บทที่ 2 สมการคลื่นไซน์

1 สมการร ู ป ู ปคล ื ่ น ื ่ นไซน ์ วต ั ต ั ถ ุ ป ุ ประสงค ์ เ ์ เช ิ งิ งพฤต ิ กิ กรรม หลง ั จากศ ึ กษาบทเร ี ยนน ี จ ้ บแล ้ ว ผ ้ ู เร ี ยนม ี ความร ้ ู ความสามารถ ดังต่อไปนี้ 1) เขียนสมการชั่วขณะของสัญญาณไฟฟ้ ากระแสสลับ และร ู ปคลน ื่ไซน ์ได้ 2) อธิบายวิธีหาค่าเฉลี่ย ค่าใช้งานของสัญญาณไฟฟ้ า กระแสสลับ และร ู ปคลน ื่ไซน ์ได ้ 3) ค านวณหาค่าเฉลี่ย ค่าใช้งานของสัญญาณไฟฟ้ า กระแสสลับ และร ู ปคลน ื่ไซน ์ได ้ 4) คา นวณหาค ่ าไซเคล ิ คาบเวลา ความถ ี่ค ่ าส ู งส ุ ด ค ่ าพค ี – ท ู– พีค จากสมการช ั่วขณะร ู ปคลน ื่ไซน ์ได้ 5) แสดงออกถึงพฤติกรรมด ้ านค ุ ณธรรม จร ิ ยธรรม ค ่ าน ิ ยม และค ุ ณลก ั ษณะอน ั พง ึประสงค ์ - มม ี น ุ ษย ์ ส ั มพน ั ธ ์ ทด ี่ต ี่ อเพอ ื่นร ่ วมช ้ ั นเร ี ยนและต ่ อคร ู–อาจารย์ - มีความรับผิดชอบต่อตนเองและตระหนักในการตรงต่อเวลา - มค ี วามสนใจใฝ่ ร ้ ู ในเน ื อ ้ หาวช ิ าทเ ี่ร ี ยน - แสดงออกถ ึ งการร ้ ู ร ั กสามค ั ค ี การทา งานกล ่ ุ มทเ ี่หมาะสมได ้

2 ค่าชั่วขณะ (Instantaneous Value) ค่าชั่วขณะ หมายถึง ค่าหรือขนาดของสัญญาณไฟฟ้ ากระแสสลับ ที่เกิดขึ้น ณ ที่เวลาใดเวลาหนึ่งเทียบกับ Reference point จากร ู ป สมการช ั่วขณะของร ู ปคลน ื่ไซน ์ General form : v = Vmax sin t ; v = Vmax sin และ i = Imax sin ; i = Imax sin Reference at Reference point t V max v3 = Vmax sin t3 v2 = Vmax sin t2 v1 = Vmax sin t1 v0 = Vmax sin t0 0 t1 t2 t3 … t7 t8 t9 … tn v1 v2 v3 v7 v8 v9 – V max Reference point

3 เมื่อ v = ค่าแรงดันไฟฟ้ าชั่วขณะ i = ค่ากระแสไฟฟ้ าชั่วขณะ Vmax = ค ่ าแรงดน ัไฟฟ้ าส ู งส ุ ด Imax = ค ่ ากระแสไฟฟ้ าส ู งส ุ ด = ความเร ็ วเช ิ งม ุ ม/ความถ ี่เช ิ งม ุ ม มีหน่วยเป็ น เรเดียน/วินาที = ม ุ มที่ตัวน าเคลื่อนที่ไป มีหน่วยเป็ น เรเดียน (radian) t = เวลาที่ตัวน าใช้ในการเคลื่อนที่ใน 1 cycle มีหน่วยเป็ น วินาที(second) ความเร ็ วเช ิ งม ุ ม (angular velocity) คอ ื ม ุ มท ี่ต ั วน า ท ี่ใช ้ในการเคลอ ื่นท ี่รอบแกนกลางหร ื อจ ุ ดศ ู นย ์ กลาง ครบหน ึ่งไซเคล ิ ในระยะเวลา 1 วินาที ; = /t = 2f 0 – 2 b2 a1 0 V 0 a1 b1

