7 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

CAPITULO 7

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Mediante el recurso de la descomposición en fracciones simples, el proceso de
integración de funciones racionales se puede simplificar notablemente.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

7.1.-Encontrar: ∫ dx 9
x2 −

Solución.- Descomponiendo el denominador en factores: x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) ,

Como los factores son ambos lineales y diferentes se tiene:

1 = A + B , de donde:
x2 −9 x + 3 x − 3

1 = A + B ⇒ 1 = A(x − 3) + B(x + 3)(∗) ⇒ 1 = ( A + B)x + (−3A + 3B)
x2 −9 x + 3 x − 3

Para calcular las constantes A y B, se pueden identificar los coeficientes de igual
potencia x en la última expresión, y se resuelve el sistema de ecuaciones dado;
obteniendo así los valores de las constantes en referencia (método general) luego:

⎛ −3 A+ B =0 ⎞ ⇒ ⎛ 3A + 3B = 0 ⎞ ⇒ 6B = 1 ⇒ B = 1 , además:
⎜ A + 3B = 1 ⎟ ⎜ −3A + 3B = 1 ⎟ 6
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A + B = 0 ⇒ A = −B =⇒ A = − 1
6

También es frecuente usar otro mecanismo, que consiste en la expresión (∗)

Sustituyendo a x por los valores que anulen los denominadores de las fracciones:

x = 3 ⇒ 1 = 6B ⇒ B = 1
6

x = −3 ⇒ 1 = −6 A ⇒ A = − 1
6

Usando cualquier método de los señalados anteriormente, se establece que:

1 = − 1 + 1 , Luego se tiene:
6 6

x2 −9 x + 3 x −3

∫ dx 9 = − 1 ∫ dx + 1 ∫ dx = − 1 η x+3 +1 η x−3 +c
x2 − 6 x+3 6 x−3 6 6

= 1( η x−3 − η x+3)+c

6

154

Respuesta: ∫ dx 9 = 1 η x−3 +c
x2 − 6 x+3

7.2.-Encontrar: ∫ x2 dx − 6
+ 7x

Solución.- Sea: x2 + 7x + 6 = (x + 6)(x +1) , factores lineales y diferentes; luego:

1 = A+B,
x2 + 7x + 6 x + 6 x +1
De donde:
1 = A(x +1) + B(x + 6)(∗) ⇒ 1 = ( A + B)x + ( A + 6B) , calculando las constantes A y B

por el método general, se tiene:1 = ( A + B)x + ( A + 6B)

⎛ A + B =0 ⎞ ⇒ − ⎛ − A − B =0 ⎞ ⇒ 5B = 1 ⇒ B = 1 , además:
⎜ A + 6B =1 ⎟ ⎜ A + 6B =1 ⎟ 5
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A + B = 0 ⇒ A = −B =⇒ A = − 1
5

Ahora utilizando el método abreviado se tiene:

x = −1 ⇒ 1 = 5B ⇒ B = 1
5

x = −6 ⇒ 1 = −5 A ⇒ A = − 1
5

Usando cualquier método se puede establecer:

1 = − 1 + 1 , Luego se tiene:
5 5

x2 + 7x + 6 x + 6 x +1

∫ x2 dx + 6 = − 1 ∫ dx + 1 ∫ dx = − 1 η x+6 +1 η x+1 +c
+ 7x 5 x+6 5 x +1 5 5

= 1( η x +1 − η x+6 )+c

5

Respuesta: ∫ x2 dx + 6 = 1 η x+1 +c
+ 7x 5 x+6

7.3.-Encontrar: ∫ x2 xdx + 4
− 4x

Solución.- Sea: x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 , factores lineales con repetición; luego:

x = A + B ⇒ x = A(x − 2) + B ,
x2 − x + 4 x − 2 (x − 2)2 x2 − x + 4 (x − 2)2

De donde:
x = A(x − 2) + B(∗) , calculando las constantes A y B por el método general, se

tiene: x = Ax + (−2A + B) , luego:

⎛ A = 1⎞ ⇒ B = 2 A ⇒ B = 2(1) ⇒ B = 2
⎜ A+ ⎟
⎝ −2 B = 0 ⎠

155

Usando el método abreviado, se sustituye en x , el valor que anula el
denominador(o los denominadores), y si este no es suficiente se usan para
sustituir cualquier valor conveniente de x , esto es: x = 0, x = −1; luego en (∗)

x = 2⇒ 2= B⇒ B = 2

x = 0 ⇒ 0 = −2A + B ⇒ 2A + B ⇒ A = B 2 ⇒ A = 1

Usando cualquier método se establece:

∫ x2 xdx = ∫ dx + 2∫ dx = η x−2 − 2 +c
− 4x + 4 x−2 (x − 2)2 x−2

Respuesta: ∫ x2 xdx + 4 = η x−2 − 2 +c
− 4x x−2

∫7.4.-Encontrar: (2x2 + 3)dx

x3 − 2x2 + x

Solución.- Sea: x3 − 2x2 + x = x(x2 − 2x +1) = x(x −1)2 , factores lineales:

x, x −1; donde este último es con repetición; luego:

2x2 + 3 = A + B + C ⇒ 2x2 + 3 = A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx
x3 − 2x2 + x x (x −1) (x −1)2 x3 − 2x2 + x x(x −1)2

De donde:
2x2 + 3 = A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx(∗) , calculando las constantes A y B por el

método general, se tiene: 2x2 + 3 = ( A + B)x2 + (−2A − B + C)x + A , de donde

identificando los coeficientes de igual potencia de x se puede obtener el siguiente

sistema de ecuaciones:

⎛ A+B = 2 ⎞
⎜ ==03⎟⎠⎟⎟
⎜⎝⎜ −2 A− B + C ⇒ B = 2 − A ⇒ B = 2 − 3 ⇒ B = −1, tomando la segunda ecuación
A

del sistema: C = 2A + B ⇒ C = 2(3) −1 ⇒ C = 5 ,también es posible usar el método

abreviado, utilizando para ello la expresión (∗) en la cual:

x = 1 ⇒ 2(1) + 3 = C ⇒ C = 5

x=0⇒3= A⇒ A=3
Usando un valor arbitrario para x , sea este x = −1 :
x = −1 ⇒ 2(−1)2 + 3 = A(−2)2 + B(−1)(−2) + C(−1) ⇒ 5 = 4A + 2B − C , luego:

2B = 5 − 4A + C ⇒ 2B = 5 − 4(3) + 5 ⇒ 2B = −2 ⇒ B = −1, S, e establece que:

2x2 + 3 = 3 − 1 + 5 , entonces:
x3 − 2x2 + x x x −1 (x −1)2

∫ ∫ ∫2x2 + 3 = 3 dx − dx + 5 dx = 3 η x − η x −1 − 5 + c
x3 − 2x2 + x x x −1 (x −1)2 x −1

∫Respuesta: (2x2 + 3)dx = η x3 − 5 + c
x3 − 2x2 + x x −1 x −1

156

∫7.5.-Encontrar: dx

x3 − 2x2 + x

Solución.- x3 − 2x2 + x = x(x −1)2 ,factores lineales:

x, x −1; donde este último es con repetición; luego:

1 = A + B + C ⇒ 1 = A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx
x3 − 2x2 + x x (x −1) (x −1)2 x3 − 2x2 + x x(x −1)2

De donde:
1 = A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx(∗) , calculando las constantes A y B por el método

general, se tiene:1 = ( A + B)x2 + (−2A − B + C)x + A , de donde identificando los

coeficientes de igual potencia de x se puede obtener el siguiente sistema de

ecuaciones:

⎛ A+B = 0⎞
⎜ ==01⎟⎟⎠⎟
⎜⎝⎜ −2 A− B + C ⇒ B = − A ⇒ B = −1 , tomando la segunda ecuación del
A

sistema: C = 2A + B ⇒ C = 2(1) −1 ⇒ C = 1, a partir de lo cual se tiene:

1 =1− 1 + 1
x3 − 2x2 + x x x −1 (x −1)2

∫ x3 dx + x = ∫ dx − ∫ dx + ∫ dx = η x− η x −1 − 1 + c
− 2x2 x x −1 (x −1)2 x −1

∫Respuesta: dx = η x − 1 + c
x3 − 2x2 + x x −1 x −1

∫7.6.-Encontrar: x4 − 6x3 +12x2 + 6
x3 − 6x2 +12x − 8 dx

Solución.- Se sabe que si el grado del polinomio dividendo, es igual o superior al

grado del polinomio divisor, previamente conviene efectuar la división de tales

polinomios.

x4 − 6x3 +12x2 + 0x + 6 x3 − 6x2 +12x − 8

−x4 + 6x3 −12x2 + 8x x

8x + 6

∫ ∫ ∫Luego se tiene: x4 − 6x3 +12x2 + 6dx = xdx + (8x + 6)dx

x3 − 6x2 +12x − 8 x3 − 6x2 +12x − 8

La descomposición de: x3 − 6x2 +12x − 8 :

1 −6 12 −8

2 2 −8 8

1 −4 4 0 x = 2 ⇒ (x − 2)

x2 − 4x + 4 = (x − 2)2
x3 − 6x2 +12x − 8 = (x − 2)3

157

Esto es factores lineales:[(x − 2)] con repetición por tanto:

8x + 6 = A+ B + C

x3 − 6x2 +12x − 8 x − 2 (x − 2)2 (x − 2)3

8x + 6 = A(x − 2)2 + B((x − 2) + C

x3 − 6x2 +12x − 8 (x − 2)3

Luego:
8x + 6 = A(x − 2)2 + B(x − 2) + C ⇒ 8x + 6 = A(x2 − 4x + 4) + B(x − 2) + C

8x + 6 = Ax2 + (−4A + B)x + (4A − 2B + C)

Calculando las constantes A y B por el método general, se tiene:

⎛A = 0⎞
⎜ ⎟
⎜⎝⎜ −4A + B = 8 ⎟⎠⎟ ⇒ B = 8+ 4A ⇒ B = 8+ 4(0) ⇒ B = 8,
+4A− 2B + = 6
C

Resolviendo el sistema: C = 6 − 4A + 2B ⇒ C = 6 − 4(0) + 2(8) ⇒ C = 22 , luego:

8x + 6 0

= 0 + 8 + 22 , de donde:
x3 − 6x2 +12x − 8 x − 2 (x −1)2 (x −1)3

(8x + 6)dx dx dx , o sea:
− 6x2 +12x − 2)2 (x − 2)3
∫ ∫ ∫x3 − 8 = 8 (x + 22

= ∫ xdx +8∫ dx + 22∫ dx = ∫ ∫xdx +8 (x − 2)−2 dx + ∫22 (x − 2)−3dx
(x − 2)2 (x − 2)3

x2 − x 8 2 − 11 + c
2 − (x − 2)2

∫Respuesta: x4 − 6x3 +12x2 + 6dx = x2 − x 8 − 11 +c
x3 − 6x2 +12x −8 2 −2 (x − 2)2

