ติวสบายฟิสิกส์ (เพิ่มเติม) บทที่ 08 สภาพสมดุล+ยืดหยุ่น p01 สมดุลต่อการเลื่อนที่

ตวิ สบายฟิ สกิ ส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหย่นุ

บทที่ 8 สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น

ทบทวนเรื่องการแตกแรงเพอ่ื หาแรงลัพธ์

ข้ันตอนการแตกแรงเพอ่ื หาแรงลพั ธ์
ข้นั 1 แตกแรงท่ีอยใู่ นแนวเอียงใหอ้ ยใู่ นแนวแกน X และแกน Y
ข้นั 2 หาแรงลพั ธ์ในแนวแกน X และแกน Y
ข้ัน 3 หาแรงลพั ธ์สุดทา้ ยจาก F = Fx2  Fy2

1. จากรูป จงหาแรงลพั ธข์ องแรงยอ่ ยในรูปต่อไปน้ี 10 N

1. 5 นิวตนั 8 N 45o
2. 10 นิวตนั

3. 15 นิวตนั 2 2N
4. 20 นิวตนั

1

ติวสบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหย่นุ

8.1 สภาพสมดลุ

สภาพสมดุล (equilibrium ) คือภาวะที่วตั ถุรักษาสภาพการเคล่ือนท่ีให้คงเดิมได้ เช่นตู้
วางนิ่งๆ บนพ้ืน , รถยนตว์ ่ิงดว้ ยความเร็วคงท่ี , ลอ้ หมนุ ดว้ ยความเร็วคงตวั เป็นตน้

8.2 สมดุลต่อการเคลื่อนที่

สมดุลต่อการเคลอ่ื นท่ี ( translational equilibrium ) คือภาวะที่วตั ถุไม่เคล่ือนที่ (อยนู่ ่ิงๆ)

หรือเคลื่อนท่ีดว้ ยความเร็วคงตวั เช่นตวู้ างนิ่งๆ บนพ้ืน , รถยนตว์ ิ่งดว้ ยความเร็วคงท่ี เป็นตน้

สมดุลตอ่ การเลื่อนท่ี จะเกิดเม่ือแรงลพั ธ์ที่กระทาตอ่ วตั ถุมีค่าเป็นศนู ย์ ( ∑F = 0 )

หรือเกิดเมื่อ ผลรวมของแรงท่ีมีทิศไปทางซา้ ย = ผลรวมของแรงท่ีมีทิศไปทางขา้ งขวา

พร้อมกนั น้นั Fไปทางซา้ ย = Fไปทางขวา
ผลรวมของแรงที่มีทิศข้ึน = ผลรวมของแรงท่ีมีทิศลง

Fทิศข้ึน = Fทิศลง

2. ระบบในขอ้ ใดต่อไปน้ีอยใู่ นภาวะสมดุล 10 N 4. 8 N 18 N
8 N 10 N
1. 2. 8 N 3.
6N 8N 6N 18 N

3. จงตรวจดูวา่ ระบบอยใู่ นภาวะสมดุลหรือไม่ 40 N 40 N
1. สมดุล
2. ไม่สมดุล 30o 30o
3. เป็นไปไมไ่ ดท้ ้งั สองกรณี
4. ขอ้ มูลไมเ่ พียงพอที่จะหาคาตอบ 40 N

2

ติวสบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หยนุ่

4. จากรูป หากระบบอยใู่ นภาวะสมดุล จงหาขนาดของแรงดึงเชือก T1 และ T2 ตามลาดบั

1. 100 นิวตนั , 50 3 นิวตนั T1 30o5 kg
2. 50 3 นิวตนั , 100 นิวตนั T2
3. 50 นิวตนั , 25 3 นิวตนั
4. 25 3 นิวตนั , 50 นิวตนั mg

5(แนว En) ชายคนหน่ึงมีมวล 55 กิโลกรัม หอ้ ยอยดู่ ว้ ย 15o 15o
เชือกสองเส้น ดงั ในรูปจงหาความตึงในเส้นเชือกท้งั
4. 1100 นิวตนั
สอง ( sin15o = 0.25 , cos15o = 0.96 , g = 10 m/s2)

1. 275 นิวตนั 2. 540 นิวตนั 3. 550 นิวตนั

3

ติวสบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

6. ชายคนหน่ึงมวล 80 กิโลกรมั โหนเชือกเบาที่จุด O โดยปลายของเชือกท้งั สองขา้ งไปผกู ไว้

แน่นกบั เสาท่ี A และ B แรงดึงในเสน้ เชือก A 60o 30o B
AO และ BO เป็นเท่าไร

1. 400 และ 400 3 นิวตนั

2. 400 3 และ 400 นิวตนั O

3. 300 และ 300 3 นิวตนั

4. 300 3 และ 300 นิวตนั

7. จากรูป นาเชือกผกู กบั กอ้ นน้าหนกั W จง 53o 37o
T1 T2
หาอตั ราส่วนของขนาดของแรงดึงในเส้นเชือก
(sin 53o = 4/5 , sin 37o = 3/5) W
T1 ต่อ T2 2. 43
1. 35
3. 45 4. 43

4

ติวสบายฟิ สกิ ส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหย่นุ

8(แนว En) ล่ิมอยบู่ นพ้ืนราบที่ไมม่ ีแรงเสียดทาน m1 m1 m2
และ m2 ผกู ไวด้ งั รูป m1 , m2 และมุม  ตอ้ ง  ลิ่ม
สมั พนั ธ์กนั อยา่ งไร จึงจะทาใหล้ ่ิมไมเ่ ลื่อน (ไมค่ ิด

แรงเสียดทาน)

1. m1 = m2 cos  2. m2 = m1 cos 
3. m1 = m2 sin  4. m2 = m1 sin 

8.3 สมดุลต่อการหมุน

สมดุลต่อการหมุน คือภาวะที่วตั ถไุ มห่ มุน ( อยนู่ ่ิงๆ ) หรือหมนุ ดว้ ยความเร็วคงตวั เช่น
ไมค้ านซ่ึงถูกแรงขนาดเท่ากนั กดลงท้งั ดา้ นขวาและดา้ นซา้ ยห่างจากจดุ หมนุ เท่ากนั ดงั รูป เป็นตน้

FF

rr

8.3.1 โมเมนต์ของแรง หรือทอร์ก
การหมนุ ของวตั ถุจะข้ึนกบั โมเมนตข์ องแรง (moment of force) หรือทอร์ก (torque , )

ซ่ึงหมายถึงผลคูณเชิงเวกเตอร์ของแรงกระทาตอ่ วตั ถุ ( F ) กบั การกระจดั ที่วดั จากจุดหมุน ( r )
ขนาดของทอร์กหรือขนาดของโมเมนต์ จะมีค่าเท่ากบั ผลคูณระหว่างขนาดของแรงกบั

ระยะทางจากจุดหมนุ ไปต้งั ฉากกบั แนวแรงน้นั
นนั่ คือ M = F d
เม่ือ M คือขนาดของโมเมนต์ ( นิวตนั . เมตร )
F คือแรง ( นิวตนั )
d คือระยะห่างจากจุดหมนุ ไปต้งั ฉากกบั แนวแรงน้นั ( เมตร )

5

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยน่ ุ

สมดุลตอ่ การหมนุ จะเกิดเมื่อ

ผลรวมของโมเมนต์ทวนเขม็ นาฬิกา = ผลรวมของโมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา

 Mทวน =  Mตาม

9. ตามรูปเป็นคานเบาอนั หน่ึง ถามวา่ m ควร 1m 2m 10 N
มีคา่ ก่ีกิโลกรัม จึงจะทาใหค้ านอยใู่ นภาวะ 80 N m
สมดุล
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 4m

10. จากรูปจงหาคา่ X / Y ท่ีทาใหค้ านอยใู่ น 40 N 20 N
ภาวะสมดุลต่อการหมนุ Y

1. 1 / 2 2. 3 / 5

3. 4 / 5 4. 5 / 6 X

6

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

11. คานอนั หน่ึงยาว 6 เมตร หนกั 8 นิวตนั มี

จดุ หมุนอยหู่ ่างจากปลายขา้ งหน่ึง 1 เมตร ตาม F
รูป ตอ้ งใชแ้ รง F เท่าใด จึงจะทาใหค้ านน้ีอยู่
ในสภาพสมดุล 1m

1. 4 นิวตนั 2. 8 นิวตนั 3. 12 นิวตนั 4. 16 นิวตนั

12. จากรูปเป็นไมค้ านมีจุดหมนุ อยทู่ ี่ระยะห่าง 8m 2m
จากปลายขวา 2 เมตร มีชายคนหน่ึงมวล 3. 30 4. 40
60 กิโลกรมั ยนื อยบู่ นคานน้นั จงหาวา่
คานน้ีควรมีมวลก่ีกิโลกรมั จึงจะอยใู่ นภาวะ
สมดุล
1. 10 2. 20

7

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยนุ่

13. จากรูปใหห้ า T และ W วา่ เป็นแรง 5N T
ที่มีขนาดเท่าใดตามลาดบั

1. 5 นิวตนั , 1 นิวตนั 1m 1m 1m 1m
2. 6 นิวตนั , 2 นิวตนั
2m 2m

3. 7 นิวตนั , 3 นิวตนั 4N W 5N

4. 9 นิวตนั , 5 นิวตนั

14. ตามรูป นาย A และนาย B แบกกระดานสม่า

เสมอยาว 10 เมตร มีมวล 20 กิโลกรัม ใน RA 10 m RB
B
แนวระดบั เด็กคนหน่ึงยนื บนกระดานท่ีจุด C มี 3m

มวล 5 กิโลกรัม นาย A และ นาย B จะตอ้ ง A C

ออกแรงคนละก่ีนิวตนั ตอบตามลาดบั

1. 155 , 135 2. 115 , 85 W1 W2
3. 135 , 115 4. 85 , 115

8

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หยนุ่

8.3.2 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

แรงคู่ควบ (couple) คือแรงที่กระทาต่อวตั ถุสองแรงซ่ึงมีขนาดเท่ากนั แต่มีทิศตรงกนั ขา้ ม

โมเมนตข์ องแรงคูค่ วบจะมีขนาดเท่ากบั ผลคูณขนาดของแรงใดแรงหน่ึงกบั ระยะทางต้งั

ฉากระหวา่ งแนวแรงท้งั สอง

นน่ั คือ Mc = F l
เม่ือ Mc คือโมเมนตข์ องแรงคู่ควบ ( นิวตนั . เมตร )
F คือขนาดของแรงคูค่ วบ ( นิวตนั )

l คือระยะต้งั ฉากระหวา่ งแนวแรงท้งั สอง ( เมตร )

15(แนว มช) แรง 2 แรง ขนานกนั แตม่ ีทิศตรงกนั ขา้ ม ขนาด 50 นิวตนั เท่ากนั แนวแรงท้งั สอง

ห่างกนั 10 เซนติเมตร โมเมนตข์ องแรงคูน่ ้ีรอบจุดใด ๆ ท่ีอยรู่ ะหวา่ งแนวแรงท้งั คูจ่ ะเป็น

