαθητές της Β’ τάξης, τότε Ν(Β)=χ, οπότε
P(B)=34% ⇔ = ⇔ = ⇔x = 17. Άρα η Β’ τάξη έχει 17 μαθητές.

γ) Οι μαθητές της Γ’ τάξης είναι : Ν(Γ)=Ν(Ω) – Ν(Α) – Ν(Β)= 50 – 20 – 17 =13

είναι P(Γ)= = = 12060 = 26% .

6. Σε ένα κουτί υπάρχουν 10 άσπρες, χ μαύρες και y κόκκινες σφαίρες. Αν επιλέξουμε τυχαία

μια σφαίρα, τότε η πιθανότητα να πάρουμε άσπρη είναι 0,2 και η πιθανότητα να πάρουμε

κόκκινη είναι 0,5. Να βρείτε:

α) πόσες είναι οι μαύρες και πόσες οι κόκκινες σφαίρες.

β) την πιθανότητα να επιλέξουμε άσπρη ή κόκκινη σφαίρα.

Λύση.

α) Ο δειγματικός χώρος Ω έχει ως στοιχεία 10+χ+y σφαίρες, δηλ. Ν(Ω)= 10+χ+y .

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α=η σφαίρα είναι άσπρη , Κ=η σφαίρα είναι κόκκινη

Ισχύουν Ν(Α)=10 και Ν(Κ)=y. Έχουμε

P(A)=0,2 ⇔ = ⇔ = ⇔ 50=10+x+y ⇔ x+y=40 (1)

και P(K)=0,5 ⇔ = ⇔ = ⇔ 2y=10+x+y ⇔ y – x =10 (2)

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2):

x+y=40 y=40 – x y=40–x y=40–15 y=25
x=15
y – x =10 40 – x – x =10 -2x=-30 x=15
= = = 70%.
Άρα υπάρχουν 15 μαύρες και 25 κόκκκινες σφαίρες.

β) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι P(A∪K) = ∪
=

18

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

7. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:

P(A)= , P(B)= και P(A∪B)= . Να βρείτε τις πιθανότητες :

P(B’) , P(A∩B) , P(A – B) , P[(A – B)∪(B – A)] , P(A∪B’) , P[(A∪B)’] , P[(A – B)’] .
Λύση.
→ P(B’)=1 – P(B)=1- = - =
→ P(Α∪Β)=P(A)+P(B)-P(Α∩Β) ⇔P(Α∩Β)=P(A)+P(B)- P(Α∪Β)⇔P(Α∩Β)= + - ⇔

P(Α∩Β)=

→ P(A-B)=P(A)-P(A∩B) = - = =
→ P[(A – B)∪(B – A)]=P(A – B)+P(B – A)=P(A) – P(A∩B)+P(B) – P(A∩B)=P(A)+P(B) – 2P(A∩B)=

= + - 2 = ( τα ενδεχόμενα Α-Β και Β-Α είναι ασυμβίβαστα )

→ P(A∪B’)= P(A)+P(B’) – P(A∩B’)=P(A)+P(B’) – P(A – B)= + - =
→ P[(A∪B)’]=1 – P(A∪B) = 1 - =

→ P[(A – B)’]=1 – P(A – B)= 1 - =

8. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω, ισχύουν P(A’)= , P(B’)= και
P(A∪B)= . Βρείτε την πιθανότητα P(A∩B).

Λύση.
ΕίναιP(A)=1 – P(A’)=1 – = και P(B)=1 – P(B’) =1 – =

ΆραP(Α∪Β)=P(A)+P(B) –P(Α∩Β) ⇔P(Α∩Β)= P(A)+P(B)- P(Α∪Β) ⇔P(Α∩Β)= + - =

19

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

9. Αν ισχύουν P(A∩B)= , P(A∪B)= και P(A)=2P(B’) , να βρεθεί η P(B).

Λύση.

