สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 1 ตรรกศาสตร์ (Logic) ตรรกศาสตร์ (Mathematical Logic) คือ วิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิดและการใช้เหตุและผลในชีวิตประจ าวัน 1. ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกได้ว่าจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ซึ่งประโยคหรือข้อความดังกล่าวจะ อยู่ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ ไม่เป็นประพจน์คือ ข้อความในรูปแบบของค าถาม ค าสั่ง ค าขอร้อง ค าอุทาน ค าอ้อนวอน ค าแสดงความปรารถนา สุภาษิต และประโยคเปิด เพราะไม่สามารถบอกค่าความเป็นจริงได้ เช่น ดวงอาทิตย์เป็นดาวฤกษ์ (จริง) เป็นประพจน์ ดาวศุกร์เป็นดาวเคราะห์แคระ (เท็จ) เป็นประพจน์ 2 + 3 = 2 × 3 (เท็จ) เป็นประพจน์ ผู้หญิงคนนั้นสวยจัง ไม่เป็นประพจน์เพราะอะไรที่เป็นความรู้สึกจะหาความ จริงไม่ได้ เนื่องจากแต่ละคนมีความรู้สึกที่ไม่เหมือนกัน ข้อความหรือประโยคที่เป็นประพจน์ ข้อความหรือประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ • ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ (จริง) • ฝนตกหรือเปล่า • จังหวัดเชียงใหม่ไม่อยู่ในภาคใต้ของ ประเทศไทย (จริง) • อย่าเดินลัดสนาม • ช่วยด้วย • 9 ≠ 3 (จริง) • กรุณาเปิดหน้าต่างด้วย • 17 + 8 ≠ 25 (เท็จ) • ได้โปรดเถิด • π เป็นจ านวนตรรกยะ (เท็จ) • น่ากลัวจริง • เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต (จริง) • ออกไปให้พ้น • ดวงอาทิตย์เป็นดาวฤกษ์ (จริง) • ขออภัยในความไม่สะดวก • 1000 = 1 (จริง) • อยากไปเที่ยวเหลือเกิน • กรุงเทพมหานครอยู่ทางภาคใต้ของ ประเทศไทย (เท็จ) • กรุณาเคารพสถานที่โดยการแต่งกายให้สุภาพเรียบร้อย • โปรดงดสูบบุหรี่ • ยอดเขาที่สูงที่สุดในโลกอยู่ในไทย (เท็จ) • อนิจจา • 2 เป็นจ านวนคู่ (จริง) • จงเติมค าตอบลงในช่องว่าง • ผลบวกของขนาดของมุมภายในของ รูปสามเหลี่ยมเป็น 180 องศา (จริง) • ต าน้ าพริกละลายแม่น้ า • หนังสือเล่มนี้ราคาเท่าใด Aristotle ∧ ∨ → ↔ ~ ∀ ∃
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 2 ในตรรกศาสตร์เรียกการเป็น “จริง” หรือ “เท็จ” ของแต่ละประพจน์ว่า ค่าความจริง (Truth Value) ของประพจน์ • เป็นจริง ใช้สัญลักษณ์ T (True) • เป็นเท็จ ใช้สัญลักษณ์ F (False) 2. การเชื่อมประพจน์ ประพจน์ที่น ามาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่างๆ จะเรียกว่า ประพจน์ย่อย (Atomic Statement) หรือ ประพจน์เชิงเดียว (Simple Statement) และเรียกประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์เชิงเดียวด้วยตัวเชื่อมว่า ประพจน์เชิงประกอบ (Compound Statement) ซึ่งนิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กแทนประพจน์ที่น ามาเชื่อมกัน เช่น p , q , r , s , t ถ้า p เป็นประพจน์ใดๆ แล้วค่าความจริงของ p เป็นได้ 2 กรณี คือ จริง (T) หรือเท็จ (F) เรียกตารางแสดงกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่จะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดของประพจน์ p ว่า ตารางค่าความจริง ของ p ถ้ามี 2 ประพจน์ คือ p และ q แล้วจะกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่จะเกิดขึ้นได้ทั้งหมด 4 กรณี ซึ่ง T และ F ของ p ต่างก็จับคู่กับกรณี T และ F ของ q p q T T F T F F สูตรการหาค่าความเป็นจริงของประพจน์ว่ามีกี่กรณี คือ 2 n โดยที่ n คือจ านวนประพจน์ • ถ้ามี 2 ประพจน์ จะมีทั้งหมด 2 2 = 4 กรณี • ถ้ามี 3 ประพจน์ จะมีทั้งหมด 2 3 = 8 กรณี ซึ่งตัวเชื่อมประพจน์จะมี 4 + 1 ตัว คือ 1. และ สัญลักษณ์ คือ ∧ 2. หรือ สัญลักษณ์ คือ ∨ 3. ถ้า...แล้ว... สัญลักษณ์ คือ → 4. ก็ต่อเมื่อ สัญลักษณ์ คือ ↔ และตัวพิเศษอีกหนึ่งตัวที่ไม่ถูกนับให้เป็นตัวเชื่อม แต่มีความส าคัญ คือ นิเสธ สัญลักษณ์ คือ ~ P T F p q T T T F F T F F