เท่าใด

1. 25 นิวตนั .เมตร 2. 500 นิวตนั .เมตร

3. 5 นิวตนั .เมตร 4. หาไม่ได้

16. ชายคนหน่ึงขบั รถเล้ียวซา้ ย เกิดโมเมนตข์ องแรงคู่ควบที่พวงมาลยั 200 นิวตนั -เมตร ถา้

ถา้ พวงมาลยั มีเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง 0.4 เมตร จงหาแรงที่มือแตล่ ะขา้ งดึงพวงมาลยั

1. 250 นิวตนั 2. 500 นิวตนั 3. 750 นิวตนั 4. 1000 นิวตนั

9

ติวสบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยนุ่

8.4 สมดลุ ของวัตถุ

17. กล่องส่ีเหล่ียมกวา้ ง 20 เซนติเมตร สูง 40 20 ซม.
เซนติเมตร หนกั 100 นิวตนั ถูกแรงกระทา
40 นิวตนั ณ. จดุ สูงเท่ากบั h จงหาวา่ ความสูง 40 N

h มีคา่ เทา่ ใด จึงจะทาใหก้ ลอ่ งน้ีเริ่มลม้ พอดี h

1. 20 เซนติเมตร 2. 25 เซนติเมตร

3. 30 เซนติเมตร 4. 35 เซนติเมตร

18(แนว En) ออกแรง F = 160 นิวตนั ผลกั ตูเ้ ยน็ 120 cm 90 cm
40 กิโลกรัม บนพ้ืนฝื ดท่ีความสูง 90 เซนต-ิ 4. 110
เมตร จากพ้ืนโดยตูเ้ ยน็ ไมล่ ม้ จงหาความ 3. 100
กวา้ งนอ้ ยที่สุดของฐานตูเ้ ยน็ (X) ในหน่วย
เซนติเมตร กาหนดใหค้ วามสูงของตูเ้ ยน็ คือ
120 เซนติเมตร และจดุ ศูนยก์ ลางมวลอยสู่ ูง
จากพ้ืน 60 เซนติเมตร ดงั รูป

1. 30 2. 72

10

ติวสบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยนุ่

19(แนว En) กลอ่ งวตั ถรุ ูปส่ีเหลี่ยมมีมวลสม่าเสมอ 37o

ฐานกวา้ ง 0.2 เมตร สูง 0.5 เมตร มีน้าหนกั P

200 นิวตนั วางอยบู่ นพ้ืนท่ีฝื ดมาก ถา้ ออกแรง
P กระทาตอ่ วตั ถุในแนวทามมุ 37o กบั แนว

ระดบั ดงั รูป จะตอ้ งออกแรง P เท่าใดจึงจะทาใหว้ ตั ถลุ ม้ พอดี

1. 25 นิวตนั 2. 50 นิวตนั 3. 75 นิวตนั 4. 100 นิวตนั

20. จากรูป วตั ถมุ วล 10 กิโลกรมั สูง 1.0 เมตร กวา้ ง 0.5

เมตร เคลื่อนท่ีในแนวระดบั ดว้ ยอตั ราเร่งคงท่ี ถา้ สมั ประ 0.5 ม.

สิทธ์ิความเสียดทานของผิวสัมผสั และพ้ืนราบมีคา่ 0.2 จง

หาอตั ราเร่งในแนวขนานซ่ึงผา่ นจุดศูนยก์ ลางมวลท่ีพอดีทา 1 ม.
ใหว้ ตั ถุลม้ กอ่ นที่เกิดการไถล
( ใหใ้ ช้ g = 9.8 เมตร/วินาที2 )
1. a = 2.5 เมตร/วนิ าที2 2. a = 4.9 เมตร/วนิ าที2
3. a = 9.8 เมตร/วนิ าที2 4. a = 19.6 เมตร/วินาที2

11

ติวสบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหย่นุ

21. บนั ไดสมา่ เสมอยาว 10 เมตร หนกั 400 นิวตนั ปลาย

บนพิงกาแพงเกล้ียงตรงจุดซ่ึงอยสู่ ูงจากพ้ืน 8 เมตร โดย

บนั ไดยนั กบั พ้ืนขรุขระห่างจากกาแพง 6 เมตร

ก. จงหาแรงท่ียนั ปลายบนั ไดไมใ่ หไ้ ถลลงมา

ข . ถา้ มีวตั ถหุ นกั 100 นิวตนั วางอยปู่ ลาย
บนั ไดดา้ นล่างห่างข้ึนมา 14 ของความยาวของบนั ได จงหาแรงเสียดทานท่ีพ้ืนราบ
1. ก. 150 นิวตนั , ข. 150 นิวตนั 2. ก. 150 นิวตนั , ข. 168.75 นิวตนั

3. ก. 168.75 นิวตนั , ข. 150 นิวตนั 4. ก. 168.75 นิวตนั , ข. 168.75 นิวตนั

22(แนว มช) เส้นลวดดึงคาน AB มีมวล 5 เส้นลวด
กิโลกรัม แขวนไวท้ ี่ปลาย B ถา้ คานสม่า
เสมอมีน้าหนกั 20 นิวตนั ยาว 5 เมตร A 30o 1m
มีปลาย A ตรึงติดกาแพง คานสมดุลอยไู่ ด้ B
ดงั รูป จงหาวา่ แรงดึงเส้นลวดมีค่ากี่นิวตนั 4m
1. 100 2. 150
3. 200 4. 300 5 kg

12

ติวสบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

8.5 การได้เปรียบเชิงกล และประสิทธิภาพเชิงกล F = 10 N

พิจารณาตวั อยา่ งคานงดั ต่อไปน้ี

W = 40 N

r = 1 ม. R = 4 ม.

จากรูปตวั อยา่ งจะพบวา่ การยกน้าหนกั (W) 40 นิวตนั เราใชแ้ รงกด (F) เพียง 10 นิวตนั

เช่นน้ีเรียกมีการไดเ้ ปรียบเชิงกล ( mechanical advantage , MA )

การไดเ้ ปรียบเชิงกลสามารถหาค่าไดจ้ าก
MA = WF หรือ MA = Rr

เม่ือ MA คือการไดเ้ ปรียบเชิงกล
W คือน้าหนกั ที่ยกได้
F คือแรงที่ใชย้ ก
R คือระยะห่างจากจุดหมนุ ถึงแรงที่ใช้
r คือระยะห่างจากจดุ หมนุ ถึงน้าหนกั ที่ยกได้

ในการปฏิบตั ิจริงน้นั น้าหนกั ที่ยกไดจ้ ริงจะมีขนาดนอ้ ยกว่าน้าหนกั ที่ยกไดจ้ ากการ
คานวณ เช่นจากตวั อยา่ งน้ีน้าหนกั ที่ยกไดจ้ ริงจะมีขนาดนอ้ ยกวา่ 40 นิวตนั แต่หากเครื่องมือมี
ประสิทธิภาพเชิงกลสูง ขนาดของน้าหนกั ท่ียกไดจ้ ริงจะมีขนาดใกลเ้ คียงกบั ท่ีคานวณได้

ประสิทธิภาพเชิงกล ( Mechanical Efficiency ) สามารถหาค่าไดจ้ าก
Eff = WR // Fr x 100 %

เม่ือ Eff คือประสิทธิภาพเชิงกล
W คือน้าหนกั ท่ียกไดจ้ ริง
F คือแรงท่ีใชย้ กจริง
R คือระยะห่างจากจุดหมนุ ถึงแรงที่ใช้
r คือระยะห่างจากจดุ หมุนถึงน้าหนกั ที่ยกได้

13

ติวสบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยนุ่

23. กรรไกรตดั ลวดมีระยะระหว่างลวดและจุดหมุนเป็ น 2 เซนติเมตร ระยะระหว่างจุดหมุน

และมือเป็น 10 เซนติเมตร ออกแรง F 50 นิวตนั บีบขากรรไกรดงั รูป F = 50 N

ก. แรงท่ีกระทาตอ่ ลวดเป็นเท่าใด

ข. การไดเ้ ปรียบเชิงกลเป็นเท่าใด W
1. ก. 100 N , ข. 2 เท่า

2. ก. 150 N , ข. 3 เท่า

3. ก. 200 N , ข. 4 เท่า W

4. ก. 250 N , ข. 5 เท่า 2 cm 10 cm

24(แนว มช) ทดลองโดยการใชล้ อ้ และเพลาดงั รูป สามารถยกวตั ถุ

มวล 40 กิโลกรมั โดยใชแ้ รง 50 นิวตนั กระทาท่ีขอบของลอ้

รศั มีของลอ้ และเพลามีคา่ เท่ากบั 96 และ 6 เซนติเมตร ตาม 50 N
40 kg
ลาดบั จงหาประสิทธิภาพเครื่องกลน้ี

1. 40% 2. 50% 3. 78% 4. 80%

25. เมื่อออกแรง 10 นิวตนั กดที่ปลายดา้ มคีมอนั หน่ึง จะเกิดแรงกดวตั ถุที่ปลายคีมเท่าไร ถา้
ปากคีมยาว 2 เซนติเมตร ดา้ มคีมยาว 10 เซนติเมตร และคีมมีประสิทธิภาพ 95%
1. 37.5 นิวตนั 2. 43.0 นิวตนั 3. 47.5 นิวตนั 4. 50.0 นิวตนั

14

ติวสบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหย่นุ

26. คานงดั อนั หน่ึงยาว 3 เมตร ชายคนหน่ึงตอ้ งการงดั กอ้ นหินกอ้ นหน่ึงหนกั 100 กิโลกรัม

โดยออกแรงกดลง 200 นิวตนั ถา้ คานงดั น้ีมีประสิทธิภาพ 70 % เขาจะตอ้ งนาที่รองงดั มา

วางห่างจากกอ้ นหินเท่าไร

1. 0.21 เมตร 2. 0.37 เมตร 3. 0.52 เมตร 4. 1.04 เมตร

8.6 เสถยี รภาพของสมดุล

ขณะที่วตั ถอุ ยใู่ นสภาวะสมดุล อาจมีการวางตวั ในลกั ษณะต่างๆ กนั ซ่ึงจะทาใหว้ ตั ถุมี
เสถียรภาพของสมดุลต่างกนั ไป

เสถียรภาพของสมดุลแบ่งไดเ้ ป็น 3 แบบ ไดแ้ ก่
1. สมดุลแบบเสถียร คือสมดุลท่ีมีรากฐานรองรับมนั่ คง
เมื่อถูกแรงกระทาเลก็ นอ้ ยจะเปล่ียนลกั ษณะการวางตวั แตเ่ ม่ือ
แรงกระทาน้นั หมดไปจะสามารถกลบั คืนสู่ลกั ษณะเดิมได้
2. สมดุลแบบไม่เสถียร คือสมดุลท่ีมีรากฐานออ่ นแอ
เมื่อถูกกระทบกระเทือนจะเปล่ียนลกั ษณะการวางตวั และจะไม่
สามารถกลบั คืนสู่ลกั ษณะเดิมได้
3. สมดุลแบบสะเทนิ คือสมดุลซ่ึงเมื่อถกู แรงมากระ
เทือนจะเปลี่ยนตาแหน่งที่อยู่ แต่ลกั ษณะการวางตวั ยงั คงเหมือน
เดิม

