άλγεβρα β΄ λυκείου

AΛΓΕΒΡΑ

β΄λυκείου

Μανιοπούλου Σίσσυ

περιλαμβάνει:
• Θεωρία

• Μεθοδολογίες επίλυσης ασκήσεων
• Λυμένες ασκήσεις
• Άλυτες ασκήσεις





ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της B΄ τάξης του Γενικού Λυκείου.
Στόχος του βιβλίου είναι η κατανόηση της θεωρίας και η ταξινόμηση των ασκήσεων σε κατηγορίες
με τις αντίστοιχες μεθοδολογίες τους.
Ειδικότερα το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη, η οποία οργανώνεται σε έξι κεφάλαια:
1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
2. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
3. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
6. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Επιπλέον δίνεται η δυνατότητα στο μαθητή να εμπεδώσει τον τρόπο λύσεων των ασκήσεων καθώς
και τον τρόπο παρουσίασης τους με τη βοήθεια λυμένων ασκήσεων.
Έπειτα καλείται να απαντήσει σε ερωτήσεις σωστού-λάθους που θα τον βοηθήσουν να ελέγξει το
βαθμό κατανόησης της θεωρίας και τελικά έρχεται αντιμέτωπος με την πρόκληση πολλών άλυτων
ασκήσεων κλιμακούμενης δυσκολίας.

Για να γίνεις πρωταθλητής, πάλεψε για έναν ακόμη γύρο.

James Gorbelt

Με τις θερμότερες ευχές μου για αποδοτική μελέτη και επιτυχία!

Μανιοπούλου Σίσσυ
Μαθηματικός

Σεπτέμβριος 2016

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Θεωρία

1. Γραμμικές εξισώσεις ………....……………………………………………………………………..…10
2. Σύστημα 2 γραμμικών εξισώσεων …..………………………………………………..……………..11
3. Επίλυση γραμμικού συστήματος 2x2 …………………………………………………………..…..… 12

Α. Μέθοδος της αντικατάστασης ……….………………………………………………………...…...12
Β. Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών …………………………………………………….….…..13
Γ. Μέθοδος των οριζουσών …………………………………………………………………………….13
4. Το Αόριστο Σύστημα …………………………………………………………………………………….15
5. Το Ομογενές Σύστημα ………………………………………………………………………….….……16
6. Γραμμικά Συστήματα 3x3 ………………………………………………………………………………..16
7. Μη Γραμμικά Συστήματα …………………………………………………………………………………17

Ερωτήσεις – Ασκήσεις στα συστήματα

Λυμένες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο
1.1 Γραμμικά συστήματα

Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………….……18
Β Ομάδας …………………………………………………………………..……………………….……22
1.2 Μη γραμμικά συστήματα
Α Ομάδας …………………………………………………………………..……………………….……25
Β Ομάδας …………………………………………………………………..……………………….……26
Άλυτες ασκήσεις στα συστήματα
Συστήματα 2 χ 2 ………………………………………………………………………………..……….……27
Παραμετρικά συστήματα ……………………………………………………………………………….…...29
Ορίζουσες ……………………………………………………………………………….………………….....30
Συστήματα 3 x 3 ………………………………………………………………………………………………32
Μη γραμμικά συστήματα ……………………………………………………………………………………34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Θεωρία

1. Μονοτονία συνάρτησης ………….……………………………………………………………………..37
2. Ακρότατα συνάρτησης …..………………………………………………..…………………………....39
3. Συμμετρία συνάρτησης …………………………………………………………………………….…..… 41
4. Μετατόπιση συνάρτησης ………………………………………………………………………….…..… 43

Ερωτήσεις – Ασκήσεις στις συναρτήσεις

Λυμένες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο
2.1 Μονοτονία – ακρότατα – συμμετρίες συνάρτησης

Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………….……45
2.2 Κατακόρυφη – οριζόντια μετατόπιση

Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………….……47

Άλυτες ασκήσεις στα συστήματα
1. Μονοτονία …………………………………………………………………………………...……….……49
2. Ακρότατα …………………………………………………………………………………………………...50
3. Συμμετρία …………………………………………………………………………………………………..51
4. Μετατόπιση …………………………………………………………..…………………………………….52

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Θεωρία

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ω ..…………………………………………………..54
2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας ……………………..…………………………....54
3. Ο τριγωνομετρικός κύκλος ……………………………………………………………………….…..… 54
4. Πρόσημο τριγωνομετρικών συναρτήσεων …………………………………………………….…..… 55
5. Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών …………………………………………………….…..… 55
6. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ……………………………………………….………….…..… 55
7. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ……………………………………………….………….…………...… 56
8. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ………………………………………………………………………….56
Μεθοδολογία για τις τριγωνομετρικές εξισώσεις ………………………………………………………59

Ερωτήσεις – Ασκήσεις στην τριγωνομετρία

Λυμένες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο
3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………….……63
3.2 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………….……65
3.3 Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………….……67
Β Ομάδας …………………………………………………………………..……………………….……68
3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις
Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………….……69
Β Ομάδας …………………………………………………………………..……………………….……74
3.6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών
Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………….……75
Β Ομάδας …………………………………………………………………..……………………….……78
3.7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α
Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………….……79
Άλυτες ασκήσεις στην τριγωνομετρία
1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ……………………………………………………………………….82
2. Αποδεικτικές ασκήσεις ………………………………………………………………………..………….83
3. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο …………………………………………………………………………..85

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Θεωρία

1. Σύντομη θεωρία ……………………………………..…………………………………….……………..93
2. Ίσα πολυώνυμα ……………………………………………………………..…………………………....94
3. Μηδενικό πολυώνυμο ………………………………………………………………………….….…..… 94

4. Αριθμητική τιμή πολυωνύμου …………………..………………………………………….….….…..… 95
5. Πράξεις μεταξύ πολυωνύμων …………………………………………………………..….….….…..… 95
6. Διαίρεση πολυωνύμων ………………………….….………………………………………….……….… 95
7. Διαίρεση πολυωνύμου με x – ρ ……………….….………………………………………………….… 97
8. Σχήμα HORNER …………………………………………………………………………………………….98
Μεθοδολογία πολυωνυμικών εξισώσεων και ανισώσεων ……………………………………….……99

Ερωτήσεις – Ασκήσεις στα πολυώνυμα

Λυμένες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο
4.1 Πολυώνυμα

Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………..….…104
Β Ομάδας …………………………………………………………………..…………………..…….…106
4.2 Διαίρεση πολυωνύμων
Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………..….…108
4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις
Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………..….…113
4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές ……………………………………120
Άλυτες ασκήσεις στα πολυώνυμα
1. Βασικές γνώσεις …………………………………………………………………………………………129
2. Διαίρεση πολυωνύμων ………………………………………………………………………………….130
3. Διαίρεση πολυωνύμου με x – ρ ……………………………………………………………………….131
4. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις ……………………………………………………………..132
5. Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές …………………………………………………………133

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Θεωρία

1. Δυνάμεις ……………………………………..…………………….……………….…………………….137
2. Εκθετική συνάρτηση …………………………………………………………………….…...………….138
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
1. Εκθετικές συναρτήσεις …………………………………………………………………………………..141
2. Εκθετικές εξισώσεις ………………………………………………………………….…………………..141
3. Εκθετικές ανισώσεις ….…………………………………………………………………………………..141
4. Συστήματα …………………………………………………………………………………………………..142

Ερωτήσεις – Ασκήσεις στις εκθετικές συναρτήσεις

Λυμένες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο
5.1 Εκθετική συνάρτηση

Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………..….…143
Β Ομάδας ……………………………………………………………………………………….……….146
Άλυτες ασκήσεις στις εκθετικές συναρτήσεις
1. Εκθετικές συναρτήσεις ………………………………………………………………………………….149
2. Εκθετικές εξισώσεις …………………………………………………………………….……………….150
3. Εκθετικές ανισώσεις ……………………………………………………………………….…………….150
4. Εκθετικά συστήματα …………………………………………………………………….……….……….151
5. Συνδυαστικές ασκήσεις …………………………………………………………………….……..…….151

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Θεωρία

1. Λογάριθμοι ……………………………………..…………………….……………….…………………155
2. Ιδιότητες λογαρίθμων ……………………..…………………….……………….……………………155
3. Λογαριθμική συνάρτηση ……………………..…………………….……………….…………………156
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
1. Λογαριθμικές συναρτήσεις …………………………………………………………………………….157
2. Λογαριθμικές παραστάσεις – αποδεικτικές ασκήσεις …………………………………………….158
3. Λογαριθμικές εξισώσεις ……………………………………………………………………………......158
4. Λογαριθμικές ανισώσεις ………………………………………………………..…………………......159
5. Ανυπότακτες εκθετικές εξισώσεις ………………………………………………………………......159
6. Συστήματα …………………………………………………………………………………………….......159

