1 INTEGRALES ELEMENTALES

Para FMAT

Unas poquitas integrales que encontre por ahi

por Picosenotheta . .bueno y que esperan , a bajar y trabajar y suerte en los controles

801 EJERCICIOS

INTEGRAL RESUELTOS

DE

INDEFINIDA

INDICE

INTRODUCCION ............................................................................................................................................. 5

INSTRUCCIONES............................................................................................................................................ 6

ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE................................................................................................... 7

IDENTIFICACIONES USUALES ................................................................................................................. 7

IDENTIDADES ALGEBRAICAS .................................................................................................................. 7

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS....................................................................................................... 8

FORMULAS FUNDAMENTALES.................................................................................................................10

CAPITULO 1...................................................................................................................................................12

INTEGRALES ELEMENTALES ................................................................................................................12
EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................12
EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................20
RESPUESTAS..............................................................................................................................................21

CAPITULO 2...................................................................................................................................................29

INTEGRACION POR SUSTITUCION........................................................................................................29
EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................29
EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................39
RESPUESTAS..............................................................................................................................................41

CAPITULO 3...................................................................................................................................................59

INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS .......................................................................59
EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................59
EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................66
RESPUESTAS..............................................................................................................................................67

CAPITULO 4...................................................................................................................................................77

INTEGRACION POR PARTES...................................................................................................................77
EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................77
EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................88
RESPUESTAS..............................................................................................................................................89

CAPITULO 5.................................................................................................................................................111

INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS...............................................................................111
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................111
EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................116
RESPUESTAS............................................................................................................................................117

CAPITULO 6.................................................................................................................................................126

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA .................................................................126
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................126
EJERCICIOS PROPUESTOS: ...................................................................................................................135
RESPUESTAS............................................................................................................................................137

CAPITULO 7.................................................................................................................................................154

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES..................................................................................154
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................154
EJERCICICOS PROPUESTOS..................................................................................................................162
RESPUESTAS............................................................................................................................................163

CAPITULO 8.................................................................................................................................................188

2

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...............................................188
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................188
EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................195
RESPUESTAS............................................................................................................................................195
CAPITULO 9.................................................................................................................................................199
INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES ...............................................................................199
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................199
EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................203
RESPUESTAS............................................................................................................................................203
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................208
RESPUESTAS............................................................................................................................................210
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................242

3

A Patricia. / A Ana Zoraida.

A los que van quedando en el camino,
Compañeros de ayer,
De hoy y de siempre.

4

INTRODUCCION

El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento
de complementación, para la práctica indispensable en el tópico relativo a las
integrales indefinidas. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo
llevará a hacer una realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica.

El trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una
experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la
activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien de su veredicto
al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la crítica constructiva o la
observación fraterna, por lo cual desde ya agradecemos todo comentario al
respecto.

Nos es grato hacer un reconocimiento a la cooperación prestada por los
estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña.

5

INSTRUCCIONES

Para un adecuado uso de este problemario, nos permitimos recomendar lo
siguiente:

a) Estudie la teoría pertinente en forma previa.
b) Ejercite la técnica de aprehender con los casos resueltos.
c) Trate de resolver sin ayuda, los ejercicios propuestos.
d) En caso de discrepancia consulte la solución respectiva.
e) En caso de mantener la discrepancia, recurre a la consulta de algún

profesor.
f) Al final, hay una cantidad grande de ejercicios sin especificar técnica

alguna. Proceda en forma en forma análoga.
g) El no poder hacer un ejercicio, no es razón para frustrarse. Adelante

y éxito.

6

e: ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE
η:
Base de logaritmos neperianos.
og : Logaritmo natural o neperiano.
Logaritmo vulgar o de briggs.
sen : Seno.
arcs e n : Arco seno.
cos : Coseno.
arc cos : Arco coseno.
arc co s : Arco coseno.

τg: Tangente.
Arco tangente.
arc tg : Cotangente.
coτ g Arco cotangente.
arc co tg Secante.
Arco secante.
sec : Cosecante.
arc sec : Arco cosecante.
cos ec : Exponencial.
arc sec : Diferencial de x.
exp : Valor absoluto de x.

dx : Mínimo común múltiplo.

x:

m.c.m:

s e nn x = (s e n x)n IDENTIFICACIONES USUALES
ηnx = ( η x)n
ogx = og x s e n−1 x = arcs e n x
og n x = ( ogx)n

IDENTIDADES ALGEBRAICAS

1. Sean a, b: bases; m, n números naturales.

aman = am+n (am )n = amn

am = am−n, a ≠ 0 (ab)n = anbn
an

⎞n m
⎠⎟
na
⎛ a = an ≠ =( )mnam =
⎜⎝ b bn
,b 0 an

a−n = 1 a0 = 1, a ≠ 0
an

7

2. Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales

(a ± b)2 = a2 + 2ab + b2 (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 + b3

(a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 a2 − b2 = (a + b)(a − b)

a2n − b2n = (an + bn )(an − bn ) a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab ± b2 )

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

3. Sean b, n, x, y, z: números naturales

og(xyz) = ogb x + ogb y + ogb z ogb ⎛ x ⎞ = ogb x − ogb y
⎜ y ⎟
⎝ ⎠

ogb xn = n ogb x ogb n x = 1 ogb x
n

ogb1 = 0 ogbb = 1

ηe =1 η exp x = x = x
ηex = x e ηx = x
exp( η x) = x

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

1. cosθ = 1
sen = 1 s ecθ

cos ecθ τ gθ = 1
coτ gθ
τ gθ = s e nθ
cosθ 1+τ g2θ = sec2 θ

s e n2 θ + cos2 θ = 1 cosθ cos ecθ = coτ gθ

1+ coτ g2θ = cos ec2θ

cosθτ gθ = s e nθ

2. s e n 2α = 2s e nα cosα
(a) s e n2 α = 1− cos 2α
s e n(α + β ) = s e nα cos β + cosα s e n β
2
s e n α = ± 1− cosα
22

s e n(α − β ) = s e nα cos β − cosα s e n β

8

(b)

cos(α + β ) = cosα cos β − s e nα s e n β cos α = ± 1+ cosα
22

cos2 α = 1+ cos 2α cos(α − β ) = cosα cos β + s e nα s e n β
2

cos 2α = cos2 α − s e n2 α = 1− 2s e n2 α = 2 cos2 α −1

(c) τ g2α = 2τ gα
τ g(α + β ) = τ gα +τ gβ 1−τ g 2α

1−τ gατ gβ τ g(α − β ) = τ gα −τ gβ
1+τ gατ gβ
τ g 2α = 1− cos 2α
1+ cos 2α

τ g α = ± 1− cosα = s e nα = 1− cosα
2 1+ cosα 1+ cosα s e nα

(d) cosα s e n β = 1 [s e n(α + β ) − s e n(α − β )]

s e nα cos β = 1 [s e n(α + β ) + s e n(α − β )] 2

2 s e nα s e n β = − 1 [cos(α + β ) − cos(α − β )]

cosα cos β = 1 [cos(α + β ) + cos(α − β )] 2
s e nα − s e n β = 2 cos α + β s e n α − β
2
s e nα + s e n β = 2s e n α + β cos α − β 22
cosα − cos β = −2s e n α + β s e n α − β
22
cosα + cos β = 2 cos α + β cos α − β 22

