5 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

CAPITULO 5

INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS

Una función cuadrática, es de la forma: ax2 + bx + c y si ésta aparece en el
denominador, la integral que la contiene se hace fácil de encontrar, para la cual
conviene diferenciar dos tipos esenciales en lo que se refiere al numerador.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

5.1.-Encontrar: ∫ x2 dx + 5
+ 2x

Solución.- Completando cuadrados, se tiene:

x2 + 2x + 5 = (x2 + 2x + __) + 5 − __ = (x2 + 2x +1) + 5 −1 = (x2 + 2x +1) + 4

x2 + 2x + 5 = (x +1)2 + 22 , luego se tiene:

∫ ∫dx = dx + 22 . Sea: w = x +1, dw = dx; a = 2
x2 + 2x + 5 (x +1)2

∫ ∫dx = dw = 1 arcτ g w +c = 1 arcτ g x +1+c
(x +1)2 + 22 w2 + 22 2 a 2 2

Respuesta: ∫ x2 dx +5 = 1 arcτ g x +1 + c
+ 2x 2 2

5.2.-Encontrar: ∫ 4x2 dx + 2
+ 4x

Solución.- ∫ 4x2 dx + 2 = ∫ 4( x 2 dx 12) = 1 ∫ x2 dx 1
+ 4x +x+ 4 +x+ 2

Completando cuadrados:

x2 + x + 1 = (x2 + x + __) + 1 − __ = (x2 + x + 1) + 1 − 1 = (x2 + x + 1) + 1
2 2 4 2 4 4 4

(x2 + x + 1) = (x + 1)2 + (1)2 , luego se tiene:
2 22

∫ ∫1

4
dx = 1 dx , Sea: w = x + 12 , dw = dx; a = 1
x2 + + 1 4 (x + 12)2 + ( 12)2 2
x 2

∫ ∫= 1 dx =1 dw = 1 1 arcτ g w + c = 1 1 arcτ g x + 1 + c
2

4 (x + 12)2 + ( 12)2 4 w2 + a2 4 a a 4 1 1
2 2

2x +1

= 1 arcτ g 2 + c = 1 arcτ g(2x +1) + c
2 1 2

2

111

Respuesta: ∫ 4x2 dx + 2 = 1 arcτ g(2x + 1) + c
+ 4x 2

5.3.-Encontrar: ∫ 2xdx
x2 − x +1

Solución.- u = x2 − x +1, du = (2x −1)dx

∫ 2xdx = ∫ (2x −1+1)dx = ∫ (2x −1)dx + ∫ x2 dx +1 = ∫ du + ∫ x2 dx +1
x2 − x +1 x2 − x +1 x2 − x +1 −x u −x

Completando cuadrados:

x2 − x +1 = (x2 − x + __) +1__ = (x2 − x + 1) +1− 1
44

x2 − x +1 = (x2 − 12)2 + 3 , Luego se tiene:
4

∫ du + ∫ dx = ∫ du + ∫ du = ∫ du + ∫ dx
u −x u u 12)2 +
x2 +1 (x − 1 )2 + 3 (x − ( 3 2 )2
2 4

w = x − 1 , dw = dx; a = 3 , luego:
22

∫ du + ∫ dx ∫ ∫= du + dw = η u + 1 arcτ g w + c
u 12)2 + aa
( x − ( 3 2 )2 u w2 + a2

= η x2 − x +1 + 1 x−1 η x2 − x +1 + 2 2x −1
arcτ g 2 + c = 3 arcτ g 2 + c
33 33
22
2

∫Respuesta: 2xdx = η x2 − x +1 + 2 3 arcτ g 2x −1 + c
x2 − x +1 33

∫5.4.-Encontrar: x2dx
x2 + 2x + 5

Solución.-

∫ x2 x2dx 5 = ∫ ⎝⎜⎛1− 2x +5 5 ⎟⎠⎞dx = ∫ dx − ∫ 2x +5 5 dx ,
+ 2x + x2 + 2x + x2 + 2x +

Sea: u = x2 + 2x + 5, du = (2x + 2)dx

Ya se habrá dado cuenta el lector que tiene que construir en el numerador, la
expresión: (2x + 2)dx . Luego se tiene:

= ∫ dx − ∫ (2x + 2 + 3) dx = ∫ dx − ∫ (2x + 2)dx + 3∫ x2 dx + 5 ,
x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 + 2x

Completando cuadrados, se tiene:

x2 + 2x + 5 = (x2 + 2x + __) + 5 − __ = (x2 + 2x +1) + 5 −1 = (x2 + 2x +1) + 4 = (x +1)2 + 22

Luego se admite como forma equivalente a la anterior:

∫ dx − ∫ du − 3∫ (x dx + 22 , Sea: w = x + 1, dw = dx; a = 2 , luego:
u + 1)2

112

= ∫ dx − ∫ du − 3∫ dw = x− η u − 3 1 arcτ g w + c
u w2 + a2 aa

= x − η x2 + 2x + 5 − 3 arcτ g x +1 + c
22

∫Respuesta: x2 x2dx 5 = x − η x2 + 2x + 5 − 3 arcτ g x +1 + c
+ 2x + 22

5.5.-Encontrar: ∫ x2 2x −3 dx
+ 2x + 2

Solución.- Sea: u = x2 + 2x + 2, du = (2x + 2)dx

∫ x2 2x −3 dx = ∫ x22x++22x−+52dx = ∫ 2x + 2 dx − 5∫ x2 dx + 2
+ 2x + 2 x2 + 2x + 2 + 2x

= ∫ dudx − 5∫ x2 dx + 2 , Completando cuadrados:
u + 2x

x2 + 2x + 2 = (x +1)2 +12 . Luego:

= ∫ dudx − 5∫ (x dx + 12 , Sea: w = x +1, du = dx; a = 1. Entonces se tiene:
u + 1) 2

dudx − 5 dx = η u − 5 1 arcτ g w + c = η x2 + 2x + 5 − 5arcτ g(x +1) + c
u w2 + a2 aa
∫ ∫=

∫Respuesta: x2 2x −3 dx = η x2 + 2x + 5 − 5arcτ g(x +1) + c
+ 2x + 2

5.6.-Encontrar: ∫ dx
x2 − 2x −8

Solución.- Completando cuadrados se tiene: x2 − 2x − 8 = (x −1)2 − 32

∫ ∫dx = dx , Sea: w = x −1, dw = dx; a = 3
x2 − 2x −8 (x −1)2 − 32

∫= dw = η w + w2 − a2 + c = η x −1+ x2 − 2x − 8 + c

w2 − a2

∫Respuesta: dx = η x −1+ x2 − 2x − 8 + c
x2 − 2x −8

5.7.-Encontrar: ∫ xdx
x2 − 2x + 5

Solución.- Sea: u = x2 − 2x + 5, du = (2x − 2)dx . Luego:

∫ x2 xdx = 1 ∫ 2xdx = 1 ∫ 2x − 2+ 2
− 2x 2 x2 − 2x 2 dx
+5 +5
x2 − 2x + 5

= 1 ∫ (2x − 2)dx + 2 ∫ x2 dx = 1 ∫ du + ∫ dx
2 x2 − 2x + 5 2 − 2x 2 u x2 − 2x + 5
+ 5

Completando cuadrados se tiene: x2 + 2x + 5 = (x −1)2 + 22 . Por lo tanto:

113

∫ ∫= 1 u −1 du + dx . Sea: w = x −1, du = dx; a = 2
2

2 (x −1)2 + 22

∫ ∫= 1 u −1 du + dw =1 u1 + η w+ w2 + a2 + c = u1 + η w+ w2 + a2 + c
2 2 2

2 w2 + a2 21
2

= x2 + 2x + 5 + η x −1+ x2 − 2x + 5 + c

∫Respuesta: xdx = x2 − 2x + 5 + η x −1+ x2 − 2x + 5 + c
x2 − 2x + 5

5.8.-Encontrar: ∫ (x +1)dx
2x − x2

Solución.- Sea: u = 2x − x2, du = (2 − 2x)dx .Luego:

∫ (x +1)dx = − 1 ∫ −2(x +1)dx = − 1 ∫ (−2x − 2)dx = − 1 ∫ (−2 x + 2 − 4)dx
2x − x2 2 2x − x2 2 2x − x2 2 2x − x2

= − 1 ∫ (2 − 2x)dx + 4 ∫ dx = − 1 ∫ du + 2∫ dx
2 2x − x2 2 2x − x2 2 u 2x − x2

Completando cuadrados: 2x − x2 = −(x2 − 2x) = −(x2 − 2x +1−1) = −(x2 − 2x +1) +1

= −(x −1)2 +1 = 1− (x −1)2 . Luego la expresión anterior es equivalente a:

∫ ∫= − 1 u −1 du + 2 dx . Sea: w = x −1, dw = dx; a = 1. Entonces:
2

2 1− (x −1)2

u1
2
∫ ∫= − 1 dw 1 + w + = 2x − x2 + 2 arcs e n(x −1) + c
2
2
1 du + 2 a2 − w2 = −u 2 arcs e n a c −

2

∫Respuesta: (x +1)dx = − 2x − x2 + 2 arcs e n(x −1) + c

2x − x2

5.9.-Encontrar: ∫ xdx
5x2 − 2x +1

Solución.- Sea: u = 5x2 − 2x +1, du = (10x − 2)dx . Luego:

∫ xdx = 1 ∫ ∫10xdx = 1 (10x − 2 + 2)dx
5x2 − 2x 10
+1 5x2 − 2x +1 10 5x2 − 2x +1

= 1 ∫ (10 x − 2)dx + 2 ∫ 5x2 dx = 1 ∫ du + 1 ∫ dx
10 5x − 2x +1 10 − 2x 10 u 5 5x2 − 2x +1
2 +1