P(Α∪Β)=P(A)+P(B) - P(Α∩Β) ⇔ = 2P(B’)+P(B) - ⇔ = 2(1 – P(B))+P(B) - ⇔

2 – 2P(B)+P(B) = + ⇔ - P(B) = – 2 ⇔P(B) =

10. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματ – ικ ού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα:
• να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι

• να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι

• να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι

Να βρείτε την πιθανότητα:

α) να πραγματοποιηθεί το Α , β) να μην πραγματοποιηθεί το Β ,

γ) να πραγματοποιηθεί το Β αλλά όχι το Α , δ) να μην πραγματοποιηθεί κανένα απ’ τα Α, Β,

ε) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα απ’ τα Α, Β, στ) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα απ’ τα Α, Β.

Λύση.

Από τα δεδομένα προκύπτει: P(A’)= , P(A∩B)= , P(A∪B)= .

α) P(A’)= ⇔ 1 – P(A)= ⇔ P(A)=1 - ⇔ P(A)=

β) P(Α∪Β)=P(A)+P(B) - P(Α∩Β) ⇔ = + P(B) - ⇔ P(B)= - + ⇔ P(B)=

ΆραP(B’)=1 – P(B)=1 - ⇔ P(B’)= .

γ) P(B – A)=P(B) – P(A∩B) ⇔ P(B – A)= - ⇔ P(B – A)= .

20

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

δ) P[(A∪B)’]=1 – P(A∪B)= 1- ⇔ P[(A∪B)’]= .

ε) P[(A∩B)’]=1 – P(A∩B)=1 - ⇔ P[(A∩B)’]= .
στ) P[(A – B)∪(B – A)]=P(A – B)+P(B – A)=P(A) – P(A∩B)+P(B) – P(A∩B)=P(A)+P(B) – 2P(A∩B)=

= + -2= .

11. Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:

P(A)= P(B) καιP(A’)= P(B’)

α) Να βρείτε τις πιθανότητες P(A) και P(B).
β) Να αποδείξετε ότι τα Α καιΒ δεν είναι ασυμβίβαστα.
Λύση.

α) P(A)= P(B) P(A)= P(B)P(A)= P(B) P(A)=

P(A’)= P(B’) 1 – P(A)= (1 – P(B)) 1 - P(B)= - P(B) P(B)=

β) Έστω ότι Α και Β είναι ασυμβίβαστα, τότε:

P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = ˃ 1 (άτοπο). Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

12. Έστω Α, Β⊆Ω με P(A)=0,8, P(B)=0,5

α) Εξετάστε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα
β) Να δειχθεί ότι 0,3 P(A∩B) 0,5 , γ) Να δειχθεί ότι P(A’∪B’) 0,5

Λύση.
α) Έστω τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. Τότε : P(A∪B)=P(A)+P(B) ⇔ P(A∪B)=0,8+0,5=1,3 (άτοπο,
γιατί 0 P(A∪B) 1. Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.
β) → Ισχύει Α∩Β⊆Β, άρα P(A∩B) P(B) ⇔P(A∩B) 0,5.
→ P(A∩B) 0,3 ⇔ P(A)+P(B) – P(A∪B) 0,3 ⇔ 0,8+0,5 – P(A∪B) 0,3 ⇔ - P(A∪B) -1 ⇔
P(A∪B) 1 , που ισχύει.

21

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

γ) P(A’∪B’)=P[(A∩B)’]=1 – P(A∩B) ⇔ P(A∩B)=1 – P(A’∪B’).
ΌμωςP(A∩B) 0,5 ⇔1 – P(A’∪B’) 0,5 ⇔ P(A’∪B’) 0,5.

13. Αν P(A)= και P(B)= , να δειχθεί ότι P(A∪B) 11
Λύση. 12

→ Α⊆Α∪Β, άρα P(A) P(A∪B) ⇔ P(A∪B)

→ P(A∪B) 1121⇔ P(A)+P(B) – P(A∩B) 1112⇔ + – P(A∩B) 1112⇔ P(A∩B) 32+ - ⇔
P(A∩B) 0 , που ισχύει.