15

ติวสบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยน่ ุ

27. สมดุลตอ่ ไปน้ีเป็นสมดุลแบบใด ค. แท่งปิ รามิดวางต้งั บนพ้ืน

ก. เหรียญบาทต้งั ตะแคง ข. ลูกแกว้ วางบนพ้ืน

1. ก. ไม่เสถียร ข. สะเทิน ค. เสถียร

2. ก. ไมเ่ สถียร ข. เสถียร ค. สะเทิน

3. ก. เสถียร ข. สะเทิน ค. ไมเ่ สถียร

4. ก. เสถียร ข. ไม่เสถียร ค. สะเทิน

8.7 ศูนย์กลางมวล และศูนย์ถ่วง

พิจารณาตวั อยา่ งต่อไปน้ี สมมตุ ิมีแผน่ สี่เหล่ียมเบาซ่ึงมีมวล m1 , m2 , m3 , m4 ติด
อยตู่ รงมมุ ณ.จุด (x1 , y1) , (x2 , y2) , (x3 , y3) , (x4 , y4) ตามลาดบั กรณีเช่นน้ีมวลท้งั ส่ี
จะเสมือนเขา้ มารวมกนั อยทู่ ่ีจดุ ( x , y ) ดงั รูป จุดซ่ึงเป็ นเสมือนท่ีรวมของ มวล ของวตั ถุท้งั
กอ้ นเช่นน้ี เรียกศูนย์กลางมวล ( center of mass , cm )

เราสามารถหาศนู ยก์ ลางมวลไดจ้ าก (x2 , y2) (x3 , y3)
m2 m3
cm = ( x , y )

เม่ือ x = m1xm11mm2x22mm33x.3... .... (x1 , y1) ( x , y ) (x4 , y4)
และ y = m1ym11mm2y22mm33y.3... .... m1 m4

ศูนย์กลางมวล ( center of gravity , cg ) คือจดุ ซ่ึงเป็นท่ีรวมของนา้ หนัก ของวตั ถุท้งั กอ้ น

เราสามารถหาศูนยก์ ลางมวลไดจ้ าก (x2 , y2) (x3 , y3)
W2 W3
cg = ( x , y )
เมื่อ x = W1xW11WW2x22WW33x.3... .... (x1 , y1) ( x , y ) (x4 , y4)
และ y = W1yW11WW2y22WW33y.3... .... W1 W4

16

ตวิ สบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยนุ่

28. แผน่ พลาสติกบางเบารูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั มีความ

ยาวดา้ นละ 20 เซนตเิ มตร มีมวล 1 , 2 , 3 Y 3 kg
และ 4 กิโลกรมั ติดอยทู่ ี่มุมท้งั สี่ดา้ น จงหาจดุ
2 kg

ศนู ยก์ ลางมวลของระบบน้ี

1. ( 14 , 10) 2. ( 14 , 8) 1 kg 4 kg X
3. ( 8 , 10) 4. ( 8 , 8)

29. คานเบายาว 1 เมตร วางตวั อยใู่ นแนวราบ 1 ม.
ตรงปลายท้งั สองมีมวล 3 และ 6 กิโลกรมั
ติดอยดู่ งั รูป จงหาวา่ ศนู ยก์ ลางมวลจะอยู่ m1 = 3 kg m2 = 3 kg
ห่างจากมวล 3 กิโลกรมั ก่ีเมตร

17

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

8.8 สภาพยืดหย่นุ

สภาพยดื หย่นุ (elasticity) คือสมบตั ิของวตั ถทุ ี่มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่างเมื่อมีแรงกระทา
และสามารถคืนตวั กลบั สู่สภาพเดิมเมื่อหยดุ ออกแรงกระทา

สภาพพลาสติก (plasticity) คือสมบตั ิของวตั ถทุ ี่มีการเปล่ียนรูปร่างไปอยา่ งถาวร โดยผิว
วตั ถุไมฉ่ ีกขาดหรือแตกหกั

พิจารณาตวั อยา่ งการออกแรงดึงสปริงต่อไปน้ี เม่ือออก
แรงดึง (หรือกด) สปริง (หรือเส้นลวด) จะพบวา่ ในขอบเขต
หน่ึงความยาวที่เปลี่ยนไป (x) จะแปรผนั ตรงกบั แรงกระทา (F)

( กฎของฮุก , Hooke’s law ) เม่ือเขียนกราฟแสดงความสมั
พนั ธ์ระหวา่ งแรง ( F ) กบั ความยาวท่ีเปล่ียนไป ( x ) จะไดก้ ราฟเป็ นเส้นตรงดงั ช่วง 0a ในรูป
จุด a น้ีเรียกขีดจากดั การแปรผันตรง (proportional limit) เมื่อออกแรงมากกวา่ จุด a ไป
เลก็ นอ้ ยจนถึงจดุ b ความยาวจะเปลี่ยนไปเพียงเลก็ นอ้ ย และเม่ือหยดุ แรงกระทาสปริงจะยงั คง

กลบั ไปอยใู่ นสภาพเดิมได้ จุด b น้ีเรียกขีดจากัดสภาพยืดหยุ่น (elastic limit) และเมื่อออก
แรงมากเกินกว่าจุด b สปริงจะเปล่ียนรูปร่างไปอยา่ งถาวร ไม่สามารถกลบั คืนสู่สภาพเดิมได้

อีก และถา้ ออกแรงไปถึงจุด c เส้นวสั ดุจะขาด จุด c น้ีเรียกจุดแตกหัก (breaking point)
และสภาพของวสั ดุช่วง bc กค็ ือสภาพพลาสติก

F

* * *b c (จดุ แตกหกั )

a (ขีดจำกดั สภำพยืดหย่นุ )
(ขดี จำกดั กำรแปรผนั ตรง)

0x

ช่วง 0a ระยะยดื กบั แรงจะแปรผนั ตรงต่อกนั เมื่อหมดแรงกระทาสปริงจะคืนสภาพเดิมได้
ช่วง ab ระยะยดื กบั แรงจะไมแ่ ปรผนั ตรงตอ่ กนั เม่ือหมดแรงกระทาสปริงยงั คืนสภาพเดิมได้
ช่วง bc เม่ือแรงกระทาหมดไปสปริงจะไมค่ ืนสภาพเดิม เม่ือถึงจดุ c สปริงจะขาด

18

ติวสบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยน่ ุ

8.8.1 ความเค้น และ ความเครียด

พิจารณาตวั อยา่ งดงั รูป เม่ือเส้นลวดถกู แรงดึง F ทุกๆ

ส่วนของภาคตดั ขวางของเส้นลวดจะไดร้ บั แรงกระทาเป็น F

อยา่ งสมา่ เสมอ อตั ราส่วนระหวา่ งแรงกระทากบั พ้ืนท่ีภาคตดั

ขวางของเสน้ ลวด เรียกวา่ ความเค้นดึง (tensile stress)

นนั่ คือ s = AF
เม่ือ s คือความเคน้ ( นิวตนั /เมตร2)

F คือแรงเคน้ ( นิวตนั ) F = mg
A คือพ้ืนท่ีภาคตดั ขวางของเสน้ ลวด (เมตร2)

โดยทวั่ ไปความเคน้ มี 2 ชนิด

1. ความเค้นตามยาว ( longitudinal stress) เกิดจากแรงกระทาตามแนวยาวของวตั ถุ

ซ่ึงไดแ้ ก่ ความเค้นดึง (tensile stress) เกิดจากแรงดึง

และ ความเค้นอดั (compressive stress) เกิดจากแรงกดหรือแรงอดั

2. ความเค้นเฉือน (shear stress) เกิดจากแรงเฉือน

เมื่อเส้นลวดถกู แรงกระทาความยาวของเสน้ ลวดจะเปล่ียนไป อตั ราส่วนระหวา่ งความ

ยาวที่เปลี่ยนไปต่อความยาวเดิม เรียกความเครียด ( strain )
นน่ั คือ e = L0L
เมื่อ e คือความเครียดตามยาว

L คือความยาวที่เปลี่ยนไป ( เมตร )

Lo คือความยาวเดิม ( เมตร )

19

ติวสบายฟิ สกิ ส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหย่นุ

8.8.2 ค่ามอดูลสั ของยงั

ค่ามอดูลสั ของยงั (Young’s modulus) เป็นค่าคงท่ีซ่ึงไดจ้ ากอตั ราส่วนของความเคน้ ตอ่

ความเครียด

นนั่ คือ Y = se =  AF  = AF ΔLoL

 L oL 
 

เม่ือ E คือค่ามอดูลสั ของยงั ( นิวตนั /เมตร2)
s คือความเคน้ ( นิวตนั /เมตร2)

e คือความเครียด

F คือแรงเคน้ ( นิวตนั )
A คือพ้ืนท่ีหนา้ ตดั ของเสน้ ลวด ( เมตร2)

Lo คือความยาวเดิม ( เมตร )
L คือความยาวท่ีเปลี่ยนไป ( เมตร )

30. ในการทดลองหาค่ามอดูลสั โดยใชน้ ้าหนกั 450 กิโลกรัม แขวนไวท้ ่ี

ปลายลวดเหลก็ ยาว 2 เมตร พ้ืนท่ีหนา้ ตดั 0.15 ตารางเซนติเมตร
ปรากฏวา่ ลวดยดื ออก 0.3 เซนติเมตร จงหาความเคน้ (นิวตนั /เมตร2 )
1. 1 x 108 2. 2 x 108
3. 3 x 108 4. 4 x 108 M

31. จากขอ้ ที่ผา่ นมา จงหาความเครียด 3. 2.0 x 10–3 4. 2.5 x 10–3
1. 1.0 x 10–3 2. 1.5 x 10–3

32. จากขอ้ ที่ผา่ นมา จงหาคา่ มอดูลสั ของยงั ของลวดเหลก็ น้ี ในหน่วยนิวตนั /ตารางเมตร
1. 1 x 1011 2. 2 x 1011 3. 3 x 1011 4. 4 x 1011

20

ติวสบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

33(แนว มช) วตั ถหุ นกั 100 นิวตนั แขวนดว้ ยลวดโลหะซ่ึงมีความยาวเดิมเท่ากบั 1 เมตร มีพ้ืน
ที่หนา้ ตดั เท่ากบั 100 ตารางเซนติเมตร ถา้ ลวดโลหะน้ีมีค่ามอดูลสั ของยงั เท่ากบั 20 x 1010

นิวตนั ตอ่ ตารางเมตร ลวดน้ีจะยดื ออกเท่าใด 2. 0.5 x 10–7 เมตร
1. 0.5 x 10–6 เมตร 4. 0.5 x 10–11 เมตร
3. 0.5 x 10–12 เมตร

34. ลวดเหลก็ เส้นหน่ึงยาว 4 เมตร มีพ้ืนที่หนา้ ตดั 5 x 10–5 ตารางเมตร จงหาวา่ แรงดึงท่ีทา
ใหล้ วดเสน้ น้ียดื ออก 0.02 x 10–2 เมตร มีคา่ ก่ีนิวตนั
(คา่ มอดูลสั ของยงั ของลวดเหลก็ เท่ากบั 2 x 1011 นิวตนั ต่อตารางเมตร)
1. 200 2. 300 3. 400 4. 500