= 1 du + 1 dx =1 u −1 du + 1 dx
2
∫ ∫ ∫ ∫10 u 5
5( x 2 − 2 x + 15) 10 55 (x2 − 2 x + 15)
5 5

Completando cuadrados: x2 − 2 x + 1 = (x2 − 2 x + __) + 1 − __
55 5 5

= (x2 − 2 x + 1) + 1 − 1 = (x − 1 )2 + (2 5)2 , Luego es equivalente:
5 25 5 25 5

114

∫ ∫= 1 u −1 du + 1 dx , Sea: w = x− 1 , dw = dx; a = 25,
2 5

10 5 5 (x − 1 ) 2 + (25)2
5

∫ ∫Entonces: = 1 u −1 du + 1 dw = 1 u1 + 1 η w + w2 + a2 + c
2 2

10 5 5 w2 + a2 10 1 55
2

= 5x2 − 2x +1 + 1 η x − 1 + 5x2 − 2x +1 + c
5 55 5 5

∫Respuesta: xdx = 5x2 − 2x +1 + 5 η x − 1 + 5x2 − 2x +1 + c
5x2 − 2x +1 5 25 5 5

5.10.-Encontrar: ∫ xdx
5 + 4x − x2

Solución.- u = 5 + 4x − x2, du = (4 − 2x)dx . Luego:

∫ xdx = − 1 ∫ ∫−2xdx = − 1 (−2x + 4 − 4)dx
5+ 4x − x2 2
5 + 4x − x2 2 5 + 4x − x2

= − 1 ∫ (4 − 2x)dx + 4 ∫ dx = − 1 ∫ du + 2∫ dx
2 5+ 4x − x2 2 5+ 4x − x2 2 u 5+ 4x − x2

Completando cuadrados: 5 + 4x − x2 = −(x2 − 4x − 5) = −(x2 − 4x + 4 − 4 − 5)

= −(x2 − 4x + 4) + 9 = 9 − (x − 2)2 = 32 − (x − 2)2 . Equivalente a:

∫ ∫= − 1 u−12du + 2 dx . Sea: w = x − 2, dw = dx; a = 3 . Entonces:
2 32 − (x − 2)2

∫ ∫= − 1 u−12du + 2 dw =− 1 u1 + 2 arcs e n w + c
2
2
a2 − w2 21 a
2

= − 5 + 4x − x2 + 2 arcs e n x − 2 + c
3

∫Respuesta: xdx = − 5 + 4x − x2 + 2 arcs e n x − 2 + c
5 + 4x − x2 3

5.11.-Encontrar: ∫ dx
2 + 3x − 2x2

Solución.- Completando cuadrados se tiene:

2 + 3x − 2x2 = −(2x2 − 3x − 2) = −2( x 2 − 3 x −1) = −2( x 2 − 3 x + 9 − 25)
2 2 16 16

= −2 ⎡⎢⎣( x 2 − 3 x + 9) − 25 ⎤ = −2 ⎡⎣( x − 3 4)2 − (5 4)2 ⎤ = 2 ⎡⎣( 5 4)2 − (x − 3 4)2 ⎤ , luego:
2 16 16 ⎥⎦ ⎦ ⎦

dx = 1
2 ⎣⎡(5 4)2 − (x − 34)2 ⎦⎤ 2
∫ ∫ ∫dx = dx
(54)2 − (x − 34)2
2 + 3x − 2x2

Sea: w = x− 3 4 , dw = dx, a = 5 . Luego:
4

115

∫ ∫= 1 x − 3
4
2
dx = 1 dw = 1 arcs e n w + c = 1 arcs e n + c

(54)2 − (x − 34)2 2 a2 − w2 2 a 2 5
4

= 2 arcs e n 4x − 3 + c
25

Respuesta: ∫ dx = 2 arcs e n 4x − 3 + c
2 + 3x − 2x2 2 5

5.12.-Encontrar: ∫ 3x2 dx + 42
+ 12 x

Solución.-

∫ 3x2 dx + 42 = ∫ 3( x 2 dx + 14) = 1 ∫ (x2 + dx + 14) = 1 ∫ (x2 + dx 4 + 10) =
+ 12 x + 4x 3 4x 3 4x +

dx = 1 1 arcτ g x + 2 + c
(x + 2)2 +10 3 10 10
∫ ∫= 1 dx = 1
(x + 2)2 + ( 10)2 3
3

Respuesta: ∫ 3x2 dx + 42 = 10 arcτ g x + 2 + c
+ 12 x 30 10

5.13.-Encontrar: ∫ 3x − 2 dx
x2 − 4x + 5

Solución.- Sea: u = x2 − 4x + 5, du = (2x − 4)dx , Luego:

∫ 3x − 2 dx = 3∫ x2 xdx + 5 − 2∫ x2 dx + 5 = 3∫ (x − 2) + 2 − 2∫ x2 dx + 5
x2 − 4x + 5 − 4x − 4x x2 − 4x +5 − 4x