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 3 1. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว การเชื่อมประพจน์ p และประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “และ” (And) เขียน สัญลักษณ์ คือ p ∧ q p q p ∧ q ประจิมชอบวิชาคณิตศาสตร์ นุชชอบวิชาภาษาอังกฤษ ประจิมชอบวิชาคณิตศาสตร์และ นุชชอบวิชาภาษาอังกฤษ 2 + 3 = 5 √2 เป็นจ านวนตรรกยะ 2 + 3 = 5 และ √2 เป็นจ านวนตรรกยะ • นอกจากนี้ตัวเชื่อม “และ” ยังมีค าอื่นที่สามารถใช้ได้ด้วย เช่น “แต่” , “กับ” ได้แก่ ผมรักเธอ แต่เธอรักเขา 2. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว การเชื่อมประพจน์ p และประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” (Or) เขียนสัญลักษณ์ คือ p ∨ q p q p ∨ q โสมท าการบ้าน โสมอ่านหนังสือ โสมท าการบ้านหรือโสมอ่านหนังสือ 3 เป็นจ านวนคู่ -1 < 0 3 เป็นจ านวนคู่ หรือ -1 < 0 3. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว การเชื่อมประพจน์ p และประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” (If…then…) เขียนสัญลักษณ์ คือ p → q p q p → q ตั้นตั้งใจเรียน ตั้นจะสอบผ่าน ถ้าตั้นตั้งใจเรียนแล้วตั้นจะสอบผ่าน 2 + 3 = 3 + 2 4(2 + 3) = 4 (3 + 2) ถ้า 2 + 3 = 3 + 2 แล้ว 4(2 + 3) = 4 (3 + 2) • นอกจากนี้ตัวเชื่อม “และ” ยังมีค าอื่นที่สามารถใช้ได้ด้วย เช่น “ดังนั้น” , “เพราะฉะนั้น” , “เมื่อ...จะได้...” ได้แก่ เมื่อ | 3 – 2 | = | 1 – 3 | จะได้ 3 – 2 ≠ 1 – 3
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 4 4. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว การเชื่อมประพจน์ p และประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” (if and only if) เขียนสัญลักษณ์ คือ p ↔ q p q p ↔ q ดาวเรียนจบ ดาวสอบผ่านทุกวิชา ดาวเรียนจบก็ต่อเมื่อดาวสอบผ่านทุกวิชา 2 + 3 = 3 + 2 4(2 + 3) = 4 (3 + 2) 2 + 3 = 3 + 2 ก็ต่อเมื่อ 4(2 + 3) = 4 (3 + 2) 5. นิเสธของประพจน์ ถ้า p เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว นิเสธ (Negation) ของ p เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์~p (นิเสธ หมายถึงตรงข้าม) p ~p มัจฉาชอบวิชาคณิตศาสตร์ มัจฉาไม่ชอบวิชาคณิตศาสตร์ 2 + 3 = 5 2 + 3 ≠ 5 สามารถใช้ค าว่า “ไม่” , “ไม่ใช่” ฯลฯ ในประพจน์ที่เป็นนิเสธได้ ซึ่งจะขึ้นอยู่กับความหมายของประโยคหรือข้อความ 3. ตารางค่าความจริงของตัวเชื่อมประพจน์ ** วิธีจ าคร่าวๆ ** • และ (∧) - มี F ∧ ? ตอบ F • หรือ (∨) - มี T ∨ ? ตอบ T • ถ้า...แล้ว (→) - มี T → F ตอบ F • ก็ต่อเมื่อ (↔) - คู่เหมือนตอบ T คู่ต่างตอบ F • นิเสธ (~) - ตัวตรงข้าม p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q ~ p T T T T T T F T F F T F F F F T F T T F T F F F F T T T
