4 INTEGRACIÓN POR PARTES

CAPITULO 4

INTEGRACION POR PARTES

Existe una variedad de integrales que se pueden desarrollar, usando la

relación: ∫ udv = uv − ∫ vdu .

El problema es elegir u y dv , por lo cual es útil la siguiente identificación:
I: Función trigonométrica inversa.
L: Función logarítmica.
A: Función algebraica.
T: Función trigonométrica.
E: Función exponencial.
Se usa de la manera siguiente:

EJERCICIOS DESARROLLADOS

4.1.-Encontrar: ∫ x cos xdx

Solución.- I L A T E

↓↓

x cos x

u=x dv = cos xdx
∴ v =senx

du = dx

∴ ∫ x cos xdx = x s e n x − ∫ s e n xdx =x s e n x + cos x + c

Respuesta: ∫ x cos xdx = x s e n x + cos x + c

4.2.-Encontrar: ∫ x sec2 xdx

Solución.- I L A T E

↓↓

x sec2 3x

u=x dv = sec2 3xdx
∴
v = 1 τ g3x
du = dx 3

∴ ∫ x sec2 xdx = 1 xτ g3x − 1 ∫τ g3xdx = xτ g3x − 1 η sec 3x + c
3 3 3 9

Respuesta: ∫ x sec2 xdx = xτ g3x − 1 η sec 3x + c
3 9

4.3.-Encontrar: ∫ x2 s e n xdx

Solución.- I L A T E
↓↓
x2 sen x

77

∴ u = x2 dv = s e n xdx

du = 2xdx v = − cos x

∴ ∫ x2 s e n xdx = −x2 cos x + 2∫ x cos xdx , integrando por partes la segunda integral:

∫ x cos xdx ; u=x dv = cos xdx
du = dx v =senx

∫ ∫∴ x2 s e n xdx = −x2 cos x + 2 ⎡⎣x s e n x − s e n xdx⎦⎤ = −x2 cos x + 2x s e n x + 2 cos x + c

∫Respuesta: x2 s e n xdx = −x2 cos x + 2x s e n x + 2 cos x + c

4.4.-Encontrar: ∫ (x2 + 5x + 6) cos 2xdx

Solución.- I L A T E

↓

x2 + 5x + 6 cos 2x

∴ u = x2 + 5x + 6 dv = cos 2xdx
du = (2x + 5)dx v = 1 sen 2x

2

∴ ∫ (x2 + 5x + 6) cos 2xdx = (x2 + 5x + 6) s e n 2x − 1 ∫ (2x + 5) s e n 2xdx
2 2

Integrando por partes la segunda integral:

ILATE

2x +5 sen 2x dv = s e n 2xdx
∴ u = 2x +5 v = − 1 cos 2x

du = 2dx 2

(x2 1 2x(x2 1 ⎡⎣(2x cos 2xdx⎤⎦
∫ ∫∴ + + = 2 + + − 2 +
5x 6) cos 2xdx sen 5x 6) + 5)(− 1 cos 2x)
2

= x2 + 5x + 6 sen 2x + 1 cos 2x(2x + 5) − 1 ∫ cos 2xdx
2 4 2

= x2 + 5x + 6 s e n 2x + 2x + 5 cos 2x − 1 s e n 2x + c
2 44

∫Respuesta: (x2 + 5x + 6) cos 2xdx = x2 + 5x + 6 s e n 2x + 2x + 5 cos 2x − 1 s e n 2x + c
2 44
Nota.-Ya se habrá dado cuenta el lector, que la elección conveniente para el u y el

dv , dependerá de la ubicación de los términos funcionales en la palabra ILATE. El

de la izquierda corresponde al u , y el otro será el dv .

4.5.-Encontrar: ∫ η xdx

Solución.- I L A T E

↓↓
ηx 1

78

u = ηx dv = 1dx
∴ du = dx v=x

x

∴ ∫ η xdx = x η x − ∫ dx = x η x − x + c = x( η x −1) + c

Respuesta: ∫ η xdx = x( η x −1) + c

∫4.6.-Encontrar: η(a2 + x2 )dx

Solución.- I L A T E

↓

η(a2 + x2) 1

u = ηx dv = 1dx
∴ du = dx v=x

x

η(a2 + x2 )dx = x η(a2 + x2 ) − 2x2dx η(a2 + x2) − 2a2
a2 + x2 x2 + a2
∫ ∫ ∫∴ = x (2 − )dx

∫ ∫= x η(a2 + x2 ) − 2 dx + 2a2 dx =x η(a2 + x2) − 2x + 2 a2 arcτ g x + c
x2 + a2 a a

= x η(a2 + x2 ) − 2x + 2a arcτ g x + c
a

∫Respuesta: η(a2 + x2 )dx = x η (a 2 + x2 ) − 2x + 2a arcτ g x +c
a

4.7.-Encontrar: ∫ η x + x2 −1 dx

Solución.- I L A T E dv = 1dx
↓ v=x

η x + x2 −1 1

u = η x + x2 −1

∴ 1+ x x2 −1 + x

du = x2 −1 d ⇒ du = x2 −1 dx ⇒ du = dx
x + x2 −1 x2 −1
x + x2 −1

∫ ∫∴ η x + x2 −1 dx = x η x + x2 −1 − xdx

x2 −1
Sea : w = x2 +1, dw = 2xdx .

Luego: x η x + x2 −1 − 1 (x2 −1 η x2 −1 − 1 w−1
2 2
∫ ∫2 2 − 1) 2 xdx = x x+ dw

=x η x+ x2 −1 −1 w1 +c= x η x+ x2 −1 − w1 +c= x η x+ x2 −1 − x2 −1 + c
2 2

2 1
2

∫Respuesta: η x + x2 −1 dx = x η x + x2 −1 − x2 −1 + c

79

4.8.-Encontrar: ∫ η 2xdx

Solución.- I L A T E
↓↓
η2x 1

u = η2x dv = 1dx
∴ du = 2 η x 1 dx v=x

x

∴∫ η 2 xdx = x η2x − 2∫ η x 1 xdx = x η2x − 2∫ η xdx
x

Por ejercicio 4.5, se tiene: ∫ η xdx = x( η x −1) + c

Luego: ∫ η 2xdx = x η 2x − 2[ x( η x −1) + c] = x η 2x − 2x( η x −1) + c

∫Respuesta: η 2xdx = x η 2x − 2x( η x −1) + c

4.9.-Encontrar: ∫ arcτ gxdx

Solución.- I L A T E

↓↓

arcτ gx 1

u = arcτ gx dv = 1dx
v=x
∴ du = dx
+ x2
1

∴ ∫ arcτ gxdx = x arcτ gx − ∫ xdx
1+ x2

Sea: w = 1+ x2, dw = 2xdx

Luego: x arcτ gx − 1 ∫ 2xdx = x arcτ gx − 1 ∫ dw = x arcτ gx − 1 η w +c
2 1+ x2 2 w 2

= x arcτ gx − 1 η 1+ x2 + c
2

Respuesta: ∫ arcτ gxdx = x arcτ gx − 1 η 1+ x2 + c
2

4.10.- ∫ x2 arcτ gxdx

Solución.- I L A T E

↓↓

arcτ gx x2

u = arcτ gx dv = x2dx

∴ du = dx v = x3
+ x2 3
1

∴ x2 arcτ gxdx = x3 arcτ gx − 1 x2dx = x3 arcτ gx − 1 (x − x )dx

∫ ∫ ∫3 3 1+ x2 3 3 x2 +1

80

= x3 arcτ gx − 1 ∫ xdx − 1 ∫ x
3 3 3 x2 +1 dx

∫Por ejercicio 4.9, se tiene: xdx = 1 η x2 +1 + c

x2 +1 2

∫Luego: x3 arcτ gx − 1 xdx + 1 η x2 +1 + c = x3 arcτ gx − x2 + 1 η x2 +1 + c
3 36 3 66

∫Respuesta: x2 arcτ gxdx = x3 arcτ gx − x2 + 1 η x2 +1 + c
3 66

4.11.-Encontrar: ∫ arc cos 2xdx

Solución.- I L A T E

↓↓

arc cos 2x 1

u = arc cos 2x dv = 1dx
∴ du = − 2dx v=x

1− 4x2

∴ ∫ arc cos 2xdx = x arc cos 2x + 2∫ xdx
1− 4x2

Sea: w = 1− 4x2, dw = −8xdx

−8xdx = x arc cos 2x − 1 1 w1
∫ ∫Luego: x arc cos 2x − 2 w−1 dw =x arc cos 2x − 2 +c
8 2
1− 4x2 4 4 1
2

