Real Numbers

REAL NUMBERS
จำนวนจริง

ในทางคณิตศาสตร์ จานวนจริง คือจานวนท่ีมีลกั ษณะเป็นปริมาณท่ีสามารถแสดงใหเ้ ห็นภาพ
ดว้ ยจุดบนเสน้ ตรงท่ีมีความยาวไม่ส้ินสุด (เสน้ จานวน) ได้ จานวนจริงทง้ั หมดประกอบดว้ ยจานวน
ต ร ร ก ย ะ (จ า น ว น เ ต็ ม เ ช่ น 4, 0, -2048 แ ล ะ เ ศ ษ ส่ ว น เ ช่ น 34) แ ล ะ จ า น ว น อ ต ร ร ก
ยะ (เช่น √2 หรือ π) คาว่าจำนวนจริงนั้นบัญญัติข้ึนเพ่ือแยกความแตกต่างจากจำนวนจินต
ภำพ จานวนจริงสามารถเขียนออกมาไดใ้ นรูปของทศนิยมที่อาจไมร่ ูจ้ บ

เซตของจานวนจรงิ มสี ญั ลกั ษณ์ท่นี ิยมใชแ้ ทนคือ R หรือ ℝ ซ่ึงเซตของจานวนจริงน้ีมีลกั ษณะ
เป็ นเซตอนันตท์ ี่นับไม่ได้ จานวนจริงเป็ นศูนยก์ ลางการศึกษาในสาขาการวิเคราะหเ์ ชิงจริง (real
analysis)

• จานวนอตรรกยะ คือ จานวนทไี่ ม่สามารถเขยี นใหอ้ ยูใ่ นรูปเศษส่วนของจานวนเต็ม หรอื
ทศนิยมซ้าได้ ยกตวั อยา่ งเช่น√2, √3,√5 หรอื ค่า¶ เป็นตน้

• จานวนตรรกยะ คอื จานวนทส่ี ามารถเขียนใหอ้ ยูใ่ นรูปเศษสว่ นของจานวนเต็ม หรือ ทศนิยม
ซ้าไดย้ กตวั อยา่ งเช่น 1/2, 1/3, 2/5 เป็นตน้

จากแผนภาพอกี เช่นเคย จะเห็นไดว้ า่ จานวนตรรกยะ จะประกอบดว้ ยสองส่วนคือ จานวนเต็ม และ
จานวนตรรกยะทไี่ มใ่ ช่จานวนเต็ม

• จานวนเตม็ คือจานวนที่เป็นตวั เลขเต็มๆ หรือ ตวั เลขท่ีไม่มีทศนิยมนนั่ เอง นนั่ คือ ตวั เลขทเี่ รา
ใชน้ ับนนั่ เอง ยกตวั อยา่ งเช่น 1, 2, 3, 4 ... ทง้ั น้ีทง้ั น้ัน รวมไปจนถงึ ค่าที่ตบิ ลบของจานวนนบั น้ี
และศูนยด์ ว้ ย เช่น 0, -1, -2, -3, -4 ....

• จานวนตรรกยะทไี่ มใ่ ช่จานวนเตม็ ความหมายของจานวนน้ีกต็ ามความหมายของช่ือเลยครบั
นัน่ คอื ตวั เลขเขยี นในรูปของทศนิยมซ้าไดโ้ ดยท่ไี มไ่ ดเ้ ป็นเลขจานวนเต็มนนั่ เอง อยา่ งเช่น
1/2=0.5 หรอื 1/3 = 0.333... (สามซ้า)

ยงิ่ ไปกวา่ นน้ั จานวนเต็มยงั แบ่งย่อยไดอ้ กี สามหมวดคือ จานวนเตม็ ลบ จานวนเตม็ บวก และ จานวน
เต็มศูนย์