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 5 4. การสร้างตารางค่าความจริง คือ กรณีที่ไม่ทราบค่าความจริงของประพจน์ว่าจริงหรือเท็จ โดยรูปแบบของประพจน์จะประกอบไปด้วยประพจน์ย่อย n ประพจน์ จะมีค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2n กรณี 1 ตัวแปร 2 ตัวแปร p T p q F T T F T F F 3 ตัวแปร P q r T T F T T F F T T F F T F F เช่น ก าหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p → q) → (~p ∧ ~q) p q p → q ~p ~q ~p ∧ ~q (p → q) → (~p ∧ ~q) T T T F F F F T F F F T F T F T T T F F F F F T T T T T p q T T T F F T F F P T F p q r T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 6 5. การหาค่าความจริงของประพจน์ 1. ก าหนดให้ p , q , r , s มีค่าความจริงเป็น F , T , T , F ตามล าดับ จงหาค่าความจริงของรูปแบบประพจน์[(p ↔ q) ∨ r] → ~s [(p ↔ q) ∨ r] → ~s = [(F ↔ T) ∨ T] → ~F (F ∨ T) → T T → T T มีค่าความจริงเป็นจริง 2. ก าหนดค่าความจริงรูปแบบประพจน์ แล้วหาค่าความจริงของประพจน์ย่อย ก าหนดให้ (~q ↔ s) ∨ (q → p) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ p, q, และ s (~q ↔ s) ∨ (q → p) F F F F T T F ดังนั้น p มีค่าความจริงเป็นเท็จ q มีค่าความจริงเป็นจริง s มีค่าความจริงเป็นจริง 3. ก าหนดค่าความจริงให้บางประพจน์ (จะต้องอนุมานถึงตารางค่าความจริง) 1) (p ∧ s) → (q ∧ s) เมื่อ p = F เชื่อมด้วย “และ” (และ มี F ตอบ F) วิธีท า (p ∧ s) → (q ∧ s) = (F ∧ s) → (q ∧ s) F → (อาจจะเป็น T หรือ F ก็ได้) T มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะ “→” มี F กรณีเดียวคือ T → F 2) (p ∨ q) ∧ r เมื่อ r = F เชื่อมด้วย “และ” (และ มี F ตอบ F) วิธีท า (p ∨ q) ∧ r = (p ∨ q) ∧ F F มีค่าความจริงเป็นเท็จ 3) (p → q) ↔ (q → p) เมื่อ p → q = F วิธีท า (p → q) ↔ (q → p) = (T → F) ↔ (F → T) F ↔ T F มีค่าความจริงเป็นเท็จ F F T F
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 7 5. รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน คือ รูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบที่มีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี ► ใช้สัญลักษณ์ ≡ แทนค าว่า “สมมูล” วิธีตรวจสอบว่าประพจน์สมมูลกันหรือไม่ มี 2 วิธี 1. สร้างตารางค่าความจริง เช่น จงตรวจสอบว่า ~p ∨ q กับ p → q สมมูลกันหรือไม่ ดังนั้น ~p ∨ q ≡ p → q 1. ใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ส าคัญ 1. ~(~p) ≡ p 2. p ∧ q ≡ q ∧ p 3. p ∨ q ≡ q ∨ p 4. P ↔ q ≡ q ↔ p 5. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) 6. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 7. (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r) 8. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r) (q ∨ r) ∧ p ≡ (q ∧ p) ∨ (r ∧ p) 9. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ r) (q ∧ r) ∨ p ≡ (q ∨ p) ∧ (r ∨ p) 10. p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r) p q ~p ~p ∨ q p → q T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 8 11. (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r) (p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r) 12. p → q ≡ ~p ∨ q ≡ ~p → ~q 13. p ↔ q ≡ ~p ↔ ~q ≡ (p → q) ∧ (q → p) 14. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q 15. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q 16. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q 17. ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q 18. p ∧ q ≡ p 19. p ∨ q ≡ p 20. p ∧ T ≡ p 21. p ∨ F ≡ p 22. T → p ≡ p 23. p → F ≡ ~p 24. p ↔ T ≡ p 25. p ↔ F ≡ ~p สูตรสมมูล 1. น ↔ ล ≡ (น → ล) ∧ (ล → น) 2. น → ล ≡ ~น ∨ ล น → ล ≡ ~ล → ~น 3. น ∨ ล ≡ ล ∨ น เช่น (p → r) ∧ (q → r) กับ ~(p ∨ q) ∨ r สมมูลกันหรือไม่ (p → r) ∧ (q → r) ≡ (p ∨ q) → r (ใช้รูปแบบสมมูลข้อ 11) ≡ ~(p ∨ q) ∨ r (ใช้สูตรสมมูลข้อ 2) ดังนั้น (p → r) ∧ (q → r) ≡ ~(p ∨ q) ∨ r