= x arc cos 2x − 1 1− 4x2 + c
2

Respuesta: ∫ arc cos 2xdx = x arc cos 2x − 1 1− 4x2 + c
2

4.12.-Encontrar: ∫ arcs en x dx
x

Solución.- I L A T E

↓

arc s e n x 1

u = arc s e n x dv = x −1 dx
∴ du = 1 dx 2

1− x x v=2 x

−1 dx
2
∫ ∫∴ x dx = 2 x−
arc s e n x x arc s e n 1− x

Sea: w = 1− x, dw = −dx

−dx w−1
Luego: 2 x arc s e n x + ∫ ∫1− x =2 x+ 2 dw
x arc s e n

=2 x arc s e n x + 2 w 1 + c = 2 x arc s e n x + 2 1− x + c
2

81

Respuesta: ∫ arcs en x dx = 2 x arc s e n x + 2 1− x +c
x

4.13.-Encontrar: ∫ x arcs e n 2x2dx

Solución.- I L A T E

↓

arc s e n 2x2 x

u = arc s e n 2x2 dv = xdx

∴ du = 4xdx v = x2
1− 4x4 2

∴ x arc s e n 2x2dx = x2 arc s e n 2x2 − 2 x3dx
1− 4x4
∫ ∫2

Sea: w = 1− 4x4 , dw = −16x3dx

Luego: x2 arc s e n 2x2 + 2 (−16x3dx) = x2 arc s e n 2x2 + 1 w−12dw

∫ ∫2 16 1− 4x4 2 8

= x2 arc s e n 2x2 + 1 w1 +c = x2 arc s e n 2x2 + 1 w1 +c
2 2

2 81 2 4
2

= x2 arc s e n 2x2 + 1 1− 4x4 + c
24

∫Respuesta: x arcs e n 2x2dx = x2 arc s e n 2x2 + 1 1− 4x4 + c
24

∫4.14.-Encontrar: xexadx

Sea: w = x , dw = dx
aa

∫ ∫ ∫Luego: xexadx = a2 xexa dx = a2 wewdw , integrando por partes se tiene:

aa

Solución.- I L A T E

↓↓

w ew

u=w dv = ewdw
∴ v = ew

du = dw

( ) ( ) ( )∫ ∫∴ a2 wewdw = a2 wew − ewdw = a2 wew − ew + c = a2 wew − ew + c

= a2 ⎛ x ex − ex ⎞ + c = a2exa (x −1) + c
⎝⎜ a a a ⎟⎠ a

∫Respuesta: xexadx = a2exa ( x −1) + c
a

∫4.15.-Encontrar: x2e−3xdx

Solución.- I L A T E

82

↓↓

x2 e−3x

∴ u = x2 dv = e−3xdx
du = 2xdx v = − 1 e−3x
3

∫ ∫∴ x e2 −3xdx = − 1 x e2 −3x + 2 xe−3xdx , integrando por partes la segunda integral:
33

ILATE

↓↓

x e−3x

u=x dv = e−3xdx
∴ v = − 1 e−3x

du = dx 3

x 2 e −3 x dx 1 x e2 −3x 2 ⎛ 1 xe−3x 1 e−3x ⎞ x2e−3x 2 xe−3x 2 e−3 x dx
3 3 ⎜⎝ 3 3 ⎠⎟ 3 9 9
∫ ∫ ∫∴ = − + − + dx = − − +

= − x2e−3x − 2 xe−3x − 2 e−3x + c
39 27

∫Respuesta: x 2 e −3 x dx = −e−3x ⎛ x2 + 2 x + 2 ⎞ + c
3 ⎜⎝ 3 9 ⎟⎠

∫4.16.-Encontrar: x3e−x2 dx

∫ ∫Solución.- x3e−x2 dx = x2e−x2 xdx

Sea: w = −x2, dw = −2xdx , además: x2 = −w

Luego: x2e−x2 xdx = − 1 x2e−x2 x(−2xdx) = − 1 −wewdw = 1 wewdw , integrando por

∫ ∫ ∫ ∫2 2 2

Partes se tiene:
ILATE

↓↓ dv = ewdw
w ew v = ew

u=w
∴ du = dw

( )∫ ∫ ∫∴ 1 wewdw = 1 wew − ewdw = 1 wew − 1 ewdw = 1 wew − 1 ew + c
22 22 22

= − 1 x2e−x2 − 1 e−x2 + c = − 1 e−x2 (x2 + 1) + c
22 2

∫Respuesta: x3e−x2 dx = − 1 e−x2 (x2 +1) + c

2

∫4.17.-Encontrar: (x2 − 2x + 5)e−xdx

Solución.- I L A T E

↓↓

83

x2 − 2x + 5 e−x

∴ u = x2 − 2x + 5 dv = e−xdx
du = (2x − 2)dx v = −e−x

∫ ∫∴ (x2 − 2x + 5)e−xdx = −e−x (x2 − 2x + 5) + (2x − 2)e−xdx , integrando por partes la

segunda integral:
ILATE

↓↓ dv = e−xdx
2x − 2 e−x v = −e−x

∴ u = 2x − 2
du = 2dx

∫ ∫∴ (x2 − 2x + 5)e−xdx = −e−x (x2 − 2x + 5) + ⎡⎣−e−x (2x − 2) + 2 e−xdx⎦⎤

∫= −e−x (x2 − 2x + 5) − e−x (2x − 2) + 2 e−xdx = −e−x (x2 − 2x + 5) − e−x (2x − 2) − 2e−x + c

= −e−x (x2 −2x + 5 +2x −2 + 2 ) + c = −e−x (x2 + 5) + c

∫Respuesta: (x2 − 2x + 5)e−xdx = −e−x (x2 + 5) + c

∫4.18.-Encontrar: eax cos bxdx

Solución.- I L A T E

↓

cos bx eax

∴ u = cos bx dv = eaxdx
du = −b s e n bxdx v = 1 eax
a

∫ ∫∴ eax cos bxdx = eax cos bx + b eax s e n bxdx , Nótese que la segunda integral es
aa

semejante a la primera, salvo en la parte trigonométrica; integrando por partes la

segunda integral:

ILATE

↓ dv = eaxdx
s e n bx eax v = 1 eax

∴ u = s e n bx a
du = b cos bxdx

eax cos bx b ⎛ eax se n bx b eax ⎞
∫∴ = a + a ⎜ a − a cos bxdx ⎟
⎝
⎠

∫= eax cos bx + beax s e n bx − b2 eax cos bxdx , Nótese que:
a a2 a2

eax cos bx beax s e n bx b2
a a2 a2
∫ ∫eax = + − eax cos bxdx , la integral a encontrar
cos bxdx

aparece con coeficiente 1 en el primer miembro, y en el segundo con coeficiente:

84

− b2 . Transponiendo éste término al primer miembro y dividiendo por el nuevo
a2

coeficiente: 1 + b2 = a2 + b2 , se tiene:
a2 a2

⎜∫⎛ a2 + b2 ⎞⎟ eax cos bxdx = aeax cos bx + beax s e n bx + c
⎝ a2 ⎠ a2

aeax cos bx + beax s e n bx

∫ eax cos bxdx = a2 + c = eax (a cos bx + b s e n bx) + c
a2 + b2
⎛ a2 + b2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ a2 ⎠

∫Respuesta: eax cos bxdx = eax (a cos bx + b s e n bx) + c
a2 + b2

4.19.-Encontrar: ∫ ex cos 2xdx

Solución.- Este ejercicio es un caso particular del ejercicio anterior, donde: a = 1y
b = 2 . Invitamos al lector, resolverlo por partes, aún cuando la respuesta es

inmediata.