= 3∫ (x − 2) 5 + 6∫ x2 dx + 5 − 2∫ x2 dx + 5 = 3 ∫ du + 4∫ x2 dx + 5
x2 − 4x + − 4x − 4x 2 u − 4x

= 3 ∫ du + 4∫ dx = 3 ∫η x2 − 4x + 5 + 4 dx
2 u 4x + 2
(x2 − 4) + 1 (x − 2)2 +1

= 3 η x2 − 4x + 5 + 4 arcτ g(x − 2) + c
2

∫Respuesta: 3x − 2 dx = 3 η x2 − 4x + 5 + 4 arcτ g(x − 2) + c

x2 − 4x + 5 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

Usando Esencialmente la técnica tratada, encontrar las integrales siguientes:

5.14.- ∫ x2 + 2x − 3dx 5.15.- ∫ 12 + 4x − x2 dx 5.16.- ∫ x2 + 4xdx
5.17.- ∫ x2 − 8xdx 5.18.- ∫ 6x − x2 dx
5.19.- ∫ (5 − 4x)dx
12x − 4x2 − 8

116

5.20.- ∫ xdx 5.21.- ∫ (x − 1)dx 3 5.22.- ∫ (2x − 3)dx
27 + 6x − x2 3x2 − 4x + x2 + 6x +15

5.23.- ∫ dx 5.24.- ∫ (2x + 2)dx 5.25.- ∫ (2 x + 4)dx
+ 4x x2 − 4x + 9 4 x − x2
4x2 + 10

5.26.- 2 ∫ (x + 3 2 )dx 5.27.- ∫ (x + 6)dx 5.28.- ∫ 2x2 + dx + 60
3 9x2 − 12x + 8 5− 4x − x2 20x

5.29.- ∫ 3dx 5.30.- ∫ dx 5.31.- ∫ 5dx
80 + 32x − 4x2 12x − 4x2 − 8 28 −12x − x2

5.32.- ∫ 12 − 8x − 4x2 dx 5.33.- x2 − x + 5 4dx 5.34.- ∫ x2 dx + 5
− 2x

5.35.- ∫ (1− x)dx 5.36.- ∫ x2 xdx + 5 5.37.- ∫ (2x + 3)dx
8+ 2x − x2 + 4x 4x2 + 4x + 5

5.38.- ∫ (x + 2)dx 5.39.- ∫ (2x +1)dx 5.40.- ∫ dx
x2 + 2x + 2 x2 +8x − 2 −x2 − 6x

5.41.- ∫ (x −1)dx
x2 + 2x + 2

RESPUESTAS

5.14.- ∫ x2 − 2x − 3dx

Solución.- Completando cuadrados se tiene:
x2 − 2x − 3 = (x2 − 2x +1) − 3 −1 = (x −1)2 − 4 = (x −1)2 − 22
Haciendo: u = x −1, du = dx; a = 2 , se tiene:

∫ ∫ ∫x2 − 2x − 3dx = (x −1)2 − 22 dx = u2 − a2 du

= 1 u u2 − a2 − 1 a2 η u + u2 − a2 + c
22

= 1 (x −1) (x −1)2 − 22 − 1 22 η (x −1) + (x −1)2 − 22 + c
22

= 1 (x −1) x2 − 2x − 3 − 2 η (x −1) + x2 − 2x − 3 + c
2

5.15.- ∫ 12 + 4x − x2 dx

Solución.- Completando cuadrados se tiene:
12 + 4x − x2 = −(x2 − 4x −12) = −(x2 − 4x + 4 −12 − 4) = −(x2 − 4x + 4) +16
= 42 − (x − 2)2
Haciendo: u = x − 2, du = dx; a = 4 , se tiene:

∫ ∫ ∫12 + 4x − x2 dx = 42 − (x − 2)2 dx = a2 − u2 du = 1 u a2 − u2 + 1 a2 arcs e n u + c

2 2a

117

= 1 (x − 2) 42 − (x − 2)2 + 1 42 arcs e n (x − 2) + c
2 24

= 1 (x − 2) 12 + 4x − x2 + 8arcs e n (x − 2) + c
24

5.16.- ∫ x2 + 4xdx

Solución.- Completando cuadrados se tiene:
x2 + 4x = (x2 + 4x + 4) − 4 = (x + 2)2 − 22

Haciendo: u = x + 2, du = dx; a = 2 , se tiene:

∫ ∫ ∫x2 + 4xdx = (x + 2)2 − 22 dx = u2 − a2 du

= 1 u u2 − a2 − 1 a2 η u + u2 − a2 + c
22

= 1 (x + 2) (x + 2)2 − 22 − 1 22 η (x + 2) + (x + 2)2 − 22 + c
22

= (x + 2) x2 + 4x − 2 η (x + 2) + x2 + 4x + c
2

5.17.- ∫ x2 − 8xdx

Solución.- Completando cuadrados se tiene:
x2 − 8x = (x2 − 8x +16) −16 = (x − 4)2 − 42