∫7.7.-Encontrar: x3 + x2 + x + 3dx
x 4 +4 x2 +3

Solución.- x4 + 4x2 + 3 = (x2 + 3)(x2 +1) , la descomposición es en factores

cuadráticos sin repetición, por lo tanto:

x3 + x2 + x + 3 = Ax + B + Cx + D
x4 + 4x2 + 3 x2 + 3 x2 +1

x3 + x2 + x + 3 = ( Ax + B)(x2 +1) + (Cx + D)(x2 + 3)
x4 + 4x2 + 3 (x2 + 3)(x2 +1)

x3 + x2 + x + 3 = A(x3 + x) + B(x2 +1) + C(x3 + 3x) + D(x2 + 3)

x3 + x2 + x + 3 = ( A + C)x3 + (B + D)x2 + ( A + 3C)x + (B + 3D) , luego:

158

(1) ⎛ A + C =1⎞
⎜ + D = 1⎟⎟
(2) ⎜ B

(3) ⎜ A + 3C =1⎟
⎜ ⎟
(4) ⎝ B + 3D = 3 ⎠

Con (1) y (3), se tiene: ⎛ A + C = 1⎞ ⇒ A = 1, C = 0
⎜ A + 3C = 1⎟⎠
⎝

Con (2) y (4), se tiene: ⎛ B + D = 1⎞ ⇒ B = 0, D =1
⎜ B ⎟
⎝ + 3D = 3 ⎠

Por lo tanto: x3 + x2 + x + 3 = x + 1 , o sea:
x4 + 4x2 + 3 x + 3 x2 +1

∫ ∫ ∫x3 + x2 + x+3 dx
x4 + 4x2 +3 x2 +1
dx = xdx + , sea: u = x2 + 3, du = 2xdx , luego:
x+3

x3 + x2 + x + 3

∫ ∫ ∫ ∫ ∫x4 + 4x2 + 3
dx = 1 2xdx + dx = 1 du + dx
2 x+3 x2 +12 2 u x2 +12

= 1 η u + arcτ gx + c = 1 η x2 + 3 + arcτ gx + c
22

∫Respuesta: x3 + x2 + x + 3dx = 1 η x2 + 3 + arcτ gx + c
x4 + 4 x2 +3 2

∫7.8.-Encontrar: x4dx

x4 + 2x2 +1

Solución.-

x4 x4 + 2x2 +1

−x4 − 2x2 −1 1

−2x2 −1

x4dx = ⎜⎛1 − 2x2 +1 ⎞ 2x2 +1
x4 + 2x2 +1 ⎝ +2 x2 + ⎟dx +2 x2 +
∫ ∫ ∫ ∫Luego ⎠
x4 1 = dx − x4 dx
1

La descomposición del denominador es: x4 + 2x2 +1 = (x2 +1)2 , entonces:

2x2 +1 = Ax + B + Cx + D ⇒ 2x2 +1 = ( Ax + B)(x2 +1)(Cx + D)
x4 + 2x2 +1 x2 +1 (x2 +1)2 x4 + 2x2 +1 (x2 +1)2

2x2 +1 = ( Ax + B)(x2 +1) + (Cx + D) ⇒ 2x2 +1 = A(x3 + x) + B(x2 +1) + Cx + D

2x2 +1 = Ax3 + Bx2 + ( A + C)x + (B + D)

Calculando las constantes por el método general, se tiene:

⎛ A =0⎞
⎜ ⎟
⎜ B = 2 ⎟

⎜ A +C = 0 ⎟
⎜ ⎟
⎝ B + D = 1 ⎠

159

Resolviendo el sistema: C = − A ⇒ A = 0∴C = 0 , B + D = 1 ⇒ D = 1− B ⇒ D = −1
luego:

2x2 +1 = 2 − 1 , o sea:
x4 + 2x2 +1 x2 +1 (x2 +1)2

2x2 +1 dx − dx dx − dx
+2 x2 + x2 +12 (x2 +1)2 x2 +12 x2 +1)4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫x4 1 = 2 = 2

(

Sea: x = τ gθ , dx = sec2 θ dθ ; x2 +1 = secθ , luego:

∫= 2 arcτ gx − sec2 θ dθ = 2 arcτ gx − ∫ dθ θ =2 arcτ gx − ∫ cos2 θ
sec4 θ sec2

= 2 arcτ gx − ∫1+ cos 2θ dθ = 2 arcτ gx − 1 ∫ dθ − 1 ∫ cos 2θ dθ
2 2 2

arcτ gx − 1 θ − 1 s e n 2θ + c = 2 arcτ gx − 1 θ − 1 s e nθ cosθ + c
22 22

x2 + 1 x

De la figura se tiene que: θ

τ gθ = x,θ arcτ gθ ,s e nθ = x , cosθ = 1 1

x2 +1 x2 +1

Luego: = 2 arcτ gx − 1 arcτ gx − 1 x 1 + c = 2 arcτ gx − 1 arcτ gx − x 1) + c
22 x2 +1 x2 2 2(x2 +
+ 1

Recordando que:

∫ ∫x4dx = dx − (2x2 +1)dx = x − 2 arcτ gx + 1 arcτ gx + 1 x + c
x4 + 2x2 +1 2 2 (x2 +1)
x4 + 2x2 +1

∫Respuesta: x4 x4dx +1 = x − 3 arcτ gx + x + c
+ 2x2 2 2(x2 +1)

∫7.9.-Encontrar: x4dx

x4 −1
Solución.-

x4 x4 −1

−x4 +1 1

1

Luego:

∫ x4dx = ∫ ⎛⎜⎝1+ 1 1 ⎠⎞⎟dx = ∫ dx + ∫ dx
x4 −1 x4 − x4 −1

Descomponiendo en factores el denominador:

x4 −1 = (x2 −1)(x2 +1) = (x2 +1)(x +1)(x −1) , es decir factores lineales y cuadráticos

sin repetición por tanto:

160

1 = Ax + B + C + D
x4 −1 x2 +1 x +1 x −1

1 = ( Ax + B)(x2 −1) + C(x2 +1)(x −1) + D(x +1)(x2 +1)
x4 −1 (x2 +1)(x +1)(x +1)

1 = A(x3 − x) + B(x2 +1) + C(x3 − x2 + x −1) + D(x3 + x2 + x +1)

1 = (A + C + D)x3 + (B − C + D)x2 + (− A + C + D)x + (−B − C + D)

Luego:

(1) ⎛ A + C +D = 0 ⎞
⎜ B − C + D = 0⎟⎟
(2) ⎜

(3) ⎜ − A + C +D = 0 ⎟
⎜ ⎟
(4) ⎝ − B −C + D = 1 ⎠

Con (1) y (3), se tiene: ⎛ − A + C + D = 0 ⎞ ⇒ 2C + 2D = 0 (5)
⎜ A + C + D = 0 ⎟
⎝ ⎠

Con (2) y (4), se tiene: ⎛ B−C+D = 0⎞ ⇒ −2C + 2D = 1 (6)
⎜ −B − C + D = 1⎠⎟
⎝

Con (5) y (6), se tiene: ⎛ 2C + 2D = 0 ⎞ ⇒ C = − 1 , D = 1
⎜ ⎟ 4 4
⎝ −2C + 2D = 1 ⎠

Además: A = 0, B = − 1 , luego:
2

1 = − 1 − 1 + 1 , con lo cual:
x4 −1 2(x2 +1) 4(x +1) 4(x −1)

∫ dx = − 1 ∫ dx − 1 ∫ dx + 1 ∫ dx
x4 −1 2 (x2 +1) 4 (x +1) 4 (x −1)

= − 1 arcτ gx − 1 4 η x +1 + 1 η x −1 + c
2 4

Dado que: ∫ x4dx = ∫ dx + ∫ dx = x − 1 arcτ gx + 1 η x −1 + c , entonces:
x4 −1 x4 −1 2 4 x +1

Respuesta: ∫ 1 = x − 1 arcτ gx + 1 4 η x −1 + c
x4 −1 2 x +1

∫7.10.-Encontrar: x4 − 2x3 + 3x2 − x + 3
x3 − 2x2 + 3x dx

Solución.-

x4 − 2x3 + 3x2 − x + 3 x3 − 2x2 + 3x

−x4 + 2x3 − 3x2 x

−x + 3

Luego:

161

∫ ∫ ∫ ∫x4− 2x3 + 3x2 −x + x−3
x3 − 2x2 + 3x 3dx = ⎛ x − x−3 ⎠⎞⎟dx = xdx − dx
⎝⎜ x3 − 2x2 + 3x x3 − 2x2 + 3x

Descomponiendo en factores el denominador:

x3 − 2x2 + 3x = x(x2 − 2x + 3) , es decir un factor lineal y uno cuadrático; por lo cual:

x − 3 = A + Bx + C ⇒ x − 3 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)x
x3 − 2x2 + 3x x x2 − 2x + 3 x3 − 2x2 + 3x x(x2 − 2x + 3)

x − 3 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)x ⇒ x − 3 = ( A + B)x2 + (−2A + C)x + 3A

De donde:

⎛ A + B = 0 ⎞ ⎧ A = −1
⎜ ⎟ ⎨⎪B
⎝⎜⎜ −2 A + C = 1 ⎟⎠⎟ ⇒ ⎪⎩C = −A⇒ B =1
3A = −3 = 1+ 2A ⇒C =
−1

Luego:

x − 3 = − 1 + x −1 , de donde:
x3 − 2x2 + 3x x x2 − 2x + 3

∫ x3 x−3 3x dx = −∫ dx + ∫ x2 x −1 dx = − η x +∫ x −1
− 2x2 + x − 2x +3 x2 − 2x + 3 dx

∫ ∫ ∫x4 − 2x3 + 3x2 −x + 3dx x −1
x3 − 2x2 + 3x = xdx + η x − x2 − 2x + 3 dx

∫ ∫= x2 + η x − x2 2(x −1)dx
2 x2 − 2x + 3
2
x2 x −1 dx = + η x−1
− 2x +3 2

Sea: u = x2 − 2x + 3, du = (2x − 2)dx ⇒ du = 2(x −1)dx

∫= x2 + η x − 1 du = x2 + η x − 1 η x2 − 2x + 3 + c

2 2u 2 2

∫Respuesta: x4 − 2x3 + 3x2 − x + 3dx = x2 + η x + c
x3 − 2x2 + 3x 2 x2 − 2x + 3

EJERCICICOS PROPUESTOS

Usando La técnica de descomposición en fracciones simples parciales, calcular
las siguientes integrales:

∫7.11.- (x5 + 2)dx 7.12.- ∫ ( xdx ∫7.13.- x3dx
x +1)2
x2 −1 x2 − 2x −3

7.14.- ∫ (3x + 7)dx 7.15.- ∫ dx 7.16.- ∫ (x + 5)dx
−1)(x − 2)(x dx x2 − x+6
( x − 3) x3 +1

