Grupo Matriz - Estadística para la Universidad -1- Estadística I Tema 6 / Parte 1 Introducción a la Teoría de la Probabilidad 1. DEFINICIONES PREVIAS Antes de entrar en la definición de probabilidad es necesario tener presente algunas definiciones y conceptos que serán utilizados con mucha frecuencia de ahora en adelante en este tema. 1.1. EXPERIMENTO ALEATORIO Un experimento, prueba o ensayo consiste en hacer una evaluación de las propiedades de alguna ocurrencia. Un experimento aleatorio es aquel en el que dicha ocurrencia tiene resultados que no se pueden predecir con certeza. Esto significa que esta operación u ocurrencia puede tener varios resultados posibles, y que no queda únicamente determinada dado que no podemos asegurar la ocurrencia específica de alguno de sus resultados. Ejemplo: lanzar una moneda al aire. Este es un ejemplo de experimento aleatorio porque no podemos predecir con certeza que resultado se obtendrá (CARA o SELLO), pero … Para que un experimento sea considerado aleatorio, debe ser posible que se pueda: i. repetir un número indeterminado de veces, bajo las mismas condiciones. ii. describir todos sus posibles resultados. iii. asociar a un modelo matemático*. (aún no probaremos esta condición) En el ejemplo anterior, el experimento tiene las siguientes características: puede ser repetido un número ilimitado de veces, se pueden describir todos sus posibles resultados y también, como veremos más adelante, sus resultados se podrán asociar a un modelo matemático.
Tema 6 / Introducción a la Teoría de la Probabilidad / Estadística I -2- Grupo Matriz - Estadística para la Universidad Ejercicio 1: Indique con verdadero (V) o falso (F) si cada una de las siguientes ocurrencias corresponden a un experimento aleatorio: i. Lanzar una moneda consecutivamente tres veces. ( ) ii. Elegir al azar dos cartas distintas de un juego de naipes. ( ) iii. Seleccionar aleatoriamente un estudiante de un aula de clase. ( ) iv. Determinar si una empresa califica como buena, regular o mala. ( ) v. Escoger tu sabor de helado preferido. ( ) 1.2 ESPACIO MUESTRAL () Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se le representa con la letra griega omega (Ω). En un experimento aleatorio a cada resultado posible se le denomina punto muestral. El espacio muestral, es entonces, el conjunto de todos los puntos muestrales. Dependiendo del número de elementos, un espacio muestral (Ω) se puede clasificar de la siguiente manera: 1.2.1 ESPACIO MUESTRAL FINITO: Aquel que tiene un número finito de posibles resultados. Por ejemplo, si se lanza consecutivamente una moneda dos veces, una tras otra, el espacio muestral será: = {C1C2, C1S2, S1C2, S1S2} → E.M. Finito. Observación: Todo espacio muestral finito es un conjunto NUMERABLE. 1.2.2 ESPACIO MUESTRAL INFINITO: Aquel que tiene un número ilimitado de posibles resultados. Este a su vez se puede clasificar de la siguiente manera:
Tema 6 / Introducción a la Teoría de la Probabilidad / Estadística I Grupo Matriz - Estadística para la Universidad -3- i. E.M.I. NUMERABLE. Es aquel en el que cada resultado posible se puede asociar a un número natural, es decir, aquel cuyos resultados se pueden numerar uno a uno. Por ejemplo, si lanzamos al aire consecutivamente una moneda hasta que se obtenga CARA, el espacio muestral será: = {C1, S1C2, S1S2C3, S1S2S3C4, …} Como podemos ver, se puede obtener cara en el primer lanzamiento, o en el segundo, o en el tercero, o … y así sucesivamente, es decir, se pueden numerar los resultados, pero la cantidad de éstos es infinita. ii.E.M.I. NO NUMERABLE. Es aquel en el que los resultados posibles no se pueden asociar a un número natural. Esto sucede porque los EMI no numerables pueden tomar todos los valores reales posibles de un intervalo. Por ejemplo, si en un día determinado se registra el importe pagado por ITF de todas las operaciones bancarias de las ventanillas de un banco, el conjunto de resultados posibles puede tomar cualquier valor real de un intervalo de valores, esto lo hace infinito y además NO numerable. = {x / x = ITF de todas las operaciones bancarias, x R+} También podemos ver la clasificación de esta manera. Espacio Muestral Finito Infinito Numerable Numerable No numerable E.M. Discreto E.M. Continuo
Tema 6 / Introducción a la Teoría de la Probabilidad / Estadística I -4- Grupo Matriz - Estadística para la Universidad Ejercicio 2: Para cada caso, determine el tipo de espacio muestral que le corresponde: i. Se lanza un dado legal tres veces consecutivas. ……………………………… ii. Se eligen al azar viviendas de una urbanización y para cada una se registra el consumo de energía eléctrica en Kw-hora. ………………………… iii. En una heladería se tienen 6 diferentes sabores de helados y se pueden elegir al azar dos para cada barquillo. …………………………………………… iv. En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 verdes. Se desea elegir al azar una bola tras otra hasta obtener una bola de color verde. …………… v. La asignación al azar de los estudiantes de un aula en la formación de tres grupos para realizar un determinado experimento. …………………….. ¿Cómo definirías a un E.M. Discreto? ¿Cómo definirías a un E.M. Continuo? ¿Cómo se puede describir un espacio muestral? Aunque no existe una regla general, una buena forma de describir a los elementos de un espacio muestral, es asignarle a cada uno de ellos un número consecutivo de acuerdo con cada grupo o característica específica, de modo que todos los puntos muestrales tengan un número diferente. Veamos un ejemplo: En un lote se tienen 5 cajas de un artículo A, 4 cajas de un artículo B y 6 cajas de un artículo C. Si se desean elegir al azar 3 cajas diferentes de dicho lote, describa el espacio muestral correspondiente.