22

(e) arc cos(cos x) = x
arcs e n(s e n x) = x arc coτ g(coτ gx) = x
arcτ g(τ gx) = x arc co sec(co sec x) = x

arc sec(sec x) = x

9

FORMULAS FUNDAMENTALES

Diferenciales Integrales
1.- du = du dx
1.- ∫ du = u + c
u
2.- d (au) = adu 2.- ∫ adu = a∫ du

3.- d (u + v) = du + dv 3.- ∫ (du + dv) = ∫ du + ∫ dv

4.- d (un ) = nun−1du ∫4.- undu = un+1 + c(n ≠ −1)
n +1

5.- d ( ηu) = du 5.- ∫ du = η u +c
u u

6.- d (eu ) = eudu ∫6.- eudu = eu + c

7.- d (au ) = au ηadu ∫7.- audu = au + c

ηa

8.- d (s e n u) = cos udu 8.- ∫ cos udu = s e n u + c

9.- d (cos u) = − s e n udu 9.- ∫ s e n udu = − cos u + c

10.- d (τ gu) = sec2 udu 10.- ∫ sec2 udu = τ gu + c
11.- d (coτ gu) = − cosec2 udu
12.- d (sec u) = secuτ gudu 11.- ∫ cosec2 udu = − coτ gu + c

12.- ∫ sec uτ gudu = sec u + c

13.- d (co sec u) = − co sec u coτ gudu 13.- ∫ co sec u coτ gudu = − co secu + c

14.- d (arcs e n u) = du 14.- ∫ du = arcs e n u + c
1− u2 1− u2

15.- d (arc cos u) = −du 15.- ∫ du = − arc cos u + c
1− u2 1− u2

16.- d (arcτ gu ) = 1 du 2 16.- ∫ 1 du 2 = arcτ gu + c
+u +u

17.- d (arc coτ gu) = −du 17.- ∫ 1 du 2 = − arc coτ gu + c
1+ u2 +u

18.- d (arc sec u) = du 18.- ∫ du = ⎧ arc sec u + c;u > 0
u u2 −1 u u2 ⎨⎩− arc sec u + c;u < 0
−1

19.- d (arc co sec u) = −du 19.- ∫ −du = ⎧− arc co sec u + c;u > 0
u u2 −1 u2 −1 ⎨
u ⎩ arc co sec u + c;u < 0

10

OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS

1.- ∫τ gudu = ⎧⎪ η sec u +c 2.- ∫ coτ gudu = η s e n u + c
⎩⎨⎪− η cos u +c

⎧ η sec u +τ gu + c
⎪
3.- ∫ sec udu = ⎨ η τ gu ⎛ u +π ⎞ +c 4.- ∫ co secudu = η co secu − coτ gu + c
⎜⎝ 2 4 ⎠⎟
⎪⎩

5.- ∫ s e n hudu = cos u + c 6.- ∫ cos udu = s e n hu + c

7.- ∫τ ghudu = η cos u + c 8.- ∫ coτ ghudu = η s e n u + c

9.- ∫ sec hudu = arcτ gh(s e n hu) + c 10.- ∫ co sec hudu = − arc coτ gh(cos hu) + c

du ⎧ arcs e n u + c ∫12.- du = η u + u2 ± a2 + c
a2 −u2 ⎪⎪ n a + c u2 ± a2
11.- ∫ = ⎨ u
a
⎪⎩⎪− arcs e

⎧ 1 arcτ g u + c
⎪⎪ aa
∫13.- du = ⎨ 1 arc coτ g u + c ∫14.- du = 1 η u−a +c
u2 + a2 ⎪ aa u2 − a2 2a u+a

⎪⎩

∫15.- du = 1 η u + c ∫16.- du = ⎧ 1 arc cos u + c
u a2 ± u2 a a + a2 ± u2 u2 − a2 ⎪⎪ a arc sec a + c
u ⎨ 1 u
⎪ a a
⎪⎩

17.- u2 ± a2 du = u u2 ± a2 ± a2 η u + u2 ± a2 + c
22

∫18.- a2 − u2 du = u a2 − u2 + a2 arcs e n u + c
2 2a

∫19.- eau s e n budu = eau (a s e n bu − b cos bu) + c
a2 + b2

∫20.- eau cos budu = eau (a cos bu + b s e n bu) + c
a2 + b2

Realmente, algunas de estas integrales no son estrictamente inmediatas; tal como
se verá mas adelante y donde se desarrollan varias de ellas.

11

CAPITULO 1

INTEGRALES ELEMENTALES

El Propósito de este capitulo, antes de conocer y practicar las técnicas
propiamente tales; es familiarizarse con aquellas integrales para las cuales basta
una transformación algebraica elemental.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

∫1.1 .- Encontrar: e ηx2 xdx

Solución.- Se sabe que: e ηx2 = x2

∫ ∫ ∫Por lo tanto: e ηx2 xdx = x2 xdx = x3dx = x4 + c

4

∫Respuesta: e ηx2 xdx = x4 + c , ∫Fórmula utilizada: xndx = xn+1 , n ≠ −1

4 n +1

∫1.2 .- Encontrar: 3a7 x6dx

Solución.- Fórmula utilizada: del ejercicio anterior.