∫Respuesta: ex cos 2xdx = ex (cos 2x + 2s e n 2x) + c

5

∫4.20.-Encontrar: eax s e n bxdx

Solución.- I L A T E

↓

s e n bx eax

∴ u = s e n bx dv = eaxdx
du = b cos bxdx v = 1 eax

a

∫ ∫∴ eax s e n bxdx = eax s e n bx − b eax cos bxdx , integrando por partes la segunda

aa

integral:

ILATE

↓

cos bx eax

∴ u = cos bx dv = eaxdx
du = −b s e n bxdx v = 1 eax
a

eax eax se n bx b ⎛ eax cos bx b eax ⎞
∫ ∫∴ s e = a − a ⎜ a + a bxdx ⎟
n bxdx ⎝ s e n

⎠

∫= eax s e n bx − beax cos bx − b2 eax s e n bxdx ,

a a2 a2

85

Como habrá notado el lector, la integral a encontrar aparece con coeficiente 1 en

el primer miembro, y en el segundo con coeficiente: − b2 . Transponiendo éste
a2

término al primer miembro y dividiendo por el nuevo coeficiente: 1+ b2 = a2 + b2 , se
a2 a2

tiene:

⎜∫⎛ a2 + b2 ⎞⎟ eax se n bxdx = aeax sen bx − beax cos bx + c
⎝ ⎠ a2
a2

aeax s e n bx − beax cos bx

∫ eax s e n bxdx = a2 ∫+ c = eax s e n bxdx = eax (a s e n bx − b cos bx) + c
a2 + b2
⎛ a2 + b2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ a2 ⎠

∫Respuesta: eax s e n bxdx = eax (a s e n bx −b cos bx) + c
a2 + b2

4.21.-Encontrar: ∫ x 1+ xdx

Solución.- Cuando el integrando, está formado por el producto de funciones

algebraicas, es necesario tomar como dv , la parte más fácil integrable y u como la

parte más fácil derivable. Sin embargo, la opción de “más fácil” quedará a criterio

del lector.

u=x dv = (1 + x) 1 dx
∴ 2

du = dx v = 2 (1+ x)32
3

∫ ∫∴ x 1+ xdx = 2 x(1+ x)32 − 2 (1+ x)32 dx = 2 x(1+ x)32 − 2 (1+ x)52 + c
33 3 35
2

= 2 x(1+ x)32 − 4(1+ x)52 + c
3 15

∫Respuesta: x 1+ xdx = 2 x(1+ x)32 − 4(1+ x)52 + c

3 15

4.22.-Encontrar: ∫ x2dx
1+ x

x2dx = x2 x)−1
∫ ∫Solución.- (1 + 2 dx
1+ x

∴ u = x2 dv = (1 + x)−1 dx
2

du = 2xdx v = 2(1 + x) 1
2

∴∫ x2dx = 2x2 1+ x − 4∫ x 1+ xdx , integrando por partes la segunda integral:
1+ x

86

u=x dv = (1 + x) 1 dx
∴ du = dx 2

v = 2 (1+ x)32
3

∫ ∫x2dx = 2x2 ⎡ 2 x)32 − 2 3 ⎤
⎢⎣ 3 3 2 ⎦⎥
1+ x
1+ x − 4 x(1 + (1 + x) dx

= 2x2 1+ x − 8 x(1+ x)32 + 8 (1+ x)52 + c = 2x2 1+ x − 8 x(1+ x)32 + 16 (1+ x)52 + c
3 35 3 15
2

∫Respuesta: x2dx = 2x2 1+ x − 8 x(1+ x)32 + 16 (1+ x)52 + c

1+ x 3 15

4.23.-Encontrar: ∫ xdx
ex

xdx = xe− x dx
ex
∫ ∫Solución.-

ILATE

↓↓

x e−x

u=x dv = e−xdx
∴ v = −e−x

du = dx

∫ ∫∴ xe−xdx = −xe−x + e−xdx = −xe−x − e−x + c = e−x (−x −1) + c = −e−x (x +1) + c

∫Respuesta: xdx = −e−x (x +1) + c
ex

4.24.-Encontrar: ∫ x2 η 1− x dx

u = η 1− x dv = x2dx
v = x3
Solución.- ∴ 1 1 (1 − x)−1 (−1)dx ⇒ du = −dx
du = 2 3
1− x 2 2(1− x)

x2 η 1− x dx = x3 η 1− x + 1 x3 dx = x3 η 1− x − 1 ⎛ x2 1 ⎞⎠⎟dx
3 6 1− x 3 6 ⎜⎝ 1−
∫ ∫ ∫∴ + x + 1− x

= x3 η 1− x − 1 x3 − 1 x2 − 1 x − 1 η 1− x + c
3 63 62 6 6

= x3 η 1− x − 1 η 1− x − x3 − x2 − x + c
3 6 18 12 6

∫Respuesta: x2 η 1− x dx = x3 η 1− x − 1 η 1− x − x3 − x2 − x + c

3 6 18 12 6

4.25.-Encontrar: ∫ x s e n2 xdx

Solución.-

87

u=x dv = s e n2 xdx ⎛ v = ∫ 1− cos 2x dx ⎞
∴ v = 1 x − 1 sen 2x ⎜⎝ 2 ⎟⎠

du = dx 24

∴ ∫ x s e n2 xdx = 1 x2 − 1 x s e n 2x − 1 ∫ xdx + 1 ∫ s e n 2xdx
2 4 2 4

= 1 x2 − 1 x s e n 2x − 1 x2 − 1 cos 2x + c = 1 x2 − 1 x s e n 2x − 1 cos 2x + c
24 48 44 8

∫Respuesta: x s e n2 xdx = x2 − x s e n 2x − cos 2x + c 8
44

Otra solución.-

∫ xse n2 xdx = ∫ x1− cos 2x dx = 1 ∫ xdx − 1 ∫ x cos 2xdx = 1 x2 − 1 ∫ x cos 2xdx
2 2 2 2 2 2

= x2 − 1 ∫ x cos 2xdx ; integrando por partes, la segunda integral:
4 2

u=x dv = cos 2xdx
∴ v = 1 sen 2x

du = dx 2

∫ x s e n2 xdx = x2 − 1⎛ x sen 2x − 1 ∫ s e n 2 xdx ⎞ = x2 − xsen 2x + 1 ∫ s e n 2xdx
4 2 ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ 4 4 4

= x2 − x s e n 2x + 1 (− 1 cos 2x) + c = x2 − x s e n 2x − cos 2x + c
44 42 44 8

∫Respuesta: x s e n2 xdx = x2 − x s e n 2x − cos 2x + c 8
44

4.26.-Encontrar: ∫ x(3x +1)7 dx

Solución.-

u=x dv = (3x +1)7 dx ( )v = ∫ (3x +1)7 dx
∴ v = 1 (3x +1)8

du = dx 24

∫ ∫∴ x(3x +1)7 dx = x (3x +1)8 − 1 (3x +1)8 dx = x (3x +1)8 − 1 1 (3x +1)9 + c
24 24 24 24 3 9

= x (3x +1)8 − (3x +1)9 + c
24 648

∫Respuesta: x(3x +1)7 dx = x (3x +1)8 − (3x +1)9 + c

24 648

EJERCICIOS PROPUESTOS

Usando esencialmente el mecanismo presentado, encontrar las integrales
siguientes:

88

∫4.27.- x(2x + 5)10 dx 4.28.- ∫ arcs e n xdx 4.29.- ∫ x s e n xdx
∫4.32.- x2e3xdx
4.30.- ∫ x cos 3xdx ∫4.31.- x2−x dx 4.35.- ∫ x2 η xdx
4.38.- ∫ x arcτ gxdx
∫4.33.- x3e−x3dx 4.34.- ∫ x s e n x cos xdx

4.36.- ∫ ηx dx 4.37.- ∫ η x dx
x3 x

4.39.- ∫ x arcs e n xdx 4.40.- ∫ s xdx x 4.41.- ∫ ex s e n xdx
e n2
4.44.- ∫ (x2 − 2x + 3) η xdx
4.42.- ∫ 3x cos xdx 4.43.- ∫ s e n( η x)dx 4.47.- ∫ x2 arcτ g3xdx

4.45.- ∫ x η 1− x dx ∫4.46.- η2 x dx
1+ x x2

4.48.- ∫ x(arcτ gx)2 dx 4.49.- ∫ (arcs e n x)2 dx 4.50.- ∫ arcs e n xdx
x2

4.51.- ∫ arcs e n x dx ∫4.52.- s e n2 xdx ∫4.53.- τ g 2x sec3 xdx
1− x
ex
∫4.54.- x3 η 2xdx 4.56.- ∫ arcs e n xdx
4.55.- ∫ x η(9 + x2 )dx 4.59.- ∫ cos2 ( η x)dx
4.57.- ∫ x arcτ g(2x + 3)dx 4.58.- ∫ e x dx ∫4.62.- x2exdx
4.61.- ∫ η x +1 dx
4.60.- ∫ η( η x) dx
x 4.64.- ∫ s e nn xdx
∫4.67.- xnexdx
4.63.- ∫ cosn xdx 4.70.- ∫ sec3 xdx ∫4.65.- xm ( η x)n dx
4.73.- ∫ arcs e n axdx
∫4.66.- x3( η x)2 dx 4.76.- ∫ x sec2 axdx ∫4.68.- x3exdx
4.79.- ∫ x cos(2x +1)dx
4.69.- ∫ secn xdx ∫4.82.- a2 − x2 dx 4.71.- ∫ x η xdx
4.85.- ∫ arcτ g xdx
4.72.- ∫ xn η ax dx, n ≠ −1 4.74.- ∫ x s e n axdx