35. ลวดโลหะชนิดหน่ึงมีความยาว 1 เมตร คา่ มอดูลสั ของยงั เป็น 2.5x1011 นิวตนั /ตารางเมตร

พ้ืนท่ีภาคตดั ขวาง 2 ตารางมิลลิเมตร นาไปยดึ ติดกบั วตั ถุมวล m ทาใหล้ วดยดื ออกไป

อีก 0.01 เมตร จงหาขนาดของมวล m ในหน่วยกิโลกรัม

1. 500 2. 1000 3. 2000 4. 5000

21

ติวสบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยนุ่

36. แท่งโลหะอนั หน่ึงมีพ้ืนท่ีภาคตดั ขวาง 3 ตารางเซนติเมตร และมีค่ามอดูลสั ของยงั เท่ากบั
2 x 1011 นิวตนั /ตารางเมตร จงหาว่าจะตอ้ งออกแรงดึงก่ีนิวตนั จึงจะทาให้แท่งโลหะมี

ความยาวเพ่ิมข้ึน 0.01 เปอร์เซ็นต์

1. 5000 2. 5700 3. 6000 4. 7000

37(แนว En) ลวดทาดว้ ยโลหะต่างชนิดกนั สองเสน้ ยาวเท่ากนั มีพ้ืนท่ีหนา้ ตดั เป็น 0.05 และ 0.09
ตารางเซนติเมตร เม่ือดึงลวดท้งั สองน้ีดว้ ยแรงเท่ากนั มนั จะยดื ออกเท่ากบั 0.3 และ 0.2
เซนติเมตร ตามลาดบั จงหาอตั ราส่วนของมอดูลสั ของยงั ของลวดเส้นท่ีหน่ึงต่อมอดูลสั ของ

ยงั ของลวดเสน้ ท่ีสอง
1. 12070 2. 65 3. 65 4. 12070

22

ติวสบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหย่นุ

38. ลวดเหลก็ และลวดทองเหลืองยาวเท่ากนั มีพ้ืนที่หนา้ ตดั เป็น 0.10 และ 0.15 ตารางเซนติ-

เมตร เม่ือดึงลวดท้งั สองดว้ ยแรงเท่ากนั ลวดจะยืดออก 0.25 และ 0.20 เซนติเมตร ตาม

ลาดบั จงหาอตั ราส่วนยงั มอดูลสั ของลวดเหลก็ และลวดทองเหลือง

1. 3 : 4 2. 4 : 3 3. 5 : 6 4. 6 : 5

39. ลวด 2 เสน้ ทาดว้ ยวสั ดุชนิดเดียวกนั ถา้ ลวด A ยาวเป็นคร่ึงหน่ึงของลวด B แตก่ ลบั มี

รัศมี 2 เท่าของลวด B ถา้ ตอ้ งการดึงลวดท้งั สองใหย้ ดื ออกมา โดยใหค้ วามยาวท่ียดื ออกมา

มีขนาดเท่ากนั แรงท่ีใชย้ ดื ลวด A ตอ้ งมีขนาดเท่าใด

1. 1/8 ของแรงท่ีใชย้ ดื ลวด B 2. 2 เท่าของแรงที่ใชย้ ดื ลวด B

3. 4 เท่าของแรงที่ใชย้ ดื ลวด B 4. 8 เท่าของแรงที่ใชย้ ดื ลวด B

23

ติวสบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยนุ่

40(แนว En) ลวดเหล็กกลา้ สาหรับดึงลิฟท์ตวั หน่ึงมีพ้ืนที่หนา้ ตดั 10 ตารางเซนติเมตร ตวั

ลิฟท์ และสมั ภาระในลิฟท์มีน้าหนกั 2000 กิโลกรัม จงหาความเคน้ (stress) ในสายเคเบิล
ในขณะท่ีลิฟทก์ าลงั เคล่ือนที่ข้ึนดว้ ยความเร่งสูงสุด 2.0 เมตรตอ่ (วินาที)2
1. 24 x 106 เมตรตอ่ (วินาที)2 2. 48 x 106 เมตรตอ่ (วนิ าที)2
3. 40 x 106 เมตรตอ่ (วินาที)2 4. 32 x 106 เมตรตอ่ (วินาที)2

41. ลวดเหลก็ ดึงลิฟท์มีความเคน้ ที่ขีดจากดั ความยดื หยนุ่ เท่ากบั 2 x 108 นิวตนั /ตารางเมตร
และมีพ้ืนท่ีหนา้ ตดั 1.77 x 10–4 ตารางเมตร ถา้ ลิฟท์และสัมภาระมีมวล 2000 กิโลกรัม

ลิฟทน์ ้ีจะสามารถเคลื่อนท่ีข้ึนดว้ ยความเร่งสูงสุดเท่าใด ลวดจึงจะไม่ยดื เกินขีดจากดั
(กาหนดให้ g = 10 เมตร/วินาที2)
1. 7.7 เมตร/วนิ าที2 2. 6.3 เมตร/วินาที2
3. 5.0 เมตร/วนิ าที2 4. 4.3 เมตร/วินาที2



24

ติวสบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหย่นุ

ตะลุยโจทย์ท่วั ไป
บทที่ 8 สมดุลกลและสภาพยืดหยุ่น

8.1 สภาพสมดลุ

8.2 สมดุลต่อการเคล่ือนท่ี

1. จากรูป จงหาแรงลพั ธข์ องแรงยอ่ ยในรูปภาพ 16 N
1. 5 นิวตนั
18 N
2. 10 นิวตนั 45o
3. 15 นิวตนั

4. 20 นิวตนั 10 2 N

2. จงตรวจดูวา่ ระบบในรูปน้ี อยใู่ นภาวะสมดุลหรือไม่ 10 N 10 N
1. สมดุล 60o 60o
2. ไม่สมดุล
3. เป็นไปไมไ่ ดท้ ้งั สองกรณี 10 3 N
4. ขอ้ มลู ไม่เพียงพอที่จะหาคาตอบ

3. จากรูปมวล 2 กิโลกรัม ผกู เชือกแขวนเพดาน T 45o
ถกู แรงผลกั P ผลกั ไปทางขวา มีแรงดึงเชือก ( T )
และ น้าหนกั กระทาดงั รูป จงหาขนาดของแรง P
ดึงเชือก ( T ) และแรงผลกั ( P ) ตามลาดบั
1. 10 นิวตนั , 10 2 นิวตนั mg
2. 10 2 นิวตนั , 10 นิวตนั
3. 20 นิวตนั , 10 2 นิวตนั
4. 10 2 นิวตนั , 20 นิวตนั

25

ติวสบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หยนุ่

4. จากรูปมวล 4 2 กิโลกรัม ผกู เชือกแขวนเพดาน ถกู แรงผลกั P ผลกั ไปทางขวา มีแรง

ดึงเชือก (T) และน้าหนกั ( mg ) กระทาดงั รูป จงหาขนาดของแรงดึงเชือก (T) และแรง

ผลกั ( P ) ตามลาดบั

1. 40 นิวตนั , 20 2 นิวตนั

2. 20 2 นิวตนั , 40 นิวตนั T 45o P
3. 80 นิวตนั , 40 2 นิวตนั

4. 40 2 นิวตนั , 80 นิวตนั

mg

5. มวล 4 3 กิโลกรมั ผกู เชือกแขวนจากเพดาน นาย ก. ออกแรงผลกั มวลไปในแนวระดบั
จนเชือกทามมุ 30o จงหาวา่ เชือกมีความตึง

เท่าไร และตอ้ งออกแรงผลกั เท่าไรตามลาดบั

1. 40 นิวตนั , 20 นิวตนั 30o T
2. 20 3 นิวตนั , 40 นิวตนั
P

3. 80 นิวตนั , 40 นิวตนั

4. 40 3 นิวตนั , 80 นิวตนั

6. มวล 20 3 กิโลกรมั ผกู เชือกแขวนจากเพดาน

นาย ก. ออกแรงผลกั มวลไปในแนวระดบั จนเชือก 30o T
ทามมุ 30o จงหาวา่ เชือกมีความตึงเท่าไร และ
P
ตอ้ งออกแรงผลกั เท่าไร ตามลาดบั

1. 400 นิวตนั , 200 นิวตนั 2. 200 3 นิวตนั , 400 นิวตนั

3. 200 นิวตนั , 400 นิวตนั 4. 400 3 นิวตนั , 400 นิวตนั

7. วตั ถกุ อ้ นหน่ึงแขวนไวด้ ว้ ยเชือกเบา 3 เส้น 30o
ดงั รูป ถา้ เชือกแตล่ ะเส้นรับขนาด แรงดึง
ไดไ้ มเ่ กิน 20 นิวตนั จงหาวา่ จะแขวนน้า W
หนกั ไดม้ ากที่สุดก่ีนิวตนั

26

ติวสบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

8. กรอบรูปส่ีเหล่ียมหนกั 30 นิวตนั มีเชือกเสน้ หน่ึงผกู ที่ 37o 37o

มุมบนท้งั สองของกรอบรูปแลว้ คลอ้ งกบั ตะปูลื่นตวั หน่ึง
ปรากฏวา่ เส้นเชือกทามุม 37o กบั แนวกรอบรูป จงหา
แรงดึงในเส้นเชือก ( sin 37o = 3/5 )

1. 25 นิวตนั 2. 30 นิวตนั

3. 40 นิวตนั 4. 60 นิวตนั

9(แนว มช) วตั ถุมวล 0.6 กิโลกรมั ผกู เชือกแขวนกบั เพดาน 60o 60o
0.6 kg
ดงั รูป จงหาความตึงในเชือกที่ติดกบั เพดาน

1. 23 นิวตนั 2. 3 นิวตนั
3. 2 3 นิวตนั 4. 3 2 นิวตนั

10. โคมไฟมวล 8.5 กิโลกรัม หอ้ ยอยดู่ ว้ ยลวดเบา 10o 10o

สองเสน้ ดงั รูป จงหาความตึงในเส้นลวดท้งั สอง
กาหนด sin 10o = 0.17 , cos 10o = 0.98

1. 250 นิวตนั 2. 500 นิวตนั

3. 600 นิวตนั 4. 850 นิวตนั

11. หีบสมั ภาระหนกั W นิวตนั ถกู ยกข้ึนดงั รูป ปรากฏวา่ หีบใบน้ีเคลื่อนท่ีข้ึนดว้ ยความเร็ว

สม่าเสมอ 5 เมตร/วินาที ถา้ OA และ OB เป็ นเชือกท่ียาวเท่ากนั จงหาแรงดึงใน

เชือก OA มีคา่ เท่าใด O
W 2W
1. 2 sin  2. cos   
3. 2W  2  4.
  