4 กรณีที่มี Phase Shift Shift to left of the reference : Leading sine wave v = Vmax sin (t + ) i = Imax sin (t + ) Shift to right of the reference : Lagging sine wave v = Vmax sin (t – ) i = Imax sin (t – ) Vmax 0 v1 v2 t 1 2 Reference point – Vmax 2 2 3 2 สมการชั่วขณะ Instantaneous value v2 = Vmax sin (t ̶2) v1 = Vmax sin (t + 1)

5 function Cosine จากร ู ป สมการช ั่วขณะใดขณะหน ึ่งของร ู ปคลน ื่ cosine General form : v = Vmax cos t ; v = Vmax cos และ i = Imax cos t ; v = Imax cos t V max 0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 … tn v1 v2 v3 v4 v5 v6 – V max a sin 0 V b sin Reference point Reference point v = Vmax cos t v = Vmax sin t a cos b cos

6 กรณีที่มี Phase Shift Shift to left of the reference : Leading cosine wave v = Vmax cos (t + ) i = Imax cos (t + ) Shift to right of the reference : Lagging cosine wave v = Vmax cos (t – ) i = Imax cos (t – ) Vmax v2 v1 t 1 2 Reference point – Vmax สมการชั่วขณะ Instantaneous value v2 = Vmax cos (t – 2) v1 = Vmax cos (t + 1) 2 3 2

7 การแปลงฟังก์ชัน sine และฟังก์ชัน cosine จากร ู ป Cos จะน าหน้า Sine เป็ นม ุ ม 90 หรือ Sine ล้าหลัง Cos เป็ นม ุ ม 90 จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้ sin t cos t v = Vmax cos (t – 90) Reference point เล ื่อนไปทางซ ้ ายม ื อเป็ นมุม – 90 องศา (จุดB) cos t sin t v = Vmax cos (t + 90) Reference point เล ื่อนไปทางซ ้ ายม ื อเป็ นมุม + 90 องศา (จุด A) t V max 0 – V max Reference point function sine function cosine + 90 A B ̶90 Sine Cosine Sine Cosine

8 ตัวอย่างที่ 1 จากร ู ปคลน ื่จงแปลงให ้ อย ่ ู ในร ู ปของฟังก์ชัน sine และฟังก์ชัน cosine จากร ู ป สมการช ั่วขณะของร ู ปคลน ื่ v1 = 114 sin (t + 50) หรือ v1 = 114 cos (t – 40) และ v2 = 80 sin (t – 60) หรือ v2 = 80 cos (t – 150) เปลย ี่นให ้ อย ่ ู ในร ู ปของฟั งก ์ ช ั น cos ได้ดังนี้ v1 = 114 cos (t + 50 – 90) = 114 cos (t – 40) และ v2 = 80 cos (t – 60 – 90) = 80 cos (t – 150) degree 114 V 0 – 114 V – 80 V 80 V 60 130 v1 v2 V 40 150

9 ตัวอย่างที่ 2 ในวงจรไฟฟ้ ากระแสสลับ มค ี่ าแรงดน ัไฟฟ้ าส ู งส ุ ด 210 V จงคา นวณหาค ่ าแรงดน ัไฟฟ้ าช ั่วขณะใดขณะหน ึ่งทม ีุ่ ม : (a) 45 องศา (b) 120 องศา (c) 240 องศา วิธีท า …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… จากสมการทั่วไปของสมการชั่วขณะ v = Vmax sin t หรือ v = Vmax sin และจากโจทย์ Vmax = 210 V ดังนั้นจะได้ a) = 45 v(45) = 210 × sin 45 = 148.49 V b) = 120 v(120) = 210 × sin 120 = 181.86 V c) = 240 v(240) = 210 × sin 240 = ̶181.86 V V degree 210 – 210 45 120 240

1 0 ตัวอย่างที่ 3 จงเข ี ยนสมการช ั่วขณะใดของร ู ปคลน ื่ไฟฟ้ ากระแสสลบ ั ร ู ปคลน ื่ไซน ์ และคา นวณหาแรงดน ั ช ั่วขณะทม ีุ่ ม 90 วิธีท า …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 110 t 100 80 4 8 2 3 v1 v2 v3 2 จากสมการทั่วไปของสมการชั่วขณะ v = Vmax sin (t ) และจากรูป v1 มีค่า Vmax = 110 V มีค่า เกดิก่อนจุด Reference = 22.5 v2 มีค่า Vmax = 100 V มีค่า เกิดพร้อมจุด Reference = 0 v3 มีค่า Vmax = 80 V มีค่า เกิดหลังจุด Reference = 45 ดังนั้นจะได้ v1 = 110 sin (t + 22.5) v2 = 100 sin (t + 0) v1 = 80 sin (t ̶45)