4.75.- ∫ x2 cos axdx 4.77.- ∫ cos( η x)dx

4.78.- ∫ η(9 + x2 )dx 4.80.- ∫ x arc sec xdx

4.81.- ∫ arc sec xdx 4.83.- ∫ η 1− x dx

4.84.- ∫ η(x2 +1)dx 4.86.- ∫ x arcs e n xdx
1− x2

4.87.- ∫ x arcτ g x2 −1dx ∫4.88.- x arcτ gx ∫4.89.- arcs e n x xdx
4.90.- ∫ x2 1− xdx (x2 +1)2 dx (1− x2 )3

RESPUESTAS

∫4.27.- x(2x + 5)10 dx

Solución.-

89

u=x dv = (2x + 5)10 dx
∴ du = dx v = (2x + 5)11

22

∫ ∫x(2x + 5)10 dx = x (2x + 5)11 − 1 (2x + 5)11dx = x (2x + 5)11 − 1 (2x + 5)12 + c
22 22 22 44

= x (2x + 5)11 − 1 (2x + 5)12 + c
22 528

4.28.- ∫ arcs e n xdx

Solución.- dv = dx Además: w = 1− x2, dw = −2xdx
u = arcs e n x v=x

∴ du = dx
1− x2

xdx = x arcs e n x + 1 dw 1− x2 + c
∫ ∫ ∫arcs e n xdx = x arcs e n x − 2 w1 = x arcs e n x+
1− x2
2

4.29.- ∫ x s e n xdx

Solución.- dv = s e n xdx
u=x v = − cos x

∴ du = dx

∫ x s e n xdx = −x cos x + ∫ cos xdx = −x cos x + s e n x + c

4.30.- ∫ x cos 3xdx

Solución.-

u=x dv = cos 3xdx
∴ v = 1 se n 3x

du = dx 3

∫ x cos 3xdx = x s e n 3x − ∫ 1 s e n 3xdx = x s e n 3x + cos 3x + c
3 3 3 9

∫4.31.- x2−x dx

Solución.- dv = 2−x dx
u=x v = − 2−x

∴ η2
du = dx

∫ ∫x2−x dx = − x2−x + 1 2−x dx = − x2−x + 1 ⎛ −2− x ⎞ + c = − 2x x 2 − 2−x 1 2 2 + c
η2 η2 η2 ⎜ η2 ⎟ η η
η2 ⎝ ⎠

∫4.32.- x2e3xdx

Solución.-

90

∴ u = x2 dv = e3xdx
du = 2xdx v = 1 e3x

3

∫ ∫x2e3xdx = x2 e3x − 2 xe3xdx , integral la cual se desarrolla nuevamente por partes,

33

esto es: u=x dv = e3xdx
∴ v = 1 e3x

du = dx 3

x2 e3x 2 ⎛ x e3x 1 e3 x ⎞ x2 e3x 2 xe3x 2 e3xdx = x2 e3x − 2x e3x + 2 e3x + c
∫ ∫=3 − 3 ⎝⎜ 3 − 3 dx ⎟⎠ = 3 − 9 + 9 3 9 27

∫4.33.- x3e−x3dx

Solución.-

∴ u = x3 dv = e−x3 dx
du = 3x2dx v = −3e−x3

∫ ∫x3e−x3dx = −3x3e−x3 + 9 x2e−x3dx , integral la cual se desarrolla nuevamente por

partes, esto es: ∴ u = x2 dv = e−x3 dx

du = 2xdx v = −3e−x3

( ∫ ) ∫= −3x3e−x3 + 9 −3x2e−x3 + 6 xe−x3 dx = −3x3e−x3 − 27x2e−x3 + 54 xe−x3 dx

, la nueva integral se desarrolla por partes, esto es:

u=x dv = e−x3 dx
∴ v = −3e−x3

du = dx

( ∫ )=3x3 27 x 2 3x3 27 x 2 162 x +162(−3e−x3 ) +
− ex − ex + 54 −3xe−x3 + 3 e− x3 d x = − ex − ex − ex c

3 3 3 3 3

= − 3x3 − 27 x 2 − 162x − 486 +c
ex ex ex ex

3 3 3 3

4.34.- ∫ x s e n x cos xdx

Solución.- dv = s e n 2xdx
u=x v = − cos 2x

∴ 2
du = dx

∫ x s e n x cos xdx = 1 ∫ x s e n 2 xdx = 1 ⎛ − x cos 2x + 1 ∫ cos 2xdx ⎞
2 2 ⎜⎝ 2 2 ⎠⎟

= − x cos 2x + 1 ∫ cos 2xdx = − x cos 2x + 1 s e n 2 x + c
4 4 4 8

4.35.- ∫ x2 η xdx

Solución.-

91

u = ηx dv = x2dx

∴ du = dx v = x3
x 3

∫ ∫x2 η xdx = x3 η x − 1 x2dx = x3 η x − x3 + c
33 39

4.36.- ∫ η x dx
x3

Solución.-

u = ηx dv = x−3dx

∴ du = dx v=− 1
x 2x2

∫ ∫ ∫ηx x−3 ηx 1 x−3dx ηx 1
2x2 2 2x2 4x2
x3
dx = η xdx = − + = − − + c

4.37.- ∫ η x dx
x

Solución.-

u = ηx dv = x− 12dx
∴ du = dx v=2 x

x

∫ ∫ ∫ηx dx = x− 1 − 1 x ηx−4
2 η xdx = 2 x ηx−2 x 2 dx = 2 x +c

x

4.38.- ∫ x arcτ gxdx

Solución.- dv = xdx
u = arcτ gx

∴ du = dx v = x2
1+ x2 2

∫ ∫ ∫x arcτ gxdx = x2 arcτ gx − 1 x2dx x2 1 ⎝⎜⎛1 − 1 ⎠⎟⎞dx
1+ x2 2 2 1+ x2
22
= arcτ gx −

∫ ∫= x2 arcτ gx − 1 dx + 1 dx = x2 arcτ gx − 1 x + arcτ gx + c

2 2 2 1+ x2 2 2 2

4.39.- ∫ x arcs e n xdx

Solución.- dv = xdx
u = arcs e n x

∴ du = dx v = x2
1+ x2 2

∫ ∫x arcs e n xdx = x2 arcs e n x − 1 x2dx , integral para la cual se sugiere la
2 2 1+ x2
sustitución siguiente: ∴ x = s e nθ

dx = cosθ dθ

92

∫= x2 arcs e n x − 1 s e n2 θ cosθ dθ

2 2 cosθ

= x2 arcs e n x − 1 ∫ ⎛ 1− cos 2θ ⎞⎟⎠dθ = x2 arcs e n x − 1 ∫ dθ + 1 ∫ cos 2θ dθ
2 2 ⎜⎝ 2 2 4 4

= x2 arcs e n x − 1 θ + 1 s e n 2θ + c = x2 arcs e n x − 1 arcs e n x + 2s e nθ cosθ + c
2 48 24 8

Como: s e nθ = x, cosθ = 1− x2 ; luego:

= x2 arcs e n x − 1 arcs e n x + 1 x 1− x2 + c
2 44

4.40.- ∫ s xdx x
e n2

Solución.-

u=x dv = cos ec2 xdx
∴ v = − coτ gx

du = dx

∫ s xdx x = ∫ x cos ec2 xdx = −x coτ gx + ∫ coτ gxdx = −x coτ gx + η senx +c
e n2

4.41.- ∫ ex s e n xdx

Solución.-

u =senx dv = exdx
∴ v = ex

du = cos xdx

∫ ∫ex s e n xdx = ex s e n x − ex cos xdx , integral la cual se desarrolla por partes, esto es:

u = cos x dv = exdx
∴ v = ex

du = − s e n xdx

( )∫ ∫= ex s e n x − ex cos x + ex s e n xdx = ex s e n x − ex cos x − ex s e n xdx

∫ ∫Luego se tiene: ex s e n xdx = ex s e n x − ex cos x − ex s e n xdx , de donde es inmediato:

∫2 ex s e n xdx = ex (s e n x − cos x) + c

∫ ex s e n xdx = ex (s e n x − cos x) + c

2

4.42.- ∫ 3x cos xdx

Solución.-

u = cos x dv = 3x dx
∴ v = 3x

du = − s e n xdx η3

93

∫ ∫3x cos xdx = cos x 3x + 1 3x s e n xdx , integral la cual se desarrolla por partes,