Haciendo: u = x − 4, du = dx; a = 4 , se tiene:

∫ (x − 4)2 − 42 dx = u2 − a2 du = 1 u u2 − a2 − 1 a2 η u + u2 − a2 + c

22
= 1 (x − 4) (x − 4)2 − 42 − 1 42 η (x − 4) + (x − 4)2 − 42 + c

22
= (x − 4) x2 − 8x − 8 η (x − 4) + x2 − 8x + c

2

5.18.- ∫ 6x − x2 dx

Solución.- Completando cuadrados se tiene:
6x − x2 = −(x2 − 6x) = −(x2 − 6x + 9 − 9) = −(x2 − 6x + 9) + 9 = 32 − (x − 3)2

Haciendo: u = x − 3, du = dx; a = 3, se tiene:

∫ 6x − x2 dx = 32 − (x − 3)2 dx = a2 − u2 du = 1 u a2 − u2 + 1 a2 arcs e n u + c

2 2a

= 1 (x − 3) 32 − (x − 3)2 + 1 32 arcs e n x − 3 + c
2 23

= (x − 3) 6x − x2 + 9 arcs e n x − 3 + c
2 23

5.19.- ∫ (5 − 4x)dx
12x − 4x2 − 8

Solución.- Sea: u = 12x − 4x2 − 8, du = (12 − 8x)dx

118

∫ (5 − 4x)dx = ∫ (−4x + 5)dx = 1 ∫ 2(−4x + 5)dx = 1 ∫ (−8x +10)dx
12x − 4x2 − 8 12x − 4x2 − 8 2 12x − 4x2 − 8 2 12x − 4x2 − 8

= 1 ∫ (−8x +12 − 2)dx = 1 ∫ (−8x +12)dx − ∫ dx
2 12x − 4x2 − 8 2 12x − 4x2 − 8 12x − 4x2 − 8

= 1 ∫ (−8x +12)dx − ∫ dx = 1 ∫ (−8x +12)dx − 1 ∫ dx
2 12x − 4x2 − 8 4(3x − x2 2 12x − 4x2 − 8 2 3x − x2 − 2
− 2)

Completando cuadrados se tiene:

3x − x2 − 2 = −(x2 − 3x + 2) = −(x2 − 3x + 9 − 9 + 2) = −(x2 − 3x + 9) + 9 − 2
44 44

= −(x − 3 2)2 + 1 = (1)2 − (x − 3)2
4 2 2

∫ ∫= 1 (−8x +12)dx − 1 dx
( 12)2 − (x − 32)2
2 12x − 4x2 − 8 2

Haciendo: u = 12x − 4x2 − 8, du = (12 − 8x)dx y w = x − 3 2 , dw = dx , entonces:

∫ ∫= 1 du − 1 dw =1 u1 − 1 arcs e n w + c
2
2 u2
( 12)2 − w2 21 2 1
2 2

= u 1 − 1 arcs e n 2w + c = 12x − 4x2 − 8 − 1 arcs e n(2x − 3) + c
2

22

5.20.- ∫ xdx
27 + 6x − x2

Solución.- Sea: u = 27 + 6x − x2, du = (6 − 2x)dx

∫ xdx = − 1 ∫ ∫−2xdx = − 1 (−2x + 6 − 6)dx
27 + 6x − x2 2
27 + 6x − x2 2 27 + 6x − x2

= − 1 ∫ (−2x + 6)dx + 3∫ dx = − 1 ∫ du + 3∫ dx
2 27 + 6x − x2 27 + 6x − x2 2 u 27 + 6x − x2

Completando cuadrados se tiene:

27 + 6x − x2 = −(x2 − 6x − 27) = −(x2 − 6x + 9 − 9 − 27) = −(x2 − 6x + 9) + 36

= 62 − (x − 3)2 , Luego:

∫ ∫= − 1 u−12du + 3 dx =− 1 u1 + 3arcs e n x − 3 + c
2
2
62 − (x − 3)2 21 6
2

= −u 1 + 3 arcs e n x − 3 + c = − 27 + 6x − x2 + 3arcs e n x − 3 + c
2

66

5.21.- ∫ ( x − 1)dx 3
3x − 4x +
2

Solución.- Sea: u = 3x2 − 4x + 3, du = (6x − 4)dx

∫ (x −1)dx 3 = 1 ∫ (6x − 6)dx = 1 ∫ (6x − 4 − 2)dx = 1 ∫ (6x − 4)dx − 1 ∫ 3x2 dx + 3
3x2 − 4x + 6 3x2 − 4x + 3 6 3x2 − 4x + 3 6 3x2 − 4x + 3 3 − 4x

119

= 1 ∫ du − 1 ∫ 3x2 dx + 3 = 1 ∫ du − 1 ∫ dx
6 u 3 − 4x 6 u 3 −4
3( x2 x + 1)
3

= 1 ∫ du − 1 ∫ (x2 − dx x + 1)
6 u 9 4

3

Completando cuadrados se tiene:

x2 − 4 x +1 = (x2 − 4 x + 4) +1− 4 = (x2 − 4 x + 4) + 5 = (x − 2 3)2 + ( 5 3 )2
3 3 9 9 3 9 9