14. Δίνεται ένα πρόβλημα σε δυο μαθητές Α και Β. Η πιθανότητα να το λύσει ο μαθητής Α είναι
15% , ενώ η πιθανότητα να το λύσει ο Β είναι 20%. Η πιθανότητα να το λύσουν και οι δύο
είναι 10%. Βρείτε την πιθανότητα
α) Να το λύσει ένας τουλάχιστον απ’ τους δυο
β) Να το λύσει μόνο ένας απ’ τους δυο.

Λύση.

Έστω τα ενδεχόμενα Α={το πρόβλημα το λύνει ο μαθητής Α} ,όπου P(A)= και

Β={το πρόβλημα το λύνει ο μαθητής Β} , όπου P(B)= .
Επίσης ισχύει P(A∩B)= .
α) P(Α∪Β)=P(A)+P(B) - P(Α∩Β)⇔P(A∪B)= + - ⇔ P(A∪B)=
β) P[(A – B)∪(B – A)]= P(A∪B) – P(A∩B)= - =

ή P[(A – B)∪(B – A)] = P(A – B)+P(B – A)=P(A) – P(A∩B)+P(B) – P(A∩B)=P(A)+P(B) – 2P(A∩B)

P[(A – B)∪(B – A)] = + - 2 =

22

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

15. Σε μια τάξη με 30 μαθητές, οι 15 έχουν ποδήλατο, οι 10 έχουν μηχανή και οι 4 και τα δυο.

Αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:

α) Να μην έχει ποδήλατο, ούτε μηχανή.

β) Να έχει ποδήλατο, αλλά όχι μηχανή.

Λύση.

Έστω το ενδεχόμενο Α={ο μαθητής έχει ποδήλατο} όπου P(A)= και

Β={ο μαθητής έχει μηχανή} όπου P(B)= . Επίσης ισχύει P(A∩B)= .

α) P[(A∪B)’]=1 – P(A∪B)=1-(P(A)+P(B) – P(A∩B))=1 – P(A) – P(B)+P(A∩B)=1 - - +

Άρα P[(A∪B)’]= .

β) P(A – B)=P(A) – P(A∩B)= - = .

16. Σε μια κωμόπολη τα 15% των νοικοκυριών δεν έχουν τηλεόραση, το 40% δεν έχουν βίντεο
και το 10% δεν έχουν ούτε τηλεόραση ούτε βίντεο. Επιλέγουμε τυχαία ένα νοικοκυριό.
Να βρείτε την πιθανότητα να έχει τηλεόραση και βίντεο.

Λύση.
Ορίζω ενδεχόμενο Α={τα νοικοκυριά έχουν τηλεόραση} όπου P(A’)= και το ενδεχόμενο

Β={τα νοικοκυριά έχουν βίντεο} όπου P(B’)= .
Επίσης ισχύει P[(A∪B)’]= .
Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η P(A∩B)
P(Α∪Β)=P(A)+P(B) - P(Α∩Β)⇔ 1 – P[(A∪B)’]=1 – P(A’)+1 – P(B’) – P(A∩B) ⇔
- = - +1 - – P(A∩B) ⇔P(A∩B)= 1- - + ⇔P(A∩B)=

23

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

17. Aν = , να βρείτε τις πιθανότητες P(A) και P(A’).

Λύση.
Γνωρίζουμε ότι P(A’)=1 – P(A)
Είναι = ⇔ 3P(A’)=4P(A) ⇔ 3(1 – P(A))=4P(A) ⇔ 3 – 3P(A)=4P(A) ⇔ 7P(A)=3 ⇔ P(A)=

Άρα και P(A’)= 1 - ⇔P(A’)= .

18. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι και η πιθανότητα να μην

πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β είναι , τότε :
α) να δείξετε ότι τα Α και Β είναι συμβιβαστά.
β) αν γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί

το Β είναι , να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ή το Α ή το Β.
Λύση.
α) Έστω τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα . Τότε ισχύει P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)+1 – P(B’)=

+1 - = . Δηλαδή P(A∪B)˃1 , άρα άτοπο. Επομένως είναι συμβιβαστά.