η3 η3

u =senx dv = 3x dx
esto es: ∴ v = 3x

du = cos xdx η3

∫= cos x 3x +

η3
1⎛ 3x s e n x − 1 3x cos xdx ⎞
⎜ η3 η3 ⎟
η 3 ⎝ ⎠

3x + 3x s e n x − 1 3x cos xdx ,luego:
η3 η23 η23
∫= cos x

3x 3x ⎛ s en x ⎞ 1 3x cos xdx , de donde es inmediato:
∫ ∫= = η ⎜ + η3 ⎟ − η23
cos xdx cos x ⎠

⎝

∫= (1+ 1 ) 3x cos xdx = 3x ⎛ cos x + s en x ⎞ + c
η2 η3 ⎜ η3 ⎟
3 ⎝ ⎠

∫= ( η 23 +1) 3x cos xdx = 3x ⎛ cos x + s en x ⎞ + c
η3 ⎜ η3 ⎟
η23 ⎝ ⎠

∫= 3x cos xdx = 3x η3 ⎛ cos x + s en x ⎞ + c
η2 3+1 ⎝⎜ η3 ⎟⎠

4.43.- ∫ s e n( η x)dx

Solución.- dv = dx
u = s e n( η x) v=x

∴ du = cos( η x) dx
x

∫ s e n( η x)dx = x s e n( η x) − ∫ cos( η x)dx , integral la cual se desarrolla por partes,

esto es:

u = cos( η x) dv = dx
∴ du = − s e n( η x) dx v=x

x

= x s e n( η x) − ⎣⎡x cos( η x) + ∫ s e n( η x)dx⎦⎤ = x s e n( η x) − x cos( η x) − ∫ s e n( η x)dx

Se tiene por tanto:

∫ s e n( η x)dx = x[s e n( η x) − cos( η x)] − ∫ s e n( η x)dx , de donde es inmediato:

2∫ s e n( η x)dx = x[s e n( η x) − cos( ηx)]+ c ∫ s e n( η x)dx = x [s e n( η x) − cos( ηx)]+ c

2

4.44.- ∫ (x2 − 2x + 3) η xdx

Solución.-

94

u = ηx dv = (x2 − 2x + 3)dx

∴ du = dx v = x3 − x2 + 3x
x 3

∫ ∫(x2 − 2x + 3) η xdx = ( x3 − x2 + 3x) η x − x2 − x + 3)dx
(
33

∫ ∫ ∫= ( x3 − x2 + 3x) η x − x2 dx − xdx + 3 dx = ( x3 − x2 + 3x) η x − x3 − x2 + 3x + c
33 3 92

4.45.- ∫ x η 1− x dx
1+ x

Solución.-

u = η 1− x dv = xdx
∴ 1+ x v = x2
2dx
du = x2 −1 2

x η 1− x dx = x2 η 1− x − x2dx = x2 η 1− x − (1+ 1 )dx
∫ ∫ ∫1+ x 2 1+ x x2 −1 2 1+ x x2 −1

∫ ∫= x2 η 1− x − dx − dx = x2 η 1− x − x − 1 η x −1 + c
2 1+ x x2 −1 2 1+ x 2 x +1

∫4.46.- η 2x dx dv = x−2dx

x2
Solución.-

u = η2x

∴ du = 2 η x dx v=−1
x x

η2x +2 η2x + 2
x x
∫ ∫ ∫η2xdx = − ηx dx = − x−2 η xdx , integral la cual se desarrolla
x2
x2

por partes, esto es:

u = ηx dv = x−2dx

∴ du = dx v=−1
x x

η2 x ⎛ ηx + dx ⎞ η2x − 2 ηx + 2 dx = − η2x − 2 ηx − 2 +c
x ⎝⎜ x x2 ⎟⎠ xx x2 x xx
∫ ∫= − + 2 − = −

4.47.- ∫ x2 arcτ g3xdx

Solución.- dv = x2dx
u = arcτ g3x

∴ du = 3dx v = x3
1+ 9x2 3

95

x2 arcτ g3xdx = x3 arcτ g3x − x3dx

∫ ∫ ∫3
x3dx = x3 arcτ g3x − 1 1 + x2
1+ 9x2 3 9 9

x3 arcτ 1 ⎡ ⎛ 1 x ⎞⎤ x3 arcτ g3x − 1 x2 1 xdx
⎢ ⎜x− 9 ⎟ dx⎥ =
= ∫ ∫3 g3x − +
9 ⎢ ⎜⎝ x2 + 1 ⎠⎟ ⎥ 3 92 81 x2 + 1
⎣ 9 ⎦ 9

= x3 arcτ g3x − x2 + 1 η x2 + 1 + c
3 18 162 9

4.48.- ∫ x(arcτ gx)2 dx

Solución.- dv = xdx
u = (arcτ gx)2

∴ du = 2 arcτ gxdx v = x2
1+ x2 2

∫ ∫x(arcτ gx)2 dx = x2 (arcτ gx)2 − (arcτ x2dx , integral la cual se desarrolla por
gx) 1+ x2
2

partes, esto es:

u = arcτ gx dv = x2dx
∴ du = dx 1+ x2

1+ x2 v = x − arcτ gx

(x arcτ gx) 2 ⎡⎢⎣( x arcτ arcτ arcτ dx ⎤
∫= 2 − − gx) gx − ( x − gx) +x ⎦⎥
1 2

= (x arcτ gx) 2 − x arcτ gx + (arcτ gx)2 + arcτ gxdx
1+ x2
∫ ∫2
xdx −
1+ x2

= (x arcτ gx) 2 − x arcτ gx + (arcτ gx)2 + 1 η(1+ x2 ) − (arcτ gx) 2 + c
2 22

4.49.- ∫ (arcs e n x)2 dx

Solución.-

u = (arc s e n x)2 dv = dx
∴ du = 2 arc s e n xdx v=x

1− x2

∫ ∫(arcs e n x)2 dx = x(arcs e n x)2 − 2 arcs e n x xdx , integral la cual se desarrolla por

1− x2

partes, esto es: ∴ u = arcs e n x dv = xdx
du = dx 1− x2

1− x2 v = − 1− x2

∫= x(arcs e n x)2 − 2 ⎡⎣− 1− x2 arcs e n x + dx⎦⎤

= x(arcs e n x)2 + 2 1− x2 arcs e n x − 2x + c

96

4.50.- ∫ arcs e n x dx
x2

Solución.- dv = x−2dx
u = arcs e n x

∴ du = dx v=−1
1− x2 x

xdx x−2 arcs e n xdx = − arcs e n x + dx
x x 1− x2
∫ ∫ ∫arcs en =

x2

= − arcs e n x + η x + c
x 1+ 1− x2

4.51.- ∫ arcs e n x dx
1− x

Solución.-

u = arcs e n x dv = dx
1− x
∴ du = dx 1
1− x 2 x v = −2 1− x

∫ arcs e n x dx = −2 1− x arcs e n x+∫ dx = −2 1− x arcs e n x+2 x +c
1− x x

∫4.52.- sen2 x
dx
ex

Solución.-

∴ u = sen2 x dv = e−xdx
du = 2s e n x cos x v = −e−x

∫ ∫ ∫se n2xdx
ex = s e n2 xe−xdx = −e−x s e n2 x + 2 s e n x cos xe−xdx

∫= −e−x s e n2 x + 2 s e n 2xe−xdx , ∗ Integral la cual se desarrolla por partes, esto es:

2

∴ u = sen 2x dv = e−xdx
du = 2 cos 2xdx v = −e−x

∫= −e−x s e n2 x + 2 cos 2xe−xdx , Integral la cual se desarrolla por partes, esto es:

∴ u = cos 2x dv = e−xdx
du = −2s e n 2xdx v = −e−x

∫ ( ∫ )s e n 2xe−xdx = −e−x s e n 2x + 2 −e−x cos 2x − 2 s e n 2xe−xdx

∫ ∫s e n 2xe−xdx = −e−x s e n 2x − 2e−x cos 2x − 4 s e n 2xe−xdx , de donde:
∫5 s e n 2xe−xdx = −e−x (s e n 2x + 2 cos 2x) + c

97

∫ s e n 2xe−xdx = −e−x (s e n 2x + 2 cos 2x) + c , Sustituyendo en: ∗

5

∫ s e n2 xdx = −e−x s e n2 x − 2e−x (s e n 2x + 2 cos 2x) + c

ex 5

∫ ∫ ∫ ∫4.53.- τ g2x sec3 xdx = (sec2 x −1) sec3 xdx = sec5 xdx(∗) − sec3 xdx(∗∗)