∫ ∫3a7 x6dx = 3a7 x6dx = 3a7 x7 + c

7

∫Respuesta: 3a7 x6dx = 3a7 x7 + c ,

7

∫1.3.- Encontrar: (3x2 + 2x +1)dx

Solución.-

∫ (3x2 + 2x +1)dx = ∫ (3x2 + 2x +1)dx = ∫ 3x2dx + ∫ 2xdx + ∫ dx

∫ ∫ ∫= 3 x2dx + 2 xdx + dx = 3 x3 + 2 x2 + x + c = x3 + x2 + x + c

32

∫Respuesta: (3x2 + 2x +1)dx = x3 + x2 + x + c

1.4.- Encontrar: ∫ x(x + a)(x + b)dx

Solución.-

∫ x(x + a)(x + b)dx = ∫ x ⎣⎡x2 + (a + b)x + ab⎤⎦dx = ∫ ⎡⎣x3 + (a + b) x2 + abx⎦⎤dx

= ∫ x3dx + ∫ (a + b)x2dx + ∫ abxdx = ∫ x3dx + (a + b)∫ x2dx + ab∫ xdx

= x4 + (a + b) x3 + ab x2 + c
4 32

12

∫Respuesta: x(x + a)(x + b)dx = x4 + (a + b)x3 + abx2 + c
43 2

∫1.5.- Encontrar: (a + bx3)2 dx

Solución.-

∫ ∫ ∫ ∫ ∫(a + bx3)2 dx = (a2 + 2abx3 + b2 x6 )dx = a2dx + 2abx3dx + b2 x6dx

∫ ∫ ∫= a2 dx + 2ab x3dx + b2 x6dx = a2 x + 2ab x4 + b2 x7 + c
47

∫Respuesta: (a + bx3)2 dx = a2 x + abx4 + b2 x7 + c
27

1.6.- Encontrar: ∫ 2 pxdx

Solución.- 1 ∫2 p x 1 dx = 2p x1 +c = 2 2 px23 + c
2 2
∫ 2 pxdx = ∫ 2 px 2dx =
23
3

Respuesta: ∫ 2 pxdx = 2 2px x +c
3

1.7.-Encontrar: ∫ dx
nx

Solución.-

−1+1 −1+ n −1+ n

∫ ∫dx = −1 xn + c = xn n + c = nx n +c
−1 +1 −1 + n −1
nx x ndx =

nn

−1+ n

∫Respuesta: dx = nx n + c
n x n −1

1−n

1.8.- Encontrar: ∫ (nx) n dx

Solución.-

1−n 1−n 1−n 1−n 1−n 1−n 1 −1

∫ ∫ ∫ ∫(nx) n dx = n n x n dx = n n x n dx = n n xn dx

= 1−n 1 −1+1 +c = 1−n 1 1−n 1 + c = 1−n +1 1 1−n+n 1 + c = n1 x1 + c
n n n
=n n xn nn xn + c = n n nx n nn x +c = n n xn

1 −1+1 1

nn

1−n

∫Respuesta: (nx) n dx = n nx + c

∫1.9.- Encontrar: (a23 − x23 )3 dx

Solución.-

⎡ 3 2 2 3 ⎥⎤⎦dx
⎢⎣
−3 −
∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )(a23x2 a2 a2 x2 3a 23 x2 x2
− 3 )3 dx = 3 2 3 + 3 3

13

(a2 42 24 x2 )dx a2dx − 3a43 x23 dx + 3a23 x43 dx − x2dx

− 3a 3 x 3 3a 3 x 3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + − =

dx − 3a43 x23 dx + 3a23 x43 dx − 4 x5 + 3a23 x7 x3
∫ ∫ ∫ ∫= a2 x2dx = a2 x − 3a 3 3 3 − +c

5 73
33

9a 4 x 5 9a23 x73 x3
3 3

= a2 x − + − +c
5 73

2 x23 )3 dx 9a 4 x 5 9a23 x73 x3
3 3
(a 3
∫Respuesta: − = a2 x − + − +c
5 73

1.10.- Encontrar: ∫ ( x +1)(x − x +1)dx

Solución.-

∫ ( x +1)(x − x +1)dx = (x x − ( x )2 + x + x − x +1)dx

1 (x32 +1)dx = x32dx + x5 2x52
∫ ∫ ∫ ∫ ∫= 2 2
(x x +1)dx = ( xx + 1)dx = dx = + x+c = + x+c
55
2

∫Respuesta: ( x +1)(x − x +1)dx = 2x52 + x + c
5

∫1.11.- Encontrar: (x2 +1)(x2 − 2)dx
3 x2

Solución.-

(x4 − x2 − 2)dx = x4 x2
x2 x2 x2

3 3 3
(x2 +1)(x2 − 2)dx = dx − dx − 2 dx

∫ ∫ ∫ ∫ ∫3 x2 x2
3

x103 dx − x43dx − 2 x−23 dx 10 +1 4 +1 −2 +1 x13 x7 x1
∫ ∫ ∫= = − −2 = 3 − 3 −2 3 +c
x3 x3 x3 13 7 1
3
10 +1 4 +1 −2 +1
33 3 33

= 3 x13 − 3 x7 − 6 x 1 3 x13 3 x7 −63 x + c = 3 x4 3 x − 3 x2 3 x − 63 x+c
3 3 3
+c=3 −3
13 7 13 7 13 7

∫Respuesta: (x2 + 1)( x 2 − 2)dx = ⎛ 3x4 − 3x2 − 6 ⎞ 3 x + c
3 x2 ⎜ 13 7 ⎟
⎝ ⎠

∫1.12.- Encontrar: (xm − xn )2 dx
x

Solución.-

(x2m − 2xm xn + x2n )dx = (x2m
x
∫ ∫ ∫(xm − xn )2 dx = − 2xmxn + x2n )dx
x x1/ 2

∫= ( x2m−1/ 2 − 2xm+n−1/ 2 + x2n−1/ 2 )dx = x2m−1/ 2+1 − 2xm+n+1/ 2 + x2n+1/ 2 + c
2m −1/ 2 +1 m + n +1/ 2 2n +1/ 2

4m+1 2 m + 2 n +1 4n+1 4 m +1 2 m + 2 n +1 4n+1

= x2 − 2x 2 + x2 +c = 2x 2 − 4x 2 + 2x 2 +c
4m +1 2m + 2n +1 4n +1 4m +1 2m + 2n +1 4n +1

2 22

14

= 2x2m x − 4xm+n x + 2x2n x + c
4m +1 2m + 2n +1 4n +1

∫Respuesta: (xm − xn )2 dx = x ⎛ 2x2m − 4xm+n + 1 + 2x2n ⎞ + c
x ⎜ 4m +1 2m + 2n 4n +1 ⎟
⎝ ⎠