= 1 ∫ du − 1 ∫ dx =1 η u −1 1 arcτ g x − 23 + c
6 u 9 )2 + 5 3 )2 6 9 55
( x − 2 (
3 33

= 1 η 3x2 − 4x + 3 − 5 arcτ g 3x − 2 + c
6 15 5

5.22.- ∫ (2x − 3)dx
x2 + 6x +15

Solución.- Sea: u = x2 + 6x +15, du = (2x + 6)dx

∫ (2x − 3)dx = ∫ (2x + 6 − 9)dx = ∫ (2x + 6)dx − 9∫ x2 + dx + 15
x2 + 6x +15 x2 + 6x +15 x2 + 6x +15 6x

= ∫ du − 9∫ x2 + dx + 15 , Completando cuadrados se tiene:
u 6x

x2 + 6x +15 = (x2 + 6x + 9) +15 − 9 = (x + 3)2 + 62 = (x + 3)2 + ( 6)2

∫ ∫= du − 9 dx = η x2 + 6x +15 − 9 1 arcτ g x + 3 + c
u (x + 3)2 + ( 6)2 66

= η x2 + 6x +15 − 3 6 arcτ g x + 3 + c
26

5.23.- ∫ 4x2 dx + 10
+ 4x

Solución.-

∫ 4x2 dx + 10 = ∫ 4( x 2 dx 52) = 1 ∫ (x2 dx 52) , Completando cuadrados:
+ 4x +x+ 4 +x+

x2 + x + 5 = (x2 + x + 1) + 5 − 1 = (x + 1)2 + 9 = (x + 1)2 + (3)2
2 4 24 24 22

∫= 1 dx =1 1 arcτ g x + 1 + c = 1 arcτ g 2x +1 + c
2

4 (x + 1)2 + (3)2 4 3 3 6 3
22 2 2

5.24.- ∫ (2x + 2)dx
x2 − 4x + 9

Solución.- Sea: u = x2 − 4x + 9, du = (2x − 4)dx

120

∫ (2x + 2)dx = ∫ (2x − 4 + 6)dx = ∫ (2x − 4)dx + 6∫ x2 dx + 9
x2 − 4x + 9 x2 − 4x +9 x2 − 4x + 9 − 4x

= ∫ du + 6∫ x2 dx + 9 , Completando cuadrados se tiene:
u − 4x

x2 − 4x + 9 = (x2 − 4x + 4) + 9 − 4 = (x − 2)2 + 5 = (x − 2)2 + ( 5)2 ,

= ∫ du + 6∫ ( x − dx ( = η u +6 1 arcτ g x − 2 + c
u 2)2 + 5)2 55

= η x2 − 4x + 9 + 6 5 arcτ g x − 2 + c
55

5.25.- ∫ (2 x + 4)dx
4 x − x2

Solución.- Sea: u = 4x − x2 + 9, du = (4 − 2x)dx

∫ (2x + 4)dx = −∫ (−2x − 4)dx = −∫ (−2x + 4 − 8)dx = −∫ (−2x + 4)dx + 8∫ dx
4x − x2 4x − x2 4x − x2 4x − x2 4x − x2

−1 dx , Completando cuadrados se tiene:
2
∫ ∫= − u du + 8
4x − x2

4x − x2 = −(x2 − 4x) = −(x2 − 4x + 4 − 4) = −(x2 − 4x + 4) + 4 = 22 − (x − 2)2

−1 dx = −2u 12 + 8arcs e n x − 2 + c
2
∫ ∫= − u du + 8
22 − (x − 2)2 2

= −2 4x − x2 + 8arcs e n x − 2 + c
2

5.26.- 2 ∫ (x + 3 2 )dx
3 9x2 − 12x + 8

Solución.- Sea: u = 9x2 −12x + 8, du = (18x −12)dx

2 ∫ (x + 32)dx = 2 1 ∫ (18x + 27)dx = 1 ∫ (18x + 27)dx = 1 ∫ (18x −12 + 39)dx
3 9x2 −12x + 8 3 18 9x2 −12x + 8 27 9x2 −12x + 8 27 9x2 −12x + 8

= 1 ∫ (18x −12)dx + 39 ∫ 9x2 dx + 8 = 1 ∫ du + 39 ∫ dx 8)
27 9x2 −12x + 8 27 −12x 27 u 27 −4x
9( x 2 +
39

= 1 ∫ du + 39 9 ∫ dx 8
27 u 27 × 4x
(x2 − + )
39

Completando cuadrados se tiene:

x2 − 4 + 8 = (x2 − 4 x + 4) + 8 − 4 = (x − 2 3)2 + 4 9 = (x − 2 3)2 + (2 3)2
3 9 3 9 9 9