สมบตั ขิ องจานวนจริง

ถา้ ให้ a, b และ c เป็นจานวนจริงใดๆ แลว้ จะไดว้ า่ จานวนจริงจะมสี มบตั ิดงั ตอ่ ไปน้ี
1. สมบตั ปิ ิดการบวก: a+ b จะตอ้ งเป็นจานวนจริงเสมอ
2. สมบตั ิการเปลีย่ นหมขู่ องการบวก: a + (b + c) = (a + b) + c
3. สมบตั ิการมเี อกลกั ษณ์การบวก: a + 0 = a = 0 + a โดยทีเ่ ราเรยี ก 0 วา่ เอกลกั ษณ์ของการบวก
4. สมบตั กิ ารมอี นิ เวอรส์ ของการบวก: a + (-a) = 0 = (-a) + a โดยท่ี (-a) เป็นอนิ เวอรส์ การบวของ a
5. สมบตั ิปิดของการคูณ: a คูณ b หรือ ab จะตอ้ งมผี ลลพั ธเ์ ป็นจานวนจริงเสมอ
6. สมบตั กิ ารเปลีย่ นหมขู่ องการคูณ: a(bc) = (ab) c
7. สมบตั ิการมเี อกลกั ษณ์การคูณ: a x 1 = a = 1 x a โดยท่ีเราเรยี ก 1 ว่าเอกลกั ษณ์ของการคูณ
8. สมบตั ิการมอี นิ เวอรส์ ของการคูณ: a a-1 = 0 = a-1 a โดยท่ี a-1 เป็นอนิ เวอรส์ การคูณของ a
9. สมบตั ิการแจกแจงทางซา้ ย: a(b + c) = ab + ac
นอกจากสมบตั ิของจานวนจรงิ แลว้ เรายงั มีทฤษฎีบทเบ้อื งตน้ สาหรบั จานวนจรงิ ดว้ ย ในทานองเดยี วกบั
สมบตั ขิ องจานวนจรงิ จะขอนาเสนอเฉพาะส่วนท่ีคิดวา่ สาคญั เทา่ น้ันนะครบั
ถา้ ให้ a, b, c และ d เป็นจานวนจริงใดๆ จะไดว้ ่า
1. ถา้ a+c = b+c แลว้ a = b
2. ถา้ c ไม่เทา่ กบั ศนู ย์ และ ac =ab แลว้ a = b
3. เม่ือ c > 0 แลว้ จะไดว้ ่า
(1) ถา้ a > b แลว้ ac > bc
(2) ถา้ a < b แลว้ ac < bc
(3) ถา้ ac > bc แลว้ a > b
(4) ถา้ ac < bc แลว้ a < b
4. เม่ือ c < 0 แลว้ จะไดว้ ่า
(1) ถา้ a > b แลว้ ac < bc
(2) ถา้ a < b แลว้ ac > bc
(3) ถา้ ac > bc แลว้ a < b
(4) ถา้ ac < bc แลว้ a > b
5. ถา้ ab = 0 แลว้ a = 0 หรอื b = 0
6. ถา้ a < b และ c < d แลว้ a – d < b - c

แบบฝึกหัด
เรื่องจำนวนจริง

ช่ือ..............................................นามสกลุ ..............................................ช้ัน ม.4/........เลขที่..........

แบบฝึกหดั (ครง้ั ที่ 1)

1. จงหาอินเวอรส์ ของจำนวนจริงที่กำหนดให้ในตารางต่อไปน้ี

ขอ้ จำนวนจรงิ (a) อนิ เวอรส์ การบวก (–a) อนิ เวอรส์ การคูณ 1 หรือ a-1

a

15
23
3 –0.6
4 1– 2
5 −1

5

62

3

71

23

8 2 −1

2

2. พิจารณาข้อความต่อไปน้ี วา่ เปน็ จรงิ ตามสมบัตขิ องจำนวนจริงใด เม่อื a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. 5 = 5 …………………….

2. 6 + (5 + a) = (6 + 5) + a …………………….

3. (2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3) …………………….

4. 3ab = 3ba …………………….

5. (–25) + 25 = 0 …………………….

6. 5  1 = 1 …………………….
…………………….
5

7. (6 + 9) 2 = (6 2) + (9 2)

การแยกตวั ประกอบของพหุนาม
1. จงหาผลคณู

1. (x + 1)(x – 1) =……………………………………………
2. (2x + 3)(2x – 3) =……………………………………………
3. (x – 5)(x – 5) =……………………………………………
4. (5x – 3)(2x – 4) =……………………………………………