Ερωτήσεις – Ασκήσεις στις λογαριθμικές συναρτήσεις

Λυμένες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο
5.2 Λογάριθμοι

Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………..….…160
Β Ομάδας ……………………………………………………………………………………….……….161
5.3 Λογαριθμική συνάρτηση
Α Ομάδας ……………………………………………………………..…………………………..….…163
Β Ομάδας ……………………………………………………………………………………….……….165
Άλυτες ασκήσεις στις λογαριθμικές συναρτήσεις
1. Λογαριθμικές συναρτήσεις ……………………………………………………………………………171
2. Αποδεικτικές ασκήσεις …………………………………………………………………………………172
3. Λογαριθμικές εξισώσεις ……………………………………………………………………………….173
4. Λογαριθμικές ανισώσεις ……………………………………………………………………………….174
5. Λογαριθμικά συστήματα ……………………………………………………………………………….174
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ………………………………………………………………………………..175



Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Μανιοπούλου Σίσσυ 9

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Αν οι αριθμοί δεν είναι όμορφοι,
δεν ξέρω τι είναι όμορφο.
Paul Erdos , Ούγγρος Μαθηματικός

1. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κάθε εξίσωση 1ου βαθμού με 2 αγνώστους ονομάζεται γραμμική.

Η γενική της μορφή είναι αx + βy + γ = 0 , όμως εμείς για πρακτικούς λόγους θα συνηθίζουμε
να τη γράφουμε αx + βy = γ , σα να λέμε δηλαδή πως έχουμε χωρίσει γνωστούς από
αγνώστους.

Αν τη λύσουμε ως προς y γίνεται προφανής y
ο λόγος για τον οποίο καλείται γραμμική,
αφού παίρνει τη μορφή της εξίσωσης μιας O
ευθείας. x

y αxγ
β

Άρα: κάθε αλγεβρική γραμμική εξίσωση
παριστάνει γεωμετρικά μία ευθεία γραμμή.

Οι λύσεις

Είναι λογικό να σκεφτούμε πως εφόσον μια ευθεία περιέχει άπειρα σημεία έτσι και η αντίστοιχη
εξίσωση που την περιγράφει θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από αντίστοιχες άπειρες λύσεις, μία
για κάθε σημείο.

 Άρα, κάθε γραμμική εξίσωση, από μόνη της, έχει άπειρες λύσεις.

 Για να βρούμε μερικές από αυτές, θέτουμε τυχαίες τιμές στη μεταβλητή x κι αφού
εκτελέσουμε όλες τις δυνατές πράξεις βρίσκουμε μιαν αντίστοιχη τιμή για τη μεταβλητή
y.

 Συνεπώς, μια γραμμική εξίσωση δεν έχει ως λύση έναν μοναδικό αριθμό, αλλά ένα
ζεύγος αριθμών που την ικανοποιούν.

πχ. Για να βρούμε μια λύση της εξίσωσης y = 3x - 6 θέτουμε όπου x έναν οποιοδήποτε
αριθμό, ας πούμε x = 5, και εκτελούμε τις πράξεις:
y = 3∙5 - 6 = 15 - 6 = 9

Άρα, μια λύση της εξίσωσης είναι η (x, y) = (5, 9) .

Μανιοπούλου Σίσσυ 10

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

 Επειδή δεν είναι δυνατόν να υπολογίσουμε όλες από τις άπειρες αυτές λύσεις, αρκεί να
σημειώνουμε τη μορφή που θα έχουν, ώστε να μπορεί κανείς να υπολογίσει όσες θέλει,
ανά πάσα ώρα και στιγμή.

πχ. Για το προηγούμενο παράδειγμα, οι μορφή που θα έχουν οι λύσεις μας θα είναι: (x, y) =
(x, 3x - 6) ή καλύτερα (x, y) = (κ, 3κ - 6) . Παρατηρούμε ότι, για το σκοπό αυτό, θα
πρέπει αναπόφευκτα να λύσουμε τη γραμμική εξίσωση ως προς y.

2. ΣΥΣΤΗΜΑ 2 ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Όταν μιλάμε για σύστημα μιλάμε για κοινές λύσεις!

Αν, δηλαδή, μια γραμμική εξίσωση έχει άπειρες λύσεις και μια άλλη γραμμική εξίσωση έχει
άλλες τόσες άπειρες λύσεις, είναι δυνατόν κάποιες από αυτές τις λύσεις να είναι κοινές και για
τις δύο; Για να πλησιάσουμε την απάντηση, αρκεί να σκεφτούμε το εξής:

Αν κάθε γραμμική εξίσωση παριστάνει μία ευθεία, τότε 2 γραμμικές εξισώσεις θα παριστάνουν
2 ευθείες! Αν θυμηθούμε (από τη Γεωμετρία) ποιες μπορεί να είναι οι σχετικές θέσεις που
μπορούν να πάρουν δύο ευθείες μεταξύ τους, τότε αμέσως μπορούμε να πάρουμε μιαν ιδέα
για το τι μπορεί να συμβαίνει με τις λύσεις ενός συστήματος.

Γεωμετρική ερμηνεία

Αν δύο ευθείες τέμνονται τότε έχουν ένα κοινό σημείο, επομένως το σύστημα έχει
μοναδική λύση.

Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, επομένως το
σύστημα είναι αδύνατο.

Αν δύο ευθείες ταυτίζονται, τότε έχουν άπειρα σημεία τομής, επομένως το σύστημα έχει
άπειρες λύσεις.

Μανιοπούλου Σίσσυ 11

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 2X2

Προτού λύσουμε ένα οποιοδήποτε σύστημα, προκειμένου να βγάλουμε μιαν άκρη, επιβάλλεται

 αxβyγ
να το φέρουμε πρώτα σε κανονική μορφή, δηλαδή στη μορφή: αxβy γ

Με απλά λόγια, έχουν εκτελεστεί τα παρακάτω:

α. Απαλοιφή παρονομαστών.
β. Απαλοιφή παρενθέσεων.
γ. Χωρισμός γνωστών από αγνώστους.
δ. Αναγωγή ομοίων όρων.

Στη συνέχεια, προχωρούμε στην επίλυση του συστήματος επιλέγοντας κάποια από τις παρακάτω
μεθόδους:

Α. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Λύνουμε μία από τις 2 εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο
(όποιον επιθυμούμε, άρα όποιον μας συμφέρει) και αντικαθιστούμε
το αποτέλεσμα στην 2η εξίσωση. Έτσι προκύπτει μία εξίσωση με
ένα μόνον άγνωστο!

Παράδειγμα

 2x  5y  1 (1)
Να λυθεί το γραμμικό σύστημα: x  2y  4 (2)

Παρατηρούμε ότι στη 2η εξίσωση ο άγνωστος x δεν έχει συντελεστή, άρα μας συμφέρει να
επιλέξουμε τη 2η εξίσωση και να τη λύσουμε ως προς x (έτσι αποφεύγουμε να προκύψουν
κλάσματα) :

(2)  x = 2y  4 (3)

Προχωρούμε τώρα στην 1η εξίσωση, όπου αντικαθιστούμε στη θέση του x την παράσταση (3) που
μόλις βρήκαμε (και φυσικά στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση):

(3)

(1)  2∙(2y  4) + 5y = 1  4y  8 + 5y = 1  9y = 9  y = 1

Προς το παρόν, έχουμε υπολογίσει μονάχα τον έναν από τους δύο αγνώστους. Επιστρέφουμε στην
εξίσωση (2) και αντικαθιστούμε την τιμή y = 1 :

y 1

(2)  x = 2∙1  4 = 2  x = 2

Άρα, η λύση του συστήματος είναι η : x  2 ή, αλλιώς, το ζεύγος (x, y) = (2, 1)
y  1

Μανιοπούλου Σίσσυ 12

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Β. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ

Πολλαπλασιάζουμε και τις 2 εξισώσεις με κατάλληλο αριθμό, ώστε να προκύψουν αντίθετοι
συντελεστές μπροστά από κάποιον άγνωστο (πάλι επιλέγουμε αυθαίρετα όποιον μας συμφέρει). Στη
συνέχεια, προσθέτουμε τις 2 εξισώσεις κατά μέλη. Έτσι προκύπτει και πάλι μία εξίσωση με ένα μόνον
άγνωστο!