∫7.17.- (x2 +1)dx ∫7.18.- (x2 + 6)dx ∫7.19.- (x2 −1)dx

x3 +1 (x −1)2 (x − 2) (x2 +1)(x − 2)

162

7.20.- ∫ x2 xdx − 5 7.21.- ∫ x2 xdx − 3 7.22.- ∫ (x +1)dx
− 4x − 2x x2 + 4x −5

∫7.23.- x2dx 7.24.- ∫ x( dx 7.25.- ∫ ( x + dx + 1)
x +1)2 1)( x 2
x2 + 2x +1

7.26.- ∫ x(x2 dx + 1) ∫7.27.- 2x2 + 5x − 1dx ∫7.28.- (x2 + 2x + 3)dx
+x x3 + x 2− 2 x
(x −1)(x +1)2

3x 2 + 2x − 2dx x 4 − x3 + 2x2 − x + 2dx ∫7.31.- (2x2 − 7x −1)dx
x3 −1 (x −1)(x2 + 2)2
∫7.29.- ∫7.30.- x3 + x2 − x −1

∫7.32.- x3 3x2 + 3x +1 dx ∫7.33.- x3 + 7x2 (−x5+x1+)25dx ∫7.34.- 2xdx
+2 x2 + 2x + 1 (x −1)2
(x2 + x +1)2

∫7.35.- x2 + 2x + 3dx 7.36.- ∫ ( (2x2 − 3x + 5)dx ∫7.37.- (3x2 + x − 2)dx
x + 2)(x −1)(x − 3)
x3 − x (x −1)(x2 +1)

7.38.- ∫ (x + 5)dx ∫7.39.- 2x3 + 3x2 + x −1 dx 7.40.- ∫ (2x +1)dx
x3 − 3x + 2 3x3 + 2x −1
(x +1)(x2 + 2x + 2)2

∫7.41.- (2x2 + 3x −1)dx ∫7.42.- x4 − 2x2 + 3x + 4 dx ∫7.43.- et dt

x3 + 2x2 + 4x + 2 (x −1)3 (x2 + 2x + 2) e2t + 3et + 2

7.44.- ∫ sen θ dθ − 2 ∫7.45.- 4x4 − 2x3 − x2 + 3x +1 ∫7.46.- 3x4dx
cos2 θ + cosθ (x3 + x2 − x −1) dx
(x2 +1)2

∫7.47.- (2x2 + 41x − 91)dx ∫7.48.- (2x4 + 3x3 − x −1)dx ∫7.49.- dx

x3 − 2x2 −11x +12 (x −1)(x2 + 2x + 2)2 e2x + ex − 2

7.50.- ∫ cos s e n xdx x) ∫7.51.- (2 +τ g 2θ ) sec2 θ dθ ∫7.52.- (5x3 + 2)dx
x(1+ cos2
1+τ g3θ x3 − 5x2 + 4x

∫7.53.- x5dx

(x3 +1)(x3 + 8)

RESPUESTAS

∫7.11.- (x5 + 2)dx

x2 −1

Solución.-

(x5 + 2)dx = ⎛ x3 x+2 ⎟⎞⎠dx x+2
⎝⎜ x2 −1 x2 −1 dx
∫ ∫ ∫ ∫ ∫x2 −1
+ x + = x3dx + xdx +

∫= x4 + x2 + (x + 2)dx (∗) , luego:

4 2 (x +1)(x −1)

x + 2 = A + B ⇒ x + 2 = A(x −1) + B(x +1)
x2 −1 x +1 x −1

163

∴ ⎨⎧⎪ x = 1⇒ 3 = 2B ⇒ B = 3
⎩⎪ x = −1 ⇒ 1 = −2A 2

⇒ A=− 1
2

∫ ∫(∗) = x4 + x2 − 1 dx + 3 dx = x4 + x2 − 1 η x +1 + 3 η x −1 + c
4 2 2 x +1 2 x −1 4 2 2 2

= x4 + x2 +η (x −1)32 + c
42 x +1

7.12.- ∫ ( xdx
x +1)2

Solución.-

∫ ( xdx =∫ Adx + ∫ ( Bdx 2 (∗) , luego:
x +1)2 x +1 x +1)

x = A+ B ⇒ x = A(x +1) + B
(x +1)2 x +1 (x +1)2

∴ ⎧⎨ x = −1 ⇒ −1 = B ⇒ A = −B ⇒ A = −1
⎩ x = 0⇒0= A +B

dx − dx = η x +1 + (x +1)−1 + c = η x+1 + 1 +c
x +1 (x +1)2 x +1
∫ ∫(∗)

∫7.13.- x3dx

x2 − 2x −3

Solución.-

∫ x2 x3dx 3 = ∫ ⎛ x + 2 + 7x + 6 3 ⎠⎞⎟dx = ∫ xdx + 2∫ dx + ∫ (7x + 6)dx
− 2x − ⎝⎜ x2 − 2x − x2 − 2x −3

= x2 + 2x + ∫ (7x + 6)dx (∗) , luego:
2 (x − 3)(x +1)

(7x + 6) = A + B ⇒ 7x + 6 = A(x +1) + B(x − 3)
(x − 3)(x +1) x − 3 x +1

∴ ⎧⎪⎨ x = 3 ⇒ 27 = 4A ⇒ A = 27 4
⎩⎪ x = −1 ⇒ −1 = −4B ⇒ B= 1

4

(∗) = x2 + 2x + 27 ∫ dx + 1 ∫ dx = x2 + 2x + 27 η x−3 + 1 η x+1 +c
2 4 x−3 4 x +1 2 4 4

= x2 + 2x + 1 η (x − 3)27 (x +1) + c
24

7.14.- ∫ ( x (3x + 7)dx − 3)
−1)(x − 2)(x

Solución.-

∫ (x (3x + 7)dx − 3) = ∫ Adx + ∫ Bdx + ∫ Cdx (∗)
−1)(x − 2)(x x −1 x−2 x−3

164

(3x + 7) = A+ B +C

(x −1)(x − 2)(x − 3) x −1 x − 2 x − 3

3x − 7 = A(x − 2)(x − 3) + B(x −1)(x − 3) + C(x −1)(x − 2) , luego:

⎧x = 1 ⇒ −4 = 2A ⇒ A = −2
∴⎨⎪x = 2 ⇒ −1 = −B ⇒ B = 1

⎩⎪x = 3 ⇒ 2 = 2C ⇒ C = 1

(∗) = −2∫ dx + ∫ dx + ∫ dx = −2 η x −1 + η x−2 + η x−3 +c
x −1 x−2 x−3

= η (x − 2)(x − 3) +c
(x −1)2

7.15.- ∫ dx dx
1
x3 +

Solución.-

∫ dx = ∫ dx x +1) = ∫ Adx + ∫ (Bx + C)dx (∗) , luego:
dx (x +1)(x2 − x +1 (x2 − x +1)

x3 +1

1 = A + (Bx + C) ⇒ 1 = A(x2 − x +1) + (Bx + C)(x +1)
(x +1)(x2 − x +1) x +1 (x2 − x +1)

⎧x = −1 ⇒ 1 = 3A ⇒ A = 1 A ⇒ C = 2
∴ ⎪⎪⎨ x = 0⇒1= A+C ⇒C 3 3

⎪ =1−

⎩⎪ x =1⇒1= A+ (B + C)2 ⇒1= 1 + 2B + 2C ⇒ 1 = B +C ⇒ B = 1 −C
3 3 3

⇒ B = − 1
3

(∗) = 1 ∫ dx + ∫ (− 1 x+ 2 3 )dx = 1 η + − 1 ∫ (x − 2)dx
3 x +1 3 −x + 1) 3 3 x2 − x +1
x 1
(x2

=1 η x +1 − 1 ∫ (2x − 4)dx = 1 η x +1 − 1 ∫ (2x −1− 3)dx
3 6 x2 − x +1 3 6 x2 − x +1

=1 η x +1 − 1 ∫ (2x −1)dx + 1 ∫ x2 dx
3 6 x2 − x +1 2 − x+1

∫= 1 η x +1 − 1 η x2 − x +1 + 1 dx

36 2 (x2 − x + 14) + 3
4

∫= 1 η x +1 − 1 η x2 − x +1 + 1 dx

36 2 (x − 12)2 + ( 3 2 )2

= 1 η x +1 − 1 η x2 − x +1 + 1 1 arcτ g x − 1 + c
2

36 23 3

22

= 1 η x +1 − 1 η x2 − x +1 + 3 arcτ g 2x −1 + c
36 33

165

= η 3 x +1 + 3 arcτ g 2x −1 + c
6 x2 − x +1 3 3

7.16.- ∫ (x + 5)dx
x2 − x+6

Solución.-

∫ (x + 5)dx = ∫ (x + 5)dx = ∫ Adx +∫ Bdx (∗) , luego:
x2 − x+6 (x + 3)(x − 2) (x + 3) (x − 2)

(x + 5) = (x A + (x B 2) ⇒ x + 5 = A( x − 2) + B(x + 3)
(x2 + x − 6) + 3) −

∴ ⎨⎪⎧ x = 2 ⇒ 7 = 5B ⇒ B = 75 2 5
⎪⎩ x = −3 ⇒ 2 = −5A ⇒ A=−

(∗) = − 2 ∫ dx + 7 ∫ dx = − 2 η x+3 + 2 η x−2 +c= 1 η (x − 2)7 +c
5 x+3 5 x−2 5 5 5 (x + 3)2

∫7.17.- (x2 +1)dx
x3 +1

Solución.-

(x2 +1)dx = Adx + (Bx + C)dx (∗) , luego:
∫ ∫ ∫ ∫(x2 +1)dx =
x3 +1 (x +1)(x2 − x +1) (x +1) (x2 − x +1)

(x2 + 1) = A + Bx + C ⇒ x2 +1= A( x 2 − x + 1) + (Bx + C )( x + 1)
x3 +1 (x +1) (x2 − x +1)

⎧ x = −1 ⇒ 2 = 3A ⇒ A = 23
∴ ⎨⎪⎪ x = 0⇒1 =
A + C ⇒ C = 1
⎪ 3

⎪⎩ x =1⇒ 2 = A + (B + C)2 ⇒ B = 1
3

(x2 +1)dx = (x2 +1)dx = 2 dx + 1 (x +1)dx
x3 +1 (x +1)(x2 − x +1) 3 (x +1) 3 (x2 − x +1)
∫ ∫ ∫ ∫(∗)

=2 η 1 ⎡ 1 (2x − 1) + 2 ⎤ dx 2 η 1 (2x −1)dx 1 dx
3 3 ⎣ 2 3 ⎦ 3 6 (x2 − x +1) 2 − x +1)
x +1 + ∫ = x +1 + ∫ + ∫
(x2 − x +1) (x2

∫= 2 η x +1 + 1 η x2 − x +1 + 1 dx
36 2 (x2 − x +1)