2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

1. 5x2 + 4x =……………………………………………

2. 6x2 + 3x =……………………………………………

3. –x2 – x =……………………………………………

4. –9x2 + x =……………………………………………

5. –13x2 + 169 =……………………………………………

3. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

1. x2 + 11x + 30 =……………………………………………

2. x2 + 8x + 12 =……………………………………………

3. x2 – 7x + 6 =……………………………………………

4. x2– 4x – 12 =……………………………………………

5. x2 + 6x – 16 =……………………………………………

6. x2 – 10x + 24 =……………………………………………

7. 3x2 + 5x + 2 =……………………………………………

8. 6x2+ 7x + 2 =……………………………………………

9. 4x2+8x – 21 =……………………………………………

10. 3z2– 14z+8 =……………………………………………

11. 8 – 10y + 3y2 =……………………………………………

12. 1 + a – 6a2 =……………………………………………

13. 2 + 5q – 3q2 =……………………………………………

14. x2 – 12x +36 =……………………………………………

15. 9x2–90x +225 =……………………………………………

16. 144x2– 169 =……………………………………………

17. 9x2– 25y2 =……………………………………………

18. (x + 1)2 – 25y2 =……………………………………………

19. 49 – 25y2 =……………………………………………

20. 9 – (x + 2)2 =……………………………………………

1. กาํ หนดให้ x, y, z เป็นจาํ นวนจริงใดๆ จงบอกสมบตั ิการเทา่ กนั

1. x + y = x + y

2. ถา้ x = y + z แลว้ y + z = x

3. ถา้ 1 = 3 + 2 แลว้ 3 + 2 = 1
3− 2 3− 2

4. ถา้ 2x + 3 = y – 2 แลว้ 2x + 5 = y

ลองทาํ ดู 1. ถา้ x + y = z แลว้ z = x + y

2. ถา้ a + 5 = 2b แลว้ a + 6 = 2b + 1

3. 2a + b – 3z = 2a + b – 3z

2. จงบอกสมบตั ขิ องจาํ นวนจริงท่เี ก่ียวขอ้ งกบั การบวกและการคูณ

1. 1× 2 = 2

33

2. 2 + 2 เป็ นจาํ นวนจริง

3. 3 × 2 = 2 × 3

4. 2 × 1 = 1
2

5. 2 × 3 = 1

32

ลองทาํ ดู 1. 3 + 5 เป็ นจาํ นวนจริง

2. π + 7 เป็ นจาํ นวนจริง

3. 5 × 1 = 1

5

4. 5 • 1 = 5

5. 3 + 0 = 3

3. จงหาอินเวอร์สการบวกและการคูณ โดยคาํ ตอบตอ้ งอยใู่ นรูปตวั ส่วนไม่ติดลบ และไม่ติดกรณฑ์

1. 3 +1 2. 3 + 2

อินเวอร์สการบวกของ 3 +1 คือ............................. อินเวอร์สการบวกของ 3 + 2 คอื .............................

อินเวอร์สการคูณของ 3 +1 คือ............................... อินเวอร์สการคูณของ 3 +1 คือ..................................

3. 5 − 2 5 − 2 คือ...............................
อินเวอร์สการบวกของ 5 − 2 คือ............................. อินเวอร์สการคูณของ

4. กาํ หนดให้ a เป็ นอินเวอร์สการบวกของ 1 และ b เป็ นอินเวอร์สการคูณของ 15 จงหา a – b และ b – a
35 25

อินเวอร์สการบวกของ 1 คือ................................. อินเวอร์สการคูณของ 15 คือ..................................
35 25

1. a – b =…………………………. 2. b – a =……………………………..

…………………………………… ……………………………………….

…………………………………… ……………………………………….

5. กาํ หนด a, b ∈ R และ a ∗ b = a − b + 3 จงหา (3 ∗ 4) ∗ 2

6. กาํ หนด a, b ∈ R และ a ∗ b = a + b − 3 จงหา 1∗(2∗3)

7. จงแยกตวั ประกอบของ 18x3 + 15x2 – x – 2

8. จงหาคาํ ตอบของสมการ 9 – 4x2 = 5x
9. จงหาผลบวกของคาํ ตอบ x4 – x3 – 7x2 + x = –6

10. จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 4x3 + 13x2 + 4x – 12 = 0

11. จงหาเศษจากการหารต่อไปน้ี 2. 4x3 – 3x2 + 2x – 6 ดว้ ย x + 2
1. 2x4 – 7x3 + x2 + 7x – 3 ดว้ ย x + 1