1 1 ตัวอย่างที่ 4 วงจรกระแสสลับวงจรหนึ่ง มีสมการของกระแสไฟฟ้ า iS = 100 sin 28t จงค านวณหา (a) เฟส (b) ความถ ี่เช ิ งม ุ ม (c) ค ่ ากระแสไฟฟ้ าส ู งส ุ ด (d) ค่าคาบเวลา และความถี่ของกระแส (e) กระแส iS ที่ t = 12 ms วิธีท า …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… จากสมการทั่วไปของสมการชั่วขณะ i = Imax sin (t ) และจาก is = 100 sin 28t เขย ี นให ้ เข ้ ารูปแบบทวั่ไปจะได ้ ว ่ า is = 100 sin (28t + 0) ดังนั้นจะได้ a) เฟส = 0 b) ความถ ี่เช ิ งมุม = 28 c) ค ่ ากระแสไฟฟ้ าสูงสุด Imax = 100 A d) ความถี่ของกระแส จาก = 2f f = /2 f = 28/2 = 14 Hz T = 1/f = 1/14 = 71.43 ms

1 2 ตัวอย่างที่ 5 จงแปลงฟังก์ชัน sine ให้เป็ น cos และจากฟังก์ชัน cos ให้เป็ น sine ต่อไปนี้ พร ้ อมท ้ ง ั เข ี ยนร ู ปคลน ื่ดง ั กล ่ าว a) i1 = 10 sin (t – 45) 10 cos (t ̶135) b) v1 = –10 cos (t + 90) ̶10 sin (t+180) c) i2 = –10 sin (t + 135) ̶10 cos (t + 45) d) v2 = 10 cos (t – 45) 10 sin (t + 45) วิธีท า เปลี่ยนจาก sine ให้เป็ น cos …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… t จากสมการ i1 = 10 sin (t ̶45) = 10 cos (t ̶45 ̶90) = 10 cos (t ̶135) i2 = ̶10 sin (t + 135) = ̶10 cos (t + 135 ̶90) = ̶10 cos (t + 45) v1 = –10 cos (t + 90) v2 = 10 cos (t – 45) 90 180 360 i1 , i2 90 v1 v2 180

1 …………………………………………………………………………………………………… 3 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… จากสมการ เปลี่ยนจาก cos ให้เป็ น sine i1 = 10 sin (t ̶45) i2 = ̶10 sin (t + 135) v1 = –10 cos (t + 90) = –10 sin (t + 90 + 90) = –10 sin (t + 180) v2 = 10 cos (t – 45) = 10 sin (t – 45 + 90) = 10 cos (t + 45) t 90 180 360 i1 , i2 90 v1 v2 180 270

1 4 ค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ย (Average) หรือค่ากลาง (Mean) หมายถึง ค่าเฉลี่ย (ค ่ าความส ู งเฉลย ี่ ) ขนาดของสัญญาณไฟฟ้ ากระแสสลับใน หน ึ่งไซเคล ิ ทอ ี่ย ่ ู ทางด ้ านบวกและทางด ้ านลบ ค่าเฉลี่ย avg = 4 4 avg พื้นที่ ผืนผ้า = กว้าง × ยาว = 4 × 4 = 16 ค่าเฉลี่ย Iavg = 16/4 = 4 4 4 2 พื้นที่ = 2 1 × ฐาน × ส ู ง = 2 1 × 4 × 4 = 8 ค่าเฉลี่ย Vavg = 8/4 = 2 (Average Value ; avg) avg V I พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด (A) คาบเวลา (T) t (sec) 0 0 t (sec)

1 5 ตัวอย่างที่ 6 จากร ู ป ค ่ าเฉลย ี่ของร ู ปคลน ื่ไฟสลบ ัใน 1 ไซเคิล มีค่าเท่าใด …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… แนวคิด ค่าเฉลี่ย avg = = + - 1 cycle A + A T – 2 V t (ms) + 6 V 4 6 10 พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด (A) คาบเวลา (T) 0 จากสูตร ค่าเฉลี่ย Vavg = + - 1 cycle A + A T = 6×4 + -2×2 6 = 24 + -4 6 = 3.33 V