β) ΙσχύειP(A’∪B’)= ⇔P[(A∩B)’]= ⇔1 – P(A∩B)= ⇔ P(A∩B)=

ΆραP(Α∪Β)=P(A)+P(B) - P(Α∩Β)⇔P(A∪B)= + - = .

24

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

• Eρωτήσεις Σωστό-Λάθος

1. Στη ρίψη ενός κέρματος δυο φορές, το ενδεχόμενο να έρθει τουλάχιστον μια φορά κορώνα,
είναι Α={ΚΚ,ΚΓ}.

2. Τα ενδεχόμενα Α – Β και Β – Α είναι ασυμβίβαστα.
3. Αν (Α∩Β)’=Ω, τότε τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα.
4. Έστω Α={1,2,3} και Β={2,6} δυο ενδεχόμενα ρίψης ενός ζαριού μια φορά. Αν το αποτέλεσμα

της ρίψης είναι 2, τότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α∩Β.
5. Αν P(A’)=P(B’) τότε Α=Β.
6. ΑνP(A) P(B) τότε Α⊆Β.
7. ΑνP(A)=P(A’) τότε2P(A)=P(Ω).

8. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές. Η πιθανότητα να φέρουμε μια μόνο φορά γράμματα είναι .

9. Το Ω είναι βέβαιο ενδεχόμενο.
10. Το ενδεχόμενο Α – Β πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Β και δεν πραγματοποιείται

το Α.
11. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A)=P(B), τότε είναι πάντα

Ν(Α)=Ν(Β).
12. Αν Α⊆Β τότε P(A∪B)=P(B).
13. AνΑ∩Β=∅ , τότεP(A – B)=P(A).
14. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A)+P(B)=1, τότε Α∪Β=Ω.
15. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A)=0,8 και P(B)=0,4,

τότε P(A∩B) 0,2.

25

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            
Στήλη Β
  (i) (A∪B)’
(ii) A∩B’
• Αντιστοίχιση (iii) (A – B)∪(B – A)
Στήλη Α (iv) A’
(v) B – A
α) Να πραγματοποιηθεί (vi) A∩B
ένα τουλάχιστον απ’ τα Α,Β (vii) (A∩B)’
(viii) A∪B
β) Να πραγματοποιηθούν και
τα δυο ενδεχόμενα Α,Β

γ) Να πραγματοποιηθεί το Α,
όχι όμως και το Β

δ) Να μην πραγματοποιηθεί το Α
ε) Να πραγματοποιηθεί ένα μόνο

απ΄ τα Α,Β
στ) Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β
ζ) Να μην πραγματοποιηθεί

κανένα απ’ τα Α, Β
η) Να πραγματοποιηθεί το πολύ

ένα απ’ τα Α,Β

α β γ δ ε στ ζ η

26

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

• Άλυτες ασκήσεις

1. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των 2 φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3
άντρες : ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ), και 2 γυναίκες : η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ).
Επιλέγονται στη τύχη ένας άντρας και μια γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα
ονόματά τους.

Α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος.

Β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

Α: να διαγωνίστηκε ο Κώστας ή ο Μιχάλης

Β: να διαγωνίστηκε η Ζωή

Γ: να μην διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο Δημήτρης

2. Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω={0,1,2,3,4,5,6,7}. Θεωρούμε τα
ενδεχόμενα Α={ λ Ω/ λ πολλαπλάσιο του 3} , Β={ λ Ω/ λ πρώτος} , Γ={λ Ω/ λ διαιρέτης του 6}.
Α) Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων των παρακάτω ενδεχομένων:
i) πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α, Β και Γ
ii) πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β και Γ
Β) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.

3. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 διαδοχικές φορές.
Α) Να κάνετε το δεντροδιάγραμμα και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος.
Β) Να παραστήσετε με αναγραφή τα παρακάτω ενδεχόμενα :

Α: στη 2η ρίψη φέρνουμε Κ
Β: ο αριθμός των Γ υπερβαίνει τον αριθμό των Κ
Γ: ίδια όψη και στις τρείς ρίψεις
Γ) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:
Α’ , Α∪Β , Α∩Β , Α – Β

27

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

4. Δίνεται ο πίνακας 123
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33

Επιλέγουμε τυχαία έναν απ’ τους εννέα διψήφιους αριθμούς. Να βρείτε την πιθανότητα να
πραγματοποιηθούν τα ενδεχόμενα:

Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος
Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιο του 3

Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιο του 3

5.Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων ενός δειγματικού χώρου Ω σε κάθε μια από τις παρακάτω
περιπτώσεις

Α) Για το ενδεχόμενο Α του Ω ισχύει: Ν(Α)=10 και P(A)=

Β) Για το ενδεχόμενο Α του Ω ισχύει: 4P(A)=P(Ω) και Ν(Α)=8
Γ) Για τα ενδεχόμενα Α και Β του Ω ισχύει: P(A)+P(B)=0,7 και Ν(Α)+Ν(Β)=21

Δ) Για τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: Ω=Α∪Β, =2 και Ν(Β)=4

6. Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 200 είναι μαθητές της Α’ τάξης. Αν
επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ’ τάξης είναι 20%. Βρείτε:
Α) Το πλήθος των μαθητών της Γ’ τάξης.
Β) Το πλήθος των μαθητών της Β’ τάξης.
Γ) Την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να είναι Β’ τάξης.

7. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={1,2,3,4,5,6,7,8} και τα ενδεχόμενα Α={λ Ω/ λ 5} και
Β={λ Ω/λ 2}. Να βρείτε τις πιθανότητες:

P(A) , P(B) , P(A∩B) , P(A∪B) , P(A – B) , P(A’∩B’)

28

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

8. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι γραπτοί βαθμοί των μαθητών της Α’ Λυκείου στην άλγεβρα

Μαθητές Βαθμός
5 5
9 7
10 10
11 11
8 13
4 17
3 20

Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Να βρεθεί η πιθανότητα ο μαθητής να έχει γράψει:
Α) πάνω από τη βάση , Β) κάτω από τη βάση , Γ) τουλάχιστον 13 , Δ) το πολύ 11 ,
Ε) πάνω από 15 , ΣΤ) τόσο όσο να περνά το μάθημα (από 10 και πάνω)

9. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες
είναι 9, ενώ οι κόκκινες και πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα
ενδεχόμενα Α: η μπάλα είναι άσπρη, Κ: η μπάλα είναι κόκκινη, Π: η μπάλα είναι πράσινη.

Α) Να γραφεί στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο

i) η μπάλα δεν είναι άσπρη

ii) η μπάλα είναι κόκκινη ή πράσινη

Β) Να βρείτε τη πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δυο ενδεχόμενα του Α) ερωτήματος.

10. Οι δράστες μιας κλοπής διέφυγαν με ένα αυτοκίνητο και μετά απ’την κατάθεση διαφόρων
μαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθμός της πινακίδας είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το
2. Το δεύτερο ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9 και το τρίτο ψηφίο ήταν 4 ή 7.
Α) Με χρήση δενδροδιαγράμματος να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών αριθμών της
πινακίδας.
Β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

Α: το τρίτο ψηφίο είναι το 7
Β: το δεύτερο ψηφίο είναι 6 ή 8
Γ: το δεύτερο ψηφίο δεν είναι ούτε 8 ούτε 9.

29

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

11. Δίνονται δυο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες P(A)= ,
P(A – B)= και P(B)= .
Α) Να υπολογιστεί η P(A∩B)
Β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο

«Α ή Β»
ii) Να υπολογιστεί η πιθανότητα πραγματοποίησης του προηγούμενου ενδεχομένου.

12. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α, Β ενός πειράματος τύχης, για τα οποία ισχύουν
P(A’)= , P(A∪B)= , P(A∩B)= . Nα βρείτε τις πιθανότητες:
α) P(A) , β) P(B) , γ) P(A∩B’)

13. Έστω Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Αν P(A∪B)=0,9 και P(A)=P(B)=0,6, να
υπολογίσετε τις πιθανότητες:
P(A∩B) , P(B’) , P(A – B) , P[(A – B)∪(B – A)] , P(A’∩B’) , P(A’∪B’) , P(B∪A’) , P(A∪B’)

14. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A’)=3P(A) , 2P(B)+P(A)=1,
2P(A∪B)=1. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, Α∩Β, Β – Α, Α’ – Β’.

15. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ ενός δειγματικού χώρου Ω, ώστε τα Α, Β και Α, Γ να είναι
ασυμβίβαστα και να ισχύει: P(A’)=4P(A) και P(A∪B)=P(A∪Γ)=

Α) Nα βρείτε την πιθανότητα P(A – B).
Β) Να εξετάσετε , αν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα.

30

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

16. Εξετάστε αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, όταν:

Α) P(A)= , P(B)= , P(A∪B)= , B) P(A)= , P(B)= , P(A∪B)=1.

17.Αν για δυο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, γνωρίζουμε ότι P(A)=0,3 και
P(B)=0,4, να αποδείξετε ότι :

Α) 0 P(A∩B) 0,3 , B) 0,4 P(A∪B) 0,7 , Γ) 0 P(A – B) 0,3 , Δ) 0,1 P(B – A) 0,4

18. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με P(A’)= και P(A – B)= .

Α) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β.

Β) Να αποδείξετε ότι P(B) 54.

19. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα
• να μην πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι

• να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι

Α) Να βρεθεί η πιθανότητα P(B).

Β) Να αποδείξετε ότι P(A) 3
4

20. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι και η πιθανότητα να μην
πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β είναι , τότε:

Α) να αποδείξετε ότι τα Α και Β είναι συμβιβαστά
Β) αν γνωρίζετε ότι η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β, είναι

, να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ή το Α ή το Β.

31

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

21. Δίνετε το σύνολο Ω={1,2,3,4,5,6} και τα υποσύνολά του Α={1,2,4,5} και Β={2,4,6}.
Α) Να παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn, τα Α και Β . Κατόπιν να βρείτε τα σύνολα Α∪Β, Α∩Β,

Α’ και Β΄.
Β) Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων;
i) να μην πραγματοποιηθεί το Α
ii) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β
iii) να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον απ’ τα Α, Β

22. Από τους σπουδαστές ενός Ωδείου, το 50% μαθαίνει πιάνο, το 40% κιθάρα ενώ το 10%
μαθαίνει και τα δυο όργανα. Επιλέγουμε τυχαία έναν σπουδαστή. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:
Α: ο σπουδαστής μαθαίνει πιάνο
Β: ο σπουδαστής μαθαίνει κιθάρα
Να βρείτε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων
Α) ο σπουδαστής να μαθαίνει ένα τουλάχιστον απ’ τα δυο όργανα
Β) ο σπουδαστής να μην μαθαίνει κανένα απ’ τα δυο παραπάνω όργανα.

23. Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 25% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το 30% συμμετέχει
στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 15% και στις δυο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή.
Ονομάζουμε τα ενδεχόμενα Α: ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα

Β: ο μαθητής να συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου
Α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: Α∪Β, Α∩Β, Β – Α, Α’

Β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων

i) ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου

ii) ο μαθητής που επιλέχθηκε να μην συμμετέχει σε καμιά ομάδα.

32

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

24. Το 70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και το 20% έχει
αυτοκίνητο και μηχανάκι. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο της πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο κάτοικος έχει αυτοκίνητο , Β: ο κάτοικος έχει μηχανάκι
Α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: Α∪Β, Β – Α, Β’.

Β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε

i) να μην έχει μηχανάκι

ii) να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο.

25. Από τους 180 μαθητές ενός Λυκείου, 20 συμμετέχουν στη θεατρική ομάδα, 30 στην ομάδα
στίβου, ενώ 10 συμμετέχουν και στις δυο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή και ορίζουμε τα
ενδεχόμενα Α: ο μαθητής συμμετέχει στη θεατρική ομάδα

Β: ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα στίβου
Α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα : Α∪Β, Β – Α, Α’

Β) Να βρείτε τη πιθανότητα ο μαθητής που επιλέχθηκε

i) να μην συμμετέχει σε καμιά ομάδα

ii) να συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου.