Solución.- Sea: u = sec3 x dv = sec2 xdx
du = 3sec3 xτ gxdx v = τ gx
∗∫ sec5 xdx ,

∫ ∫ ∫sec5 xdx = sec3 x sec2 xdx = sec3 xτ gx − 3 sec3 xτ g 2xdx

u = sec x dv = sec2 xdx
v = τ gx
∗∗ ∫ sec3 xdx , Sea: du = sec xτ gxdx

∫ sec3 xdx = ∫ sec x sec2 xdx = sec xτ gx − ∫ sec xτ g 2xdx = sec xτ gx − ∫ sec x(sec x2 −1)dx

= sec xτ gx − ∫ sec3 xdx +∫ sec xdx , luego: 2∫ sec3 xdx = sec xτ gx + ∫ sec xdx

Esto es: ∫ sec3 xdx = 1 (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c , ahora bien:
2

∫ ∫ ∫τ g 2x sec3 xdx = sec5 xdx − sec3 xdx , con ( ∗ y ∗∗ )

∫ ∫τ g 2x sec3 xdx = sec3 xτ gx − 3 sec3 xτ g 2xdx − 1 (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c
2

∫De lo anterior: 4 τ g2x sec3 xdx = sec3 xτ gx − 1 (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c

2

∫Esto es: τ g 2x sec3 xdx = 1 sec3 xτ gx − 1 (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c

48

∫4.54.- x3 η 2xdx

Solución.-

u = η2x dv = x3dx

∴ du = 2 η x dx v = x4
x 4

∫ ∫x3 η 2xdx = x4 η 2x − 1 x3 η xdx , integral la cual se desarrolla por partes, esto es:

42

u = ηx dv = x3dx

du = dx v = x4
x 4

∫= x4 ⎛ x4 ⎞ x4 η2x − 1 x4 ηx + 1 x4 + c
⎜ 4 ⎟ 4 8 84
4 ⎝
η 2 x − 1 ηx− 1 x 3dx =
2 4
⎠

= x4 η2x − 1 x4 ηx + x4 + c
48 32

98

4.55.- ∫ x η(9 + x2 )dx

Solución.- dv = xdx
u = η(9 + x2 )

∴ du = 2xdx v = x2
9 + x2 2

x η(9 + x2 )dx = x2 x3 x2 ⎛ 9x ⎞⎠⎟dx
9 + x2 2 ⎝⎜ x2 +
∫ ∫ ∫2
η(9 + x2 ) − dx = η(9 + x2 ) − x − 9

∫ ∫= x2 xdx = x2 η(9 + x2 ) − x2 + 9 η(x2 + 9) + c
9 + x2 2 22
2
η(9 + x2 ) − xdx + 9

= x2 ⎣⎡ η (9 + x 2 ) − 1⎦⎤ + 9 η(x2 + 9) + c
2 2

4.56.- ∫ arcs e n xdx

Solución.-

u = arcs e n xdx dv = dx
∴ du = dx 1 v=x

1− x2 2 x

∫ arcs e n xdx = x arcs e n x−∫ xdx 1 = x arcs e n x − 1 ∫ xdx
1− x 2 x 2 1− x

Para la integral resultante, se recomienda la siguiente sustitución:

1− x = t , de donde: x = 1− t2 , y dx = −2tdt ( ver capitulo 9)

= x arcs e n x − 1 1− t2 (−2 t dt)dx = x arcs e n x + 1− t2 dt , Se recomienda la
2t

sustitución: t = s e nθ , de donde: 1− t2 = cosθ , y dt = cosθ dθ . Esto es:

= x arcs e n x + ∫ cos2 θ dθ = x arcs e n x + 1 ∫ (1 + cos 2θ )dθ
2

= x arcs e n x + 1 θ + 1 s e n 2θ + c = x arcs e n x + 1 θ + 1 s e nθ cosθ + c
24 22

= x arcs e n x + arcs e n t + t 1− t2 + c = x arcs e n x + arcs e n 1− x + 1− x x +c
22 2 2

4.57.- ∫ x arcτ g(2x + 3)dx

Solución.- dv = xdx
u = arcτ g(2x + 3)

∴ du = 2dx v = x2
(2x + 2
1+ 3)2

∫ ∫x arcτ g(2x + 3)dx = x2 arcτ g(2x + 3) − x2dx

2 1+ 4x2 +12x + 9

99

x2dx ⎛ 3x + 52 ⎞
+12x +10 ⎜ x2 +12x + ⎟dx
∫ ∫= x2 arcτ g(2x + 3) − x2 ⎜⎝ 1 ⎟⎠
2 2 4
4x2 = arcτ g(2x + 3) − − 4 10

= x2 arcτ g(2x + 3) − 1 ∫ dx + ∫ 3x + 52 dx
2 4 4x2 +12x +10

∫= x2 arcτ g(2x + 3) − 1 x + 3 4 x 2 x+ 56 10 dx
+12x +
24

∫= x2 arcτ g(2x + 3) − 1 x + 3 4 8 x + 40 6 10 dx
x2 + 12 x +
2 48

∫= x2 arcτ g(2x + 3) − 1 x + 3 8x +12 − 32 6 dx
2 48 4x2 +12x +10

= x2 arcτ g(2x + 3) − 1 x + 3 (8x +12)dx − 3 32 dx
∫ ∫2 4 8 4x2 +12x +10 8 6 4x2 +12x +10

∫= x2 arcτ g(2x + 3) − 1 x + 3 dx
4x2 +12x +10
2 48
η 4x2 +12x +10 − 2

= x2 arcτ g(2x + 3) − 1 x + 3 η 4x2 +12x +10 − 2 dx
∫2 4 8
(2x + 3)2 +1

= x2 arcτ g(2x + 3) − 1 x + 3 η 4x2 +12x +10 − 2 2dx
∫2 4 8 2 (2x + 3)2 +1

= x2 arcτ g(2x + 3) − 1 x + 3 η 4x2 +12x +10 − arcτ g(2x + 3) + c
2 48

= 1 ⎣⎢⎡( x 2 − 2) arcτ g(2x + 3) − 1 x + 3 η 4x2 +12x +10 ⎤ +c
2 2 4 ⎦⎥

4.58.- ∫ e x dx

Solución.-

u=e x dv = dx
∴ du = e x dx v=x

2x

∫ ∫e x dx = xe x − 1 xe x dx , Se recomienda la sustitución: z = x, dz = dx
2 2x 2x

∫= xe x − 1 z2ezdz , Esta integral resultante, se desarrolla por partes:

2

∴ u = z2 dv = ezdz
du = 2zdz v = ez

( ∫ ) ∫= xe x − 1 z2ez − 2 zezdz = xe x − z2ez + zezdz , integral que se desarrolla por
22
partes:

100

u=z dv = ezdz
∴ v = ez

du = dz

∫= xe x − z2ez + zez − ezdz = xe x − z2ez + zez − ez + c = xe x − xe x + xe x − e x + c
222

=e x ⎛ x + x −1⎞⎟⎠ + c
⎜⎝ 2

4.59.- ∫ cos2 ( η x)dx

Solución.-

u = cos(2 η x) dv = dx
v=x
∴ du = − [s e n(2 η x)]2dx

x

∫ cos2 ( η x)dx = ∫ 1 + cos(2 η x) dx = 1 ∫ dx + 1 ∫ cos(2 η x)dx
2 2 2

= 1 x+ 1 ⎡⎣x cos(2 η x) + 2∫ s e n(2 η x)dx⎦⎤ = x+ x cos(2 η x) + ∫ s e n(2 η x)dx ∗
2 2 2 2

Integral que se desarrolla por partes: dv = dx
u = s e n(2 η x) v=x

∴ du = − [cos(2 η x)]2dx

x

∗= x+ x cos(2 ηx) + x s e n(2 η x) − 2∫ cos(2 η x)dx ,
2 2

Dado que apareció nuevamente: ∫ cos(2 η x)dx , igualamos: ∗

x + 1 ∫ cos(2 η x)dx = x + x cos(2 ηx) + x s e n(2 η x) − 2∫ cos(2 η x)dx , de donde:
2 2 2 2