∫= 2 η x +1 + 1 η x2 − x +1 + 1 dx

36 2 (x2 − x + 14) + 3
4

∫= 4 η x +1 + 1 η x2 − x +1 + 1 dx

66 2 (x − 12)2 + ( 3 2 )2

166

=1 η (x +1)4 (x2 − x +1) + 1 1 arcτ g x − 1 + c
2

6 23 3

22

= 1 η (x +1)4 (x2 − x +1) + 3 arcτ g 2x −1 + c
6 33

∫7.18.- (x2 + 6)dx
(x −1)2 (x − 2)

Solución.-

∫ (x2 + 6)dx = ∫ Adx + ∫ Bdx + ∫ Cdx (∗) , luego:
(x −1)2 (x − 2) (x +1) (x −1)2 (x + 2)

(x (x2 + 6) 2) = A + (x B + C 2)
−1)2 (x − (x +1) − 1)2 (x +

x2 + 6 = A(x +1) + (x + 2) + B(x + 2) + C(x −1)2

⎧ x = 1⇒ 7 = 3B ⇒ B = 7
⎪⎪ x = −2 ⇒ 10 = 9C 3
⎨
∴ ⎪ ⇒ C = 10 9

⎪⎩ x = 0 ⇒ 6 = −2 A + B + C ⇒ A = − 1
9

(∗) = − 1 ∫ dx + 7 ∫ dx + 10 ∫ dx = − 1 η x −1 − 7 1 + 10 η x+2 +c
9 (x +1) 3 (x −1)2 9 (x + 2) 9 3 x −1 9

= 1 η (x + 2)10 − 7 + c
9 x −1 3(x −1)

∫7.19.- (x2 −1)dx

(x2 +1)(x − 2)

Solución.-

∫ (x2 −1)dx = ∫ Ax + B dx + ∫ Cdx (∗) , luego:
(x2 +1)(x − 2) (x2 +1) (x − 2)

(x2 (x2 −1) 2) = Ax +B + C 2) ⇒ x2 −1 = ( Ax + B)( x − 2) + C(x2 + 1)
+1)(x − (x2 + 1) (x −

⎧x = 2 ⇒ 3 = 5C ⇒ C = 3
⎪⎪ = 0 ⇒ 5
⎨
∴ x −1 = −2B + C ⇒ B = 4
5
⎪
⎪⎩x = 1 ⇒ 0 = −( A + B) + 2C ⇒ A = 2 5

(∗) = ∫ (25 x + 45)dx + ∫ 3 dx = 1 ∫ 2xdx + 4 ∫ dx + 53∫ dx
(x2 +1) 5 5 (x2 +1) 5 (x2 +1) x−2

(x − 2)

= 1 η x2 +1 + 4 arc x + 3 η x − 2 + c = 1 η (x2 +1)(x − 2)3 + 4 arc x + c
5 55 5 5

167

7.20.- ∫ x2 xdx − 5
− 4x

Solución.-

∫ x2 xdx = ∫ xdx = ∫ Adx + ∫ Bdx (∗) , luego:
− 4x −5 (x + 5)(x −1) (x + 5) (x −1)

x = A + B ⇒ x = A(x −1) + B(x + 5)
(x + 5)(x −1) (x + 5) (x −1)

⎧⎪ x = 1⇒1= 6B ⇒ B = 1
⎨ x = −5 ⇒ −5 = −6 A 6
∴ ⎩⎪
5
⇒ A= 6

(∗) = 5 ∫ dx + 1 ∫ dx = 5 η x+5 +1 η x −1 + c = 5 η (x + 5)5 (x −1) + c
6 (x + 5) 6 (x −1) 6 6 6

7.21.- ∫ x2 xdx − 3
− 2x

Solución.-

∫ x2 xdx −3 = ∫ (x xdx + 1) = ∫ Adx + ∫ Bdx (∗) , luego:
− 2x − 3)(x (x − 3) (x +1)

x = A + B ⇒ x = A(x +1) + B(x − 3)
(x − 3)(x +1) (x − 3) (x +1)

⎧⎪ x = −1 ⇒ −1 = −4B ⇒ B= 1
⎨ =3⇒ 3= 4A⇒ A = 3 4
∴
4
⎪⎩ x

(∗) = 3 ∫ dx + 1 ∫ B = 3 η x−3 + 1 η x+1 +c = 1 η (x − 3)3(x +1) + c
4 (x − 3) 4 (x +1) 4 4 4

7.22.- ∫ (x +1)dx
x2 + 4x −5

Solución.-

∫ (x +1)dx = ∫ (x +1)dx = ∫ Adx + ∫ Bdx (∗) , luego:
x2 + 4x −5 (x + 5)(x −1) (x + 5) (x −1)

(x2 x +1 5) = (x A + B ⇒ x +1 = A( x −1) + B(x + 5)
+ 4x − + 5) (x −1)

⎪⎧ x = 1⇒ 2 = 6B ⇒ B = 1
⎨ x = −5⇒ 3 = −4A 3
∴ ⎪⎩
2
⇒ −6A = 3

(∗) = 2 ∫ dx + 1 ∫ B = 2 η x+5 +1 η x −1 + c = 1 η (x + 5)2 (x −1) + c
3 (x + 5) 3 (x −1) 3 3 3

∫7.23.- x2dx

x2 + 2x +1
Solución.-

168

∫ x2 x2dx = ∫ ⎛⎜⎝1 − 2x +1 ⎞ dx = ∫ dx − ∫ (2x +1)dx = ∫ dx − ∫ (2x + 1)dx
+ 2x +1 x2 + 2x +1⎠⎟ x2 + 2x +1 (x + 1)2

= x − ⎡⎢⎣∫ Adx + ∫ Bdx ⎤ (∗) , luego:
(x +1) (x +1)2 ⎥⎦

2x +1 = A + B ⇒ 2x +1= A(x +1) + B
(x +1)2 (x +1) (x +1)2

∴ ⎧ x = −1 ⇒ −1 = B ⇒ B = −1
⎨ x = 0⇒1 = A+B⇒ A= 2
⎩

(∗) = x − ⎡ 2∫ ( dx − ∫ ( x dx ⎤ = x − ⎡⎢⎣2 η x+1 + x 1 5 ⎤ + c = x−2 η x+1 − 1 +c
⎣⎢ x +1) + 1)2 ⎦⎥ + ⎦⎥ x+5

7.24.- ∫ dx
x(x +1)2

Solución.-

∫ dx =∫ Adx + ∫ ( Bdx + ∫ ( Cdx (∗) , luego:
x(x +1)2 x x +1) x +1)2

1 = A + B + C ⇒1= A(x +1)2 + Bx(x +1) + Cx
x(x +1)2 x (x +1) (x +1)2

⎧x = −1 ⇒ 1 = −C ⇒ C = −1
⎪
∴ ⎨ x = 0 ⇒ 1= A ⇒ A = 1

⎪⎩x = 1 ⇒ 1 = 4A + 2B + C ⇒ B = −1

(∗) = ∫ dx −∫ dx −∫ dx = η x− η x +1 + 1 +c = η x + 1 +c
x (x +1) (x +1)2 x +1 x+1 x+1

7.25.- ∫ (x dx + 1)
+ 1)( x 2

Solución.-

∫ dx = ∫ Adx + ∫ Bx + C dx (∗) , luego:
(x +1)(x +1)2 x +1 (x2 +1)

1 + 1) = A+ Bx + C ⇒1= A( x 2 +1) + (Bx + C)(x +1)
(x +1)(x2 x +1 (x2 +1)

⎧ x = −1 ⇒ 1 = 2A ⇒ A = 1
⎪⎪ x = 2
⎨ x =
∴ ⎪ 0⇒1= A+ C ⇒ C = 1
⎪⎩ 2

1⇒1 = 2A + (B + C)2 ⇒ B = −1
2

(∗) = 1 ∫ dx + ∫ (−12 x + 12)dx = 1 η x + 1 − 1 ∫ x −1 dx
2 (x +1) (x2 +1) 2 2 (x2 +1)

=1 η x +1 − 1 ∫ ( 2xdx + 1 ∫ dx = 1 η x+1 − 1 η x2 +1 + 1 arcτ gx + c
2 4 x2 +1) 2 (x2 +1) 2 4 2

169

= 1 η (x +1)2 + 1 arcτ gx + c
4 x2 +1 2

7.26.- ∫ x(x2 dx + 1)
+x

Solución.-

∫ x(x2 dx + 1) = ∫ Adx + ∫ Bx + C dx (∗) , luego:
+x x (x2 + x +1)

x(x2 1 = A+ Bx + C ⇒1= A( x 2 + x +1) + (Bx + C)x
+ x +1) x (x2 + x +1)

⎧x = 0 ⇒1= A⇒ A =1
⎪
∴ ⎨ x =1 ⇒ 1 = 3A + B + C ⇒ B + C = −2

⎩⎪x = −1 ⇒ 1 = A + B − C ⇒ B − C = 0

(∗) = ∫ dx − ∫ (x + 1)dx = η x +1 − 1 ∫ (2x + 2)dx
x (x2 + x +1) 2 (x2 + x +1)

= η x − 1 ∫ (2x +1) +1 = η x − 1 ∫ (2x +1)dx − 1 ∫ ( x 2 dx
2 (x2 + x +1) dx 2 (x2 + x +1) 2 + x +1)

∫= η x − 1 η x2 + x +1 − 1 dx

2 2 (x2 + x + 14) + 3
4

∫= η x − 1 η x2 + x +1 − 1 dx

2 2 (x + 12)2 + ( 3 2 )2

= η x − 1 η x2 + x +1 − 1 1 arcτ g x + 1 + c
2

2 23 3
22

= η x − 1 η x2 + x +1 − 3 arcτ g 2x +1 + c
2 33

∫7.27.- 2x2 + 5x −1dx

x3 + x2 − 2x

Solución.-

∫ (2x2 + 5x −1)dx = ∫ Adx + ∫ Bdx +∫ Cdx (∗) , luego:
(x3 + x2 − 2x) x (x −1) (x + 2)

2x2 + 5x −1 = A + B + C
(x3 + x2 − 2x) x (x −1) (x + 2)

2x2 + 5x −1 = A(x −1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x −1)

⎧x = 0 ⇒ −1 = −2A ⇒ A = 1
⎪⎪ =1⇒ 6 = 3B ⇒ B = 2 2
⎨
∴ x

⎪ x = −2 ⇒ −3 = 6C ⇒ C = − 1 2
⎩⎪

170

(∗) = 1 ∫ dx + 2∫ dx − 1 ∫ ( dx = 1 η x +2 η x −1 − 1 η x+2 +c
2 x (x −1) 2 x + 2) 2 2

∫7.28.- x2 + 2x + 3 dx

(x −1)(x +1)2

Solución.-

∫ ( x2 + 2x +3 dx = ∫ ( Adx + ∫ ( Bdx + ∫ ( Cdx (∗) , luego:
x− 1)( x + 1)2 x −1) x +1) x +1)2

x2 + 2x + 3 = A + B + C
(x −1)(x +1)2 (x −1) (x −1) (x +1)2
x2 + 2x + 3 = A(x +1)2 + B(x −1)(x +1) + C(x −1)