1 6 ตัวอย่างที่ 7 จากร ู ป ค ่ าเฉลย ี่ของร ู ปคลน ื่ใน 1 ไซเคิล มีค่าเท่าใด …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… แนวคิด ค่าเฉลี่ย avg = Baseline + avg1 cycle = Baseline + + 1 1 cycle A T + 2 V t (s) + 10 V 0 6 10 16 A(+)1 จากสูตร ค่าเฉลี่ย Vavg = 1 2 + + 1 cycle A + A T = 8×6 + 2×10 10 = 48 + 20 10 = 6.8 V A(+)2

1 7 ค่าใช้งานหรือค่าประสิทธิผล (Root Mean Square Value ; rms) ค่าใช้งานหรือค่าประสิทธิผล หมายถึง ค่าแรงดันหรือ กระแสไฟฟ้ าทไี่ด ้ จากการวด ั ด ้ วยโวลต ์ มเ ิ ตอร ์ หร ื อแอมป์ มเ ิ ตอร ์ ค่าใช้งานหรือค่าประสิทธิผล คือ ค่าไฟฟ้ ากระแสสลับที่ท าให้ เกิดผลของความร้อนเทียบเท่ากับผลของไฟฟ้ ากระแตรง ที่ไหลผ่าน ความต้านทานในระยะเวลาที่เท่ากัน ค่าใช้งาน rms = (ค่าเฉลี่ย) 2 ถ้าจ่ายแรงดันไฟตรงขนาด 1 V ให้กับหลอดไฟแล้วท าให้หลอดไฟ สว่างขึ้น 1 W และถ้าใช้แรงดันไฟสลับขนาด 1 V แล้วท าให้ หลอดไฟสว่างขึ้นเท่ากับ แรงดันไฟตรงขนาด 1 V (1 W) ดังนั้น แรงดันไฟสลับ 1 V ที่จ่ายให้กับหลอดไฟ คือ แรงดันใช้งาน 1 VDC 1 W

1 8 ตัวอย่างที่ 8 จากร ู ป ค ่ าใช ้ งานของร ู ปคลน ื่ในหน ึ่งไซเคล ิ ม ี ค ่ าเท ่ าใด 4 4 rms ค่าใช้งาน Irms = I2 av = 4 ×4 2 4 = 2 A 4 4 2 ค่าใช้งาน Vrms = E2 av = 2 ×4 2 4 = 1 V rms V I – 2 V t (ms) + 6 V 4 6 10 V t (sec) t (sec)

1 …………………………………………………………………………………………………… 9 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… แนวคิด ค่าใช้งาน rms = (ค่าเฉลี่ย) 2 = + + - - 1 cycle avg avg 2 2 T T T จากสูตร ค่าใช้งาน Vavg = + + - - 1 cycle avg avg 2 2 T T T = 2 6 ×4 + -2 ×2 2 6 = 144 + 8 6 = 152 6 = 2.054 V

2 0 ตัวอย่างที่ 9 จากร ู ปคลน ื่จงคา นวณหาค ่ า : (a) ค ่ าเฉลย ี่ของร ู ปคลน ื่ในช ่ วงคร ึ่งไซเคล ิ บวก (b) ค ่ าเฉลย ี่ของร ู ปคลน ื่ในช ่ วงคร ึ่งไซเคล ิ ลบ (c) ค ่ าเฉลย ี่ของร ู ปคลน ื่ในหน ึ่งไซเคล ิ (d) ค่าใช้งานหรือค่าประสิทธิผล …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… t (ms) 4 7 11 14 30 20 10 0 -10 V a) avg(+) = (+) (+) A T = 1× 30+20 ×4 2 4 = 25 V b) avg ( ̶) = (-) (-) A T = -10×3 3 = -10 V

2 …………………………………………………………………………………………………… 1 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… c) avg = (+) (-) (1 cycle) A + A T = 100+ -30 7 = 10 V d) rms = + + - - 1 cycle avg avg 2 2 T T T = 2 25 4 -10 3 2 7 = 7.55 V

2 2 ตัวอย่างที่ 10 จากร ู ปคลน ื่จงคา นวณหาค ่ า : (a) Frequency f (b) Positive and Negative peak value Vp+ , Vp- (c) Peak to peak value Vp-p (d) Positive and Negative average value Vavg(+) , Vavg(-) (e) Average and root mean square value Vavg , Vrms …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… V t (ms) 10 20 30 30 20 10 0 -10 -20 -30 a) จากส ู ตร f = 1/T จากร ู ป T = 20 ms f = 1/20 ms = 50 Hz A+(1) A+(2)