1.13.- Encontrar: ∫ ( a − x )4 dx
ax

Solución.-

x )4 dx = a2 − 4a ax + 6xa − 4x ax + x2
∫ ∫( a − dx
ax ax

a2 4a ax dx + 6ax 4x ax dx + x2
ax ax
∫ ∫ ∫ ∫ ∫= 1 dx − 1 dx − (ax) 1 dx
( ax) 2 (ax) 2 2

2 − 1 − 1 6aa− 12 xx− 12dx − − 1 2 − 1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫= 2 2 2
a a 2 x dx − 4adx + 4xdx + a x x dx

a3 x−12dx − 4a dx + 6a 12 1 xdx + a−12 x32 dx
2
x 2dx − 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫=

= a3 x −1 2 +1 − 4ax + 6a 12 1 − 4 x1+1 + a − 1 x 32+1 +c
2 2
−1+1 x 2+1 1+1 3 +1

1 +1 2
22

= a3 1 − 4ax + 6a 1 3 −4 x2 + a − 1 5 +c
2 2 2
x2 x2 2 x2

1 3 5

22 2

x 5 2

= 2a 32 x1 − 4ax + 4a 1 x 3 2 − 2x2 + 2a−12 +c
2 2

5

∫Respuesta: ( a − x )4 dx = 2a32 x 12 − 4ax + 4a 12 x32 − 2x2 + 2x3 + c
ax 5 xa

1.14.- Encontrar: ∫ dx
x2 −10

Solución.-

∫ ∫Sea: a = 10 , Luego: dx = dx = 1 η x − a + c
x2 −10 x2 − a2 2a x + a

= 1 η x − 10 + c = 10 η x − 10 + c
2 10 x + 10 20 x + 10

Respuesta: ∫ dx = 10 η x− 10 + c
x2 −10 20 x+ 10

1.15.- Encontrar: ∫ dx 7
x2 +

dx = dx 1 arcτ g x
x2 + 7 x2 + a2 a a
∫ ∫Solución.- Sea: a= 7 , Luego: = +c

15

1 arcτ g x + c = 7 arcτ g 7x + c
7 77 a

Respuesta: ∫ dx 7 = 7 arcτ g 7x +c
x2 + 7 a

1.16.- Encontrar: ∫ dx
4 + x2
Solución.-
dx =∫ dx = η x + a2 + x2 + c
Sea: a = 2 , Luego: ∫ 4 + x2 a2 + x2

= η x + 4 + x2 + c

∫Respuesta: dx = η x + 4 + x2 + c

4 + x2

1.17.- Encontrar: ∫ dx
8 − x2

Solución.-

∫ ∫Sea: a = 8 , Luego: dx = dx = arcs e n x + c a
8 − x2 a2 − x2

= arcs e n x + c = arcs e n x + c
8 22

Respuesta: ∫ dx = arcs e n 2x + c
8 − x2 4

1.18.- Encontrar: ∫ dy 9
x2 +

Solución.-

La expresión: 1 actúa como constante, luego:
x2 + 9

∫ ∫dy = 1 dy = 1 y+c = y +c
x2 + 9 x2 + 9
x2 + 9 x2 + 9

∫Respuesta: dy = y + c

x2 + 9 x2 + 9

∫1.19.- Encontrar: 2 + x2 − 2 − x2
dx
4 − x4

Solución.-

2 + x2 dx − 2 − x2 dx
4 − x4 4 − x4
∫ ∫ ∫2 + x2 − 2 − x2 dx =

4 − x4

2 + x2 2 − x2 dx = dx − dx
= ∫ ∫ ∫ ∫(2 − x2 ) (2 + x2 )dx −
(2 − x2) (2 + x2) 2 − x2 2 + x2

16

∫ ∫Sea: a = 2 , Luego: dx − dx = arcs e n x − η x + a2 + x2 + c a
a2 − x2 a2 + x2

= arcs e n x − η x + ( 2)2 + x2 + c = arcs e n x − η x + 2 + x2 + c
22

∫Respuesta: 2 + x2 − 2 − x2 dx = arcs e n x − η x + 2 + x2 + c
4 − x4 2

1.20.- Encontrar: ∫τ g2xdx

Solución.-

∫τ g 2xdx = ∫ (sec2 x −1)dx = ∫ sec2 xdx − ∫ dx = τ gx − x + c

Respuesta: ∫τ g 2xdx = τ gx − x + c

1.21.- Encontrar: ∫ coτ g2 xdx

Solución.-

∫ coτ g 2xdx = ∫ (cos ec2x −1)dx = ∫ cos ec2xdx − ∫ dx = − coτ gx − x + c

Respuesta: ∫ coτ g 2xdx = − coτ gx − x + c

1.22.- Encontrar: ∫ dx 4
2x2 +

Solución.-

∫ dx 4 = ∫ dx 2) = 1 ∫ dx 2 = 1 1 arcτ g x +c = 2 arcτ g 2x + c
2x2 + 2(x2 + 2 x2 + 2 2 2 4 2

Respuesta: ∫ dx 4 = 2 arcτ g 2x + c
2x2 + 4 2

1.23.- Encontrar: ∫ dx 8
7x2 −

Solución.-

∫ ∫ ∫ ∫dx = dx =
7x2 −8 7(x2 − 8) dx = 1 dx
7 7 ⎣⎡(x2 − ( 8 )2 ⎤⎦ 7 ⎡⎣x2 − ( 8 )2 ⎤⎦
7 7

= 1 1 η x− 8 1 η x− 8 7η 7x− 8 +c
x+ 7x + 8
7 2( 8 x+ 7 +c= 7 +c=
7 ) 8 14 8 8 14 8
7 7

7

= 1 η 7x − 2 2 + c = 14 η 7x − 2 2 + c
4 14 7x + 2 2 56 7x + 2 2

Respuesta: ∫ 7 dx 8 = 14 η 7x−2 2 +c
x2 − 56 7x + 2 2

∫1.24.- Encontrar: x2dx

x2 + 3

17

Solución.-

∫ x2dx = ∫ (1 − 3 )dx = ∫ dx − 3∫ dx 3 = ∫ dx − 3∫ x2 dx 3)2
x2 + 3 x2 + 3 x2 + +(