sin 2 W2  A B
2 cos2

27

ตวิ สบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หยน่ ุ

12. แขวนวตั ถมุ วล m ดว้ ยเชือกเบาดงั รูป ถา้ แรง 60o

ดึงในเส้นเชือกตามแนวระดบั มีขนาด 60 นิวตนั 60 N
m
จงหาน้าหนกั ของวตั ถนุ ้นั

1. 30 นิวตนั

2. 30 3 นิวตนั

3. 60 3 นิวตนั

4. 120 นิวตนั

13. ชายคนหน่ึงมวล 50 กิโลกรัม โหนเชือกเบาที่จุด O โดยปลายของเชือกท้งั สองขา้ งไปผกู

ไวแ้ น่นกบั เสาที่ A และ B แรงดึงในเสน้ เชือก AO และ BO เป็นเท่าไรตามลาดบั
A 60o 30o B
1. 250 นิวตนั และ 250 3 นิวตนั
O
2. 250 3 นิวตนั และ 250 นิวตนั

3. 250 3 นิวตนั และ 250 3 นิวตนั

4. 250 นิวตนั และ 250 นิวตนั

14. จากรูป นาเชือกผกู กบั กอ้ นน้าหนกั 40 นิวตนั 60o 30o
จงหาขนาดของแรงดึงเชือก T1 และ T2 T1 T2
1. 20 นิวตนั , 20 3 นิวตนั
2. 20 3 นิวตนั , 20 นิวตนั 40 N
3. 10 นิวตนั , 10 3 นิวตนั
4. 10 3 นิวตนั , 10 นิวตนั

15. มวล 10 กิโลกรมั แขวนดว้ ยเชือก 2 เส้น ทามมุ 30o 60o
กข
กบั เพดานดงั รูป จงหาอตั ราส่วนของขนาดแรงดึง
10 kg
เชือกในแนวดิ่งของเชือก ก ตอ่ เชือก ข

1. 1 : 1 2. 1 : 2

3. 1 : 3 4. 1 : 3

28

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยน่ ุ

16. จงหาอตั ราส่วนของแรง T1 ตอ่ T2 เม่ือระบบ 60o
อยนู่ ิ่ง T1 T2

1. 12 2. 23 w
3. 23 4. 23

17. วตั ถุ M และ m สมดุลกนั ดงั รูปอตั ราส่วน 53o 37o m
Mm คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี ( ให้ sin 37o = 35 ) M
1. 4/3
2. 5/3
3. 7/5
4. 8/5

18. ตามรูป เชือกท่ีโยงกาแพงแนวต้งั กบั คานเบามาก T
จะตอ้ งทนแรงดึงไดไ้ มต่ ่ากวา่ ก่ีนิวตนั จึงจะทาให้
น้าหนกั 46 นิวตนั อยใู่ นสภาวะสมดุล 60o
1. 23
2. 23 3 46 N
3. 46
4. 46 3

19. วตั ถมุ วล 20 กิโลกรัม วางอยบู่ นพ้ืนเอียงลื่น ซ่ึงทามุม 30o กบั แนวระดบั จงหาแรงนอ้ ย

ท่ีสุดท่ีผลกั วตั ถุข้ึนตามแนวพ้ืนเอียง ท่ีทาใหว้ ตั ถอุ ยใู่ นสภาพสมดุลได้

1. 100 นิวตนั 2. 200 นิวตนั 3. 300 นิวตนั 4. 400 นิวตนั

29

ตวิ สบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยน่ ุ

20. เด็กสามคนกาลงั แยง่ ต๊กุ ตาตวั หน่ึง เดก็ คนหน่ึง เด็กคนแรก

ออกแรง ดึงท่ีหวั ( ทิศเหนือ ) ดว้ ยแรง 50 นิวตนั 50 N

เดก็ อีกคนหน่ึงดึงขาดา้ นซา้ ยทามุมกบั เส้นระดบั 30o 30o เดก็ คนสุดทา้ ย

ดว้ ยแรงค่าหน่ึง เดก็ คนสุดทา้ ยจะตอ้ งออกแรง เด็กคนที่ 2

เท่าใดท่ีแขนดา้ นขวาเพ่ือใหเ้ กิดสมดุล (ดูภาพประกอบ)
50
1. 3 นิวตนั 2. 25 3 นิวตนั

3. 253 นิวตนั 4. 50 3 นิวตนั

21. ตามรูปเป็นคานเบาอนั หน่ึง ถามวา่ m 1m 2m 10 N
ควรมีค่าก่ีกิโลกรัม จึงจะทาใหค้ านอยู่ 50 N m
ในภาวะสมดุล
1. 0.5 2. 1.0 4m
3. 1.5 4. 2.0

8.3 สมดลุ ต่อการหมุน

8.3.1 โมเมนต์ของแรง หรือทอร์ก

22. คานสมา่ เสมอยาว 50 เซนติเมตร มีไม้ 5 cm 20 cm 25 cm

หมอนหนุนไวท้ ่ีจุดก่ึงกลางคาน P และมี P
น้าหนกั แขวนไวท้ ่ีต่างๆ ดงั รูป ถา้ ตอ้ ง

การใหค้ านวางตวั ตามแนวระดบั จะตอ้ ง 2 kg

แขวนมวล 5 กิโลกรัม เพ่ิมทางขวามือ 4 kg 4 kg
ของจุด P ห่างออกไปกี่เซนติเมตร

1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

23. นาย A และนาย B ยนื อยปู่ ลายกระดานหก 4m 6m
คนละดา้ น มวลของกระดาน 5 กิโลกรัม จดุ

หมนุ อยทู่ ่ี C ถา้ นาย A มีมวล 60 กิโลกรมั

นาย B จะมีมวลก่ีกิโลกรมั A B
1. 50 2. 49 C
4. 39
3. 40

30

ติวสบายฟิ สกิ ส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หยน่ ุ

24. คานสมา่ เสมอหนกั 30 นิวตนั จงหาน้า B

หนกั W ที่ทาใหร้ ะบบน้ียงั คงสมดุลไดพ้ อ

ดี คานถกู แขวนโดยเชือก AB ( น้าหนกั 4L 6L

เบามาก) ดงั รูป A

1. 30 นิวตนั 2. 7.5 นิวตนั W
3. 45.5 นิวตนั 4. 10 นิวตนั

25. แท่งไมย้ าว L มีมวล 0.04 กิโลกรัม ปลาย 3. 0.7 4. 0.9
ขา้ งหน่ึงผกู ไวก้ บั เพดานดว้ ยเชือก ปลายอีกขา้ ง
หน่ึงวางไวบ้ นแผน่ โฟมซ่ึงลอยอยใู่ นอ่างน้า นา
ตมุ้ น้าหนกั มวล 0.04 กิโลกรมั มาหอ้ ยไวท้ ่ี
ระยะ L4 จากปลายที่ผกู เชือก จงหาวา่ แรงที่
แผน่ โฟมกระทาตอ่ ไมม้ ีค่าก่ีนิวตนั

1. 0.3 2. 0.5

26. คานสมา่ เสมอ AB ยาว 4 เมตร มีมวล 60

กิโลกรัม วางพาดอยบู่ นเสา A และเสา C ซ่ึง CB
อยหู่ ่างกนั 3 เมตร ชายคนหน่ึงมีมวล 75 กิ- A 4. 3.8 เมตร

โลกรัม เดินจาก A ไป B ดงั รูป จงหาวา่ เขา

จะเดินไดไ้ กลจาก A มากที่สุดเท่าไร คานจึงคงสภาพสมดุลอยไู่ ด้

1. 3.2 เมตร 2. 3.4 เมตร 3. 3.6 เมตร

27(แนว มช) แผน่ ไมส้ ม่าเสมอแผน่ หน่ึงยาว 4.0 เมตร มีมวล 60 กิโลกรมั วางพาดอยบู่ นหมอน

หนุนที่จุด C และปลาย A ต้งั อยบู่ นคมมีด ชายคนหน่ึงหนกั 600 นิวตนั เดินบนแผน่ ไม้

จาก A ไปยงั B ดงั รูป จงหาวา่ เขาจะเดินไปไดไ้ กลจาก A เป็นระยะทางมากที่สุดก่ีเมตร

แผน่ ไมจ้ ึงจะยงั คงสภาพสมดุลคร้ังสุด

ทา้ ยอยไู่ ด้ 2. 2.5 A 2.5 m C B
1. 2.0

3. 3.0 4. 3.5

31

ติวสบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยนุ่

28. กระดานสปริงสาหรบั กระโดดน้า หนกั 400 นิวตนั มีหลกั ยดึ กบั กระดานสปริงที่ A และ

B ซ่ึงห่างกนั 1/4 ของความยาวของกระดานสปริง ดงั รูป จงหาขนาดของแรงท่ี A และ B

กระทาตอ่ กระดานสปริง ขณะที่นกั กระโดดน้าหนกั 600 นิว ตนั ท่ีปลายคาน C ยนื น่ิงอยู่

1. A = 2200 นิวตนั , B = 3200 นิวตนั

2. A = 1200 นิวตนั , B = 1200 นิวตนั

3. A = 3200 นิวตนั , B = 2200 นิวตนั

4. A = 2200 นิวตนั , B = 1200 นิวตนั C

AB

8.3.2 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

29. แรง 2 แรง ขนานกนั แตม่ ีทิศตรงกนั ขา้ มขนาด 100 นิวตนั เท่ากนั แนวแรงท้งั สองห่างกนั

5 เซนติเมตร โมเมนตข์ องแรงคูน่ ้ีรอบจดุ ใดๆ ที่อยรู่ ะหวา่ งแนวแรงท้งั คู่จะเป็นเท่าใด

1. 5 นิวตนั .เมตร 2. 10 นิวตนั .เมตร

3. 15 นิวตนั .เมตร 4. 20 นิวตนั .เมตร

30. ชายคนหน่ึงขบั รถเล้ียวซา้ ย เกิดโมเมนตข์ องแรงคูค่ วบท่ีพวงมาลยั 100 นิวตนั –เมตร ถา้

พวงมาลยั มีเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง 0.5 เมตร จงหาแรงที่มือแต่ละขา้ งดึงพวงมาลยั

1. 50 นิวตนั 2. 100 นิวตนั 3. 150 นิวตนั 4. 200 นิวตนั

8.4 สมดุลของวัตถุ

31. กลอ่ งส่ีเหลี่ยมกวา้ ง 20 ซม. สูง 50 ซม. หนกั 100 นิวตนั วางอยบู่ นพ้ืนราบซ่ึงมีสมั -

ประสิทธ์ิความเสียดทานสถิตระหว่างผิวสัมผสั 0.4 จงหาแรงผลกั ในแนวระดบั ท่ีทาให้

กลอ่ งเร่ิมจะเคลื่อนที่

1. 20 นิวตนั 2. 40 นิวตนั 3. 60 นิวตนั 4. 80 นิวตนั

32. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา แรงผลกั จะอยสู่ ูงจากพ้ืนมากที่สุดกี่เซนติเมตร กล่องจึงยงั ไม่ลม้
1. 15 2. 20 3. 25 4. 30

33. กล่องสี่เหลี่ยมกวา้ ง 1 เมตร สูง 2 เมตร หนกั 10 กิโลกรมั ออกแรงผลกั ในแนวขนาน

กบั พ้ืนขนาด 30 นิวตนั สูงจากพ้ืนเท่าไรกลอ่ งจึงจะเริ่มลม้

1. 1.0 เมตร 2. 1.2 เมตร 3. 1.5 เมตร 4. 1.7 เมตร

32

ตวิ สบายฟิ สกิ ส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

34. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา ถา้ ออกแรง 60 นิวตนั กระทาแทน แนวแรงจะสูงจากพ้ืนไดม้ ากที่สุด

เท่าไร กล่องจึงยงั ไม่ลม้

1. 0.83 เมตร 2. 1.24 เมตร 3. 1.48 เมตร 4. 1.56 เมตร

35. กลอ่ งสี่เหลี่ยมกวา้ ง 40 ซม. สูง 80 ซม. หนกั 400 นิวตนั ถูกแรงกระทา 200 นิวตนั

ณ.จุดสูงจากพ้ืน 50 เซนติเมตร จงหาวา่ กลอ่ ง 40 ซม.