Παράδειγμα

Ας επιμείνουμε στο ίδιο σύστημα: 2x  5y  1 (1)
x  2y  4 (2)

Επιλέγουμε αυθαίρετα τον άγνωστο x , περισσότερο από θέμα οπτικής ευκολίας - καθώς βρίσκεται
πρώτος-πρώτος στην εξίσωση - παρά από κανένα θέμα ουσίας. Θα προσπαθήσουμε,
πολλαπλασιάζοντας τη μία ή και τις δύο εξισώσεις με κατάλληλο αριθμό, ώστε οι συντελεστές του x
να γίνουν αντίθετοι. Πολλαπλασιάζοντας την 1η εξίσωση με -1 και τη 2η με 2 έχουμε:

 2x  5y  1

 2x  4y  8

Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:  9y  9  y  1

Για y  1: x  2  4  x  2 , άρα η λύση μας είναι το ζεύγος: (-2,1)

Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η !!!

ΘΥΜΟΜΑΣΤΕ ότι δεν έχουμε έναν, αλλά 2 !!! αγνώστους να υπολογίσουμε! Αφού, λοιπόν,
καταφέρουμε τον ένα από τους δύο - με κάποια από τις προηγούμενες μεθόδους - χρειάζεται να
αντικαταστήσουμε την τιμή που βρήκαμε σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος (όποια
επιθυμούμε, άρα την πιο απλή) ώστε να υπολογίσουμε, τελικά, και τον άλλο άγνωστο !

Γ. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

 αx  βy  γ
Έστω ένα γραμμικό σύστημα 2x2 σε κανονική μορφή: αx  βy  γ

Θα ονομάζουμε Ορίζουσα του συστήματος και θα τη συμβολίζουμε με το γράμμα D, την παρακάτω

έκφραση: D = αβ = αβ΄  α΄β

α β

Αντίστοιχα, ορίζονται οι ορίζουσες ως προς x και ως προς y, ως εξής:

Dx = γβ = γβ΄  γ΄β Dy = αγ = αγ΄  α΄γ

γ β α γ

Με αυτό τον τρόπο, μπορούμε να προχωρήσουμε στη διερεύνηση του συστήματος, ως εξής:

Μανιοπούλου Σίσσυ 13

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

 Αν D  0 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση που δίνεται από τους τύπους:

x= Dx y= Dy
D D

 Αν D = 0, όμως συμβαίνει ένα από τα δύο Dx  0 ή Dy  0 τότε το σύστημα είναι
αδύνατο.

 Αν D = Dx = Dy = 0 τότε το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις.

Ε Ξ Α Ι Ρ Ε Σ Η !!!

Αν D = Dx = Dy = 0
με α = α΄= β = β΄= 0
αλλά κάποιο από τα γ, γ΄ 0
τότε το σύστημαείναι

αδύνατο .

Παράδειγμα

 2x  5y  1 (1)
x  2y  4 (2)

Υπολογίζουμε τις ορίζουσες του συστήματος :

25
D   2 (2) 15  4  5  9

1 2

 15
DX  1(2)  (4)5  2  20  18
4 2

21
Dy   2 (4) 11 8 1 9

1 4

Εφόσον D = 9  0 το σύστημα θα έχει μοναδική λύση την : x  DX  18  2 ,
D 9

y  Dy   9  1
D 9

Μανιοπούλου Σίσσυ 14

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

4. ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Γενικά, είναι εύκολο να αντιληφθούμε αν ένα σύστημα καταλήγει να είναι αόριστο, δίχως καν να
χρειαστεί να το επιλύσουμε. Εφόσον, δηλαδή, το έχουμε φέρει σε κανονική μορφή, το μόνο που
χρειάζεται είναι να παρατηρήσουμε ότι οι δύο εξισώσεις είναι ακριβώς ίδιες! Αρκεί να
πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε μία (ή, συχνά, και τις δύο) από αυτές με κάποιον αριθμό και
ιδού! Αυτό γίνεται προφανές, αν θυμηθούμε ότι το αόριστο σύστημα εκφράζεται γεωμετρικά από δύο
ευθείες που συμπίπτουν, δηλαδή ουσιαστικά από την ίδια ευθεία.

Αλλά...

Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα όπως έχουμε πει έχει άπειρες λύσεις. Όμως, ΔΕΝ
ξεμπερδεύουμε γράφοντας απλά ένα ξερό "αόριστο" και βάζοντας τελεία, αλλά είμαστε
υποχρεωμένοι να σημειώσουμε τη μορφή που παίρνουν αυτές οι άπειρες λύσεις. Για το λόγο αυτό,
λύνουμε μία από τις δύο εξισώσεις πχ. ως προς y και σημειώνουμε τη λύση του συστήματος, όπως
ακριβώς φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα:

Παράδειγμα

 x  4y  3 (1)
Έστω το σύστημα 3x  12y  9 (2)

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση (2) δεν είναι παρά η (1) πολλαπλασιασμένη με τον αριθμό 3. Άρα,
καταλήγουμε πως πρόκειται για ένα σύστημα αόριστο. Λύνουμε την (1) ως προς y, οπότε :

(1)   4y=  x + 3  4y = x  3  y  x  3
4

Γράφουμε, τελικά, πως οι λύσεις μας είναι άπειρες, της μορφής:
(x, y) = (κ, κ  3 ) , κR
4

Αλλιώς;

Αν λύναμε το σύστημα "κανονικά", ας πούμε με τη μέθοδο της αντικατάστασης θα είχαμε:

 x  4y  3 (1)   x  4y  3   x  4y  3   x  4y  3
3x 12y  9 (2) 3x 12y  9 3(4y  3) 12y  9 12y  9 12y  9

  x  4y  3  x  4y  3
12y 12y  9  9 
 0y  0

Εφόσον η εξίσωση βγήκε ταυτότητα ως προς y, άρα το σύστημα είναι τελικά αόριστο.
Ολοκληρώνουμε γράφοντας τη μορφή των λύσεων όπως δείξαμε προηγουμένως.

Μανιοπούλου Σίσσυ 15

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρατήρηση

α. Παρατηρώντας τη μορφή των λύσεων, αντιλαμβανόμαστε ότι το μόνο που έχουμε να κάνουμε
είναι να αντικαθιστούμε διάφορες τιμές - της αρεσκείας μας - στον x και να κάνουμε πράξεις.
Γι' αυτό, στην περίπτωση αυτή, ο άγνωστος x ονομάζεται και ελεύθερος άγνωστος.

β. Με την ίδια λογική, θα μπορούσαμε να λύσουμε την (1) ως προς x, συνεπώς ο ελεύθερος
άγνωστος τότε θα ήταν το y. Κανένα πρόβλημα, είναι το ίδιο πράγμα. Για του λόγου το αληθές:
(1)  x = 4y + 3. Οι λύσεις μας τότε θα είχαν τη μορφή:

(x, y) = (4κ + 3, κ)

5. ΤΟ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ

Ένα σύστημα θα λέγεται ομογενές αν οι σταθεροί όροι όλων των εξισώσεων είναι μηδέν. Είναι
προφανές πως ένα ομογενές σύστημα δεν είναι ποτέ αδύνατο, εφόσον έχει πάντα μια λύση: τη
μηδενική!

6. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3X3

Η Μέθοδος

Λύνουμε μία από τις 3 εξισώσεις ως προς έναν από τους 3 αγνώστους. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε
την παράσταση που βρήκαμε στις άλλες δύο εξισώσεις. Κατ' αυτό τον τρόπο, καταφέρνουμε ν'
απαλειφθεί ο ένας άγνωστος από τις δύο εξισώσεις και να καταλήξουμε σε ένα απλούστερο σύστημα
2x2, το οποίο φυσικά επιλύουμε, με κάποια απ' τις μεθόδους που μάθαμε νωρίτερα.