2 …………………………………………………………………………………………………… 3 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… b) จากร ู ป Vp+ = 30 V Vp- = ̶30 V c) จากร ู ป Vp-p = Vp+ + Vp- = 60 V d) Vavg(+) = + (1) + (2) (+) A + A T = 1× 6+14 ×10 + 20×14 2 14 = 27.14 V Vavg(-) = - (-) A T = -30×6 6 = -30 V e) Vavg = + - (1 cycle) A + A T = 1× 6+14 ×10 + 20×14 + -30×6 2 20 = 10 V

2 …………………………………………………………………………………………………… 4 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Vrms = + + - - (1 cycle) 2 2 avg T + avg T T = 2 2 27.14 14 + -30 6 20 = 6.26 V

2 5 ค ่ าเฉลย ี ่ ร ู ปคลน ื ่ ไซน ์ ค่าเฉลี่ย หมายถึง ค่าที่เกิดจากการน าเอาค่าชั่วขณะใดขณะหนึ่ง ที่เกิดขึ้น ณ ต าแหน่งม ุ มต่าง ๆ ของสัญญาณไฟฟ้ ากระแสสลับมา เฉลี่ยว่ามีค่าเท่าใด การคิดหาค่าเฉลี่ยจะคิดเพียงครึ่งไซเคิลเท่านั้น เพราะถ้าคิด 1 ไซเคิล ค่าเฉลี่ยจะมีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจากสัญญาณไฟฟ้ ากระแสสลับเป็ นสัญญาณ ที่สมมาตรกัน (ด้านบวกและด้านลบเท่ากัน) V t Vmax Vavg (Average Value) 0 v1 v2 v3 … v36 ▬Vmax 3 2 2

2 6 ค่าเฉลี่ย = จ านวนคร ั ้ งท ี่แบ ่ ง(n) พ ื ้ นท ี่ (A) Vavg = v + v + v + … + v 1 2 3 n n กรณ ี แบ ่ งร ู ปคลน ื่ไซน ์ ออกเป็ นส ่ วนย ่ อย ๆ 36 ส่วน Vavg = v + v + v + … + v 1 2 3 n 36 จากสมการชั่วขณะ v = Vmax sin หรือ v = Vmax sin t Vavg = (Vmax sin 1 + Vmax sin 2 + Vmax sin 3 + … + Vmax sin 36)/36 = (Vmax sin 5 + Vmax sin 10 + Vmax sin 15 + … + Vmax sin 180 )/36 = Vmax (sin 5 + sin 10 + sin 15 + …+ sin180 )/36 = Vmax (0.087 + 0.173 + 0.258 + … + 0)/36 = Vmax (22.9)/36 = 0.637Vmax สร ุ ป ค ่ าเฉลย ี่ของร ู ปคลน ื่ไซน ์ Vavg = 0.637 Vmax Iavg = 0.637 Imax

2 7 ค ่ าใช ้ งานร ู ปคลน ื ่ ไซน ์ (Root Mean Square Value) ค่าใช้งาน คือ ค่าไฟฟ้ ากระแสสลับที่ท าให้เกิดผลของความร้อน เทียบเท่ากับไฟฟ้ ากระแสตรง ที่ไหลผ่าความต้านทานในเวลาที่เท่ากัน ค่าใช้งาน rms = (ค่าเฉลี่ย) 2 t Vmax Imax Pmax 2 2 3 2

2 8 V rms = {(V max sin 1 ) 2 + (V max sin 2 ) 2 + … + (V max sin 36) 2 }/36 V rms = {(V max sin 5 ) 2 + (V max sin 10 ) 2 + … + (V max sin 360 ) 2 }/36 = (V 2 max sin2 5 + V 2 max sin2 10 + … + V 2 max sin2 360 )/36 = V 2 max {(sin2 5 )+ (sin2 10 )+ … + (sin2 360 )}/36 = V 2 max (0.0872 + 0.1732 + 0.2582 + … + 02 )}/36 = 0.707V max สร ุ ป ค ่ าใช ้ งานของร ู ปคลน ื่ไซน ์ Vrms = 0.707 Vmax Irms = 0.707 Imax