= x − 3 1 arcτ g x + c = = x − 3 arcτ g 3x + c
33 3

∫Respuesta: x2dx = x− 3 arcτ g 3x + c
x2 + 3 3

1.25.- Encontrar: ∫ dx
7 + 8x2

Solución.-

∫ ∫dx = dx = 1 η 8x + 7 + 8x2 + c
7 +8x2 ( 8x)2 + ( 7)2 8

∫Respuesta: dx = 2 η 8x + 7 + 8x2 + c

7 + 8x2 4

1.26.- Encontrar: ∫ dx
7 − 5x2

Solución.-

∫ ∫dx = dx = 1 arcs e n x 5 + c
7 − 5x2 ( 7)2 − ( 5x)2 5 7

Respuesta: ∫ dx = 5 arcs e n 35x + c
7 − 5x2 5 7

∫1.27.- Encontrar: (ax − bx )2 dx

axbx
Solución.-

(ax − bx )2 dx = (a2x − 2a xb x + b2x ) a2x dx − 2 axbx dx + b2x
dx dx
∫ ∫ ∫ ∫ ∫axbx =
axbx axbx axbx ax bx

= ∫ ax dx − ∫ 2dx + ∫ bx dx = ∫ ⎛ a ⎞x dx − 2∫ dx +∫ ⎛ b ⎞x dx = (a /b)x − 2x + (b / a)x + c
bx ax ⎝⎜ b ⎟⎠ ⎜⎝ a ⎠⎟
ηa ηb
ba

(a /b)x (b/ a)x (a /b)x (b / a)x
= − 2x + + c = − 2x − + c
ηa − ηb ηb − ηa ηa − ηb ηa − ηb

⎛ ax − bx ⎞
⎜ bx ax ⎟
= ⎝ ⎠ − 2x + c

ηa − ηb

⎛ a2x − b2x ⎞
⎜ ⎟
∫Respuesta: (ax − bx )2 dx = ⎝ axbx ⎠ − 2x + c

axbx ηa − ηb

18

1.28.- Encontrar: ∫s e n2 x dx
2

Solución.-

x 1− cos 2 x 1− cos x 1 1
2 2 2 2 2
∫ s e n2 dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ cos xdx
2

= x − senx + c
22

Respuesta: ∫sen2 x dx = x − senx + c
2 2 2

1.29.- Encontrar: ∫ (a + b) dx − b)x2 ; (0 < b < a)
+ (a

Solución.-

dx = dx
(a + b) + (a − b)x2 c2 + d 2x2
∫ ∫Sea: c2 = a + b, d 2 = a − b, ; luego

∫ ∫dx = 1 dx = 1 1 arctg x + c = 1 arctg dx + c
d2 c c cd c
d2 ⎛ c2 + x2 ⎞ d2 ⎛ c ⎞2 + x2 d
⎜ d2 ⎟ ⎜⎝ d ⎠⎟ d
⎝ ⎠

= 1 arctg a − bx + c = 1 arctg a − b x + c
a+b a−b a+b a2 − b2 a+b

∫Respuesta: dx = 1 arctg a−bx+c
(a + b) + (a − b)x2 a2 − b2 a+b

1.30.-Encontrar: ∫ (a + b) dx − b) x2 ; (0 < b < a )
− (a

Solución.-

dx = dx
(a + b) − (a − b)x2 c2 − d 2x2
∫ ∫Sea: c2 = a + b, d 2 = a − b, Luego:

dx = 1 dx = − 1 1 η x− cd +c=− 1 η dx − c + c
∫ ∫= ⎞2 2c x+ cd 2cd dx + c
d2 ⎛ c2 x2 ⎞ d2 ⎛ c ⎟⎠ d2 d
⎜ d2 − ⎟ ⎜⎝ d − x2
⎝ ⎠

=− 1 η a −bx − a +b +c
2 a2 − b2 a −bx+ a +b

∫Respuesta: dx =− 1 η a −bx − a +b +c
a −bx+ a +b
(a + b) − (a − b)x2 2 a2 − b2

( )∫1.31.- Encontrar: ⎡ a2x 0 −1⎦⎥⎤dx
⎢⎣

Solución.-

19

⎡( )∫a2x 0 −1⎦⎤⎥dx = ∫ (a0 −1)dx = ∫ (1−1)dx = ∫ dx −∫ dx =∫ 0dx = c
⎣⎢

( )∫Respuesta: ⎡ a2x 0 −1⎥⎦⎤dx = c
⎢⎣

EJERCICIOS PROPUESTOS

Mediante el uso del álgebra elemental, o algunas identidades trigonométricas,
transformar en integrales de fácil solución, las integrales que se presentan a
continuación.

1.32.- ∫ 3x5dx 1.33.- ∫ (1+ e)x dx 1.34.- ∫ (1+τ gx)dx

∫1.35.- cos2 x dx 1.36.- ∫ (1+ x )3 dx 1.37.- ∫ (1+ x )0 dx
2

∫1.38.- 1+ x 1.39.- ∫ dx 1.40.- ∫ dx
5 − x2 x2 − 5
2 dy
1+ x
3

1.41.- ∫ dx 1.42.- ∫ dx 5 1.43.- ∫ dx 5
x2 + 5 x2 + x2 −

∫1.44.- (s e n2 x + cos2 x −1)dx 1.45.- ∫ x(1− x)dx 1.46.- ∫ (τ g2x +1)dx

1.47.- ∫ dx 1.48.- ∫ dx 1.49.- ∫ dx
x2 −12 x2 +12 x2 −12

1.50.- ∫ dx 1.51.- ∫ dx 1.52.- ∫ dx
x2 +12 12 − x2 x x2 −12

1.53.- ∫ dx 1.54.- ∫ dx 1.55.- ∫ dx
x 12 − x2 x 12 + x2 8 − 2x2

1.56.- ∫ dx 1.57.- ∫ dx 1.58.- ∫ x2 −10dx
2x2 −8 2x2 +8

1.59.- ∫ x2 +10dx 1.60.- ∫ 10 − x2 dx ∫1.61.- 1− cos2 x
s e n2 x dx

1.62.- ∫ 1− s e n2 xdx 1.63.- ∫ 1− cos2 xdx ∫1.64.- (2x − 3x )0 dx
∫1.65.- (20 − 30 )n dx
1.66.- ∫ ⎝⎛⎜τ gx − sen x ⎞ dx ∫1.67.- dx
cos x ⎠⎟ 3− x