Παράδειγμα

 2x  y  z  2 (1)
Να λύθεί το σύστημα 4x  y  3z  2 (2)
(3)
 2x  2y  z  9

Λύνουμε πχ. την (1) ως προς y και κατόπιν αντικαθιστούμε στις (2) και (3):

y  2  2x  z y  2  2x  z
4x  (2  2x  z)  3z  2  4x  2  2x  z  3z  2
2x  2(2  2x  z)  z  9 2x  2  2  2  2x  2z  z  9

Παρατηρούμε ότι από τις (2) και (3) απαλείφθηκε ο άγνωστος y κι έτσι έχουμε καταλήξει σε ένα
σύστημα 2x2, το οποίο λύνεται πολύ εύκολα:

Μανιοπούλου Σίσσυ 16

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

6x  4z 0  6x  4z 0  6x  4(5 2x) 0  6x  20 8x  0   2x  20
 2x  z 5  2x  z  5  2x  z  5  2x z  5  2x
 z  5   

  x  10   x  10  x  10
z  5  2x z  5  2(10) z  15

Αντικαθιστούμε τις λύσεις x = 10 και z = 15 στην εξίσωση (1) :

y = 2x + z + 2  y = 2(10) + (15) + 2  y = 20  15 + 2  y = 7

Τελικά, η λύση του συστήματος είναι η διατεταγμένη τριάδα αριθμών : (x, y, z) = (10, 7, 15)

7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ένα μη γραμμικό σύστημα είναι αυτό ακριβώς που λέει τ' όνομά του: μία ή και οι δύο από τις
εξισώσεις που το συνθέτουν δεν είναι γραμμική. Στην περίπτωση αυτή, οπλιζόμαστε με τις ιδιότητες
των ισοτήτων, φαντασία και πολλή-πολλή ελπίδα! Ωστόσο, το καλό με την ύλη μας είναι ότι μία από
τις δύο εξισώσεις θα είναι συνήθως 1ου βαθμού, ως προς κάποιον άγνωστο! Προχωράμε, λοιπόν,
λύνοντας ως προς αυτόν ακριβώς τον άγνωστο και συνεχίζουμε κάνοντας αντικατάσταση, με το
συνηθισμένο τρόπο. Έτσι, καταφέρνουμε να σχηματίσουμε μία εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο,
ωστόσο 2ου, 3ου ή μεγαλύτερου βαθμού.

Παράδειγμα

 xy3
Να λυθεί το σύστημα x2  2y2  14

 x-y3  xy3  xy3 (1)
x2  2y2  14  x2  2y2  14  (y  3)2  2y2  14 (2)

Λύνουμε τη (2) κανονικά, όπως κάθε εξίσωση 2ου βαθμού:

y2 + 6y + 9  2y2 = 14   y2 + 6y  5 = 0 Δ = 62  4(1)( 5) = 36  20 = 16

y1, 2 =  6  16  64  y1 = 1 ή y2 = 5
2(1) 2

Άρα, για y1 = 1 :
(1)  x = 1 + 3  x = 4 δηλαδή μια λύση είναι η (x, y) = (4, 1) .
Αντίστοιχα, για y2 = 5 :
(1)  x = 5 + 3  x = 8 δηλαδή μια δεύτερη λύση είναι η (x, y) = (8, 5) .

Παρατήρηση

Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε, σε αυτό το σημείο, ότι τα μη γραμμικά συστήματα δεν έχουν
απαραίτητα μία μοναδική λύση, αλλά πιθανότατα 2 ή περισσότερες. Για παράδειγμα, στο σύστημα
που μόλις λύσαμε, έχουμε βρει δύο λύσεις, που το ικανοποιούν: (4, 1) και (8, 5) !

Μανιοπούλου Σίσσυ 17

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Α ΟΜΑΔΑΣ

ΆΣΚΗΣΗ 2

i) x  y  8x  7y  8x  7y  0  8x  7y  0 1
 8 x  y  45 x  y  45 7x  7y  3152
7
x  y 
45

Από πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) προκύπτει: 15x  315  x  21

Για x  21 έχουμε: 21 y  45  y  45  21 y  24

x 1  y 2 4x  4  3y  6 4x  3y  2(1)
 4 4x  3y  8 4x  3y  8(2)
ii) 3  

4x  3y  8

Από πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) προκύπτει: 8x  6  x  6  x  3 .
84

Για x  3 έχουμε: 4  3  3y  8  3  3y  8  3y  5  y  5
44 3

΄ΑΣΚΗΣΗ 3
i) Η πρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται:
x  5  2y  1  2  0  7(x  5)  2(2y  1)  28  0  7x  35  4y  2  28  0  7x  4y  5

27
Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γράφεται:
x  6  y  6  8  2(x  6)  3(y  6)  48  2x  12  3y  18  48  2x  3y  18

32

Μανιοπούλου Σίσσυ 18

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Έτσι, έχουμε το σύστημα:

7x  4y  5(3)  21x  12y  15(1)
2x  3y  18(4) 8x  12y  72(2)

Από πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε: 29x  87  x  87  x  3
29

Για χ=3 έχουμε: 2  3  3y  18  6  3y  18  3y  12  y  4

ii) Η πρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται:

2x  1  4  y  2  4(2x  1)  48  3(y  2)  8x  4  48  3y  6  8x  3y  46
34

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γράφεται:

x  3  3  x  y  3(x  3)  18  2(x  y)  3x  9  18  2x  2y  x  2y  9
23

Έτσι έχουμε το σύστημα:

8x  3y  46  8x  3y  46(1)
 8x  16y  72(2)
x  2y  9 (8)

Από πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε:  13y  26  y  2

Για y=2 έχουμε: x  4  9  x  5

Ώστε η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος: (5,2)

ΆΣΚΗΣΗ 4
i) Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το 3 έχουμε: x  3y  6

x  3y  3
Ώστε το σύστημα γράφεται: x  3y  6
Το σύστημα είναι αδύνατο αφού τα πρώτα μέλη είναι ίσα και τα δεύτερα διαφορετικά.

Μανιοπούλου Σίσσυ 19

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ii) Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το -2 έχουμε:  x  2y  2

Επιπλέον, η πρώτη εξίσωση γράφεται:  x  2y  2

Ώστε το σύστημα  x  2y  2 έχει άπειρες λύσεις αφού οι δύο εξισώσεις είναι ίδιες.
 x  2y  2

Θα βρούμε όμως και τη μορφή απειρίας λύνοντας ως προς χ: x  2y  2 ,
Επομένως οι λύσεις είναι της μορφής: (2y – 2 , y)

ΆΣΚΗΣΗ 5

i)
21

D   2(5)  3 1  10  3  13
3 5

71
DX  4  7(5)  4 1  35  4  39
5

27
Dy  3  2  4  3  7  8  21  13
4

Αφού D  0 το σύστημα έχει μοναδική λύση την x  DX   39  3 και y  Dy   13  1
D  13 D  13

ii) Αφού φέρουμε τη κάθε εξίσωση στη μορφή αχ + βy = γ το σύστημα γράφεται:

 3x  2y  8

 x  3y  1

D 3 2
 3  3  2 1  9  2  11
13

8 2
DX  1  8  3  (1)  2  24  2  22
3

3 8
Dy   3  (1)  (8) 1  3  8  11
1 1

Αφού D  0 το σύστημα έχει μοναδική λύση την x  DX   22  2 και y  Dy  11  1
D  11 D  11

Μανιοπούλου Σίσσυ 20

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΆΣΚΗΣΗ 7

i) D  3  1 2 2

1 3 1  ( 3  1)( 3  1)  2 1  ( 3)  1 2  3  3  0

2 2
DX  1 3  2( 3  1)  2(1 3)  2 3  2  2  2 3  0
3 1

Dy  3 1 2 3)  (2) 1   3  3  1 3 2  0
 ( 3  1)(1
1 1 3

Επομένως, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

ΆΣΚΗΣΗ 8

i) Λύνοντας την 3η εξίσωση ως προς y έχουμε: y = 33 – 5x + 2ω
Κάνοντας αντικατάσταση στην 1η έχουμε:
3x  2(33  5x  2ω)  ω  11 3χ  66  10χ  4ω  ω  11 13x  5ω  77
Κάνοντας αντικατάσταση στην 2η έχουμε:

2x  5(33  5x  2ω)  2ω  3  2χ  165  25χ  10ω  2ω  3  27χ  12ω  168  9χ  4ω  56

Έτσι προκύπτει το σύστημα: 13x  5ω  77(4)   52χ  20ω  308 (1)
 45χ  20ω  280 (2)
9x  4ω  56 (5)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει: 7χ  28  χ  4
Για χ=4: 36  4ω  56  4ω  20  ω  5
Για χ=4 και ω = – 5 : y = 33 – 20 – 10 = 3
(x,y,ω)=(4, 3, – 5)

Μανιοπούλου Σίσσυ 21

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Β ΟΜΑΔΑΣ

ΆΣΚΗΣΗ 7

i) Αρκεί να λύσουμε το σύστημα : αχ  y  α2 για τις διάφορες τιμές του α
 1
χ  αy

D  α 1  α2  1  (α  1)(α  1)
1α

DX  α2 1  α3  1  (α  1)(α2  α  1)
1 α

α α2  α  α2  α(α  1)
Dy  1 1

1η περίπτωση: Αν D  0  (α  1)(α  1)  0  α  1 και α  1

χ  DX  (α  1)(α2  α  1)  α2  α  1 και την
D (α  1)(α  1) α 1
Τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, την
y  Dy   α(α  1)   α
D (α  1)(α  1) α  1

Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο

2η περίπτωση: Αν α = 1 τότε το σύστημα γράφεται: x  y 1
x  y 1

Τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής: (x, y)=(1-y, y)

Αυτό σημαίνει ότι οι δύο ευθείες ταυτίζονται.