2 9 ตัวอย่างที่ 11 ถ้าสมการแรงดันไฟฟ้ าของแหล่งจ่ายไฟฟ้ าวงจรหนึ่ง คือ vS = 80 cos (500t – 25) V จงค านวณหาค่า : (a) Amplitude (b) Phase (c) Period (d) Frequency (e) Average value (f) Root mean square value (g) vS at 2.5 ms วิธีท า …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… จากสมการชั่วขณะ v = Vmax cos (t ) a) จากสมการชั่วขณะ vS = 80 cos (500t – 25) จะได้ Amplitude Vmax = 80 V b) Phase = – 25 = 25 Lagging c) Period T = 1 f Phase Velocity angular Peak value Instantaneous value

3 …………………………………………………………………………………………………… 0 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… จากส ู ตรความเร ็ วเช ิ งม ุ ม = 2f จะได้ f = 2 = π 500 2 = 250 Hz T = Hz 1 250 = 0.004 s = 4 ms e) Average value Vavg = 0.637Vmax = 0.637 × 80 V = 50.96 V f) Root mean square value Vrms = 0.707Vmax = 0.707 × 80 V = 56.56 V g) instantaneous value at t = 2.5 ms จากส ู ตร t = t × 360 T = s s 2.5m × 360 4 m = 225 vs t = 2.5 ms = 80 cos (225 – 25) = 80 cos 200 = - 75.17 V

3 1 ตัวอย่างที่ 12 ถ้าค่ากระแสไฟฟ้ าชั่วขณะใดขณะหนึ่งมีค่า 0.2 A เกด ิ ข ึ น ้ ทม ีุ่ ม135หลง ั จากม ุ ม 0 มีความถี่ 50 Hz จงค านวณหา (a) Peak value (b) Peak to peak value (c) Average value (d) Root mean square value (e) Sinusoid form วิธีท า …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… I i135 = 0.2 A 135 degree Imax 0 90 180 270 360 จากสมการชั่วขณะ is = Imax sin t หรือ = Imax sin จากโจทย์ ก าหนดให้ is ทม ีุ่ม 135 = 0.2 A จะได้ว่า 0.2 A = Imax sin 135 a) Imax = 0.2 A sin 135 = 0.282 A

3 …………………………………………………………………………………………………… 2 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… b) Peak to peak value Ip - p = Ip(+) + Ip(-) = 0.282 A + 0.282 A = 0.564 A c) Average value Iavg = 0.637 Imax = 0.637 × 0.282 A = 0.179 A d) Root mean square value Irms = 0.707Imax = 0.707 × 0.282 A = 0.199 A e) Sinusoid from จากสมการชั่วขณะ i = Imax sin (t ) Imax = 0.282 A = 2f = 2 × 50 Hz = 100 = 0 i = 0.282 sin (100t 0 ) = 0.282 sin 100t

3 3 ใบงาน เรื่อง สมการชั่วขณะ The instantaneous equation of sine wave ชื่อ ......................................................................................... เลขที่ ................ ระดบัช้นั ปวช. 2/............... 1. จงอธิบายความหมายของสมการชวั่ขณะใดขณะหน่ึงของรูปคลื่นไซน์ ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 2. จงอธิบายความหมายของความเร็วเชิงมุม ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 3. แรงดันเฉลี่ยหมายถึงอะไร ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 4. กระแสใช้งานหมายถึงอะไร ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 5. จงอธิบายวธิีการหาค่าเฉลี่ยรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบั ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

3 4 6. จากรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบัจงคา นวณหาค่า 6.1) ความเร็วเชิงมุมของรูปคลื่นไฟฟ้ า 6.2) ค่าเฉลี่ยของรูปคลื่นในคร่ึงไซเคิลบวก 6.3) ค่าเฉลี่ยของรูปคลื่นในคร่ึงไซเคิลลบ 6.4) ค่าเฉลี่ยของรูปคลื่นในหน่ึงไซเคิล 6.5) ค่าใชง้านในหน่ึงไซเคิล ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... t (ms) 4 7 11 14 45 30 15 0 -15 V

3 5 7. จากรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบัจงคา นวณหาค่า 7.1) ความเร็วเชิงมุมของรูปคลื่นไฟฟ้ า 7.2) ค่าเฉลี่ยของรูปคลื่นในคร่ึงไซเคิลบวก 7.3) ค่าเฉลี่ยของรูปคลื่นในคร่ึงไซเคิลลบ 7.4) ค่าเฉลี่ยของรูปคลื่นในหน่ึงไซเคิล 7.5) ค่าใชง้านในหน่ึงไซเคิล ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... t (s) 3 6 9 12 18 12 6 0 – 6 V