∴ ⎧ x = 1⇒ 6 = 4 A⇒ A= 32 −1
⎪⎪ x = −1⇒ 2 = −2C ⇒C =
⎨
⎪
⎪⎩ x = 0 ⇒ 3 = A − B − C ⇒ B = − 1
2

(∗) = 3 ∫ dx − 1 ∫ dx − ∫ (x dx =3 η x −1 − 1 η x+1 + 1 +c
2 x −1 2 x +1 + 1)2 2 2 x +1

= 1 η (x −1)3 + 1 + c
2 x+1 x +1

∫7.29.- 3x2 + 2x − 2dx

x3 −1

Solución.-

2 + 2x − 3x2 + 2 − 2 Adx + (Bx + C)dx
x3 −1 − 1)( x 2 x + x −1 (x2 + x +1)
∫ ∫ ∫ ∫3x 2dx = x = (∗) , luego:
+ dx
( x 1)

3x2 + 2x − 2 = A + Bx + C
(x −1)(x2 + x +1) x −1 (x2 + x +1)
3x2 + 2x − 2 = A(x2 + x +1) + (Bx + C)(x −1)

⎧x =1⇒ 3 = 3A ⇒ A =1
⎪
∴ ⎨ x = 0 ⇒ −2 = A − C ⇒ C = 3

⎪⎩x = −1 ⇒ −1 = A + (−B + C)(−2) ⇒ B = 2

(∗) = ∫ dx + ∫ (2x + 3)dx = η x −1 + ∫ (2x + 1) + 2dx
x −1 (x2 + x +1) (x2 + x +1)

= η x −1 + ∫ (2x +1)dx + 2∫ (x2 dx
(x2 + x +1) + x +1)

∫= η x −1 + η x2 + x +1 + 2 dx

(x + 12)2 + ( 3 2 )2

171

= η (x −1)(x2 + x +1) + 2 1 arcτ g x + 1 + c
2

33
2

= η (x −1)(x2 + x +1) + 4 3 arcτ g 2x +1 + c
33

∫7.30.- x4 − x3 + 2x2 − x + 2dx

(x −1)(x2 + 2)2

Solución.-

4 − x3 + 2x 2 −x+ 2dx Adx + (Bx + C)dx + (Dx + E)dx
(x −1)(x2 + 2)2 x −1 (x2 + 2) (x2 + 2)2
∫ ∫ ∫ ∫x = (∗) , luego:

x4 − x3 + 2x2 − x + 2 = A + Bx + C + Dx + E
(x −1)(x2 + 2)2 x −1 (x2 + 2) (x2 + 2)2

x4 − x3 + 2x2 − x + 2 = A(x2 + 2)2 + (Bx + C)(x −1)(x2 + 2) + (Dx + E)(x −1)

= A(x4 + 4x2 + 4) + (Bx + C)(x3 + 2x − x2 − 2) + Dx2 − Dx + Ex − E

= Ax4 + 4Ax2 + 4A + Bx4 + 2Bx2 − Bx3 − 2Bx + Cx3 + 2Cx − Cx2 − 2C

⇒ +Dx2 − Dx + Ex − E
= ( A + B)x4 + (C − B)x3 + (4A − C + 2B + D)x2 + (−2B + 2C − D + E)x + (4A − 2C − E)

Igualando coeficientes, se tiene:

⎛ A+ B =1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ − B+ C = −1 ⎟

⎜ 4 A+2B− C + D =2 ⎟∴ A = 1 , B = 23,C = − 1 , D = −1, E = 0
⎜ −2B+2C − D+ = −1⎟⎟ 3 3
⎜
E

⎜⎝ 4 A − 2C − E = 2 ⎠⎟

(∗) = 1 ∫ dx + ∫ (23 x − 13)dx − ∫ xdx
3 x −1 (x2 + 2) (x2 + 2)2

= 1 ∫ dx + 1 ∫ 2xdx − 1 ∫ dx 2) − 1 ∫ 2xdx
3 x −1 3 (x2 + 2) 3 (x2 + 2 (x2 + 2)2

=1 η x −1 + 1 η x2 + 2 − 2 arcτ g x + 1 1 2 + c
3 3 6 2 2 x2 +

=1 η (x −1)(x2 + 2) − 2 arcτ g x + 1 2) + c
3 6 2 2(x2 +

∫7.31.- 2 x2 − 7x −1 dx
x3 + x2 − x −1

Solución.-

∫ 2x2 − 7x −1 dx = ∫ 2x2 − 7x −1 dx = ∫ Adx + ∫ Bdx + ∫ Cdx (∗) , luego:
x3 + x2 − x −1 (x −1)(x +1)2 x −1 (x +1) (x +1)2

172

2x2 − 7x −1 = A + B + C
(x3 + x2 − x −1) x −1 (x +1) (x +1)2
2x2 − 7x −1 = A(x +1)2 + B(x −1)(x +1) + C(x −1)

∴ ⎧ x = −1 ⇒ 8 = −2C ⇒ C = −4
⎪⎪ x =1 ⇒ −6 = 4A⇒ A = − 3
⎨
⎪ 2

⎩⎪x = 0 ⇒ −1 = A − B − C ⇒ B = 7 2

(∗) = − 3 ∫ dx + 7 ∫ dx − 4∫ dx = − 3 η x −1 + 7 η x+1 + 4 +c
2 x −1 2 x +1 (x +1)2 2 2 x +1

= − 1 η (x +1)7 + 4 + c
2 (x −1)3 x +1

∫7.32.- 3x2 + 3x +1 dx
+1
x3 + 2x2 + 2x

Solución.-

3x2 + 3x +1 (3x2 + 3x +1)dx = Adx + (Bx + C)dx
+2 x2 + 2x + (x +1)(x2 + x +1) x +1 (x2 + x +1)
∫ ∫ ∫ ∫x3 dx = (∗) , luego:
1

3x2 + 3x +1 = A + Bx + C
(x +1)(x2 + x +1) x +1 (x2 + x +1)

3x2 + 3x +1 = A(x2 + x +1) + (Bx + C)(x +1)

⎧x = −1 ⇒ A = 1
⎪
∴ ⎨ x = 0 ⇒ 1= A+ C ⇒ C = 0

⎪⎩x = 1 ⇒ 7 = 3A + (B + C)(2) ⇒ B = 2

(∗) = ∫ dx + ∫ 2xdx = η x +1 + ∫ (2x + 1) −1dx
x +1 (x2 + x +1) (x2 + x +1)

= η x +1 +∫ (2x +1)dx − ∫ (x2 dx
(x2 + x +1) + x +1)

∫= η x +1 + η x2 + x +1 − dx

(x2 + x + 14) + ( 3 2 )2

= η x +1 + η x2 + x +1 − 1 arcτ g x + 1 + c
2

33
22

= η (x +1)(x2 + x +1) − 2 3 arcτ g 2x +1 + c
33

∫7.33.- x3 + 7x2 − 5x + 5
(x −1)2 (x +1)2 dx

Solución.-

173

∫ ∫ ∫x3 + 7x2

(x −1)2
−5x + 5 = Adx + Bdx + ∫ ( Cdx + ∫ ( Ddx + ∫ ( Edx (∗) , luego:
(x +1)3 dx x −1 (x −1)2 x +1) x +1)2 x +1)3

x3 + 7x2 − 5x + 5 = A + B + C + D + E
(x −1)2 (x +1)3 x −1 (x −1)2 x +1 (x +1)2 (x +1)3

x3 + 7x2 − 5x + 5 = A(x −1)(x +1)3 + B(x +1)3 + C(x −1)2 (x +1)2

⇒ +D(x −1)2 (x +1) + E(x −1)2

= Ax4 + 2Ax3 − 2Ax − A + Bx3 + 3Bx2 + 3Bx + B + Cx4 − 2Cx2 + C

⇒ +Dx3 − Dx2 − Dx + D + Ex2 − 2Ex + E
= ( A + C)x4 + (2A + B + D)x3 + (3B − 2C − D + E)x2

⇒ +(−2A + 3B − D − 2E)x + (− A + B + C + D + E)

Igualando coeficientes, se tiene:

⎛A +C = 0⎞

⎜ 2A + B +D = 1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ + 3 B − 2C − D + E = 7 ⎟ ∴ A = 0, B = 1,C = 0, D = 0, E = 4
⎜ ⎟
⎜ −2 A +3B − D − 2 E = −5 ⎟

⎝⎜ − A + B + C + D + E = 2 ⎟⎠

∫ ∫(∗) = dx + 4 dx = − 1 − 2 + c = − x2 − 4x −1 + c
(x −1)2 (x +1)3 x −1 (x +1)2 (x −1)(x +1)2

∫7.34.- 2xdx

(x2 + x +1)2

Solución.-

∫ ∫ ∫2xdx = (Ax + B)dx + (Cx + D)dx (∗) , luego:
(x2 + x +1)2 x2 + x +1 (x2 + x +1)2

2x = Ax + B + Cx + D
(x2 + x +1)2 x2 + x +1 (x2 + x +1)2

2x = ( Ax + B)(x2 + x +1) + Cx + D ⇒ 2x = Ax3 + Ax2 + Ax + Bx2 + Bx + B + Cx + D

= Ax3 + ( A + B)x2 + ( A + B + C)x + B + D , igualando coeficientes se tiene:

⎛ A = 0⎞
⎜ ⎟
⎜ A + B = 0 ⎟

⎜ A+B +C =2⎟
⎜ ⎟
⎝ + D = 0 ⎠

∴ A = 0, B = 0,C = 2, D = 0

(∗) = ∫ 2xdx , de donde el método sugerido pierde aplicabilidad; tal como se
(x2 + x +1)

había planteado la técnica trabajada debe ser sustituida por otra:

∫ ∫ ∫2xdx = (2x +1)dx − dx

(x2 + x +1) (x2 + x +1) (x2 + x +1)2

174

= ∫ (2x +1)dx − 16 ∫ dx (∗∗)
(x2 + x +1) 9 ⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎣⎢ 2 + 1⎬⎪⎫
⎤ ⎪⎭
2 (x + 12) ⎥⎦

3

sea: u = 2 3 (x + 12), dx = 3 2 du , entonces:

∫(∗∗) − 1 − 16 3 du , trabajando la integral sustituyendo

x2 + x +1 9 2 (u2 +1)2

trigonométricamente:

∫= − 1 − 8 3 sec2 θ dθ , ya que: u =τ gθ , du = sec2 θ dθ
x2 + x +1 9 sec4 θ

= − x2 1 +1 − 83 ⎡ 1 arcτ gu + 1 u ⎤
+x 9 ⎢⎣ 2 2 (u2 +1) ⎥⎦

⎧ 2 3 (x + 12) ⎫
1 83 ⎪1 2 ⎡4 (x + 12)2 +1⎤⎦ ⎪
= − +x − 9 ⎨ arcτ g 3 (x + 12) + ⎣3 ⎬ + c
x2 +1 ⎩⎪ 2 ⎭⎪
2