= 1 ∫ du + ∫39 dx = 1 η + 39 1 arcτ x − 23 +
27 u 27 27 × 9 2 2
27 × 9 (x − 23)2 + (23)2 u g c
3 3

121

= 1 η 9x2 −12x + 8 − 13 arcτ g 3x − 2 + c
27 54 2

5.27.- ∫ (x + 6)dx
5− 4x − x2

Solución.- Sea: u = 5 − 4x − x2, du = (−4 − 2x)dx

∫ ∫ ∫(x + 6)dx = − 1 (−2x −12)dx = − 1 (−2x − 4 − 8)dx

5 − 4x − x2 2 5 − 4x − x2 2 5− 4x − x2

= −1 ∫ (−2x − 4)dx + 4∫ dx = − 1 ∫ du + 4∫ dx
2 5− 4x − x2 5 − 4x − x2 2 u 5− 4x − x2

Completando cuadrados se tiene: 5 − 4x − x2 = 9 − (x + 2)2 = 32 − (x + 2)2

= − 1 ∫ du + 4∫ dx = − u + 4 arcs e n x + 2 + c
2 u 32 − (x + 2)2 3

= − 5 − 4x − x2 + 4 arcs e n x + 2 + c
3

5.28.- ∫ 2x2 + dx + 60
20x

Solución.-

∫ 2x2 + dx + 60 = 1 ∫ x2 dx + 30 , Completando cuadrados se tiene:
20x 2 + 10 x

x2 +10x + 30 = (x2 +10x + 25) + 5 = (x + 5)2 + ( 5)2

∫= 1 dx = 1 1 arcτ g x + 5 + c = 5 arcτ g x + 5 + c
2 (x + 5)2 + ( 5)2 2 5 5 10 5

5.29.- ∫ 3dx
80 + 32x − 4x2

Solución.-

∫ 3dx =∫ 3dx x2 ) = 3 ∫ dx
80 + 32x − 4x2 4(20 + 8x − 2 (20 + 8x − x2 )

Completando cuadrados se tiene:

20 + 8x − x2 = −(x2 − 8x − 20) = −(x2 − 8x +16 − 20 −16) = −(x2 − 8x +16) + 36

= −(x − 4)2 + 62 = 62 − (x − 4)2

∫= 3 dx = 3 arcs e n x − 4 + c
2 62 − (x − 4)2 2 6

5.30.- ∫ dx
12x − 4x2 − 8

Solución.-

∫ dx = ∫ dx = 1 ∫ dx
12x − 4x2 4(−x2 + 3x 2 (−x2 + 3x − 2)
−8 − 2)

Completando cuadrados se tiene:

122

−x2 + 3x − 2 = −(x2 − 3x + 2) = −(x2 − 3x + 9 + 2 − 9) = −(x2 − 3x + 9) + 1
44 44

= ( 12)2 − (x − 32)2

∫= 1 dx = 1 arcs e n x − 32 + c = 1 arcs e n(2x − 3) + c
2 ( 1 )2 − ( x − 32)2 2 1 2
2 2

5.31.- ∫ 5dx
28 −12x − x2

Solución.-

∫ 5dx = 5∫ dx , Completando cuadrados se tiene:
28 −12x − x2 28 −12x − x2

28 −12x − x2 = 82 − (x + 6)2

∫= 5 dx = 5arcs e n x + 6 + c 8
82 − (x + 6)2

5.32.- ∫ 12 − 8x − 4x2 dx

Solución.- Sea: u = x +1, du = dx; a = 2

∫ 12 − 8x − 4x2 dx = ∫ 4(3 − 2x − x2 )dx =2∫ 3 − 2x − x2 dx

Completando cuadrados se tiene:
3 − 2x − x2 = −(x2 + 2x − 3) = −(x2 + 2x +1) + 4 = 22 − (x +1)2

∫ ∫2 22 − (x +1)2 dx = 2 a2 − u2 du = 2(1 u a2 − u2 + a2 arcs e n u ) + c

2 2a
= (x +1) −x2 − 2x + 3 + 4 arcs e n x +1 + c

2

5.33.- x2 − x + 5 4dx

Solución.- Sea: u = x − 1 , du = dx; a = 1
2

Completando cuadrados se tiene:

x2 − x + 54 = (x − 12)2 +1

x2 − x + 5 4dx = (x − 12)2 +1dx = u2 + a2 du

= 1 u u2 + a2 + 1 a2 η u + u2 + a2 + c
22

= 1 (x − 12) x2 − x + 5 4 + 1 η x − 12 + x2 −x+ 5 +c
2 2 4

= 1 (2x −1) x2 − x + 5 4 + 1 η x − 12 + x2 −x+ 5 +c
4 2 4

5.34.- ∫ x2 dx + 5
− 2x

123

Solución.- Completando cuadrados se tiene:

x2 − 2x + 5 = (x2 − 2x + 4) +1 = (x − 2)2 +1

∫ x2 dx + 5 = ∫ (x dx +1 = arcτ g(x − 2) + c
− 2x − 2)2

5.35.- ∫ (1− x)dx
8+ 2x − x2

Solución.- Sea: u = 8 + 2x − x2, du = (2 − 2x)dx = 2(1− x)dx

∫ ∫ ∫(1− x)dx
=1 du = 1 u −1 du = u +c= 8+ 2x − x2 + c
2

8+ 2x − x2 2 u 2

5.36.- ∫ x2 xdx + 5
+ 4x

Solución.- Sea: u = x2 + 4x + 5, du = (2x + 4)dx

∫ x2 xdx + 5 = 1 ∫ x2 2xdx 5 = 1 ∫ (2x + 4) − 4
+ 4x 2 + 4x + 2 x2 + 4x + 5 dx

= 1 ∫ (2x + 4)dx − 2∫ x2 dx + 5 = 1 ∫ du − 2∫ x2 dx + 5 , Completando cuadrados se
2 x2 + 4x + 5 + 4x 2 u + 4x

tiene: x2 + 4x + 5 = (x2 + 4x + 4) +1 = (x + 2)2 +1

= 1 ∫ du − 2∫ (x dx +1 = 1 η u − 2 arcτ g(x + 2) + c
2 u + 2)2 2

= 1 η x2 + 4x + 5 − 2 arcτ g(x + 2) + c
2

5.37.- ∫ (2x + 3)dx
4x2 + 4x + 5

Solución.- Sea: u = 4x2 + 4x + 5, du = (8x + 4)dx

∫ (2x + 3)dx = 1 ∫ (8x + 12)dx = 1 ∫ (8x + 4) + 8 dx
4x2 + 4x + 5 4 4x2 + 4x +5 4 4x2 + 4x + 5

1 ∫ (8x + 4)dx + 2∫ 4x2 dx + 5 = 1 ∫ du + 2∫ 4x2 dx + 5 = 1 ∫ du + 2∫ 4( x 2 dx 54)
4 4x2 + 4x + 5 + 4x 4 u + 4x 4 u +x+

= 1 ∫ du + 1 ∫ (x2 dx 54) , Completando cuadrados se tiene:
4 u 2 +x+

x2 + x + 5 = (x2 + x + 1) +1 = (x + 12)2 +1
4 4

= 1 ∫ du + 1 ∫ (x + dx +1 = 1 η u + 1 arcτ g(x + 12) + c
4 u 2 12)2 4 2

5.38.- ∫ (x + 2)dx
x2 + 2x + 2

Solución.- Sea: u = x2 + 2x + 2, du = (2x + 2)dx

124

∫ (x + 2)dx = 1 ∫ (2x + 4)dx = 1 ∫ (2x + 2) + 2 = 1 ∫ (2x + 2)dx + ∫ x2 dx + 2
x2 + 2x + 2 2 x2 + 2x + 2 2 x2 + 2x + 2 dx 2 x2 + 2x + 2 + 2x

= 1 ∫ du + ∫ x2 dx + 2 = 1 ∫ du + ∫ (x dx +1
2 u + 2x 2 u + 1)2

= 1 η u + arcτ g(x +1) + c = 1 η x2 + 2x + 2 + arcτ g(x +1) + c
22

5.39.- ∫ (2x +1)dx
x2 + 8x − 2

Solución.- Sea: u = x2 + 8x − 2, du = (2x + 8)dx

∫ (2x +1)dx = ∫ (2x + 8) − 7dx = ∫ (2x + 8)dx − 7∫ x2 dx − 2
x2 +8x − 2 x2 + 8x − 2 x2 + 8x − 2 + 8x

= ∫ du − 7∫ (x2 + dx −18 = ∫ du − 7∫ ( x + dx 2)2
u 8x +16) u 4)2 − (3

= η u − 7 1 η (x + 4) − (3 2) + c
2(3 2) (x + 4) + (3 2)

= η x2 + 8x − 2 − 7 2 η (x + 4) − (3 2) + c
12 (x + 4) + (3 2)

5.40.- ∫ dx
−x2 − 6x

Solución.- Completando cuadrados se tiene:

−x2 − 6x = −(x2 + 6x) = −(x2 + 6x + 9) + 9 = 32 − (x + 3)2

∫ dx = arcs e n x + 3 + c 3
32 − (x + 3)2

5.41.- ∫ (x −1)dx
x2 + 2x + 2

Solución.- Sea: u = x2 + 2x + 2, du = (2x + 2)dx

∫ (x −1)dx = 1 ∫ (2x + 2) − 4dx = 1 ∫ (2x + 2)dx − 2∫ x2 dx + 2
x2 + 2x + 2 2 x2 + 2x + 2 2 x2 + 2x + 2 + 2x

= 1 ∫ du − 2∫ x2 dx + 2 = 1 ∫ du − 2∫ (x dx +1 = 1 η u − 2 arcτ g(x +1) + c
2 u + 2x 2 u + 1)2 2

= 1 η x2 + 2x + 2 − 2 arcτ g(x +1) + c
2

125