3η περίπτωση: Αν α=-1 τότε το σύστημα γράφεται:  x y 1  x  y  1
 y 1 x  y  1
 x

Τότε το σύστημα είναι αδύνατο.

Αυτό σημαίνει ότι οι δύο ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, δηλαδή είναι παράλληλες.

Μανιοπούλου Σίσσυ 22

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

αχ  y  α
ii) Αρκεί να λύσουμε το σύστημα χ  αy  1 για τις διάφορες τιμές του α.

α  1  α2  1  0 για κάθε α. Αυτό σημαίνει ότι οι δύο ευθείες έχουν ένα κοινό σημείο για
D
1α

κάθε α. Για να βρούμε τις συντεταγμένες του θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις DX και Dy .

α 1  α2 1
Dx  1 α

αα
Dy  1 αα 0
1

΄Ώστε x  DX  α2 1  1 και Dy  0 0 δηλαδή το σημείο τομής των δύο ευθειών
D α2 1 α2 1

είναι το (1,0)

ΆΣΚΗΣΗ 8

i)

D  λ  1  2   (λ  1)(λ  1) (2)  4  (λ2  1)  8  λ2  9  (λ2  9)  (λ  3)(λ  3)

4  (λ  1)

1  2  1(λ  1)  (2)(2)  λ  1 4  λ  5  (λ  5)
DX   2  (λ  1)

Dy  λ 1 1
4  2(λ  1)  4  2λ  2  4  2λ  2  2(λ  1)

2

1η περίπτωση: Αν D  0  (λ  3)(λ  3)  0  λ  3 και λ  3 , τότε το σύστημα έχει μοναδική

λύση την

x  Dx   (λ  5)  λ  5 και την y  Dy   2(λ  1)  2(λ  1)
D  (λ  3)(λ  3) (λ  3)(λ  3) D  (λ  3)(λ  3) (λ  3)(λ  3)

2η περίπτωση: Αν λ= 3 τότε το σύστημα γράφεται: 2x  2y  1  2x  2y  1
4x  4y  2 2x  2y  1

το οποίο είναι αδύνατο.

3η περίπτωση: Αν λ=-3 τότε το σύστημα γράφεται:  4x  2y  1  4x  2y  1
  2y  2 4x  2y  2
 4x

το οποίο είναι αδύνατο.

Μανιοπούλου Σίσσυ 23

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΆΣΚΗΣΗ 9
Έστω ρ1, ρ2, ρ3 οι ακτίνες των κύκλων με κέντρα Ο1, Ο2, Ο3 αντίστοιχα.
O1O2  6  ρ1  ρ2  6, Ο1Ο3  5  ρ1  ρ3  5, Ο2Ο3  7  ρ2  ρ3  7
Έτσι, προκύπτει το παρακάτω σύστημα:
ρ1  ρ2  6 (1)
ρ1  ρ3  5 (2)
ρ2  ρ3  7 (3)
Από πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) και (3) προκύπτει: 2(ρ1  ρ2  ρ3 )  18  ρ1  ρ2  ρ3  9(4)
Από (1) και (4) προκύπτει ρ3=3, από (2) και (4) προκύπτει ρ2 =4, από (3) και (4) προκύπτει ρ1 =2.
Ώστε η λύση του συστήματος είναι (ρ1,ρ2,ρ3) = (2,4,3)

Μανιοπούλου Σίσσυ 24

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Α ΟΜΑΔΑΣ

ΆΣΚΗΣΗ 1

Λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση ως προς χ: x=1-y
Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση έχουμε:
(1 y)2  y2  (1 y)y  3  1 2y  y2  y2  y  y2  3  y2  y  2  0  y  1 ή y  2
Για y  1: x  2 και για y  2 : x  1

Ώστε οι λύσεις του συστήματος είναι: (2,-1) και (-1,2)

Άσκηση 2
i) Αφού η πρώτη εξίσωση είναι λυμένη ως προς y, αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση έχουμε:
12x  3  3x2  4  9x2  12x  4  0  9x2  12x  4  0  (3x  2)2  0  3x  2  0
 3x  2  x  2

3

Για x  2 : y  3   2 2  3  4  4
3 3 9 3

Ώστε η λύση του συστήματος είναι :  2 , 4 
3 3

ii) Λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση ως προς χ έχουμε: χ=y. Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση
έχουμε:

y2  y2  9  2y2  9  y2  9  y   9  y   3  y   3 2
22 2 2

Ώστε οι λύσεις του συστήματος είναι:  32 , 32  και   3 2,3 2 
2 2 2 2

Μανιοπούλου Σίσσυ 25

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

iii) Λύνοντας την δεύτερη εξίσωση ως προς y έχουμε: y  2
x

Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση έχουμε:

x2   2 2 5  x2  4 5  x4 4  5x2  x4  5x2 4  0 (1)
x x2

Θέτω στην x2  ω οπότε η (1) γράφεται: ω2  5ω  4  0  ω  1 ή ω  4

Για ω=1 είναι: x2  1  x  1

Για ω=4 είναι: x2  4  x  2
Για x  1 είναι y  2 και για χ  2 είναι y  1.

Ώστε οι λύσεις του συστήματος είναι: (1,2), (-1,-2), (2,1) και (-2,-1)

Β ΟΜΑΔΑΣ

ΆΣΚΗΣΗ 1

Αφού η πρώτη εξίσωση είναι λυμένη ως προς x2 αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση:
2y  10  y2  25  y2  2y  15  0  y  3 ή y  5
Για y=3: x 2  16  x  4
Για y= – 5 : x 2  0  x  0
Ώστε οι λύσεις του συστήματος είναι: (4,3), (-4,3) και (0,-5)

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ – ΛΑΘΟΥΣ ΣΛ
1) Αν ένα γραμμικό σύστημα 2χ2 έχει μοναδική λύση τότε D  0 . ΣΛ
2) Αν ένα γραμμικό σύστημα 2χ2 έχει άπειρες λύσεις τότε D=0. ΣΛ
3) Αν ένα γραμμικό σύστημα 2χ2 είναι αδύνατο τότε D=0. ΣΛ
4) Αν D=0 τότε το σύστημα είναι αδύνατο. ΣΛ
5) Αν D=0 τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. ΣΛ
6) Αν D=0 τότε το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. ΣΛ
7) Αν D  0 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. ΣΛ
8) Οι ευθείες ε1:x+λy=1 και ε2:λχ-y=2 τέμνονται για κάθε λ. ΣΛ
9) Η ορίζουσα εκφράζει έναν πραγματικό αριθμό.

Μανιοπούλου Σίσσυ 26

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

10) Οι ευθείες χ–2y=6 και 3χ+4y=8 τέμνονται στο σημείο (4,-1). ΣΛ
11) Η ευθεία y=2x+k τέμνει την παραβολή y=–x2 σε δύο σημεία όταν k>1. ΣΛ
ΣΛ
12) Το σύστημα 3x  2y  8 7 είναι αδύνατο.
 6x  4y  ΣΛ

13) Το σύστημα 3x  2y  6 έχει άπειρες λύσεις
2x  4y4
3

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2 χ 2

(1) Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά με την κατάλληλη έκφραση

α. Το σύστημα 2x  3y  8 είναι αδύνατο.
................

 x  2y  8
β. Το σύστημα ................ έχει λύση το ζεύγος (2, 3).

γ. x  2y  5
Το σύστημα ................ έχει άπειρες λύσεις.

2x  y  10
δ. Το σύστημα 2x  y  12 είναι / έχει ...................

ε. 2x  y  12
Το σύστημα ................ έχει λύση, πάνω στη διχοτόμο της γωνίας του πρώτου

τεταρτημορίου, ενός συστήματος αξόνων.