Tema 6 / Introducción a la Teoría de la Probabilidad / Estadística I Grupo Matriz - Estadística para la Universidad -5- 1.3 EVENTO O SUCESO Es un resultado específico o conjunto de resultados que pueden observarse en un experimento aleatorio. También podemos decir que es todo subconjunto de elementos del espacio muestral que tiene una característica específica, relativa al experimento aleatorio. Los eventos se identifican con letras mayúsculas del alfabeto. Por ejemplo, si se lanza un dado, el espacio muestral correspondiente será: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Luego, si se definen los eventos A = {Se obtiene un número par} y B = {Se obtiene un número impar}, podemos decir que estos eventos estarán formados por los siguientes elementos: A = {2, 4, 6} ; B = {1, 3, 5} Los eventos, de acuerdo con la relación entre ellos, se pueden clasificar de la siguiente manera: 1.3.1 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos en común. Es decir, los eventos A y B de Ω son mutuamente excluyentes si se cumple que: A B = Observación 1: Tres eventos A, B y C de Ω son mutuamente excluyentes entre sí, sí y solo si se cumple que: A B = ; B C = ; A C = . Observación 2: Si tres eventos son mutuamente excluyentes entonces: A B C = . Observación 3: Si: A B C = , no necesariamente los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes entre sí.
Tema 6 / Introducción a la Teoría de la Probabilidad / Estadística I -6- Grupo Matriz - Estadística para la Universidad 1.3.2 EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS. Los eventos A1, A2, A3, …, Ak de Ω son colectivamente exhaustivos si su unión es el espacio muestral. Es decir, si se cumple que: A1 U A2 U A3 U …U Ak = Observación: Los eventos involucrados pueden ser o no, mutuamente excluyentes. 1.3.3 EVENTOS COMPLEMENTARIOS. Dos eventos son complementarios si son, a la vez, mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Es decir, los eventos A y B son complementarios si se cumple que: A B = y A U B = . Observación: Si A y B son eventos complementarios se dice que A es el complemento de B y viceversa. (A = BC) y (B = AC) Se puede expresar de la siguiente manera: A = BI = BC y B = AI = AC. Además podemos decir que: A AI = ; A U AI = Ω. Ejercicio 3: Se lanza una vez un dado legal y se definen los eventos: A = Se obtiene un número par. B = Se obtiene un número impar. C = Se obtiene un número mayor a 2. D = Se obtiene un número menor a 4. E = Se obtiene un número primo. Determine lo siguiente: A = B' B = A' Ω
Tema 6 / Introducción a la Teoría de la Probabilidad / Estadística I Grupo Matriz - Estadística para la Universidad -7- El espacio muestral correspondiente: = El evento A: A = El evento B: B = El evento C: C = El evento D: D = El evento E: E = El complemento de E: E = Luego, indique lo siguiente: * A y B son eventos: ………………………………………. * C y D son eventos: ……………………………………… De acuerdo con los resultados anteriores indique verdadero o falso según corresponda: i. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes. ( ) ii. Los eventos C y D son mutuamente excluyentes. ( ) iii. Los eventos A y B son complementarios. ( ) iv. Los eventos B y EC son colectivamente exhaustivos. ( ) v. Los eventos C y E no son mutuamente excluyentes. ( ) Además, se le pide indicar si el resultado es vacío () o omega () o un resultado o evento específico: i. A U AC = ii: A E = iii. B U EC = iv. C D = v. AC BC = Finalmente, responda con verdadero (V) o falso (F) según corresponda: i: A EC es un conjunto unitario. ( ) ii. El complemento de B U EC es un conjunto vacío. ( ) iii. BC DC no es un conjunto vacío. ( ) iv. C U D es el espacio muestral. ( ) v. El complemento de E es mutuamente excluyente con C. ( )