5 ∫ cos(2 η x)dx = x cos(2 η x) + x s e n(2 ηx) + c
2 2

1 ∫ cos(2 η x)dx = x cos(2 ηx) + x s e n(2 ηx) + c , Por tanto:
2 10 5

∫ cos2 ( η x)dx = x + x cos(2 ηx) + x s e n(2 ηx) + c
2 10 5

4.60.- ∫ η( η x) dx , Sustituyendo por: w = η x, dw = dx , Se tiene:
x x

Solución.-

∫ η ( η x) dx = ∫ ηwdw , Esta integral se desarrolla por partes:
x

u = ηw dv = dw
∴ du = dw v=w

w

= w ηw − ∫ dw = w ηw − w + c = w( ηw −1) + c = η x[ η( η x) −1] + c

101

4.61.- ∫ η x +1 dx

Solución.-

u = η x +1 dv = dx
∴ du = dx v=x

x +1

∫ η x +1 dx = x η x +1 − ∫ xdx = x η x +1 − ∫ ⎛⎜⎝1− x 1 1 ⎟⎠⎞dx
x +1 +

= x η x +1 − x+ η x+1 + c

∫4.62.- x2exdx

Solución.-

∴ u = x2 dv = exdx
du = 2xdx v = ex

∫ ∫x2exdx = x2ex − 2 xexdx

Integral que se desarrolla nuevamente por partes:

u=x dv = exdx
∴ v = ex

du = dx

∫= x2ex − 2 ⎣⎡ xex − exdx⎤⎦ = x2ex − 2xex + 2ex + c

∫ ∫4.63.- cosn xdx = cosn−1 x cos xdx

Solución.-

u = cosn−1 x dv = cos xdx
∴ v =senx

du = (n −1) cosn−2 x(− s e n x)dx

∫= cosn−1 x s e n x + (n −1) s e n2 x cosn−2 xdx

∫= cosn−1 x s e n x + (n −1) (1− cos2 x) cosn−2 xdx

∫ ∫= cosn−1 x s e n x + (n −1) cosn−2 xdx − (n −1) cosn xdx , Se tiene:

∫ ∫ ∫cosn xdx = cosn−1 x s e n x + (n −1) cosn−2 xdx − (n −1) cosn xdx , Esto es:

∫ ∫n cosn xdx = cosn−1 x s e n x + (n −1) cosn−2 xdx

∫ ∫cosn xdx = cosn−1 x s e n x + (n −1) cosn−2 xdx

nn

∫ ∫4.64.- s e nn xdx = s e nn−1 x s e n xdx

Solución.- dv = s e n xdx
u = s e nn−1 x v = − cos x

∴
du = (n −1) s e nn−2 x(cos x)dx

∫= − s e nn−1 x cos x + (n −1) cos2 x s e nn−2 xdx
∫= − s e nn−1 x cos x + (n −1) (1− s e n2 x) s e nn−2 xdx

102

∫ ∫= − s e nn−1 x cos x + (n −1) s e nn−2 xdx − (n −1) s e nn xdx , Se tiene:

∫ ∫ ∫s e nn xdx = − s e nn−1 x cos x + (n −1) s e nn−2 xdx − (n −1) s e nn xdx

∫ ∫n s e nn xdx = − s e nn−1 x cos x + (n −1) s e nn−2 xdx

∫ ∫s e nn xdx = − s e nn−1 x cos x + (n −1) s e nn−2 xdx

nn

∫ ∫ ∫4.65.- xm ( η x)n dx = xm+1( η x)n − n xm ( η x)n−1dx − m xm ( η x)n dx

Solución.-

u = xm ( ηx)n dv = dx
∴ du = xmn( η x)n−1 dx + mxm−1( η x)n dx v=x

x

∫ ∫Se tiene: (m +1) xm ( η x)n dx = xm+1( η x)n − n xm ( η x)n−1dx

∫ ∫xm ( η x)n dx = xm+1( η x)n − n xm ( η x)n−1 dx
(m +1) (m +1)

∫4.66.- x3( η x)2 dx

Solución.-
Puede desarrollarse como caso particular del ejercicio anterior, haciendo:
m = 3, n = 2

x3 ( η x)2 dx = x3+1( η x)2 − 2 x3 ( η x)2−1dx = x4 ( η x)2 − 1 x3 ( η x)dx ∗
∫ ∫ ∫3 +1 3 +1
42

Para la integral resultante: ∫ x3( η x)dx ∗

∫ ∫x3( η x)dx = x4 ( η x) − 1 x3dx = x4 ( η x) − x4 + c , introduciendo en: ∗
44 4 16

∫ x3( η x)2 dx = x4 ( η x)2 − x4 ( η x) + x4 + c
48 32

∫4.67.- xnexdx

Solución.-

∴ u = xn dv = exdx
du = nxn−1dx v = ex

∫ ∫xnexdx = xnex − n xn−1exdx

∫4.68.- x3exdx

Solución.- dv = exdx
∴ u = x3 v = ex

du = 3x2dx

Puede desarrollarse como el ejercicio anterior, haciendo: n = 3

∫ ∫x3exdx = x3ex − 3 x2exdx ∗ , Además:

103

∫ ∫ ∫ ∫∗ x2exdx = x2ex − 2 xexdx ∗∗ , Además: xexdx = xex − exdx = xex − ex + c

Reemplazando en ∗∗ y luego en ∗ :

∫ x3exdx = x3ex − 3 ⎣⎡x2ex − 2(xex − ex )⎤⎦ + c

∫ x3exdx = ex (x3 − 3x2 + 6x − 6) + c

∫ ∫4.69.- secn xdx = secn−2 x sec2 xdx

Solución.- dv = sec2 xdx
u = secn−2 x v = τ gx

∴
du = (n − 2) secn−3 x sec xτ gxdx

∫ ∫= secn−2 xτ gx − (n − 2) τ g 2 x secn−2 xdx = secn−2 xτ gx − (n − 2) (sec2 x −1) secn−2 xdx

∫ ∫= secn−2 xτ gx − (n − 2) secn xdx +(n − 2) secn−2 xdx , Se tiene:

∫ ∫ ∫secn xdx = secn−2 xτ gx − (n − 2) secn xdx +(n − 2) secn−2 xdx

∫ ∫(n −1) secn xdx = secn−2 xτ gx + (n − 2) secn−2 xdx

∫ ∫secn xdx = secn−2 xτ gx + (n − 2) secn−2 xdx

(n −1) (n −1)

4.70.- ∫ sec3 xdx

Solución.-

Puede desarrollarse como caso particular del ejercicio anterior, haciendo:

n=3

sec3 xdx = sec3−2 xτ gx + 3 − 2 sec3−2 xdx = sec xτ gx + 1 sec xdx
∫ ∫ ∫3 −1 3 −1
22

= sec xτ gx + 1 η sec xτ gx + c
22

4.71.- ∫ x η xdx

Solución.- dv = xdx
u = ηx

∴ du = dx v = x2
x 2

∫ ∫x η xdx = x2 η x − xdx = x2 η x − 1 x2 + c
2 22 4

4.72.- ∫ xn η ax dx, n ≠ −1

Solución.- dv = xdx
u = η ax

∴ du = dx v = xn+1
x n +1

∫ ∫xn η ax dx = xn+1 η ax − 1 xndx = xn+1 η ax − xn+1 + c

n +1 n +1 n +1 (n +1)2

104

4.73.- ∫ arcs e n axdx

Solución.- dv = dx
u = arcs e n ax v=x

∴ du = adx
1− a2 x2

arcs e n axdx = x arcs e n ax − axdx = x arcs e n ax + 1 (−2a2x)dx
∫ ∫ ∫1− a2x2
2a 1− a2x2

1 (1 − a 2 x 2 ) 1 1
2

= x arcs e n ax + 2a 1 + c = x arcs e n ax + a 1− a2x2 + c

2

4.74.- ∫ x s e n axdx

Solución.- dv = s e n axdx
u=x v = − 1 cos ax

∴ a
du = dx

∫ x s e n axdx = − x cos ax + 1 ∫ cos axdx = − x cos ax + 1 s e n ax + c
a a a a2

= 1 se n ax − x cos ax + c
a2 a

4.75.- ∫ x2 cos axdx

Solución.- dv = cos axdx
∴ u = x2 v = − 1 s e n ax

du = 2xdx a

∫ x2 cos axdx = x2 s e n ax − 2 ∫ xsen axdx , aprovechando el ejercicio anterior:
a a

= x2 s e n ax − 2 ⎛ 1 s e n ax − x cos ax ⎞ + c = x2 s e n ax − 2 s e n ax − 2x cos ax + c
a a ⎝⎜ a2 a ⎟⎠ a a3 a2