= − 1 − 83 ⎪⎧ 1 arcτ g 2 (x + 12) + x + 1 ⎪⎫ + c
+x 9 3 2 ⎬
⎨ ⎭⎪
x2 +1 ⎪⎩ 2 3 ⎣⎡43 (x + 12)2 + 1⎤⎦

= − x2 1 +1 − 43 arcτ g 2 (x + 12) − 8 ⎡⎣ 4 3 (x + 12) + 1⎦⎤ + c
+x 9 3 9 (x + 12)2

x 2 + 2x + 3dx
x3 −x
∫7.35.-

Solución.-

∫ x2 + 2x +3 = ∫ x2 + 2x + 3 = ∫ Adx + ∫ Bdx + ∫ Cdx (∗) , luego:
x3 − x dx dx x (x −1) (x +1)

x(x −1)(x +1)

x2 + 2x + 3 = A + B + C
x(x −1)(x +1) x (x −1) (x +1)

x2 + 2x + 3 = A(x −1)(x +1) + Bx(x +1) + Cx(x −1)

⎧x = 0 ⇒ 3 = − A ⇒ A = −3
⎪
∴ ⎨ x = −1 ⇒ 2 = 2C ⇒ C = 1

⎩⎪x = 1 ⇒ 6 = 2B ⇒ B = 3

(∗) = −3∫ dx + 3∫ ( dx + ∫ dx = −3 η x +3 η x −1 + η x+1 +c
x x −1) (x +1)

= η (x −1)3(x +1) +c
x3

175

7.36.- ∫ ( (2x2 − 3x + 5)dx
x + 2)(x −1)(x − 3)

Solución.-

∫ 2x2 − 3x + 5 = ∫ Adx +∫ Bdx +∫ Cdx (∗) , luego:
dx (x + 2) (x −1) (x − 3)

(x + 2)(x −1)(x − 3)

2x2 − 3x + 5 = A + B + C
(x + 2)(x −1)(x − 3) x + 2 x −1 x − 3

2x2 − 3x + 5 = A(x −1)(x − 3) + B(x + 2)(x − 3) + C(x + 2)(x −1)

⎧x = 1 ⇒ 4 = −6B ⇒ B = − 2 3
⎪
⎨⎪ x
∴ ⎪ = 3 ⇒ 14 = 10C ⇒ C = 7 5

⎪⎩ x = −2 ⇒ 19 = 15 A ⇒ A = 19
15

(∗) = 19 ∫ dx − 2 ∫ dx + 7 ∫ dx = 19 η x+2 −2 η x −1 + 7 η x−3 +c
15 x+2 3 x −1 5 x−3 15 3 5

∫7.37.- 3x2 + x − 2 dx
1)
( x −1)( x2 +

Solución.-

∫ 3x2 + x − 2 = ∫ Adx +∫ (Bx + C)dx (∗) , luego:
dx (x −1) (x2 +1)
(x − 1)( x 2 + 1)

3x2 + x − 2 = A + Bx + C
(x −1)(x2 +1) x −1 x2 +1

3x2 + x − 2 = A(x2 +1) + (Bx + C)(x −1)

⎧x =1⇒ 2 = 2A⇒ A =1
∴⎨⎪x = 0 ⇒ −2 = A − C ⇒ C = 3

⎪⎩x = 2 ⇒ 12 = 5A + 2B + C ⇒ B = 2

(∗) = ∫ dx + ∫ (2x + 3)dx = ∫ dx + ∫ 2xdx + 3∫ dx
x −1 x2 +1 x −1 x2 +1 x2 +1

= η x −1 + η x2 +1 + 3arcτ gx + c = η (x −1)(x2 +1) + 3arcτ gx + c

7.38.- ∫ (x + 5)dx
x3 − 3x + 2

Solución.-

∫ (x + 5)dx = ∫ (x + 5)dx = ∫ Adx + ∫ Bdx + ∫ Cdx (∗) , luego:
x3 − 3x + 2 (x −1)2 (x + 2) (x −1) (x −1)2 (x + 2)

x+5 = A + B + C
x3 − 3x + 2 x −1 (x −1)2 (x + 2)

x + 5 = A(x −1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x −1)2

176

⎧⎪x = 1 ⇒ 6 = 3B ⇒ B = 2
∴ ⎨⎪ x
⎪ = − 2 ⇒ 3 = 9C ⇒ C = 1
3

⎩⎪ x = 0 ⇒ 5 = −2 A + B + C ⇒ A = − 1
3

(∗) = − 1 ∫ dx + 2∫ dx + 1 ∫ dx = − 1 η x −1 − 2 + 1 η x+2 +c
3 (x −1) (x −1)2 3 (x + 2) 3 x −1 3

=1 η x+2 − 2 +c
3 x −1 x −1

∫7.39.- ( 2x3 + 3x2 + x −1 dx
x +1)(x2 + 2x + 2)2

Solución.-

∫ ∫ ∫ ∫(2x3 + 3x2 + x −1)dx =

(x +1)(x2 + 2x + 2)2
Adx + (Bx + C)dx + (Dx + E)dx (∗) , luego:
x +1 (x2 + 2x + 2) (x2 + 2x + 2)2

2x3 + 3x2 + x −1 = A + Bx + C + Dx + E
(x +1)(x2 + 2x + 2)2 x +1 (x2 + 2x + 2) (x2 + 2x + 2)2

2x3 + 3x2 + x −1 = A(x2 + 2x + 2)2 + (Bx + C)(x2 + 2x + 2)(x +1) + (Dx + E)(x +1)

= Ax4 + 4Ax3 + 8Ax2 + 8Ax + 4A + Bx4 + 3Bx3 + 4Bx2 + 2Bx + Cx3 + 3Cx2 + 4Cx

⇒ +2C + Dx2 + Dx + Ex + E
= ( A + B)x4 + (4A + 3B + C)x3 + (+8A + 4B + 3C + D)x2

⇒ +(8A + 2B + 4C + D + E)x + (4A + 2C + E)

Igualando coeficientes, se tiene:

⎛A +B = 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 4 A +3B +C = 2 ⎟

⎜ 8 A + 4 B + 3C + D = 3 ⎟ ∴ A = −1, B = 1,C = 3, D = −2, E = −3
⎜ ⎟
⎜ 8 A +2B + 4C +D+E = 1 ⎟

⎝⎜ 4 A +2C + E = −1 ⎟⎠

(∗) = −∫ dx + ∫ (x + 3)dx − ∫ (2x + 3)dx
x +1 (x2 + 2x + 2) (x2 + 2x + 2)2

∫ ∫= − η x −1 + 1 (2x + 6)dx − (2x + 2) +1dx

2 (x2 + 2x + 2) (x2 + 2x + 2)2

(2x + 2) + (2x + 2)dx −
(x2 + 2x + (x2 + 2x + 2)2
= − η x −1 + 1 4 dx − dx
2) (x2 + 2x + 2)2
∫ ∫ ∫2

(2x + 2)dx dx − (2x + 2)dx − dx
(x2 + 2x + 2) (x2 + 2x + 2) (x2 + 2x + 2)2 (x2 + 2x + 2)2
= − η x −1 + 1 + 2

∫ ∫ ∫ ∫2

dx + 1 1 −
(x +1)2 +1 2 x2 + 2x + 2
= − η x −1 + 1 dx
⎡⎣(x +1)2 +1⎤⎦2
∫ ∫2
η x2 + 2x + 2 + 2

177

= − η x −1 + 1 η x2 + 2x + 2 + 2 arcτ g(x +1)
2

⇒ + 1 x2 + 1 + 2 − 1 x2 x +1 2 − 1 arcτ g(x + 1) + c
2 2x 2 + 2x + 2

=η x2 + 2x + 2 + 3 arcτ g(x +1) − 1 x2 x +c
x +1 22 + 2x + 2

∫7.40.- (2x2 + 3x −1)dx

x3 + 2x2 + 4x + 2
Solución.-

∫ ∫ ∫ ∫(2x2 + 3x −1)dx = (2x2 + 3x −1)dx = Adx + (Bx + C)dx (∗) , luego:

x3 + 2x2 + 4x + 2 (x +1)(x2 + 2x + 2) (x +1) (x2 + 2x + 2)

(2x2 + 3x −1) = A + (Bx + C)
(x +1)(x2 + 2x + 2) (x +1) (x2 + 2x + 2)

2x2 + 3x −1 = A(x2 + 2x + 2) + (Bx + C)(x +1)

⎧x = −1 ⇒ −2 = A ⇒ A = −2
∴⎨⎪x = 0 ⇒ −1 = 2A + C ⇒ C = 3

⎩⎪x = 1 ⇒ 4 = 5A + (B + C)(2) ⇒ B = 4

(∗) = −2∫ dx +∫ (4x + 3)dx = −2 η x +1 + 2∫ (2x + 2) −1
(x +1) x2 + 2x + 2 dx
x2 + 2 x + 2

= −2 η x +1 + 2∫ (2 x + 2)dx − 2∫ x2 dx
x2 + 2x + 2 + 2x + 2

= −2 η x +1 + 2 η x2 + 2x + 2 − 2 arcτ g(x +1) + c

7.41.- ∫ (2x +1)dx
3x3 + 2x −1

Solución.-

∫ (2x +1)dx = ∫ (x (2x +1)dx = ∫ Adx +∫ (Bx + C)dx (∗) , luego:
3x3 − 2x −1 −1)(3x2 + 3x +1) (x −1) (3x2 + 3x +1)

(2x +1) = A + (Bx + C)
(3x3 − 2x −1) (x −1) (3x2 + 3x +1)

2x +1 = A(3x2 + 3x +1) + (Bx + C)(x −1)

⎧x = 1⇒ 3 = 7 A ⇒ A = 3
⎪ 7
∴ ⎪⎨ x
⎪ = 0 ⇒1 = A− C ⇒ C = − 4 7

⎪⎩ x = −1 ⇒ −1 = A + (−B + C)(−2) ⇒ B = − 9
7

(∗) = 3 ∫ dx − 1 ∫ (9x + 4)dx = 3 η x −1 − 1 9 ∫ (6x + 3 − 13)dx
7 (x −1) 7 3x2 + 3x +1 7 7 6 3x2 + 3x +1

178

=3 η x −1 − 3 ∫ (6x + 3)dx + 1 ∫ 3x2 dx + 1
7 14 3x2 + 3x +1 14 + 3x

∫= 3 η x −1 − 3 η 3x2 + 3x +1 + 1 dx

7 14 14 3( x + 12)2 + 1
4

∫= 3 η x −1 − 3 η 3x2 + 3x +1 + 2 dx

7 14 7 12(x + 12)2 +1

=3 η x −1 − 3 η 3x2 + 3x +1 + 3 arcτ g2 3(x + 12) + c
7 14 21

∫7.42.- x4 − 2x2 + 3x + 4 dx

(x −1)3 (x2 + 2x + 2)