3 6 8. จากรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบัจงคา นวณหาค่า 8.1) สมการชวั่ขณะใดขณะหน่ึงของรูปคลื่น 8.2) สมการชวั่ขณะใดขณะหน่ึงของรูปคลื่น ถา้ในหน่ึงไซเคิลรูปคลื่นใชเ้วลา 20 ms 8.3) ค่าเฉลี่ยของรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบั 8.4) ค่าใชง้านของรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบั ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... t 140 60 0 – 60 – 45

3 7 9. ถา้สมการของแรงเคลื่อนไฟฟ้าชวั่ขณะใดขณะหน่ึงที่แหล่งจ่ายไฟฟ้ามีสมการ vS = 12 sin (103 t+25) จงค านวณหา (a) Peak value (b) Peak to peak value (c) Time period and frequency (d) Phase (e) Average value (f) Root mean square value (g) vS at 10.5 ms ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

3 8 10. ถ้าสมการของกระแสไฟฟ้ าในวงจรไฟฟ้ ากระแสสลับวงจรหนึ่งคือ i s = 360 cos (500t+45) จงค านวณหา (a) peak current (b) Amplitude of current and angular frequency (c) Phase (d) Average value and Root mean square value (e) i s at 22.5 ms ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

3 9 แบบฝึ กหัด เรื่อง สมการชั่วขณะ The instantaneous equation of sine wave 1. จงอธิบายความหมายของสมการชวั่ขณะใดขณะหน่ึงของรูปคลื่นไซน์ ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 2. จงอธิบายความหมายของความเร็วเชิงมุม ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 3. กระแสเฉลี่ยหมายถึงอะไร ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 4. แรงดันใช้งานหมายถึงอะไร ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 5. จงอธิบายวธิีการหาค่าใชง้านของรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบั ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

4 0 6. จากรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบัจงคา นวณหาค่า a) ค่าเฉลี่ยในคร่ึงไซเคิลบวก b) ค่าเฉลี่ยในคร่ึงไซเคิลบวก c) ค่าเฉลี่ยในหน่ึงไซเคิล d) ค่าใชง้านของรูปคลื่น ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... t (ms) 120 4 3 2 6 9 12 15 18 21 –120 60 –60

4 1 7. จากรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบัจงคา นวณหาค่า a) สมการชวั่ขณะใดขณะหน่ึงของรูปคลื่น b) สมการชวั่ขณะใดขณะหน่ึงของรูปคลื่น ถา้ในหน่ึงไซเคิลรูปคลื่นใชเ้วลา 15 s c) ค่าเฉลี่ยของรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบั d) ค่าใชง้านของรูปคลื่นไฟฟ้ากระแสสลบั ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... t 180 40 20 0 – 40 – 20 360 540

4 2 8. ถา้สมการของแรงเคลื่อนไฟฟ้าชวั่ขณะใดขณะหน่ึงที่แหล่งจ่ายไฟฟ้ามีสมการ i S = 20 sin (377t+10) จงค านวณหา a) Phase b) Peak value c) Peak to peak value d) Time period and frequency e) Average value f) Root mean square value g) vS at 5 ms ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

4 3 9. ถ้าสมการชวั่ขณะของกระแสไฟฟ้ าในวงจรไฟฟ้ ากระแสสลับวงจรหนึ่งที่มุม เท่ากบั 30 องศา มีค่า เท่ากบั 135 A และความเร็วเชิงมุมเท่ากบั 2000t จงค านวณหา a) Amplitude of current b) frequency c) Average value d) Root mean square value e) Sinusoid form ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

4 4 10. จงเปลี่ยนฟังกช์นัต่อไปน้ีจากฟังกช์นั sin ใหเ้ป็นฟังกช์นั cos และจากฟังกช์นั cos ใหเ้ป็นฟังกช์นั sin a) v1 = Vmax sin (400t + 60) b) v2= –10 sin (t + 20) c) i 1 = 20 sin (t +60) d) i 2 = 5 sin (20t – 10) e) v3 = – Vmax cos (t + 60) f) v4= 11.826 cos (t – 30) g) i 3 = –10 cos (4t + 75) h) i 4= 11.5 sin (103 t + 90) ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................