4.76.- ∫ x sec2 axdx

Solución.-

u=x dv = sec2 axdx
∴ du = dx v = 1 τ gax

a

∫ x sec2 axdx = x τ gax − 1 ∫τ gaxdx = x τ gax − 1 1 η sec ax + c
a a a a a

= x τ gax − 1 η sec ax + c
a a2

4.77.- ∫ cos( η x)dx

Solución.-

105

u = cos( η x) dv = dx
∴ du = − s e n( η x) dx v=x

x

∫ cos( η x)dx = x cos( η x) + ∫ s e n( η x)dx , aprovechando el ejercicio:4.43

∫ s e n( η x)dx = x [s e n( η x) − cos( ηx)]+ c , Luego:

2

= x cos( η x) + x [s e n( η x) − cos( η x)] + c = x cos( η x) + x s e n( η x) − x cos( η x) + c

2 22

= x [cos( η x) + s e n( η x)] + c

2

4.78.- ∫ η(9 + x2 )dx

Solución.-

u = η(9 + x2 ) dv = dx
∴ du = 2xdx v=x

9 + x2

x2dx η(9 + x2 ) − 2 ⎜⎛⎝1 − 9 ⎞⎠⎟dx
9 + x2 + x2
∫ ∫ ∫η(9 + x2 )dx = x η(9 + x2 ) − 2 = x 9

∫ ∫= x η(9 + x2 ) − 2 dx η(9 + x2 ) − 2x + 6 arcτ g x3 +c
dx +18 9 + x2 =x

4.79.- ∫ x cos(2x +1)dx

Solución.-

u=x dv = cos(2x +1)dx
∴ v = 1 s e n(2x +1)

du = dx 2

∫ x cos(2 x + 1)dx = x s e n(2x + 1) − 1 ∫ s e n(2x + 1)dx
2 2

= x s e n(2x +1) + 1 cos(2x +1) + c
24

4.80.- ∫ x arc sec xdx

Solución.- dv = xdx
u = arc sec x

∴ du = dx v = x2
x x2 −1 2

∫ ∫x arc sec xdx = x2 arc sec x − 1 xdx = x2 arc sec x − 1 x2 −1 + c

2 2 x2 −1 2 2

4.81.- ∫ arc sec xdx

Solución.-

106

u = arc sec x dv = dx
∴ du = 1 dx v=x

2 x x −1

∫ arcsec xdx = x arc sec x − 1 ∫ dx = x arc sec x − x −1+ c
2 x −1

a2 − x2 dx = a2 − x2 dx = a2 dx − x2dx
a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2
∫ ∫ ∫ ∫4.82.-

∫= a2 arcs e n x − x xdx ∗ , integral que se desarrolla por partes:

a a2 − x2

Solución.-

u=x dv = xdx
∴ a2 − x2

du = dx v = − a2 − x2

( )∫∗ = a2 arcs e n x − −x a2 − x2 + a2 − x2 dx , Se tiene que:
a

∫ ∫a2 − x2 dx = a2 arcs e n x + x a2 − x2 − a2 − x2 dx , De donde:
a

∫2 a2 − x2 dx = a2 arcs e n x + x a2 − x2 + c

a

∫ a2 − x2 dx = a2 arcs e n x + x a2 − x2 + c

2 a2

4.83.- ∫ η 1− x dx

Solución.-

u = η 1− x dv = dx
∴ du = − dx v=x

1− x

∫ η 1− x dx = x η 1− x − ∫ xdx = x η 1− x − ∫ ⎛⎝⎜1 + x 1 ⎞ dx
x −1 −1 ⎟⎠

=x η 1− x − ∫ dx −∫ dx = x η 1− x − x− η x −1 + c
x −1

4.84.- ∫ η(x2 +1)dx

Solución.-

u = η(x2 +1) dv = dx
∴ du = 2xdx v=x

x2 +1

x2dx = ⎛⎝⎜1− 1 ⎞⎠⎟dx
x2 +1 2+
∫ ∫ ∫η(x2 +1)dx = x η(x2 +1) − 2
x η(x2 +1) − 2 x 1

= x η(x2 +1) − 2x + 2 arcτ gx + c

107

4.85.- ∫ arcτ g xdx

Solución.-

u = arcτ g x dv = dx
∴ du = dx 1 v=x

1+ x 2 x

∫ arcτ g xdx = x arcτ g x − 1 ∫ xdx ∗ En la integral resultante, se recomienda la
2 1+ x

sustitución: x = t , esto es x = t2, dx = 2tdt

= x arcτ g x − 1 ∫ t 2tdt = x arcτ g ∫x − t 2 dt = x arcτ g x − ∫ ⎛⎝⎜1 − 1 ⎠⎞⎟dt
2 1+ t2 1+ t2 1+ t2

= x arcτ g x − ∫ dt + ∫ 1 dt 2 = x arcτ g x − t + arcτ gt + c
+t

= x arcτ g x − x + arcτ g x + c

4.86.- ∫ x arcs e n xdx
1− x2

Solución.-

u = arcs e n x dv = xdx
∴ du = dx 1− x2

1− x2 v = − 1− x2

∫ ∫x arcs e n xdx = − 1− x2 arcs e n x + dx = − 1− x2 arcs e n x + x + c
1− x2

4.87.- ∫ x arcτ g x2 −1dx

Solución.-

u = arcτ g x2 −1 dv = xdx

∴ du = dx v = x2
x x2 −1 2

∫ ∫x arcτ g x2 −1dx = x2 arcτ g x2 −1 − 1 xdx = x2 arcτ g x2 −1 − 1 x2 −1 + c
22 x2 −1 2 2

∫4.88.- x arcτ gx
(x2 +1)2 dx

Solución.-

u = arcτ gx dv = xdx
(x2 +1)2
∴ dx
du = x2 +1 −1
v = 2(x2 +1)

− arcτ gx
2(x2 +1)
∫ ∫x arcτ gx dx = + 1 dx ∗ , Se recomienda la siguiente sustitución:
(x2 +1)2 2 (x2 +1)2

108

x = τ gθ , de donde: dx = sec2 θ dθ ; x2 +1 = sec2 θ

sec2 θ dθ = − arcτ gx + 1
∗ = − arcτ gx + 1

∫ ∫ ∫2(x2 +1) 2
sec4 θ 2(x2 +1) 2 cos2 θdθ = − arcτ gx + 1 1+ cos 2θ dθ
2(x2 +1) 2 2

= − arcτ gx + 1θ + 1 s e n 2θ + c = − arcτ gx + 1 arcτ gx + 1 s e nθ cosθ + c
2(x2 +1) 4 8 2(x2 +1) 4 4

= − arcτ gx + 1 arcτ gx + 1 x 1 +c
2(x2 +1) 4 4 x2 +1 x2 +1

= − arcτ gx + 1 arcτ gx + 4( x 1) + c
2(x2 +1) 4 x2 +

∫4.89.- arcs e n x xdx
(1− x2 )3

Solución.-

u = arcs e n x dv = xdx
∴ du = dx
(1 − x 2 ) 3
1− x2 2

v= 1
1− x2

xdx = arcs e n x − dx = arcs e n x + 1 η 1− x +c
∫ ∫arcs e n x 1− x2 1− x2 2 1+ x
(1− x2 )3 1− x2

4.90.- ∫ x2 1− xdx

Solución.-

u = 1− x dv = x2dx

∴ du = − dx v = x3
2 1− x 3

∫ ∫x2 1− xdx = x3 1− x + 1 x3dx ∗ , Se recomienda usar la siguiente
3 6 1− x

sustitución: 1− x = t , o sea: x = 1− t2 , De donde: dx = −2tdt

= x3 1− x + 1 (1− t2 )3 (− 2 t dt) = x3 1− x − 1 (1− t2 )3 dt
∫ ∫3 6 t
33

∫= x3 1− x − 1 (1− 3t2 + 3t4 − t6 )dt = x3 1− x − 1 (t − t3 + 3t5 − t7 ) + c
33 3 3 57

= x3 1 − x − 1 ⎡ 1− x − (1− x) 1− x + 3 (1− x)2 1− x − 3 (1− x)3 1− x ⎤ + c
3 3 ⎣⎢ 5 7 ⎦⎥

= 1− x ⎡ x3 −1− (1 − x) + 3 (1 − x)2 − 1 (1 − x)3 ⎤ + c
3 ⎢⎣ 5 7 ⎥⎦

109

IMPORTANTE: En este capítulo ningún resultado, o casi ninguno, se presentaron
en su forma más reducida. Esto es intencional. Una de las causas del fracaso en
éstos tópicos, a veces está en el mal uso del álgebra elemental.
He aquí una oportunidad para mejorar tal eficiencia. Exprese cada resultado en su
forma más reducida.

110