Solución.-

x4 − 2x2 + 3x + 4 dx Adx + Bdx + Cdx + (Dx + E)dx
x− 1)3 (x2 + 2x + 2) (x −1) (x −1)2 (x −1)3 (x2 + 2x + 2)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫( = (∗) , luego:

x4 − 2x2 + 3x + 4 = A + B + C + Dx + E
(x −1)3(x2 + 2x + 2) (x −1) (x −1)2 (x −1)3 (x2 + 2x + 2)

x4 − 2x2 + 3x + 4 = A(x −1)2 (x2 + 2x + 2) + B(x −1)(x2 + 2x + 2)

⇒ +C(x2 + 2x + 2) + (Dx + E)(x −1)3

x4 − 2x2 + 3x + 4 = A(x2 − 2x +1)(x2 + 2x + 2) + B(x3 + 2x2 + 2x − x2 − 2x − 2)

⇒ +C(x2 + 2x + 2) + (Dx + E)(x3 − 3x2 + 3x −1)

x4 − 2x2 + 3x + 4 = Ax4 − Ax2 − 2 Ax + 2 A + Bx3 + Bx2 − 2B + Cx2 + 2Cx + 2C

⇒ +Dx4 − 3Dx3 + 3Dx2 − Dx + Ex3 − 3Ex2 + 3Ex − E
x4 − 2x2 + 3x + 4 = (A + D)x4 + (B − 3D + E)x3 + (− A + B + C + 3D − 3E)x2

⇒ +(−2A + 2C − D + 3E)x + (−2A − 2B + 2C − E)

Igualando coeficientes se tiene:

⎛A +D = 1⎞

⎜ B −3D + E = 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ − A + B + C +3D −3E = −2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ −2 A +2C −D +3E = 3⎟

⎜⎝ 2A −2B +2C −E = 4⎟⎠

∴ A = 106125 , B = 9 25 , C = 6 5 , D = 19125 , E = 102
125

(∗) = 106 ∫ dx − 9 ∫ dx + 6 ∫ dx + 1 ∫ (19x +102)dx
125 x +1 25 (x −1)2 5 (x −1)3 125 (x2 + 2x + 2)

9 1+ 6 1 (x +10219)dx
25 x −1 5 (−2)(x −1)2 (x2 + 2x + 2)
∫= 106 η x −1 + + 19
125 125

179

9 −3 19 (2x + 2) + 8 14
25(x −1) 5(x −1)2 250 (x2 + 19
∫= 106 η x −1 + + dx
125 2x + 2)

= 106 3 19 dx
− 250 (x2 + 2x +1) +1
∫125
η x −1 + 9 − 5( x 1)2 + η x2 + 2x + 2 + 19 166
25(x −1) 250 19

= 106 η x −1 + 9 − 3 + 19 η x2 + 2x + 2 + 166 dx
∫125 25(x −1) 5(x −1)2 250
250 (x +1)2 +1

= 106 η x −1 + 9 − 3 + 19 η x2 + 2x + 2 + 166 arcτ g(x +1) + c
125 25(x −1) 5(x −1)2 250 250

∫7.43.- et dt

e2t + 3et + 2

Solución.-

∫ ∫etdt = (et et dt + 2) (∗) , Sea: u = et +1, du = etdt; et +2 = u +1
+ 2)(et
e2t + 3et + 2

Luego:

(∗) ∫ (u du = ∫ Adu +∫ Bdu (∗∗)
+ 1)u (u +1) u

1 = A + B ⇒ 1 = Au + B(u +1)
(u +1)u (u +1) u

∴ ⎧u = 0 ⇒1= B⇒ B =1 −1
⎨⎩u = − 1⇒1= −A ⇒ A=

(∗∗) = −∫ du + ∫ du = − η u +1 + η u + c = − η et + 2 + η et +1 + c
(u +1) u

= η et +1 + c
et + 2

7.44.- ∫ s e nθ dθ − 2
cos2 θ + cosθ

Solución.-

∫ s e nθ dθ −2 = ∫ s e nθ dθ −1) (∗) ,
cos2 θ + cosθ (cosθ + 2)(cosθ

Sea: u = cosθ −1, du = − s e nθ dθ , cosθ + 2 = u + 3

Luego:

(∗) ∫ −du = −∫ du 3) = −∫ Adu − ∫ Bdu (∗∗)
(u + 3)u u(u + u u+3

1 = A + B ⇒ 1 = A(u + 3) + Bu
u(u + 3) u u + 3

⎧⎪u = 0 ⇒1 = 3A ⇒ A = 1
⎨ = − 3⇒ 1 = −3B 3
∴ ⎪⎩u
1
⇒B=− 3

180

(∗∗) = − 1 ∫ du + 1 ∫ du = − 1 η u +1 η u+3 +c
3 u 3 (u + 3) 3 3

= − 1 η cosθ −1 + 1 η cosθ + 2 + c , Como: cosθ < 1, se tiene:
33

=−1 η 1− cosθ +1 η 2 + cosθ +c = 1 η 2 + cosθ +c
3 3 3 1− cosθ

∫7.45.- 4 x4 − 2x3 − x2 + 3x + 1dx
(x3 + x2 − x −1)

Solución.-

4 − 2x3 − 2 + 3x + ⎛ 9x2 + x− 5⎞
(x3 + x2 x −1) ⎜ x3 + x2 −x
∫ ∫4x x 1dx = ⎝ 4x − 6 + ⎟ dx
− ⎠
−1

(9x2 + x − 5)dx = 2x2 − 6x + (9x2 + x − 5)dx
x3 + x2 − x −1 x3 + x2 − x −1
∫ ∫ ∫ ∫=
4dx − 6dx + (∗)

Trabajando sólo la integral resultante:

∫ (9x2 + x − 5)dx = ∫ (9x2 + x − 5)dx = ∫ Adx + ∫ Bdx + ∫ Cdx (∗∗) , luego:
x3 + x2 − x −1 (x +1)2 (x −1) (x +1) (x +1)2 (x −1)

(9x2 + x − 5) = A + B + C
(x3 + x2 − x −1) (x +1) (x +1)2 x −1

= 9x2 + x − 5 = A(x +1)(x −1) + B(x −1) + C(x +1)2

⎧ x = 1 ⇒ 5 = 4C ⇒ C = 5 4
⎪
⎪
∴ ⎨ x = −1 ⇒ 3 = −2B ⇒ B = − 3 2
⎪
⎪⎩ x = ⇒ −5 = −A − + ⇒ = 31
0 B C A 4

(∗∗) = 31 ∫ dx − 3 ∫ dx + 5 ∫ dx = 31 η x +1 + 3 + 5 η x −1 + c
4 (x +1) 2 (x +1)2 4 (x −1) 4 2(x +1) 4

(∗) = 2x2 − 6x + 31 η x +1 + 3 + 5 η x −1 + c
4 2(x +1) 4

∫7.46.- 3x4dx
(x2 +1)2

Solución.-

3x4dx = 2 +1
+ 1)2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫(x2 +1)2
(x4 3x4dx = 3 ⎡ − 2x ⎤ = 3 dx − 3 2x2 +1
+ 2x2 +1) ⎢1 (x2 ⎥dx (x2 +1)2 dx
⎣ ⎦

∫= 3x − 3 2x2 +1 dx (∗)
(x2 +1)2

Trabajando sólo la integral resultante:

∫ ∫ ∫(2x2 +1)dx =
(x2 +1)2
( Ax + B)dx + (Cx + D)dx (∗∗) , luego:
(x2 +1) (x2 +1)2

181

(2x2 +1) = Ax +B + Cx + D ⇒ 2x2 +1= ( Ax + B)( x 2 + 1) + Cx + D
(x2 +1)2 (x2 + 1) (x2 +1)2

⇒ 2x2 +1 = Ax3 + Ax + Bx2 + B + Cx + D ⇒ 2x2 +1 = Ax3 + Bx2 + ( A + C)x + (B + D)
Igualando coeficientes: A = 0, B = 2, A + C = 0 ⇒ C = 0, B + D = 1 ⇒ D = −1

dx − dx 2 arcτ gx − 1 ⎛ arcτ x ⎞
(x2 +1) (x2 +1)2 2 ⎜⎝ + x2 ⎠⎟
∫ ∫(∗∗) = 2 = gx + 1 + c

= 3 arcτ gx − x x2 ) + c
2 2(1 +

(∗) = 3x − 9 arcτ gx − x x2 ) + c
2 2(1 +

∫7.47.- (2x2 + 41x − 91)dx
x3 − 2x2 −11x +12

Solución.-

∫ ∫(2x2 + 41x − 91)dx = (2x2 + 41x − 91)dx
x3 − 2x2 −11x +12 (x −1)(x + 3)(x − 4)

= ∫ (2x2 + 41x − 91)dx = ∫ Adx + ∫ Bdx + ∫ Cdx (∗)
(x −1)(x + 3)(x − 4) x −1 x+3 x−4

(2x2 + 41x − 91) = A + B + C
(x −1)(x + 3)(x − 4) x −1 x + 3 x − 4
(2x2 + 41x − 91) = A(x + 3)(x − 4) + B(x −1)(x − 4) + C(x −1)(x + 3)

⎧x = −3 ⇒ 18 −123 − 91 = B(−4)(−7) ⇒ B = −7
⎪
∴ ⎨ x = 4 ⇒ 32 + 164 − 91 = C(3)(7) ⇒ C = 5

⎩⎪x = 1 ⇒ 2 + 41− 91 = A(4)(−3) ⇒ A = 4

(∗) = 4∫ dx − 7∫ ( dx + 5∫ dx = 4 η x −1 −7 η x+3 +5 η x−4 +c
(x −1) x + 3) (x − 4)

= η (x −1)4 (x − 4)5 +c
(x + 3)7

∫7.48.- (2x4 + 3x3 − x −1)dx
(x −1)(x2 + 2x + 2)2

Solución.-

2x4 + 3x3 − x −1 Adx + (Bx + C)dx (Dx + E)dx
x −1)(x2 + 2x + 2) (x −1) (x2 + 2x + 2) (x2 + 2x + 2)2
∫ ∫ ∫ ∫( 2 dx = + (∗) , luego:

2x4 + 3x2 − x −1 = A + ( Bx + C 2) + ( x2 Dx + E 2)2
(x −1)(x2 + 2x + 2)2 (x −1) x2 + 2x + + 2x +

2x4 + 3x3 − x −1 = A(x2 + 2x + 2)2 + (Bx + C)(x −1)(x2 + 2x + 2) + (Dx + E)(x −1)

2x4 + 3x3 − x −1 = A(x4 + 4x2 + 4 + 4x3 + 4x2 + 8x) + B(x4 + 2x3 + 2x2 − x3 − 2x2 − 2x)