(2) Να λυθούν τα συστήματα : β.  1 1 0
2x  y  4  xy

α. 4x  y  5 2x  5y  12

 x  1  y  4  x  y 1
 2 3  2 3
γ. δ.  3
y
3x  5y  59 x 
2

Μανιοπούλου Σίσσυ 27

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

(3) Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα:

α.  3x  5  2(y 1)  8 β.  3(2  x)  5(y  2)  3x 1
2(x 1)  3(1 2y)  9 4(x  y)  5x  2x  3(x  y)

1 2x  1 y  5  2 (2x  y)  1
 y 2 12  y  2
γ.  3 x2 δ.  3
 x  x 2  3y

32 3

 2x  yx  1 1  x  2  y 1  3(y  3) 11 3x
  1  2  42 2   x  23 
ε.  3 2 στ. 
 2x y  4x  (2y  x)  1 y 5 4 

3 3 2 10

(4) Να λυθούν τα συστήματα :

α.  2x  3y  7 β. 3 x 1  y  2  3
| 3x  5y | 1  x 1  2 y  2  8

(5) Να λυθούν τα συστήματα:

α.  1  3  0 β.  1  2  8
 3  x  2y 6  4x  5y    3
3(6x  5y  4)  3x  2y  401  x y
 3 1

x y

γ.  1  3 5 δ.  3  5 7
 xy xy 3  x7 y3
 2  1 1  5  4  3
 xy xy 6  x7 y3
 

(6) Να λυθούν τα συστήματα :

α.  x  y2  0 β. x1 xy
 x  y2  2 
  3x  5y  9

Μανιοπούλου Σίσσυ 28

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

(7) Να λυθούν τα συστήματα για τις διάφορες τιμές του πραγματικού λ:

α. xy λ  x  λy  1 γ.  x  λy  1
λx  y 1 β. λx  3λy  2λ  3 λx  y  λ2

δ. λ2x  y  2 ε.  2λx  y  1 στ. 2x  (5  λ)y  1
 6x  3y  3 
 x  y  2λ  x  2λy  0

 (1 λ)x  2y  3 η.  xy3
ζ. 2λx  (λ 1)y  λ  4 λ2x  y  3

θ. (λ  1)x  3λ2y  λ ι. (λ 1)x  y  4
 x  (λ  1)y  1 
 λx  2y  4λ

ια. (λ  2)x  λy  2λ ιβ. 2λx  (λ  2)y  2
3x  (λ  2)y  12 
 λx  λy  1

ιγ. (λ 1)x  2y  3λ ιδ. μ 1x  8y  4μ
x  (λ  4)y  λ  4 μx  μ  3y  3μ 1

ιε. (2λ 1)x  λy  1 ιστ. (λ  2)x  λy  2λ
λx  (2λ 1)y  λ 3x  (λ  2)y  12

 (λ 1)x  2λy  2 ιη. (λ2 1)x  y  3λ
ιζ. 2λx  (λ 1)y  λ 1 
 3x  y  8  λ

(8) Να προσδιοριστούν οι τιμές του λℛ, ώστε το σύστημα:

 (λ  4)x  (2λ 1)y  3λ 1
(3λ  7)x  (5λ 1)y  2λ  2

α. να έχει μία λύση β. να είναι αόριστο γ. να είναι αδύνατο

(9) Να βρεθούν οι τιμές του αℛ, ώστε τα ακόλουθα συστήματα να είναι συγχρόνως αόριστα:

(α  3)x  4y  4  (α  2)x  3y  2
  x  (α  2)y  α 1
 αx  αy  1

Μανιοπούλου Σίσσυ 29

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

(10) Να βρεθούν οι τιμές των λ, μ για τις οποίες τα ακόλουθα συστήματα είναι συγχρόνως

αδύνατα:

(μ 1)x  λy  1  (μ  1)x  (λ  1)y  2
 
 2x  y  3  x  2y  5

(λ 1)x  λy  4λ  2
(11) Δίνεται το σύστημα  . Αν (xo, yo) είναι η μοναδική λύση του, τότε να
 xy 4

λυθεί η εξίσωση: x − 5x0∙x + y0 = 0 .

(12) Δίνεται το σύστημα  λx  μy  2 και η εξίσωση x 2 − λx − μ 2 = 0 , με λ, μ ℛ.
 4μx  λy  5

Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μία μοναδική λύση, αν και μόνον αν, η εξίσωση έχει δύο
ρίζες πραγματικές και άνισες.

(13) α. Να λυθεί το σύστημα για τις διάφορες τιμές του λℛ: (λ  1)x  (λ  2)y  1

  x  λy  2  y

β. Για τη μοναδική λύση (xo, yo), που βρήκατε στο (α), να υπολογίσετε το λ, ώστε:
y0 − 2x0 > 1 .

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

(14) Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 1 x 1 x2 x β. 1 x  x2 1 x  16
x x2 1 x  x2 1 x

γ. x  2  λ2  5 δ. 10 10x  0
xx 10x x

ε. 310 310  0
310 311  2x

x x1 x1 x2 x2
(15) Να λυθεί η ανίσωση :  2   3x  4
2x x3 x4 1x

Μανιοπούλου Σίσσυ 30

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1 1
1 x
(16) Να λυθεί η ανίσωση : 1 1 x2 0
1 x2 1

1 x

(17) Δίνεται το γραμμικό 2x2 σύστημα με ορίζουσες D, Dx, Dy. Αν το σύστημα έχει μοναδική
λύση και επιπλέον ισχύει:
D2x  D2y = D (2Dx – 4Dy – 5D)

τότε να βρείτε την λύση αυτή.

(18) Δίνεται το γραμμικό 2x2 σύστημα με ορίζουσες D, Dx, Dy. Αν το σύστημα έχει μοναδική
λύση και επιπλέον ισχύει:
D2x  D2y  D2 = 4D( Dx  Dy ) + 2D Dy

τότε να βρείτε την λύση αυτή.

(19) Δίνεται το γραμμικό 2x2 σύστημα με ορίζουσες D, Dx, Dy. Αν το σύστημα έχει μοναδική
λύση και επιπλέον ισχύει:

D2x  D2y  2D2 = 2( Dx  D  DDy 1)

τότε να βρείτε την λύση αυτή.

(20) Έστω γραμμικό σύστημα 2x2, με αγνώστους x, y, το οποίο έχει μοναδική λύση. Αν ισχύει ότι:

32DDxx2DDyy  5D
 4D

να βρεθεί η λύση αυτή.

(21) Να λυθεί η εξίσωση x 2 − 2αx + β = 0 , με α, β , αν γνωρίζουμε ότι:

α β 2 α β 4  0
β α 1 3

Μανιοπούλου Σίσσυ 31

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3 x 3

(22) Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα:

 x  2y  2z  3  2x  yz  2
 4x  y  3z  2
α.  x  y  2z  1 β. 

 x  2y  2z  1 2x
 2y  2 z  9
3

(23) Να δείξετε ότι τα παρακάτω συστήματα είναι αδύνατα:

20x  y 1  xz2
2x  y  z  0
α.  y 1 β. 
  2x  z  0
 2x  y  0
x  y  z  16

(24) Να λυθούν τα συστήματα:

 x  2y  3z  5 x  2y  z  3  x  y  z  1
 β. 2x  y  2z  4 
α.  x y z  0 γ.  2x  4z 3
 x  2y  z  3
4x  5y  6z  11  2y  2z  5

3x  y  z  11  2x  4 y  3ω  8
 5
 
δ.  4y  3z  10 ε.  x  y  2ω  3

 2z  4 0,6x  0,3y  0,5ω  1,6

 x  2y  4ω  1  xyz3
στ.  x  3y  6ω  2 
ζ.  x y z 1
 2x  y  2ω  3
 x  y  z  3

(25) Να λύσετε τα παρακάτω ομογενή συστήματα:

x  2y  8z  0  4x  y  z  0  3x  3y  5ω  0
α. x  3y  7z  0  
β.  3x  y  z  0 γ.  3x  5y  9ω  0
x  5y  5z  0
4x  y  3z  0 5x  9y  17ω  0

Μανιοπούλου Σίσσυ 32

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

(26) Να λυθούν τα συστήματα:

 x  y  2z  1  x  z  4ω  5φ  4
 3x  y  z  2
α.  β.  y  2ω  φ  1
 x  2y  6z  1 
 x  5z 12ω 17φ  4
5x  2y  3z  6