∫1.68.- 3 − x2 dx ∫1.69.- x2 − 3 dx ∫1.70.- x2 + 3 dx
4 4 4

1.71.- ∫ dx 1.72.- ∫ dx 1.73.- ∫ dx
x 3− x2 x x2 − 3 x x2 + 3

∫1.74.- s e n3x θ dy 1.75.- ∫ η u dx 1.76.- ∫ exp( η x)dx

∫1.77.- e ηx2 dx 1.78.- ∫ x − 2 dx 1.79.- ∫ 11− x2 dx
2x

1.80.- ∫ x2 −11dx 1.81.- ∫ x2 +11dx 1.82.- ∫ η(e x )dx

20

⎡⎢1 + x3 ⎤0 ∫ ∫1.84.- (τ g2x + sec2 x −1)dx dx
∫1.83.- x+ ⎥ dx 1.85.- 3x2 −1

⎣⎢ 1− x ⎦⎥

1.86.- ∫ (coτ gθ − s e nθ )dx 1.87.- ∫ dx 1.88.- ∫ dx
1+ 3x2 1− 3x2

1.89.- ∫ 1 dx 1.90.- ∫ dx 4 1.91.- ∫ 3 dx 1
+ 3x2 3x2 + x2 −

1.92.- ∫ dx 1.93.- ∫ dx 1.94.- ∫ dx
x 3x2 −1 x 1+ 3x2 x 1− 3x2

1.95.- ∫ 1− 3x2 dx 1.96.- ∫ 1+ 3x2 dx 1.97.- ∫ 3x2 −1dx

1.98.- ∫ (3x2 −1)dx ∫1.99.- (3x2 0 ∫1.100.- (3x2 n

−1) dx −1) du

∫1.101.- exp( η x )dx ∫1.102.- η (e 2 x−1 ) dx ∫1.103.- (e2 + e +1)x dx
3 2

∫1.104.- ⎛ 1+τ g2x −1⎞⎟dx 1.105.- ∫ exp( η 1+ x )dx 1.106.- ∫ 27 − x2 dx
⎜ sec2 x ⎠
⎝

1.107.- ∫ x2 − 27dx 1.108.- ∫ x2 + 27dx 1.109.- ∫ dx
3x x2 −1

1.110.- ∫ dx 1.111.- ∫ dx 1.112.- ∫ dx
2x 1− x2 5x x2 +1 3x 9 − x2

1.113.- ∫ dx 1.114.- ∫ dx ∫1.115.- (1 − x )2
4x x2 +16 5x x2 − 25 dx
x2

1.116.- ∫ (1+ x + x)2 dx 1.117.- ∫ (1− x + x)2 dx 1.118.- ∫ (1+ x)4 dx

η 1−cos x ∫1.120.- exp η ⎛ 1+ x2 ⎞ dx 1−se n x
⎜ x2 ⎟
1.119.- ∫ e 2 dx ⎝ ⎠ 1.121.- ∫ ηe 3 dx

1.122.- ∫ (1+ x − 3x )0dx (1+x )2

∫1.123.- ηe 2 dx

RESPUESTAS

∫ ∫1.32.- 3x5dx = 3 x5dx = 3x5+1 + c = 3 x6 + c = x6 + c
5+1 6 2

1.33.- ∫ (1+ e)x dx

∫ ∫Sea: a = 1+ e, Luego: (1+ e)x dx = axdx = ax + c = (1+ e)x + c

ηa η(1+ e)

1.34.- ∫ (1+τ gx)dx = ∫ dx + ∫τ gxdx = x + η sec x + c

1.35.- ∫ cos2 x dx = ∫ 1+ cos x dx = 1 ∫ dx + 1 ∫ cos xdx = 1 x + 1 s e n x + c
2 2 2 2 2 2

21

1.36.- ∫ (1+ x )3 dx = ∫ (1+ 3 x + 3( x2 ) + ∫ ∫ ∫x3 )dx = dx + 3 x + 3 xdx + x32dx

= x + 2x32 +3 x2 + 2 x5 + c = x+ 2x x + 3 x2 + 2 x2 x+c
2 25
25

1.37.- ∫ (1+ x )0 dx = ∫ dx = x + c

1+ x 1 + x dy = 1+ x
∫ ∫1.38.- 2 dy = 2 2 y+c

1+ x 1+ x 1+ x
3 3 3

1.39.- ∫ dx
5 − x2

∫ ∫Sea: a = 5 , Luego: dx = dx = arcs e n x + c = arcs e n 5x + c
5 − x2 5 5
( 5)2 − x2

dx = dx = η x + x2 − 5 + c
x2 −5 x2 − ( 5)2
∫ ∫1.40.-

dx = dx = η x + x2 + 5 + c
x2 + 5 x2 + ( 5)2
∫ ∫1.41.-

1.42.- ∫ dx 5
x2 +

∫Sea: a = 5 , Luego: dx = 1 arcτ g x + c
x2 + ( 5)2 5 5

= 5 arcτ g 5x + c
55

∫ ∫1.43.- dx = dx = 1 η x − 5 + c = 5 η x − 5 + c
x2 − 5 x2 − ( 5)2 2 5 x + 5 10 x + 5

1.44.- ∫ (s e n2 x + cos2 x −1)dx = ∫ (1−1)dx = ∫ 0dx = c

1.45.- ∫ x (1− x)dx = ∫ ( x −x)dx = ∫ ∫xdx − xdx = 2 x3 − x2 +c
2
32

1.46.- ∫ (τ g 2x +1)dx = ∫ sec2 xdx = τ gx + c

dx = dx = 1 η x − 12 + c = 1 η x − 2 3 + c
x2 −12
∫ ∫1.47.- x2 − ( 12)2 2 12 x + 12 4 3 x+2 3

= 3 η x−2 3 +c
12 x + 2 3

1.48.- ∫ dx
x2 +12

∫Sea: a = 12 , Luego: dx = 1 arcτ g x +c
x2 + ( 12)2 12 12

22

= 1 arcτ g x + c = 3 arcτ g 3x + c
23 23 6 6

dx = dx = η x + x2 −12 + c
x2 −12 x2 − ( 12)2
∫ ∫1.49.-

dx = dx = η x + x2 +12 + c
x2 +12 x2 + ( 12)2
∫ ∫1.50.-

1.51.- ∫ dx
12 − x2

Sea: a = 12 ,Luego: ∫ dx = ∫ dx
12 − x2 ( 12)2 − x2

= arcs e n x + c = arcs e n x + c = arcs e n 3x + c
12 2 3 6

dx = dx = 1 arc sec x + c = 1 arc sec x + c
∫ ∫1.52.-
x x2 −12 x x2 − ( 12)2 12 12 2 3 23