ใบน้ีจะลม้ หรือไม่ 200 N
1. ลม้

2. ไม่ลม้ h
3. เป็นไปไดท้ ้งั 2 แบบ

4. ขอ้ มลู ไมเ่ พียงพอหาคาตอบ

36. ถา้ ตูเ้ ยน็ ขนาดกวา้ ง 0.4 เมตร สูง 1.6 เมตร วางอยบู่ นกระบะทา้ ยรถสิบลอ้ สัมประสิทธ์ิ
ความเสียดทานระหวา่ งกระบะรถกบั พ้ืนตเู้ ยน็ = 0.2 จงหาความเร่งสูงสุดของรถสิบลอ้ ท่ี
พอดีทาใหต้ ูเ้ ยน็ หกคะเมนวา่ มีค่าก่ีเมตรตอ่ (วินาที)2
1. 2.0 2. 2.5 3. 4.0 4. 4.5

37. บนั ไดสมา่ เสมอหนกั 200 นิวตนั ปลายบนพิงกาแพง

เกล้ียงตรงจดุ ซ่ึงอยสู่ ูงจากพ้ืน 4 เมตร โดยบนั ไดยนั

กบั พ้ืนขรุขระห่างจากกาแพง 3 เมตร

ก. จงหาแรงท่ียนั ปลายบนั ไดวา่ ไม่ใหไ้ ถลลงมา

ข . ถา้ มีวตั ถุหนกั 100 นิวตนั วางอยปู่ ลายบนั ได
ดา้ นล่างห่างข้ึนมา 14 ของความยาวของบนั ได จงหาแรงเสียดทานที่พ้ืนราบ
1. ก. 50 นิวตนั ข. 78.50 นิวตนั 2. ก. 50 นิวตนั ข. 93.75 นิวตนั

3. ก. 75 นิวตนั ข. 78.50 นิวตนั 4. ก. 75 นิวตนั ข. 93.75 นิวตนั

33

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หยนุ่

38. บนั ไดยาว 2.5 เมตร มีน้าหนกั 40 นิวตนั A
ศูนยถ์ ว่ งของบนั ไดอยหู่ ่างจากปลายล่าง 1.0

เมตร จงหาแรงที่บนั ไดกระทาต่อกาแพงท่ี

จดุ A และแรงเสียดทานระหวา่ งพ้ืนลา่ งกบั 53o B
บนั ไดและเพ่ือทาใหบ้ นั ไดอยนู่ ิ่งได้ ตอบตามลาดบั

1. 12 นิวตนั , 12 นิวตนั 2. 12 นิวตนั , 24 นิวตนั

3. 24 นิวตนั , 12 นิวตนั 4. 24 นิวตนั , 24 นิวตนั

39. บนั ไดสม่าเสมอมวล 5 กิโลกรัม ยาว 10 เมตร ปลายบนวางพิงกาแพงเกล้ียง ปลายลา่ ง
วางอยบู่ นพ้ืนราบฝื ด โดยวางไวห้ ่างจากกาแพง 6 เมตร ถา้ พ้ืนราบน้นั มีค่าสัมประสิทธ์ิ
ความเสียดทาน 0.4 แลว้ มีชายคนหน่ึงมวล 50 กิโลกรัม ไต่บนั ไดข้ึนไป จงหาวา่ เขาจะไต่
บนั ไดข้ึนไปไดเ้ ป็นระยะไกลที่สุดกี่เมตร บนั ไดจึงจะเริ่มไถล
1. 2.7 2. 5.4 3. 3.3 4. 6.6

40. คานสมา่ เสมอมีมวล 10 กิโลกรมั แขวนไว้

กบั เพดานท่ีจดุ หมุนล่ืน จงหาขนาดของแรง F 30o
F
ในแนวระดบั ที่ดนั ปลายคานดา้ นลา่ งใหค้ าน

เบนไปจากแนวเดิม 30 องศา ดงั รูป
1. 503 นิวตนั 2. 1003 นิวตนั

3. 20 3 นิวตนั 4. 100 3 นิวตนั

41. คาน AB โตสมา่ เสมอมีมวล 5 กิโลกรมั และ B
D
แขวนมวล 15 กิโลกรัม ไวต้ รงจุดก่ึงกลางคาน

ดงั รูป แรงดึงในเส้นเชือก CD มีคา่ กี่นิวตนั

1. 10.0 2. 17.3 30o C

3. 75.0 4. 100.0 A

34

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยน่ ุ

42. เสน้ ลวดดึงคาน AB ซ่ึงมีน้าหนกั 50 นิวตนั 53o เสน้ ลวด 1 ม.
แขวนไว้ ถา้ คานสม่าเสมอมีน้าหนกั 20 นิว 37o
B
ตนั ยาว 5 เมตร มีปลาย A ตรึงติดกบั กาแพง 4m 50 N

คานสมดุลอยไู่ ดด้ งั รูป จงหาแรงดึงในเส้นลวด A

1. 100 นิวตนั 2. 125 นิวตนั

3. 150 นิวตนั 4. 175 นิวตนั

43. คานสม่าเสมอ ปลายหน่ึงยดึ ติดกบั กาแพงดว้ ยตะปู

เกล้ียง อีกปลายหน่ึงยดึ ไวด้ ว้ ยสายเคเบิล ดงั แสดง 3 เมตร เคเบิล
A 4 เมตร
ในรูป ถา้ คานหนกั 100 นิวตนั และน้าหนกั ท่ีถว่ ง

ขนาด 400 นิวตนั แรงดึงในสายเคเบิลจะเป็นก่ีนิวตนั

1. 1800 2. 750 400 N

3. 600 4. 450

8.5 การได้เปรียบเชิงกล และประสิทธิภาพเชิงกล

44. กวา้ นตวั หน่ึงมีแขนหมุนยาว 60 เซนติเมตร และ รัศมีกวา้ น 7.5 เซนติเมตร ถา้ ไมม่ ีแรง
เสียดทาน การไดเ้ ปรียบเชิงกลจะเป็นกี่เท่า
1. 2 2. 3 3. 5 4. 8

45. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา ถา้ ออกแรง 50 นิวตนั ยกน้าหนกั ไดจ้ ริง 150 นิวตนั การไดเ้ ปรียบเชิง
กลคร้ังหลงั น้ีเป็นกี่เท่า
1. 2 2. 3 3. 5 4. 8

46. จากขอ้ ที่ผา่ นมา ประสิทธิภาพเชิงกลเป็นเท่าใด

1. 25.0% 2. 37.5% 3. 47.5% 4. 50.0%

35

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หยนุ่

47. มีดควน่ั ออ้ ยอนั หน่ึง มีดา้ มจบั ห่างจากจุดหมนุ 25 เซนติเมตร ตาแหน่งที่วางออ้ ย ห่าง

จากจุดหมนุ 5 เซนติเมตร ถา้ ออ้ ยแต่ละท่อนตอ้ งใชแ้ รงตดั 30 นิวตนั เราจะตอ้ งใชแ้ รงกด

ท่ีมีดควนั่ ออ้ ยนอ้ ยท่ีสุดเท่าไรจึงทาใหอ้ อ้ ยขาด P F

พอดี (ไม่คิดน้าหนกั ของตวั มีด) และคา่ การได้

เปรียบเชิงกลของมีดควนั่ ออ้ ยเป็นเท่าไร ท่อนออ้ น
1. 3 นิวตนั , 2.5 เท่า

2. 6 นิวตนั , 5.0 เท่า

3. 9 นิวตนั , 7.5 เท่า 5 cm 25 cm
4. 12 นิวตนั , 10.0 เท่า

48. เม่ือออกแรง 10 นิวตนั กดท่ีปลายดา้ มคีมอนั หน่ึง จะเกิดแรงกดวตั ถทุ ่ีปลายคีมเท่าไร ถา้

ปากคีมยาว 2 เซนติเมตร ดา้ มคีมยาว 10 เซนติเมตร และคีมมีประสิทธิภาพ 80%

1. 10 นิวตนั 2. 20 นิวตนั 3. 30 นิวตนั 4. 40 นิวตนั

8.6 เสถยี รภาพของสมดุล

8.7 ศูนย์กลางมวล และศูนย์ถ่วง

49. วตั ถมุ วล 10 กิโลกรมั รูปสี่เหล่ียมจตั รุ สั มี Y

ความยาวดา้ นละ 20 เซนติเมตร มีมวล 1 , 2 , 2 kg 3 kg
10 kg 4 kg X
3 และ 4 กิโลกรมั ติดอยทู่ ่ีมมุ ท้งั ส่ีดา้ น
1 kg
จงหาจุดศนู ยก์ ลางมวลของระบบน้ี

1. ( 12 , 10 ) 2. ( 10 , 12 )

3. ( 2 , 10 ) 4. ( 10 , 2 )

36

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

8.8 สภาพยดื หยุ่น

50. ลวดโลหะยาว 3 เมตร และมีพ้ืนที่หน้าตดั 0.25 ตารางเซนติเมตร จะยืดออก 0.05

เซนติเมตร เม่ือใชแ้ รงดึง 10000 นิวตนั จงหาความเคน้ ดึงและความเครียดดึง ตามลาดบั
1. 2 x 108 N/m2 , 1.67 x 10–4 2. 2 x 108 N/m2 , 3.34 x 10–4
3. 4 x 108 N/m2 , 1.67 x 10–4 4. 4 x 108 N/m2 , 3.34 x 10–4

51. ทองแดงมีมอดูลสั ของยงั 1.25 x 1011 นิวตนั ต่อตารางเมตร และความเคน้ ตามยาวท่ีขีด
จากดั สภาพยดื หยนุ่ 7.9 x 1010 นิวตนั ต่อตารางเมตร ลวดทองแดงยาว 10 เมตร มีพ้ืนท่ี

หนา้ ตดั 10 ตารามิลลิเมตร เม่ือออกแรง 50 นิวตนั ดึงลวดทองแดงเสน้ น้ี จงหา

ก. ความเคน้ ตามยาวของลวดทองแดง ข. ความเครียดตามยาวของลวดทองแดง
1. ก. 2.5 x 106 N/m2 ข. 2 x 10–5 2. ก. 5.0 x 106 N/m2 ข. 2 x 10–5
3. ก. 2.5 x 106 N/m2 ข. 4 x 10–5 4. ก. 5.0 x 106 N/m2 ข. 4 x 10–5