α  β  3
 γ  2
 2 3
x  y  φ  ω  12  β 

 x φ 1 x  y  1 2
 yx2 δ. y  z  2  γ  δ
γ. ε.  δ ε  4
z  x  3  2  3
  
 y  ω  3 
2
ε
 α  3
2 2

στ.  1 1  1 ζ. 2x  3y  2ω  9
 x  2 
 1 y  4x  y  3ω  11
 y 1

ω

1  1  3
 ω x

Μανιοπούλου Σίσσυ 33

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

(27) Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα:

α. 3x  y  6  x  3y  1
 β. x2  y2  17
 xy  3

γ. (3x  2).(x  y)  0 δ.  x  y  xy  7
x  y  2
xyx  y  12

ε. x2  y2  xy  57 x3  y3  7
 στ. 
x  y  1
 x  y  1

ζ. x  y   5
y x 2
 x  y  1

(28) Να λυθεί τo σύστημα : x3  8y4  0
3
 2 x3  10y4  2

(29) Να λυθούν τα συστήματα:

 x y 5 β.  3 x  6 y  7
α.  2 x  4 y  1

 x y 13

x 5  4y  5 1 δ.  x2 3y 1
γ.  
 3 x  6y  3 3
 yx 5

ε.  xy4

 2x  4y  8  2 2

Μανιοπούλου Σίσσυ 34

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μανιοπούλου Σίσσυ 35

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μανιοπούλου Σίσσυ 36

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, αντιλαμβανόμαστε ότι είναι δυνατόν,
κατά τμήματα, άλλοτε να «ανεβαίνει» (αυξάνει) κι άλλοτε να «κατεβαίνει» (φθίνει).
y
f(x)

O
x

Για να ξεφύγουμε, όμως, από τη σχετικότητα της ανθρώπινης ματιάς (αν κοιτάξουμε αντίστροφα
εκείνο που πριν ανηφόριζε, τώρα θα κατηφορίζει!) οφείλουμε να δώσουμε έναν αυστηρότερο
ορισμό, του τι ακριβώς σημαίνει πως μια συνάρτηση «αυξάνει» ή «φθίνει».

Γνησίως Αύξουσα συνάρτηση

Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού
της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 Δ με x1 < x2 ισχύει:

f(x1) < f(x2)

Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση συμβολίζεται για συντομία: 

Αυτό που, με απλά λόγια, συμβαίνει σε y f(x)
μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση είναι ότι f(x2)
οι τιμές του x, καθώς κι εκείνες της f(x), f(x1)
μεταβάλλονται με τον ίδιο ακριβώς
τρόπο: Όταν αυξάνεται το ένα, αυξάνεται O
και τ' άλλο, όταν μειώνεται το ένα,
μειώνεται και τ' άλλο.

χ1 x2 x

Μανιοπούλου Σίσσυ 37

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση

Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού
της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 Δ με x1 < x2 ισχύει:

f(x1) > f(x2)

Μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση συμβολίζεται για συντομία: 

Αυτό που, με απλά λόγια, συμβαίνει σε μια y
γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι ότι οι τιμές
του x μεταβάλλονται με ακριβώς τον f(x)
αντίστροφο τρόπο, από τις τιμές της f(x): f(x1)
αυξάνεται το ένα, μειώνεται το άλλο, μειώνεται f(x2)
το ένα, αυξάνεται το άλλο.

Μονοτονία O χ1 x2 x

Η συμπεριφορά αυτή μιας συνάρτησης ονομάζεται μονοτονία κι η συνάρτηση - εφόσον είναι
γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα - γνησίως μονότονη.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα, ένας τρόπος είναι να
ξεκινήσουμε από τη σχέση x1 < x2 και στη συνέχεια να «κατασκευάσουμε», βήμα-βήμα, και στα
δύο μέλη τον τύπο της συνάρτησης, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ανισοτήτων.

πχ. Θέλουμε να εξετάσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης f(x) = −3x + 5 , με πεδίο ορισμού
όλο το ℛ. Έστω x1, x2 ℛ με x1 < x2 :
x1 < x2  −3x1 > −3x2  −3x1 + 5> −3x2 + 5  f(x1) > f(x2)

Συνεπώς, η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.

Ειδικότερα:

 Αν πρόκειται για την ευθεία f(x) = αx + β , η μονοτονία εξαρτάται αποκλειστικά από το
συντελεστή του x (= συντελεστής διεύθυνσης) :
 αν α > 0 τότε f(x)  σε όλο το ℛ.
 αν α > 0 τότε f(x)  σε όλο το ℛ.

Μανιοπούλου Σίσσυ 38

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

 Αν πρόκειται για την παραβολή f(x) = αx2 + βx + γ , με κορυφή το σημείο με

συντεταγμένες   β , Δ  τότε:
 2α 4α 

 Αν α > 0 :

f(x)  στο διάστημα   , β  και  στο  β ,  .
 2α  2α 

Στην περίπτωση αυτή, λέμε ότι η συνάρτηση «στρέφει τα κοίλα άνω».

 Αν α < 0 :

f(x)  στο διάστημα   , β  και  στο  β ,   .
 2α  2α 

Στην περίπτωση αυτή, λέμε ότι η συνάρτηση «στρέφει τα κοίλα κάτω».

2. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ομοίως, παρατηρώντας μια γραφική παράσταση, πιθανότατα, να αντιληφθούμε πως κάποια
σημεία βρίσκονται ψηλότερα ή χαμηλότερα από τα υπόλοιπα. Άλλοτε από όλα τα υπόλοιπα
σημεία κι άλλοτε, πάλι, μόνο από τα γειτονικά τους. Τα σημεία αυτά - η μάλλον ορθότερα, οι
τιμές που παίρνει η συνάρτηση στα σημεία αυτά - ονομάζονται, αντίστοιχα, μέγιστο ή μέγιστη
τιμή και ελάχιστο ή ελάχιστη τιμή της συνάρτησης.

(Ολικό) Μέγιστο

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο x0 Α
(ολικό) μέγιστο όταν, για κάθε xΑ :

f(x) ≤ f(x0)

y

f(x0)

χ0 O f(x)
x

Η έκφραση, που συνηθίζουμε να χρησιμοποιούμε, έχει ως εξής: «Η συνάρτηση f παρουσιάζει
ολικό μέγιστο στη θέση (ή στο σημείο) x0 την τιμή f(x0)».

Μανιοπούλου Σίσσυ 39

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

(Ολικό) Ελάχιστο
Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο x0 Α
(ολικό) ελάχιστο όταν, για κάθε xΑ:
f(x) ≥ f(x0)
y

f(x)

f(x0) x
O χ0

Όμοια με πριν, η έκφραση που χρησιμοποιούμε είναι: «Η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό
ελάχιστο στη θέση (ή στο σημείο) x0 την τιμή f(x0)».

Ακρότατα

Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης ονομάζονται, με μια λέξη, (ολικά)
ακρότατα της συνάρτησης.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

Για την εύρεση (εφόσον υπάρχει) της μέγιστης ή της ελάχιστης τιμής μιας συνάρτησης, ένας
τρόπος είναι να ξεκινήσουμε από μια ανισοτική σχέση, η οποία είναι προφανής (πχ. x2 ≥ 0) και
στη συνέχεια να «κατασκευάσουμε», βήμα-βήμα, σ' ένα απ' τα δύο μέλη τον τύπο της
συνάρτησης, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ανισοτήτων.

πχ. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = 5 − x2 , με πεδίο ορισμού όλο το ℛ,
παρουσιάζει ολικό μέγιστο (και να βρεθεί).

Για κάθε xℛ είναι: x2 ≥ 0  − x2 ≤ 0  5 − x2 ≤ 5  f(x) ≤ 5
Συνεπώς, η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο, την τιμή 5 .

πχ. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x + 3 , με πεδίο ορισμού όλο το ℛ,
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο (και να βρεθεί).
Eίναι: f(x) = x2 − 2x + 3 = x2 − 2x + 1 + 2 = (x − 1) 2 + 2

Όμως, για κάθε xℛ είναι: (x − 1) 2 ≥ 0  (x − 1) 2 + 2 ≥ 2  f(x) ≥ 2
Συνεπώς, η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, την τιμή 2 .

Μανιοπούλου Σίσσυ 40

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ:

 Αν πρόκειται για την παραβολή f(x) = αx2 + βx + γ , με κορυφή το σημείο με
συντεταγμένες   β , Δ  τότε:
 2α 4α 
 Αν α > 0 :
Η f(x) παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο σημείο x0 =  β το f(x0) =  Δ .