Tema 6 / Introducción a la Teoría de la Probabilidad / Estadística I -8- Grupo Matriz - Estadística para la Universidad 1.4 PARTICIÓN DE UN ESPACIO MUESTRAL Los eventos A1, A2, A3, . . .., Ak, forman una partición de un espacio muestral , si cumplen las siguientes condiciones: i. Son mutuamente excluyentes entre sí: Ai Aj = ; i≠j ii. Son colectivamente exhaustivos: k i 1 Ai Ω = = iii. Son diferentes del vacío (Ai ≠ ) y/o diferentes de Ω (Ai ≠ Ω). Observación 1: Si A y B son dos eventos que forman una partición de Ω, entonces son complementarios. Observación 2: Si A y B son eventos complementarios, entonces no necesariamente forman una partición de Ω. Observación 3: Si A y B son eventos complementarios y diferentes del vacío, entonces forman una partición de Ω. Observación 4: Los eventos no vacíos A, B y C forman una partición de Ω, sí y solo si se cumplen todas las siguientes condiciones: i. A B = ii. B C = iii. A C = iv. A U B U C = Ω Observación 5: Si A y B forman una partición de Ω, se cumple que: n(A U B) = n(A) + n(B) = n(Ω) Observación 6: Si A, B y C forman una partición de Ω, entonces se cumple que: n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) = n(Ω) A1 Ω A2 A3 Ak … A4
Tema 6 / Introducción a la Teoría de la Probabilidad / Estadística I Grupo Matriz - Estadística para la Universidad -9- Ejercicio 4: Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: i. Dos eventos A y B que forman una partición del espacio muestral , son complementarios. ( ) ii. Dos eventos A y B (no vacíos) de que son complementarios, forman una partición. ( ) iii. Tres eventos A, B y C de , son colectivamente exhaustivos, entonces, también son mutuamente excluyentes. ( ) iv. Tres eventos no vacíos A, B y C son tales que: A B C = , entonces, se puede afirmar que son mutuamente excluyentes. ( ) v. Si tres eventos A, B y C de son mutuamente excluyentes, entonces, se cumple que: n(A U B U C) = n(A) U n(B) U n(C). ( ) Ejercicio 5: Suponga que se tiene una caja C1, que contiene 5 esferas de color rojo y 4 esferas de color negro, y otra caja C2, que contiene 6 esferas de color rojo y 5 esferas de color negro. Si se elige al azar una caja y de ella se extrae al azar una esfera, y se establecen los eventos: F = Se elige la caja 1 y de ella una esfera de color rojo. G = Se elige la caja 2 y de ella una esfera de color negro. i. Describa el espacio muestral. ii. ¿Son los eventos F y G mutuamente excluyentes? Justifique. iii. ¿Son los eventos F y G colectivamente exhaustivos? Justifique. iv. ¿Cómo debe estar definido un evento H de modo que F, G y H formen una partición de Ω?
Tema 6 / Introducción a la Teoría de la Probabilidad / Estadística I -10- Grupo Matriz - Estadística para la Universidad Autoevaluación Teórica 1. Si A y B son dos eventos no nulos y complementarios de , se puede afirmar que: A) Son conjuntamente exhaustivos. B) Forman una partición. C) Son mutuamente excluyentes. D) Todas las otras respuestas son correctas. 2. Si A, B y C forman una partición del espacio muestral , entonces, se puede afirmar que: A) Los eventos A, B y C son complementarios. B) n[A] + n[B] + n[C] = C) Los eventos A, B y C son conjuntamente exhaustivos. D) Dos de las otras respuestas son verdaderas. 3. Dados dos eventos A y B, de un mismo espacio muestral, marque la afirmación verdadera. A) Si son colectivamente exhaustivos se cumple que A B = . B) Si son mutuamente excluyentes se cumple que A U B = . C) Si el evento A es subconjunto de B, entonces n(A) n(B). D) Si son mutuamente excluyentes se cumple que n[ABc ] = n(A) - n(B) 4. Sean A, B, C y D eventos que forman una partición del espacio muestral. Marque la afirmación verdadera. A) Los complementos de A, B, C y D son mutuamente excluyentes. B) Los eventos A, B y C son colectivamente exhaustivos. C) Los eventos A y D son eventos mutuamente excluyentes. D) Las otras afirmaciones son falsas. 5. Marque la afirmación verdadera. A) Un espacio muestral discreto no puede ser infinito. B) Un espacio muestral infinito siempre es continuo. C) Un espacio muestral discreto siempre es numerable. D) Un espacio muestral infinito es siempre no numerable. 6. Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral, marque la afirmación correcta. A) Si A y B son complementarios, entonces, la suma de n(A) y n(B) es necesariamente igual a n(). B) Si A y B son complementarios, entonces, no siempre son colectivamente exhaustivos. C) Si A y B son complementarios, entonces, no siempre son mutuamente excluyentes. D) Si A y B son colectivamente exhaustivos, entonces, son también mutuamente excluyentes.