26. Σε ένα τμήμα της Α’ Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι
Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας
μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια απ’ την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά.
Τέλος η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα μιας τουλάχιστον απ’ τις δυο
γλώσσες είναι 0,9.

Α) Επιλέγουμε έναν μαθητή στην τύχη.

i) Ποια η πιθανότητα να παρακολουθεί και τις δυο γλώσσες;

ii) Ποια η πιθανότητα να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας απ’ τις δυο γλώσσες;

Β) Αν 14 μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος;

33

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

27. Η εξέταση σ’ έναν διαγωνισμό Μαθηματικών περιλάμβανε 2 θέματα. Για να βαθμολογηθούν οι
εξεταζόμενοι με άριστα έπρεπε να απαντήσουν και στα 2 θέματα, ενώ για να περάσουν την εξέταση
έπρεπενα απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον απ’ τα 2 θέματα. Εξετάστηκαν 100 μαθητές.
Στο 1ο θέμα απάντησαν σωστά 60. Στο 2ο θέμα απάντησαν σωστά 50. Και στα 2 θέματα απάντησαν
σωστά οι 30. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή.

Α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Vennκαι με χρήση της γλώσσας των συνόλων, τα παραπάνω
δεδομένα.

Β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής:

i) να απάντησε σωστά μόνο στο 2ο θέμα.

ii) να βαθμολογηθεί με άριστα.

iii) να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα.

iv) να πέρασε την εξέταση.

28. Μια ομάδα αποτελείται από 7 άνδρες και 13 γυναίκες. Οι 4 απ’ τους άνδρες και οι 2 απ΄τις
γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα απ’ τα άτομα αυτά.
Α) Παραστήστε με διάγραμμα Venn το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε:
i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι
ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι
Β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει σκάκι.

29. Από μια έρευνα μεταξύ των μαθητών ενός Λυκείου, προέκυψε ότι το 80% το πρωί, πίνει γάλα ή
τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή και ορίζουμε τα
ενδεχόμενα Α: ο μαθητής πίνει γάλα , Β: ο μαθητής τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι.
Αν απ΄ το σύνολο των μαθητών το 60% πίνει γάλα και το 45% τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και
μέλι, τότε
Α) Να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα:
i) ο μαθητής ούτε ναπίνει γάλα, ούτε να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι
ii) ο μαθητής ναπίνει γάλα και να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι.
iii) ο μαθητής να πίνει μόνο γάλα.
Β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του Α) ερωτήματος.

34

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

30. Στο τμήμα Α1, το των μαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία, ενώ το
των μαθητών έχει διαβάσει και τα δυο μαθήματα. Επιλέγεται τυχαία ένας μαθητής για εξέταση.
Ορίζουμε τα ενδεχόμενα Α: ο μαθητής έχει διαβάσει Άλγεβρα , Β: ο μαθητής έχει διαβάσει
Γεωμετρία.
Α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα
Β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα ο μαθητής:
i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον απ’ τα δυο μαθήματα
ii) να έχει διαβάσει ένα μόνο απ’ τα δυο μαθήματα
Γ) Αν οι μισοί απ’ τους μαθητές έχουν διαβάσει Γεωμετρία, ποια η πιθανότητα ο μαθητής:
i) να έχει διαβάσει Γεωμετρία
ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα

31. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Η πιθανότητα να μην συμβεί ούτε το Α
ούτε το Β είναι 0,1. Η πιθανότητα πραγματοποίησης και των 2 είναι 0,5 ενώ η πιθανότητα
πραγματοποίησης του Β είναι ίση με τα της πιθανότητας πραγματοποίησης του Α.

Να υπολογίσετε τις πιθανότητες : P(A), P(B), P(A – B) και P(B – A).

35

                                               Επιμέλεια : Ταμβάκης Θανάσης
1ο κεφάλαιο : Σύνολα-Πιθανότητες
            

 

36