2α 4α

 Αν α < 0 :
Η f(x) παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο σημείο x0 =  β το f(x0) =  Δ .

2α 4α

3. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μία συνάρτηση μπορεί να έχει διάφορες συμμετρίες. Εδώ θα εξετάσουμε δύο βασικές: τη
συμμετρία ως προς τον άξονα y΄y (αξονική συμμετρία) και τη συμμετρία ως προς την αρχή των
αξόνων (κεντρική συμμετρία).

Άρτια

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε
xΑ ισχύει:

−x  A και f(−x) = f(x)

y

f(x)

f(-x) f(x)

-χ O χx

 Οι άρτιες συναρτήσεις έχουν πάντα άξονα συμμετρίας τον y΄y. Ένας πρακτικός / οπτικός
τρόπος, για να γίνει αυτό αντιληπτό, είναι να διπλώσουμε (νοητικά) το χαρτί, κατά μήκος
του άξονα y΄y. Τότε, θα πρέπει το τμήμα της γραφικής παράστασης, που βρίσκεται δεξιά να
έρθει και να συμπέσει, ακριβώς, με το τμήμα που βρίσκεται στ' αριστερά.

Μανιοπούλου Σίσσυ 41

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Περιττή

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε
xΑ ισχύει:

−x  A και f(−x) = − f(x)
y
f(x)

f(x) x
-χ

Oχ
f(-x)

 Οι περιττές συναρτήσεις έχουν πάντα κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, δηλαδή το
σημείο (0, 0). Ένας πρακτικός / οπτικός τρόπος , για να γίνει αυτό αντιληπτό , είναι πως αν
περιστρέψουμε (νοητικά) το σχήμα, κατά 1800, θα πρέπει να παραμείνει αμετάβλητο.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

Για την εύρεση (εφόσον υπάρχει) της συμμετρίας μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητες, πάντα, οι
εξής ενέργειες:

 Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης και εξετάζουμε αν για κάθε στοιχείο
περιλαμβάνει και το αντίθετό του, δηλαδή αν για κάθε xΑ είναι και −xA.
Πρακτικά, ένα τέτοιο πεδίο ορισμού θα πρέπει να είναι συμμετρικό από μόνο του, δηλαδή
να έχει μια από τις παρακάτω μορφές (αℛ):
ℛ, (−α, α) , [−α, α] , (−, −α)  (α, ) , (−, −α]  [α, )

 Θέτουμε στον τύπο της συνάρτησης, όπου x το −x . Στο τέλος, αφού ολοκληρώσουμε όλες
τις δυνατές πράξεις και ιδιότητες, βλέπουμε αν έχουμε καταλήξει στον αρχικό τύπο f(x),
οπότε η συνάρτηση είναι άρτια, ή στο −f(x), οπότε είναι περιττή. Μια συνάρτηση,
πιθανότατα, να μην έχει καμία από τις δύο συμμετρίες.

Μανιοπούλου Σίσσυ 42

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

πχ. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = x4 − 9|x| είναι άρτια.
Το πεδίο ορισμού είναι όλο το ℛ, άρα για κάθε x είναι και − xℛ.
f(−x) = (−x)4 − 9|−x| = x4 − 9|x| = f(x)

Συνεπώς, η συνάρτηση f είναι άρτια .

πχ. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = x3 − 1 είναι περιττή.
x

Το πεδίο ορισμού είναι το ℛ*, άρα για κάθε xℛ είναι και − xℛ.

f(−x) = (−x)3 − 1 = − x3 + 1 = − (x3 − 1 ) = − f(x)
x x x

Συνεπώς, η συνάρτηση f είναι περιττή .

4. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Πολύ συχνά, κατασκευάζοντας της γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, διαπιστώνουμε ότι
πρόκειται για μια απλούστερη συνάρτηση, η οποία έχει απλά μετακινηθεί κατά μήκος των
αξόνων, άλλοτε κατακόρυφα και άλλοτε οριζόντια.

Θα πρέπει, με τον καιρό, να εξασκηθούμε στην παρατήρηση των συναρτήσεων, έτσι ώστε να
αντιλαμβανόμαστε πώς μικρές μετατροπές στον τύπο της επηρεάζουν τη συμπεριφόρα και τη
γραφική της παράσταση.

Κατακόρυφη Μετατόπιση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με:

f(x) = φ(x) + c

προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης φ(x) κατά c μονάδες προς τα πάνω αν c > 0 ή προς τα κάτω αν c < 0 .

y

c>0 f(x)

O x

c<0

Μανιοπούλου Σίσσυ 43

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Οριζόντια Μετατόπιση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με:

f(x) = φ(x + c)

προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
φ(x) κατά c μονάδες προς τα αριστερά αν c > 0 ή προς τα δεξιά αν c < 0 .

y
f(x)

c<0

Ox
c>0

ΠΡΟΣΟΧΗ !!!

Παρατηρούμε ότι στην οριζόντια μετατόπιση η μεταβολή είναι αντίθετη από εκείνο, που θα μας
φαινόταν «εύλογο»: αριστερά για θετικό προσθετέο ή δεξιά για αρνητικό!

Μανιοπούλου Σίσσυ 44

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ – ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Α ΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο  ,1 και γνησίως αύξουσα στο 1,.

Η g(x) είναι γνησίως αύξουσα στο  ,0, γνησίως φθίνουσα στο 0,2 και γνησίως αύξουσα
στο 2,.

Η h(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο  ,1, γνησίως αύξουσα στο  1,0, γνησίως φθίνουσα
στο 0,1 και γνησίως αύξουσα στο 1,.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το -1 για χ =1.

Η g δεν έχει ολικά ακρότατα.

Η h έχει ολικό ελάχιστο το - 2 για χ= - 1 και χ =1.

ΑΣΚΗΣΗ 3

i) (x  3)2  0  x2  6x  9  0  x2  6x  9  1 1  x2  6x  10  1  f(x)  1  f(3)

Ώστε η f(x) παρουσιάζει ελάχιστο το 1 για χ = 3.

ii) (x  1)2  0  x2  2x 1 0  x2 1 2x  2x  1 g(x)  1 g(1)
x2 1

Ώστε η g παρουσιάζει μέγιστο το 1 για χ =1.

ΑΣΚΗΣΗ 4

i) Πεδίο ορισμού: 
Προφανώς για κάθε χ  είναι και  χ   .
f(-x)= 3(x)2  5(x)4  3x2  5x4  f(x)
Επομένως η f είναι άρτια.

ii) Πεδίο ορισμού: 
Προφανώς για κάθε χ  είναι και  x   .
f(-x)= 3  x  1  3 x  1  f(x)

Επομένως η f είναι άρτια.

Μανιοπούλου Σίσσυ 45

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

iii) Πεδίο ορισμού: 
Προφανώς για κάθε χ  είναι και  χ   .
f(x)   x  1
Επομένως η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

iv) Πεδίο ορισμού: 
Προφανώς για κάθε χ  είναι και  χ   .
f(x)  (x)3  3(x)5  x3  3x5  (x3  3x5 )  f(x)
Επομένως η f είναι περιττή.

v) Πεδίο ορισμού:    1

Επειδή το -1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού παρ’ όλο που το 1 ανήκει,
η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

vi) Πεδίο ορισμού: 
Προφανώς για κάθε χ  είναι και  χ   .
f(-x)= 2(x)   2x  f(x)
(x)2  1 x2  1
Επομένως η f είναι περιττή.

ΑΣΚΗΣΗ 5

i) Πεδίο ορισμού:   0

Προφανώς για κάθε χ  είναι και  χ   .
f(-x)= 1  1  f(x)

x x
Επομένως η f είναι άρτια.

ii) Πεδίο ορισμού: 2,
Επειδή για κάθε χ 2, δεν ισχύει ότι και το  χ 2, π.χ. το 2 2,

αλλά το  2  2,  , η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

iii) Πεδίο ορισμού: 
Προφανώς για κάθε χ  είναι και  x  .
f(-x)=  x 1   x 1  x 1  x 1  ( x 1  x 1)  f(x)

Επομένως η f είναι περιττή.

iv) Πεδίο ορισμού:   0
Προφανώς για κάθε χ  -0 είναι  χ    0.

x 1 x 1 x 1
x  x   x  f(x)
f(-x)= (x)2  1 x2  1 x2  1

Επομένως η f είναι περιττή.

Μανιοπούλου Σίσσυ 46