52(แนว En) แขวนมวล 1000 กิโลกรัม กบั เสน้ ลวดโลหะชนิดหน่ึงยาว 10 เมตร มีพ้ืนท่ี
หนา้ ตดั 2 x 10–4 ตารางเมตร เส้นลวดน้ีจะยดื ออกเท่าใด ถา้ กาหนดใหค้ ่ายงั มอดูลสั ของ
เสน้ น้ีเป็น 2 x 1011 นิวตนั /ตารางเมตร

1. 0.10 เซนติเมตร 2. 0.25 เซนติเมตร

3. 1.00 เซนติเมตร 4. 2.50 เซนติเมตร

53. ลวดโลหะชนิดหน่ึงยาว L มีพ้ืนที่หนา้ ตดั A เม่ือนาวตั ถทุ รงกลมมวล M มาแขวนเขา้ กบั
ลวดน้ี แลว้ นาปลายลวดขา้ งหน่ึงไปยดึ ติดกบั เพดานปรากฏวา่ ลวดยดึ ออก L จงหาคา่ มอ-
ดูลสั ของยงั ของลวดเสน้ น้ี
1. AL / Mg L 2. LA / MgL 3. Mg L / AL 4. MgL / L A

54. โลหะชนิดหน่ึงมีคา่ มอดูลสั ของยงั Y ถา้ นาโลหะน้ีไปทาเป็นลวดยาว L มีพ้ืนท่ีหนา้ ตดั

A แขวนลวดดงั กลา่ วดว้ ยมวล M ทาใหล้ วดมีระยะยดื X จงหาวา่ มวล M มีคา่ เท่าไร
2. ALXYg 3. XgALY 4. XgALY
1. XALY

37

ติวสบายฟิ สิกส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหยนุ่

55. เสาคอนกรีตตน้ หน่ึงรบั น้าหนกั ไดส้ ูงสุด 20000 กิโลกรัม และจะหดตวั ลง 3 มิลลิเมตร

ถา้ เสาคอนกรีตน้ีมีฐานกวา้ ง 10 เซนติเมตร หนา 20 เซนติเมตร สูง 4.5 เมตร จงหา

ค่ามอดูลสั ของเสาตน้ น้ี 2. 1.5 x 1010 นิวตนั /เมตร2
1. 1.0 x 1010 นิวตนั /เมตร2 4. 2.5 x 1010 นิวตนั /เมตร2
3. 2.0 x 1010 นิวตนั /เมตร2

56. มอดูลสั ของยงั ของเหลก็ มีคา่ 2 x 1011 นิวตนั /เมตร2 ถา้ แขวนมวล 100 กิโลกรมั ท่ี

ปลายลา่ งของแท่งเหลก็ พ้ืนที่หนา้ ตดั 0.1 ตารางเมตร ยาว 2 เมตร โดยใหป้ ลายบนตรึงกบั

เพดาน แท่งเหลก็ จะยดื ออกเท่าใด
1. 1.0 x10–13 เมตร 2. 4.0 x 10–10 เมตร
3 . 1.0 x 10–8 เมตร 4. 1.0 x 10–7 เมตร

57. ลวดอลูมิเนียมยาว 2 เมตร และเส้นผา่ นศูนยก์ ลาง 0.1 เซนติเมตร นาเส้นลวดน้ีไปยก

วตั ถุมวล 1000 กิโลกรัม ลวดจะยดื ออกกี่เมตร
( ค่ามอดูลสั ของยงั ของอลมู ิเนียมเท่ากบั 7 x 1010 นิวตนั ต่อตารางเมตร )

1. 0.15 2. 0.25 3. 0.30 4. 0.35

58. แท่งโลหะอนั หน่ึงมีเส้นผา่ นศูนยก์ ลาง 2 เซนติเมตร มีคา่ มอดูลสั ของยงั Y = 2 x 1011
นิวตนั /เมตร2 จงหาว่าตอ้ งออกแรงดึงกี่นิวตนั จึงจะทาให้แท่งโลหะมีความยาวเพ่ิมข้ึน

0.01 เปอร์เซ็นต์

1. 5000 2. 5700 3. 6300 4. 7000

59. เมื่อแขวนวตั ถมุ วล 50 กิโลกรัม เขา้ กบั เส้นลวด แลว้ แขวนกบั เพดานพบวา่ ลวดยดื ออก

เป็น 0.25 % ของความยาวเดิม ถา้ ลวดมีพ้ืนที่หนา้ ตดั 0.4 ตารางมิลลิเมตร จงหาค่า

มอดูลสั ความยดื หยนุ่ ของลวดเส้นน้ี 2. 5.0 x 1010 นิวตนั /ตารางเมตร
1. 2.5 x 108 นิวตนั /ตารางเมตร 4. 2.5 x 1012 นิวตนั /ตารางเมตร
3. 5.0 x 1011 นิวตนั /ตารางเมตร

38

ติวสบายฟิ สกิ ส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

60. กาหนดใหม้ อดูลสั สภาพยดื หยนุ่ ของเส้นลวดเท่ากบั 2.0 x 1011 นิวตนั ต่อตารางเมตร เมื่อ

แขวนวตั ถุมวล m ท่ีปลายลวดเสน้ น้ี ลวดจะยาวออกรอ้ ยละ 0.1 ของความยาวเดิม ถา้ เส้น

ผา่ นศนู ยก์ ลางของลวดเท่ากบั 0.5 มิลลิเมตร จงหาขนาดของมวล m

1. 1 กิโลกรัม 2. 2 กิโลกรัม 3. 4 กิโลกรมั 4. 8 กิโลกรัม

61. ลวดเหลก็ เสน้ หน่ึง มีความเครียดตามความยาว 0.01 มีคา่ ยงั มอดูลสั 1011 นิวตนั / ตาราง-

เมตร พ้ืนท่ีหนา้ ตดั 2 ตารางมิลลิเมตร จงหาแรงดึงในเส้นลวดในหน่วยนิวตนั
1. 1.0x103 2. 2.0x103 3. 3.0x103 4. 4.0x103

62. ลวดโลหะตา่ งชนิดกนั 2 เส้น ยาวเท่ากนั มีพ้ืนท่ีหนา้ ตดั เท่ากนั อตั ราส่วนมอดูลสั ของยงั

ของลวดเส้นท่ีหน่ึงต่อลวดเส้นท่ีสอง เป็ น 4 : 5 มีแรงกระทาต่อลวดเส้นท่ีหน่ึงต่อเส้นท่ี

สอง 5 : 4 จงหาอตั ราส่วนของระยะยดื ของลวดเสน้ ท่ีหน่ึงต่อลวดเสน้ ที่ 2

1. 1 : 1 2. 5 : 4 3. 16 : 25 4. 25 : 16

63. วตั ถมุ วล 10 กิโลกรัม แขวนไวท้ ่ีปลายขา้ งหน่ึงของลวด x ท่ียาว 1 เมตร ลวด x ยดื

ออก 1 มิลลิเมตร และเมื่อเอามวล 20 กิโลกรัม แขวนกบั ลวด y ท่ียาว 1.5 เมตร ลวด y

ยดื ออก 2 มิลลิเมตร รศั มีของพ้ืนที่หนา้ ตดั ของลวด x เป็น 2 เท่า ของรัศมีของพ้ืนท่ีหนา้

ตดั ของลวด y อตั ราส่วนของค่ามอดูลสั ยงั ของลวด x ต่อลวด y มีค่าเท่าใด

1. 1 : 6 2. 3 : 8 3. 2 : 3 4. 3 : 4

64. ลวดกลม A และ B ทาจากวสั ดุชนิดเดียวกนั ยาวเท่ากนั 5 เมตร มีเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง
เป็น 6 และ 8 มิลลิเมตร ตามลาดบั ปลายขา้ งหน่ึงของลวดท้งั สองยดึ ตรึงกบั เพดาน ปลาย
ท่ีเหลือต่างถกู แขวนดว้ ยมวล 400 กิโลกรมั ลวดท้งั คู่อยใู่ นแนวด่ิง ขณะน้นั ความเครียดตาม
ยาวของลวด A เป็นกี่เท่าของความเครียดตามยาวของลวด B
1. 196 2. 43 3. 43 4. 196

39

ตวิ สบายฟิ สกิ ส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยืดหย่นุ

65. ลวดทงั สเตนมีคา่ มอดูลสั ของยงั เป็น 5 เท่าของลวดอะลูมิเนียม เมื่อนาลวดท้งั สองชนิดที่มี

พ้ืนท่ีหนา้ ตดั เท่ากนั ทาการทดลองพบวา่ เม่ือออกแรงดึงลวดท้งั สอง ความเครียดตามยาว

ของลวดทงั สเตนเป็น 2 เท่าของลวดอะลูมิเนียม แรงดึงท่ีกระทาตอ่ ลวดท้งั สองน้นั

1. มีค่าเท่ากนั

2. ของลวดทงั สเตนเป็น 10 เทา่ ของลวดอะลูมิเนียม

3. ของลวดอะลมู ิเนียมเป็น 5 เท่าของลวดทงั สเตน

4. ของลวดทงั สเตนเป็น 2.5 เท่าของลวดอะลูมิเนียม

66. ลวดทองแดงและลวดเหลก็ กลา้ มีพ้ืนที่หนา้ ตดั เท่ากบั 0.5 ตารางมิลลิเมตร และมีความยาว
1 เมตรเท่ากนั มอดูลสั ของยงั สาหรับลวดทองแดงเป็ น 1.2 x 1011 นิวตนั ต่อตารางเมตร
และมอดูลสั ของยงั สาหรับลวดเหลก็ มีค่าเป็น 2 x 1011 นิวตนั ตอ่ ตารางเมตร ถา้ นาลวดท้งั

สองไปแขวนในแนวด่ิงโดยมีกอ้ นน้าหนกั 100 นิวตนั แขวนที่ปลายลวดความเคน้ ของลวด

ท้งั สองต่างกนั เท่าใด และลวดท้งั สองจะยดื ออกจากเดิมตา่ งกนั กี่เมตร
1. 3.4 x 10–3 2. 6.7 x 10–3 3. 3.4 x 10–4 4. 6.7 x 10–4

67. ลวดโลหะเสน้ หน่ึงประกอบดว้ ยส่วนท่ีเป็นเหลก็ และทองแดงตอ่ กนั อยู่ มีพ้ืนที่หนา้ ตดั เท่า

กนั คือ 0.25 ตารางเซนติเมตร และมีความยาวท้งั หมด 3 เมตร เมื่อดึงลวดน้ีดว้ ยแรง

10000 นิวตนั ปรากฏวา่ ลวดจะยาวกวา่ เดิม 0.72 เซนติเมตร จงหาความยาวเดิมของส่วนที่

เป็ นเหลก็

( คา่ มอดูลสั ของเหลก็ และทองแดงเป็น 20 x 1010 นิวตนั /เมตร2 และ 12 x 1010 นิวตนั /เมตร2 )