= 3 arc sec 3x + c
66

dx = dx = 1η x +c
∫ ∫1.53.- 12 12 + 12 − x2
x 12 − x2 x ( 12)2 − x2

= 3 η x +c
6 12 + 12 − x2

∫1.54.- dx = 3 η x +c

x 12 + x2 6 12 + 12 + x2

1.55.- ∫ dx =∫ dx = 1 ∫ dx = 1 arcs e n x + c = 2 arcs e n x + c
1.56.- ∫ 8 − 2x2 2(4 − x2 ) 2 4 − x2 2 22 2

dx = ∫ dx = 1 ∫ dx = 1 η x + x2 − 4 + c
2x2 −8 2(x2 − 4) 2 x2 − 4 2

= 2 η x + x2 − 4 + c
2

1.57.- ∫ dx = ∫ dx = 1 ∫ dx = 1 η x+ x2 + 4 + c
2x2 + 2(x2 + 4) 2 x2 + 4 2
8

= 2 η x + x2 + 4 + c x2 −10 − 10 η x + x2 −10 + c
2 2

∫ ∫1.58.- x2 −10dx = x2 − ( 10)2 dx = x

2

23

= x x2 −10 − 5 η x + x2 −10 + c x2 +10 + c x +c
2 10 − x2 + 10 arcs e n 10

∫1.59.- x2 +10dx = x x2 +10 + 5 η x + 2
2

∫ ∫1.60.- 10 − x2 dx = ( 10)2 − x2 dx = x

2

= x 10 − x2 + 5arcs e n 10x + c
2 10

1− cos2 x s e n2 x
sen2 x s e n2 x
∫ ∫ ∫1.61.- dx = dx = dx = x + c

1.62.- ∫ 1− s e n2 xdx = ∫ cos2 xdx = ∫ cos xdx = s e n x + c

1.63.- ∫ 1− cos2 xdx = ∫ s e n2 xdx = ∫ s e n xdx = − cos x + c

∫ ∫1.64.- (2x − 3x )0 dx = dx = x + c

∫ ∫ ∫1.65.- (20 − 30 )n dx = (0)n dx = 0dx = c

1.66.- ∫ ⎜⎝⎛τ gx − sen x ⎞ dx = ∫ (τ gx −τ gx) dx = ∫ 0dx = c
cos x ⎟⎠

∫ ∫1.67.- dx = 3x dx = 3x + c
3− x η3

x2 )2 x2 dx x x2 3 x +c
3 2 4
∫ ∫1.68.- 3 − dx = ( 2 − = 3 − + arcs e n 3
4 4 2 2

=x 3 − x2 + 3 arcs e n 2x + c
2 4 8 3

x2 x2 2 x x2 3 x2
∫ ∫1.69.- 3 2 4 η x+
− 3 dx = − ( 2 ) dx = − 3 − − 3 +c
4 4 2 4

=x x2 − 3 − 3 η x+ x2 − 3 +c
2 4 8 4

∫ ∫1.70.- x2 + 3 dx = x2 + ( 3 )2 dx = x x2 + 3 + 3 η x+ x2 + 3 +c
4 2 2 4 8 4

∫ ∫1.71.- dx = dx = 1 η x + c
x 3− x2 x ( 3)2 − x2 3 3 + 3− x2

= 3 η x +c
3 3 + 3− x2

1.72.- ∫ dx = 1 arc sec x + c = 3 arc sec 3x + c
x x2 − 3 33 3 3

∫1.73.- dx = 3 η x + c
x x2 + 3 3 3 + x2 + 3

24

∫ ∫1.74.- (s e n3x θ )dy = s e n3x θ dy = (s e n3x θ ) y + c

1.75.- ∫ η u dx = η u ∫ dx = η u x + c

1.76.- ∫ exp( η x)dx = ∫ xdx = x2 +c
2

∫ ∫1.77.- e ηx2 dx = x2dx = x3 + c

3

1.78.- ∫ x − 2 dx = ∫ x dx − ∫ 2 dx = ∫ x dx − ∫ 2 dx = 1 ∫ dx − ∫ 1 dx =
2x 2x 2x 2x 2x 2 x

∫ ∫= 1 −1 = 1 x− x1 +c = 2 − 1 +
dx − x 2 dx 2 x 2 x 2 c

2 2 1 2
2

∫1.79.- 11− x2 dx = x 11− x2 + 11 arcs e n x + c = x 11− x2 + 11 arcs e n 11x + c
2 2 11 2 2 11

∫1.80.- x2 −11dx = x x2 −11 − 11 η x + x2 −11 + c
22

∫1.81.- x2 +11dx = x x2 +11 + 11 η x + x2 +11 + c
22

∫ ∫ ∫1.82.- η(e x )dx = = x3 +c = 2 x +c
xdx = x 12 dx 2 3 x
3
2

1.83.- ∫ ⎡⎢1 + x + x3 ⎤0 x+c
⎣⎢ − x
1 ⎥ dx = ∫ dx =

⎥⎦

1.84.- ∫ (τ g2x + sec2 x −1)dx = ∫ 0dx = c

dx = dx = 1 dx = 1 η x+ (x2
3x2 −1 3 (x2 − 13) 3
∫ ∫ ∫1.85.- (x2 3 − 1 ) +c
3
− )
1
3

=3 η x+ (x2 − 1 ) +c
3 3

1.86.- ∫ (coτ gθ − s e nθ )dx = (coτ gθ − s e nθ )∫ dx = (coτ gθ − s e nθ )x + c

1.87.- ∫ dx =∫ dx = 3 η x + 1 + x2 +c
1.88.- ∫ 1+ 3x2 x2 3 3
3 1 +
3

dx =∫ ∫dx = 1 dx = 1 arcs e n x + c
1− 3x2 x2 3 x2 3 1
3 1 − 1 − 3
3 3

= 3 arcs e n 3x + c
3

dx = dx = 1 dx =1 1 arcτ g x +c= 3 arcτ g
1+ 3x2 + x2 3 3
∫ ∫ ∫1.89.- 1 1 3x + c
3( 1 + x2 ) 3 1 3 3
3 3

25

dx = 1 dx =1 1 arcτ g x +c= 3 arcτ g 3x + c
3x2 + 4 3 x2 + 3 6 2
∫ ∫1.90.- 4 2 2
3 3 3

dx = 1 dx = 1 1 x− 1 3η 3x −1 + c
3x2 −1 3 η 3 +c= 3x +1
∫ ∫1.91.- x2 − 1 32 1 x+ 1 6
3 3
3

1.92.- ∫ dx = ∫ ∫dx = 1 dx = 1 1 arc sec x +c
x 3x2 1 3 1 1 1
−1 3x x2 − 3 x x2 − 3 3
33