3. 9x3 + 4x2 – 2x – 1 ดว้ ย x – 3

12. จงพจิ ารณาวา่ x – c เป็นตวั ประกอบของ p(x) หรือไม่
1. ถา้ x – c = x – 1 และ p(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6

2. ถา้ x – c = x + 1 และ p(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6

13. จงหาค่าของตวั แปร k ทีท่ าํ ให้
1. x – 3 หาร x3 – 2x2 – kx + 4 เหลือเศษ 1

2. x + 2 หาร 2x3 – kx2 + 3x + 2 ลงตวั

1.กําหนดให เอกภพสมั พทั ธคอื เซตของจาํ นวนจริง ถา A = (1, 5) , B = (-2, 4) , C = (0, ∞ ) จงหาชวงคําตอบของ

1. A − (B′ ∩ C) = 2. B − (C′ ∪ A) =

3. C − (A - B) =

2.จงหาเซตคําตอบของอสมการในแตละขอตอไปนี้ 2. 2(5x – 4) + 10 – 15x ≥ 12
1. 3x + 10 – 12x – 16 ≥ 3

3. 6x + 12 – 2(5x + 10) ≤ 0 4. 2( 5x – 4) – 3(4x + 2) ≤ 0

3.จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการในแตละขอ ตอ ไปน้ี (x + 2)50 (x + 1) ≤ 0
1. (x + 1)4 (x − 2) ≥ 0 2. (x - 2)(x + 3)9

(x + 3)

3. 5x + 6 − 3 ≥ 0 4. 2x ≥ 1
2x + 1 3x − 2

5. x 3 − 5x 2 + 2x + 8 ≥ 0 6. x 3 − 3x 2 − x + 3 ≥ 0

(x - 4)(x + 1) x 2 − 2x − 3

7. x3 − 2x 2 − x + 2 ≤ 0 8. (x − 3)2 + 5 ≥ 0
x2 −9
x2 −1

9. x 2 + x + 3 ≥ 0 10. 1 ≥2−x
x
x2 − x −6

1. กาํ หนดให้ x, y, z เป็นจาํ นวนจริงใดๆ จงบอกสมบตั ิการเท่ากนั

1. x + y = x + y

2. ถา้ x = y + z แลว้ y + z = x

3. ถา้ 1 = 3 + 2 แลว้ 3 + 2 = 1
3− 2 3− 2

4. ถา้ 2x + 3 = y – 2 แลว้ 2x + 5 = y

ลองทาํ ดู

1. ถา้ x + y = z แลว้ z = x + y

2. ถา้ a + 5 = 2b แลว้ a – 1 = 2b – 6

3. 2a + b – 3z = 2a + b – 3z

4. ถา้ 1 + 2 = 3 และ 3 = 5 – 2 แลว้ 1 + 2 = 5 – 2

2. จงบอกสมบตั ิของจาํ นวนจริงทเ่ี กี่ยวขอ้ งกบั การบวกและการคูณ

1. 1× 2 = 2

33

2. 2 + 2 เป็ นจาํ นวนจริง

3. 3 × 2 = 2 × 3

4. − 2 + 2 = 0

5. 2 × 3 = 1

32

ลองทาํ ดู

1. 3 • 5 เป็ นจาํ นวนจริง

2. π + 7 เป็ นจาํ นวนจริง

3. 5 × 1 = 1

5

4. 5 • 1 = 5

5. 3 + 0 = 3

6. (a + b) + c = a + (b + c)

3. จงหาอินเวอร์สการบวกและการคูณ โดยคาํ ตอบตอ้ งอยใู่ นรูปตวั ส่วนไม่ติดลบ และไม่ติดกรณฑ์

1. 5 + 2 2. 5 + 2

อินเวอร์สการบวกของ 5 + 2 คือ............................. อินเวอร์สการบวกของ 5 + 2 คือ.............................

อินเวอร์สการคูณของ 5 + 2 คือ............................... อินเวอร์สการคูณของ 5 + 2 คือ..................................