⇒ +C(x3 + 2x2 + 2x − x2 − 2x − 2) + D(x2 − x) + E(x −1)

182

2x4 + 3x3 − x −1 = ( A + B)x4 + (4 A + B + C)x3 + (8A + C + D)x2

⇒ +(8A − 2B − D + E)x + (4A − 2C − E)

Igualando coeficientes se tiene:

⎛A +B = 2⎞
⎜ +B ⎟
⎜ 4A +C = 3 ⎟
− 2B +C
⎜ 8A +D = 0 ⎟
⎜ −2C ⎟
⎜ 8A −D+E = −1 ⎟

⎜⎝ 4 A − E = −1 ⎠⎟

∴ A = 3 25, B = 47 25 , C = 16 25, D = − 8 , E = 1
5 5

(∗) = 3 ∫ dx + 1 ∫ (47x +16)dx − 1 ∫ (8x −1)dx
25 x −1 25 (x2 + 2x + 2) 5 (x2 + 2x + 2)2

(x +16 47)dx − 8 (x − 1 )dx
(x2 + 2x + 2) 5 8
∫ ∫= 3 η x −1 + 47
25 25 (x2 + 2x + 2)2

∫ ∫= 3 η x −1 + 47 (2x + 2) − 62 47dx − 4 (2x + 2) − 9 4 dx
25 50 (x2 + 2x + 2) 5 (x2 + 2x + 2)2

(2x + 2)dx − 62 (2x + 2)dx
(x2 + 2x + 2) 50 (x2 + 2x + 2)2
= 3 η x −1 + 47

∫ ∫ ∫25 50
dx − 4
(x2 + 2x + 2) 5

∫⇒ + 9 dx

5 (x2 + 2x + 2)2

= 3 η x −1 + 47 η x2 + 2x + 2 − 62 dx + 4 1
(x +1)2 +1 5 (x2 + 2x + 2)
∫ ∫25 50
50

∫⇒ + 9 dx
5 ⎡⎣(x +1)2 +1⎦⎤2

=3 η x −1 + 47 η x2 + 2x + 2 − 62 arcτ g ( x + 1) + 5( x 2 4
25 50 50 + 2x + 2)

⇒ + 9 ⎡1 arcτ g(x + 1) + 1 x2 x +1 ⎤ + c
5 ⎣⎢ 2 2 + 2x + 2 ⎦⎥

= 3 η x −1 + 47 η x2 + 2x + 2 − 17 arcτ g(x +1) + 9x +17 + c
25 50 50 10(x2 + 2x + 2)

∫7.49.- dx

e2x + ex − 2

Solución.-

∫ ∫ ∫dx = dx
dx =
e2x + ex − 2 (ex )2 + ex − 2 ⎣⎡(ex )2 ex 1 ⎤⎦ 1
+ + 4 − 2 − 4

183

∫= dx (∗) , Sea: u = ex + 1 , du = exdx ⇒ dx = du
2
⎣⎡ex + 1 ⎤2 − ( 3 2)2 u − 1
2⎦ 2

Luego:

du

(∗) ∫ u − 1 = ∫ du = ∫ Adu − ∫ Bdu +∫ Cdu (∗∗)
2 + 32)(u (u + 32) (u − 32)

u2 − (32)2 (u − 12)(u − 32) u − 1
2

1 = A−B+C
(u − 12)(u + 32)(u − 32) (u − 12) (u + 32) (u − 32)

1 = A(u + 3 2)(u − 3 2) − B(u − 12)(u − 3 2) + C(u − 12)(u + 3 2)

⎧u = 1 2 ⇒1 = A(2)(−1) ⇒ A = − 1
∴ ⎪⎪⎨u = − 3 2⇒ 1 = B(−2)(−3) 2

⎪ ⇒ B = 1
6

⎩⎪u = 3 2 ⇒1 = C(1)(3) ⇒ C = 1
3

(∗∗) = − 1 ∫ (u du + 1 ∫ du + 1 ∫ du
2 − 12) 6 + 32) 3 − 32)
(u (u

=−1 η (u − 12) + 1 η (u + 32) + 1 η (u − 3 2) + c
2 6 3

=1 η (u + 32)(u − 32)2 +c= 1 η (ex + 2)(ex −1)2 +c= 1 η (ex + 2)(ex −1)2 +c
6 (u − 12)3 6 (ex )3 6 e3x

7.50.- ∫ cos s e n xdx x)
x(1+ cos2

Solución.-

∫ s e n xdx = ∫ −sen xdx = − ∫ du = −∫ Adu − ∫ ( Bu + C)du (∗)
x(1+ cos2 cos x(1+ cos2 u(1+ u u (1 + u2)
cos x) x) 2 )

Sea: u = cos x, du = − s e n xdx

1 = A + (Bu + C) ⇒1= A(1+ u2 ) + (Bu + C)u
u(1+ u2 ) u (1+ u2 )

1 = A + Au2 + Bu2 + Cu ⇒ 1 = ( A + B)u2 + Cu + A

Igualando Coeficientes se tiene:

⎧ A + B = 0 ⇒ B = − A ⇒ B = −(1) ⇒ B = −1
∴⎨⎪C = 0,

⎪⎩ A = 1

∫ ∫(∗) = − du + udu = − η u + η 1+ u2 + c = − η cos x + η 1+ (cos x)2 + c
u 1+u2

184

= η 1+ (cos x)2 + c
cos x

∫7.51.- (2 +τ g 2θ ) sec2 θ dθ

1+τ g3θ

Solución.-

∫ ∫ ∫(2 +τ g2θ )sec2 θ dθ =

1+τ g3θ
(2 + u2 )du = (2 + u2 )du (∗)
(1+ u3) (1+ u)(u2 − u +1)

Sea: u = τ gθ , du = − sec2 θ dθ

∫ (2 + u2 )du = ∫ Adu +∫ Bu + C , luego:
(1+ u3) (1+ u) (u2 − u +1)

(2 + u2 ) = A + Bu + C ⇒ (2 + u2 ) = A(u2 − u +1) + (Bu + C)(1+ u)
(1+ u3) (1+ u) (u2 − u +1)

(2 + u2 ) = Au2 − Au + A + Bu2 + Bu + C + Cu

(2 + u2 ) = ( A + B)u2 + (− A + B + C)u + A + C

Igualando Coeficientes se tiene:

⎛ A+B =1 ⎞
⎜ ⎟
⎜⎜⎝ − A+B +C = 0 ⎟⎟⎠ ∴ A = 1, B = 0, C = 1
A +C = 2

(∗) = ∫ du + ∫ u2 du +1 = ∫ du + ∫ du 3 2 )2
1+u −u 1+ u 12)2 +
(u − (

= η 1+u + 1 arcτ g u − 1 + c = η 1+u + 2 arcτ g 2u −1 + c
2

33 33
22

= η 1+τ gθ + 2 arcτ g (2τ gθ −1) + c
33

∫7.52.- (5x3 + 2)dx
x3 − 5x2 + 4x
Solución.-

∫ (5x3 + 2)dx = ∫ (5x3 + 2)dx = ∫ Adx + ∫ Bdx + ∫ Cdx (∗)
x3 − 5x2 + 4x x(x −1)(x − 4) x (x −1) (x − 4)

(5x3 + 2) = A + B + C , Luego:
x(x −1)(x − 4) x (x −1) (x − 4)

(5x3 + 2) = A(x −1)(x − 4) + Bx(x − 4) + Cx(x −1)

Igualando Coeficientes se tiene:

185

⎧x = 0 ⇒ 2 = 4A ⇒ A = 1
⎪ 2
∴ ⎪⎨
⎪ x =1 ⇒ 7 = −3B ⇒ B = − 7 3

⎩⎪ x = 4 ⇒ 322 = 12C ⇒ C = 161
6

(∗) = 1 ∫ dx − 7 ∫ dx + 161 ∫ dx = 1 η x −7 η x −1 + 161 η x−4 +c
2 x 3 x −1 6 x−4 2 3 6

=3 η x − 14 η x −1 + 161 η x−4 +c= 1 η x3 (x − 4)161 +c
6 3 6 6 (x −1)14

∫7.53.- x5dx

(x3 +1)(x3 + 8)

Solución.-

∫ ∫x5dx = x5dx

(x3 +1)(x3 + 8) (x +1)(x2 − x +1)(x + 2)(x2 − 2x + 4)

= ∫ Adx + ∫ Bdx + ∫ (Cx + D)dx + ∫ (Ex + F )dx (∗) , luego:
(x +1) (x + 2) (x2 − x +1) (x2 − 2x + 4)

x5 = A + B + Cx + D + Ex + F , luego:
(x3 +1)(x3 + 8) (x +1) (x + 2) (x2 − x +1) (x2 − 2x + 4)

x5 = A(x + 2)(x2 − x +1)(x2 − 2x + 4) + B(x +1)(x2 − x +1)(x2 − 2x + 4)

⇒ +(Cx + D)(x +1)(x + 2)(x2 − 2x + 4) + (Ex + F )(x +1)(x +1)(x2 − x +1)

x5 = A(x5 + 8x2 − x4 − 8x + x3 + 8) + B(x5 − 2x4 + 4x3 + x2 − 2x + 4)

⇒ +(Cx + D)(x4 + 8x + x3 + 8) + (Ex + F )(x4 + 2x3 + x + 2)

x5 = (A + B + C + E)x5 + (−A − 2B + C + D + 2E + F)x4 + (A + 4B + D + 2F)x3

⇒ +(8A + B + 8C + E)x2 + (−8A − 2B + 8C + 8D + 2E + F )x + (8A + 4B + 8D + 2F )

Igualando coeficientes se tiene:

⎛A +B +C + E =1 ⎞
⎜ −2B +C ⎟
⎜ −A +4B + D +2E+ F = 0 ⎟
+B +8C
⎜A −2B +8 C +D + 2F = 0 ⎟
⎜ +4B ⎟
⎜ 8A +E =0 ⎟

⎜ 8A +8D +2E + F = 0 ⎟
⎜⎜⎝ 8 A + 2F = 0 ⎟⎠⎟
+8D

∴ A = − 121, B = 8 21,C = − 2 21, D = 121, E = 16 21, F = −16 21

(∗) = − 1 ∫ dx + 8 ∫ dx − 1 ∫ (2x −1)dx + 16 ∫ (x −1)dx
21 x +1 21 (x + 2) 21 (x2 − x +1) 21 (x2 − 2x + 4)

= − 1 η x +1 + 8 η x + 2 − 1 η x2 − x +1 + 8 (2x − 2)dx
∫21 21 21 x2 − 2x + 4
21

186

= − 1 η x +1 + 8 η x + 2 − 1 η x2 − x +1 − 8 η x2 − 2x + 4 + c
21 21 21 21

=1 η ⎡⎣(x + 2)(x2 − 2x + 4)⎤⎦8 +c
21 (x +1)(x2 − x +1)

187