1. 1.1 เมตร 2. 1.5 เมตร 3. 2.0 เมตร 4. 2.1 เมตร

68. รถยนต์ A ลากรถยนต์ B ดว้ ยความเร่งคงท่ี จากหยดุ นิ่งจนกระทง่ั มีความเร็ว 36 กิโล-
เมตรต่อชวั่ โมง ภายใน 20 วนิ าที ถา้ รถยนต์ B มีมวล 1200 กิโลกรมั และถกู ลากดว้ ย
ลวดเหลก็ กลา้ ที่มีค่ามอดูลสั ของยงั ส์ 200 จิกะนิวตนั ต่อตารางเมตร ยาว 2 เมตร และมีพ้ืน
ที่หนา้ ตดั 10 ตารางมิลลิเมตร ลวดเสน้ น้ีจะยดื เท่าใด
1. 0.06 มิลลิเมตร 2. 0.6 มิลลิเมตร 3. 6 มิลลิเมตร 4. 60 มิลลิเมตร

40

ตวิ สบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หยนุ่

69. ลวดเหลก็ กลา้ สาหรบั ดึงลิฟตต์ วั หน่ึงมีพ้ืนท่ีหนา้ ตดั 5 ตารางเซนติเมตร ตวั ลิฟท์และสัม-

ภาระในลิฟตม์ ีน้าหนกั รวม 2000 กิโลกรัม จงหาความเคน้ (stress) ในสายเคเบิล ในขณะที่
ลิฟท์กาลงั เคลื่อนท่ีข้ึนดว้ ยความเร่งสูงสุด 2.0 เมตรตอ่ วนิ าที2
1. 64 x 106 นิวตนั /เมตร2 2. 48 x 106 นิวตนั /เมตร2
3. 40 x 106 นิวตนั /เมตร2 4. 32 x 106 นิวตนั /เมตร2

70. ลวดเหลก็ เสน้ หน่ึงยาว 2 เมตร ขนาดเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง 1.4 เซนติเมตร นาไปผกู กบั มวล
1000 กิโลกรัม แลว้ หยอ่ นใหม้ วลน้นั เคล่ือนที่ลงในแนวดิ่งดว้ ยความเร่ง 2 เมตร/วินาที2
จงหาวา่ ลวดจะยดื ยาวออกมากกวา่ เดิมเท่าไร
(ใหค้ ่ามอดูลสั ของเหลก็ = 2 x 1010 นิวตนั /เมตร2)
1. 5.2 มิลลิเมตร 2. 6.5 มิลลิเมตร 3. 7.8 มิลลิเมตร 4. 36 มิลลิเมตร

71. ลวดเหลก็ กลา้ มีขีดจากดั สภาพยดื หยดุ 4 x 107 นิวตนั /เมตร2 ลวดเหลก็ กลา้
มีพ้ืนท่ีหนา้ ตดั 1x10–3 เมตร2 นามาใชย้ กลิฟท์ที่มีมวลรวม ลฟิ ท์ a

ท้งั ส้ิน 2000 กิโลกรมั ดงั รูป อยากทราบคา่ ความเร่งสูงสุด

ของลิฟท์ที่จะไม่ทาใหล้ วดเหลก็ น้ีเกินขีดจากดั สภาพยดื หยนุ่
1. 100.0 เมตร/วินาที2 2. 10.0 เมตร/วนิ าที2
3. 1.0 เมตร/วนิ าที2 4. 0.1 เมตร/วินาที2

72. โลหะชนิดหน่ึงมีค่ามอดูลสั ยงั 2 x 1010 นิวตนั /ตารางเมตร มีคา่ ความเคน้ ที่ขีดจากดั สภาพ
ยดื หยนุ่ 3 x 109 นิวตนั ตอ่ ตารางเมตร ถา้ มีลวดท่ีทาจากโลหะชนิดน้ียาว 10 เมตร มีพ้ืนที่

หนา้ ตดั 10 ตารางมิลลิเมตร แขวนลวดดงั กล่าวในแนวด่ิง และตอ้ งการให้มนั ยดื และยาว

สุทธิ 12 เมตร ตอ้ งแขวนดว้ ยมวลเท่าไร 2. 4 x 103 กิโลกรมั
1. 2.4 x 103 กิโลกรัม 4. ลวดขาดก่อน
3. 2.4 x 104 กิโลกรมั

41

ตวิ สบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

73. คานตามรูปท่ีแสดงต่อไปน้ี มีจดุ รองรบั ท่ี C มีน้าหนกั ถว่ ง 2000 นิวตนั และ W อยคู่ นละ

ขา้ งกาหนดให้ ลวดเหลก็ AB มีความยาว 2 เมตร และมีพ้ืนท่ีหนา้ ตดั 0.3 ตารางเซนติเมตร

เมื่อคานอยใู่ นแนวระดบั พอดีลวดเหลก็ AB จะยดื ออกไปเป็นระยะเท่าไร ถา้ หากลวดเหลก็
มีค่ามอดูลสั ของยงั ส์เท่ากบั 200 x 109
นิวตนั /เมตร2 และไมค่ ิดน้าหนกั คาน 18 m 12 m
A
1. 1 mm
2. 2 mm 2000 N C B 2m
w
3. 10 mm

4. 20 mm

74. ลวดเหลก็ ยาว 4 เมตร พ้ืนที่หนา้ ตดั 0.5 ตารางเซนติเมตร ผกู ยดึ กบั คานแขง็ เบา ABO ท่ี

จดุ B จงหาส่วนยดื ของลวดเหลก็ เม่ือมีน้าหนกั 2000 กิโลกรัม มากระทาท่ีจุด A ของคาน
ถา้ เหลก็ มีค่ามอดูลสั ของยงั ส์เท่ากบั 200 x 109
นิวตนั /ตารางเมตร และ g = 10 เมตร/วินาที2
2 ม.

1. 8 มิลลิเมตร O

2. 1 มิลลิเมตร AB

3. 24 มิลลิเมตร 2000 kg

4. 12 มิลลิเมตร 6 ม.

75. ลกู ตุม้ มีมวล 20 กิโลกรัม สายแขวนลูกตุม้ เป็นลวดเหลก็ ยาว 10 เมตร มีพ้ืนที่ภาคตดั
ขวาง 5x10–6 ตารางเมตร ปล่อยให้ลูกตุม้ แกว่งเป็ นมุมกวา้ ง โดยมีอตั ราเร็วที่จุดต่าสุด 10

เมตรวินาที ความยาวของเส้นลวดที่ยดื เพ่ิมข้ึนจากเมื่อแขวนอยนู่ ิ่งมีค่าเท่าไร กาหนดค่า
มอดูลสั ของยงั ส์เท่ากบั 20 x 2010 นิวตนั /เมตร2
1. 4 x 10–3 เมตร 2. 3 x 10–3 เมตร

3. 2 x 10–3 เมตร 4. 1 x 10–3 เมตร



42

ตวิ สบายฟิ สิกส์ เลม่ 2 http://www.prokru.com บทที่ 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หย่นุ

เฉลยบทที่ 8 สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น

1. ตอบข้อ 2. 2. ตอบข้อ 3. 3. ตอบข้อ 1. 4. ตอบข้อ 1.

5. ตอบข้อ 4. 6. ตอบข้อ 2. 7. ตอบข้อ 4. 8. ตอบข้อ 4.

9. ตอบข้อ 2. 10. ตอบข้อ 1. 11. ตอบข้อ 4. 12. ตอบข้อ 4.

13. ตอบข้อ 3. 14. ตอบข้อ 3. 15. ตอบข้อ 3. 16. ตอบข้อ 2.

17. ตอบข้อ 2. 18. ตอบข้อ 2. 19. ตอบข้อ 2. 20. ตอบข้อ 2.

21. ตอบข้อ 2. 22. ตอบข้อ 2. 23. ตอบข้อ 4. 24. ตอบข้อ 2.

25. ตอบข้อ 3. 26. ตอบข้อ 2. 27. ตอบข้อ 1. 28. ตอบข้อ 1.

29. ตอบ 0.67 30. ตอบข้อ 3. 31. ตอบข้อ 2. 32. ตอบข้อ 2.

33. ตอบข้อ 2. 34. ตอบข้อ 4. 35. ตอบข้อ 1. 36. ตอบข้อ 3.

37. ตอบข้อ 3. 38. ตอบข้อ 4. 39. ตอบข้อ 4. 40. ตอบข้อ 1.

41. ตอบข้อ 1.



43

ตวิ สบายฟิ สกิ ส์ เล่ม 2 http://www.prokru.com บทท่ี 8 สมดลุ กลและสภาพยดื หยนุ่

เฉลยตะลุยโจทย์ท่วั ไป
บทที่ 8 สมดุลกลและสภาพยืดหยุ่น

1. ตอบข้อ 2. 2. ตอบข้อ 1. 3. ตอบข้อ 3. 4. ตอบข้อ 3.
5. ตอบข้อ 3. 6. ตอบข้อ 1. 7. ตอบ 10 8. ตอบข้อ 1.
9. ตอบข้อ 3. 10. ตอบข้อ 1. 11. ตอบข้อ 4. 12. ตอบข้อ 3.
13. ตอบข้อ 2. 14. ตอบข้อ 2. 15. ตอบข้อ 4. 16. ตอบข้อ 1.
17. ตอบข้อ 2. 18. ตอบข้อ 2. 19. ตอบข้อ 1. 20. ตอบข้อ 4.
21. ตอบข้อ 1. 22. ตอบข้อ 3. 23. ตอบข้อ 4. 24. ตอบข้อ 2.
25. ตอบข้อ 1. 26. ตอบข้อ 4. 27. ตอบข้อ 3. 28. ตอบข้อ 1.
29. ตอบข้อ 1. 30. ตอบข้อ 4. 31. ตอบข้อ 2. 32. ตอบข้อ 3.
33. ตอบข้อ 4. 34. ตอบข้อ 1. 35. ตอบข้อ 1. 36. ตอบข้อ 2.
37. ตอบข้อ 4. 38. ตอบข้อ 1. 39. ตอบข้อ 2. 40. ตอบข้อ 1.
41. ตอบข้อ 4. 42. ตอบข้อ 2. 43. ตอบข้อ 2. 44. ตอบข้อ 4.
45. ตอบข้อ 2. 46. ตอบข้อ 2. 47. ตอบข้อ 2. 48. ตอบข้อ 4.
49. ตอบข้อ 1. 50 . ตอบข้อ 3. 51. ตอบข้อ 4. 52. ตอบข้อ 2.
53. ตอบข้อ 4. 54. ตอบข้อ 4. 55. ตอบข้อ 2. 56. ตอบข้อ 4.
57. ตอบข้อ 4. 58. ตอบข้อ 3. 59. ตอบข้อ 3. 60. ตอบข้อ 3.
61. ตอบข้อ 2. 62. ตอบข้อ 4. 63. ตอบข้อ 1. 64. ตอบข้อ 4.
65. ตอบข้อ 2. 66. ตอบข้อ 4. 67. ตอบข้อ 4. 68. ตอบข้อ 2.
69. ตอบข้อ 2. 70. ตอบข้อ 1. 71. ตอบข้อ 2. 72. ตอบข้อ 4.
73. ตอบข้อ 1. 74. ตอบข้อ 4. 75. ตอบข้อ 3.



44