3. 1 1 คือ...............................
5− 2
5− 2
อินเวอร์สการบวกของ 1 คือ............................. อินเวอร์สการคูณของ
5− 2

4. จงหาอินเวอร์สการบวกของ 1 5. จงหาอินเวอร์สการคูณของ 15
35 25

อินเวอร์สการบวกของ 1 คือ................................. อินเวอร์สการคูณของ 15 คือ..................................
35 25

6. จงหาผลบวกของคาํ ตอบ x4 – 2x3 – 13x2 + 14x = –24

7. ถา้ x – 3 เป็ นตวั ประกอบของ x3 – 4x2 – x + t แลว้ จงหาค่า t
8. ถา้ x + 2 หาร x4 + 3x3 + 2x2 – x + t ลงตวั แลว้ จงหาคา่ t
9. จากขอ้ 8 จงหาเศษเหลือ ถา้ x + t หาร x4 – 2x3 – x2 + 5t – 3
10. ถา้ x + t หาร x2 + 5x – 2 เหลือเศษ –8 จงหาผลบวกของคา่ t

11. ถา้ x2 + 5x – 2 = (x + a)(x + b) และ a > b แลว้ จงหาคา่ ของ 2a – 3b
12. จงแยกตวั ประกอบของ x4 – 2x3 – x2 – 4x – 6
13. ถา้ x – t หาร x3 – 10x2 + 27x – 18 ลงตวั แลว้ จงหาผลบวกของค่า t
14. กาํ หนดให้ (x + 2)2 = (3x2 + 2) – (x + 1)2 แลว้ จงหาผลคูณของคาํ ตอบของสมการ

15. ถา้ 1+ x 2 2 = 2 – x x 3 แลว้ จงหาคาํ ตอบของสมการ
− +

16. จงหาคาํ ตอบของสมการ x x 2 = 1
− 4 − x2

17. จงหาคาํ ตอบของสมการ =2 x 3 1 − x 1 1
x2 −1 − +

ชอื่ ..............................................นามสกลุ ..............................................ชนั้ ม.4/........เลขท.่ี .........
แบบฝก หัด (ครง้ั ท่ี 1)

1. ใหน กั เรียนทาํ เครือ่ งหมาย  หนาขอความท่ีเปน จรงิ และทําเครื่องหมาย  หนา ขอความทีเ่ ปนเทจ็
..........1. 0.005005005 เปน จาํ นวนตรรกยะ
..........2. 0.23223222322223... เปน จาํ นวนตรรกยะ
..........3. 0 เปน จํานวนนบั
..........4. 3.14 เปน จาํ นวนนบั
..........5. π เปนจาํ นวนตรรกยะ

..........6. 3 เปนจํานวนตรรกยะ

2

..........7. 0 เปนจาํ นวนตรรกยะ

13

..........8. π เปนจาํ นวนตรรกยะ

4

..........9. a เปนจาํ นวนตรรกยะแลว a เปน จาํ นวนตรรกยะ

..........10. จาํ นวนตรรกยะคณู กับจาํ นวนอตรรกยะแลวไดจํานวนตรรกยะ

..........11. จํานวนอตรรกยะคูณกบั จาํ นวนอตรรกยะแลวไดจ าํ นวนตรรกยะ

2. จงหาวาจาํ นวนจรงิ ทก่ี าํ หนดใหในตารางตอ ไปนีเ้ ปนจํานวนชนดิ ใด โดยทําเครื่องหมาย  ลงในตาราง

ขอ จํานวน จํานวนนับ จาํ นวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ

11

3

2 0.666…

3 4.00

4 5π
55
6 –2.14

7 3 −27
8 (−2 3)2

9 2+ 3

10 8 − 2 2

11 3 • 3

12 2

83

13 1 < x < 2

14 จาํ นวนท่นี อ ยกวา 0

15 2

8

3. จงหาอินเวอรส ของจาํ นวนจริงท่ีกําหนดใหใ นตารางตอไปนี้

ขอ จํานวนจรงิ (a) อินเวอรสการบวก (–a) อินเวอรส การคูณ 1 หรือ a-1

a

15
23
3 –0.6
4 1– 2
5 −1

5

62

3

71

23

8 2 −1

2

4. พิจารณาขอ ความตอไปนี้ วา เปนจรงิ ตามสมบตั ิของจาํ นวนจรงิ ใด เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ

1. 5 = 5 …………………….

2. 6 + (5 + a) = (6 + 5) + a …………………….
3. (2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3) …………………….
4. 3ab = 3ba …………………….
5. (–25) + 25 = 0 …………………….

6. 5 × 1 = 1 …………………….
……………………
5

7. (6 + 9)× 2 = (6× 2) + (9× 2)