= arc sec 3x + c

∫ ∫1.93.- dx = 1 dx = 1 1 η x + c
x 1+ 3x2 3 x 1 + x2 31 1+ 1 + x2
3 3 3
3

= η x +c
x2
1+ 1 +
3
3

∫ ∫1.94.- dx = 1 dx = η x + c
x 1− 3x2 3 x 1 − x2 1+ 1 − x2
3 3
3

1− 3x2 dx = 3 x2 ⎡ x x2 1 x ⎤
∫ ∫1.95.- 1 − dx = 3 ⎢ 2 1 − + ⎥+c
3 ⎣⎢ 3 3 arcs e n 1 3 ⎦⎥
2

= 3 ⎡ x 1 − x2 + 1 arc s e n 3x⎤⎦⎥ + c
⎢⎣ 2 3 6

⎡ x 1 ⎤
⎣⎢ 2 ⎥⎦
1+ 3x2 dx = 3 x2 x2 3 η x+ x2
∫ ∫1.96.- 1 + dx = 3 1 + + 1 + + c
3 3 2 3

= 3 ⎡ x 1 + x2 + 1 η x+ 1 + x2 ⎤ +c
⎢⎣ 2 3 6 3 ⎦⎥

3x2 −1dx = 3 x2 ⎡ x x2 1 η x2 ⎤
∫ ∫1.97.- − 1 dx = 3 ⎣⎢ 2 − 1 − 6 x+ − 1 ⎥⎦ + c
3 3 3

1.98.- ∫ (3x2 −1)dx = 3∫ x2dx − ∫ dx = x3 − x + c

1.99.- ∫ (3x2 0 = ∫ dx = x + c

−1) dx

(3x2 n (3x2 − 1)n du = (3x2 −1)n u + c

−1)
∫ ∫1.100.- du =

η x x dx = 1 1 1 x3 2 x3
∫ ∫ ∫1.101.- 3 )dx = x 2 dx = 2 +c = 2 +c
exp(
33 3 3 9
2

η (e 2 x−1 2x −1dx = xdx − 1 dx = x2 − 1 x + c
2
∫ ∫ ∫ ∫1.102.- )dx =
2 2 22

∫1.103.- (e2 + e +1)x dx

26

∫Sea: a= (e2 + e +1) , Luego: axdx = ax + c = (e2 + e −1)x + c

ηa η(e2 + e −1)

1.104.- ∫ ⎛ 1+τ g 2x − ⎞ = ∫ (1 − 1)dx = ∫ 0dx = c
⎜ sec2 x 1⎟dx
⎝
⎠

1.105.- ∫ exp( η 1+ x )dx∫ = ∫ (1+ x)dx = ∫ dx + ∫ xdx = x+ x2 +c
2

∫1.106.- 27 − x2 dx = x 27 − x2 + 27 arc s e n x + c
2 2 33

∫1.107.- x2 − 27dx = x x2 − 27 − 27 η x + x2 − 27 + c
22

∫1.108.- x2 + 27dx = x x2 + 27 + 27 η x + x2 + 27 + c
22

1.109.- ∫ dx = 1 ∫ dx = 1 arc secx + c
3x x2 3 x2 −1 3
−1 x

∫ ∫1.110.- dx = 1 dx = 1 η x + c
2x 1− x2 2 x 1− x2 2 1+ 1− x2

∫ ∫1.111.- dx = 1 dx = 1 η x + c
5x x2 +1 5 x x2 +1 5 1+ x2 +1

∫ ∫1.112.- dx = 1 dx = 1 1 η x + c = 1 η x + c
3x 9 − x2 3 x 9 − x2 3 3 3 + 9 − x2 9 3+ 9 − x2

dx = 1 dx = 1 1 η x
∫ ∫1.113.- +c
4x x2 +16 4 x x2 +16 4 4 4 + x2 +16

= 1 η x +c
16 4 + x2 +16

1.114.- ∫ dx = 1 ∫ dx = 1 1 arc sec x + c = 1 arc sec x + c
5x x2 − 5 x2 − 25 5 5 5 25 5
25 x

(1 − x )2 dx = 1− 2 x + xdx = ( x −2 2 x −3 x −1 )dx
∫ ∫ ∫1.115.- − 2 +
x2 x2

x−2dx − 2x−32dx + x−1dx − x−1 x −1 η = −x−1 − 2 x −1 η x +c
∫ ∫ ∫= = −2 2 + x +c 2 +

−1 −1
22

= − x−1 + 4 x −1 + η x +c=−1+ 4 + η x +c
2
xx

∫1.116.- (1+ x + x)2 dx = (1+ x + x2 + 2 x + 2x + 2x32 )dx

1 2x32 x2 x 12dx +3 xdx + 2 x32dx + x2dx
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫=(1 + 2 + +
2 x 3x + )dx = dx + 2

x+ 2x32 +3 x2 +2 x5 + x3 +c = x+ 4x32 +3 x2 +4 x5 + x3 +c
2 2

3 253 3 2 53
22

27

x + x)2 dx = (1+ x + x2 − 2 3
∫ ∫1.117.- (1 − x + 2x − 2x 2 )dx

∫= (1 − 2 x 1 + 3x − 2x32 + x2 )dx = x − 4x32 +3 x2 −4 x5 + x3 + c
2 2

3 2 53

∫ ∫1.118.- (1+ x)4 dx = (1+ 4x + 6x2 + 4x3 + x4 )dx

∫ ∫ ∫ ∫ ∫= dx + 4 xdx + 6 x2dx + 4 x3dx + x4dx = x + 2x2 + 2x3 + x4 + 1 x5 + c
5

η 1−cos x 1− cos x dx = 1 dx − 1 cos xdx = 1 x − 1 s e n xdx

e 2 dx =
∫ ∫ ∫ ∫1.119.- 22
2 22

⎛ 1+ x2 ⎞ 1 + x2 1 x−2dx + dx = − 1 + x + c
⎜ x2 ⎟ x2 x2 x
1.120.- ∫ exp ∫ ∫ ∫ ∫ ∫η⎝ ⎠ =
dx = dx dx + dx =

1−s e n x 1− s e n xdx = 1 dx − 1 s e n xdx = 1 x + 1 cos x + c

ηe 3 dx =
∫ ∫ ∫ ∫1.121.- 33
3 33

1.122.- ∫ (1+ x − 3x)0dx = ∫ dx = x + c

(1+x )2 (1+ x)2 dx = 1+ 2x + x2 dx = 1 xdx + 1 x2dx

ηe 2 dx =
1.123.- ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 2 2 2 dx +

= 1 x + x2 + x3 + c
2 26

28