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 9 6. สัจนิรันดร์ คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี วิธีตรวจสอบสัจนิรันดร์มี 3 วิธี 1. ใช้ตารางค่าความจริง ตารางค่าความจริง 2n กรณี จะต้องได้ T ทุกกรณี 2. ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง ใช้ได้แค่กับตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า...แล้ว...” กับ “หรือ” • ขั้นตอนการหาข้อขัดแย้ง (1) สมมติให้ประพจน์ทั้งก้อนมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) (2) หาค่าความจริงแต่ละประพจน์ย่อย (3) ถ้าเกิดขัดแย้ง แสดงว่าเป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่ขัดแย้ง แสดงว่าไม่เป็น สัจนิรันดร์ 3. ใช้วิธีการสมมูลของรูปแบบของประพจน์ กรณีที่โจทย์ให้มาเป็นแบบ A ↔ B แล้วอยากทราบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ เราสามารถตรวจสอบได้โดยการไป ตรวจสอบว่า A กับ B สมมูลกันหรือไม่ - ถ้า A สมมูลกับ B แสดงว่า A ↔ B เป็นสัจนิรันดร์ - ถ้า A ไม่สมมูลกับ B แสดงว่า A ↔ B ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น จงพิจารณาว่า [(p → q) ∧ p] → q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ • วิธีการหาโดยใช้ตารางค่าความจริง p q p → q (p → q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T p q เชื่อมประพจน์ด้วย ตัวเชื่อมต่างๆ บราๆ แล้วได้ช่องสุดท้าย ∆ T T T T F T F T T F F T
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 10 • วิธีหาข้อขัดแย้ง [(p → q) ∧ p] → q F T F T T T F ข้อขัดแย้ง ดังนั้น[(p → q) ∧ p] → q เป็นสัจนิรันดร์ เช่น ก าหนดให้ [(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q → r)] จงพิสูจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ใช้สูตร น → ล ≡ ~น ∨ ล [(p ∧ q) → r] ≡ ~(p ∧ q) ∨ r ≡ (~p ∨ ~q) ∨ r (ใช้รูปแบบสมมูลข้อ 14) ≡ ~p ∨ (~q ∨ r) (ใช้สมบัติการเปลี่ยนหมู่) ≡ ~p ∨ (q → r) (ใช้รูปแบบสมมูลข้อ 12) ≡ p → (q → r) ดังนั้น [(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q → r)] เป็นสัจนิรันดร์ 7. การอ้างเหตุผล 1. ข้อความที่เป็นเหตุ (สามารถมีหลายเหตุ) 2. ข้อความที่เป็นผล • ให้ข้อความที่เป็นเหตุให้เป็น P1 , P2 , P3 , … , Pn • ให้ข้อความเป็บผลให้เป็น C ► สามารถใช้ ∧ เชื่อมข้อความที่เป็นเหตุและใช้ → เชื่อมระหว่างเหตุกับผล (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn) → C วิธีตรวจสอบว่าสมเหตุสมผลหรือไม่ - เป็นสัจนิรันดร์ = สมเหตุสมผล - ไม่เป็นสัจนิรันดร์ = ไม่สมเหตุสมผล T F
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 11 เช่น เหตุ : 1. ถ้ามีนาไปเที่ยวเชียงใหม่ แล้วมีนาไม่สบาย (p → q) 2. มีนาไปเที่ยวเชียงใหม่ (p) ผล : มีนาไม่สบาย (q) วิธีท า p แทน มีนาไปเที่ยวเชียงใหม่ q แทน มีนาไม่สบาย [(p → q) ∧ p] → q F T F T T T T ข้อขัดแย้ง ดังนั้น สมเหตุสมผล 8. ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร เช่น 2X + 5 = 100 (X คือ ค่าตัวแปร ที่ทราบใน U ∈ ℝ) 9. ตัวบ่งปริมาณ คือ ข้อความที่บอกจ านวนของตัวเลขที่มาแทนในตัวแปรของประโยคเปิดนั้นๆ มี 2 แบบ 1. ∀ อ่านว่า For All คือ ส าหรับ...ทุกตัว 2. ∃ อ่านว่า For some คือ มี...บางตัว ► ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ (Quantified Statement) • ส าหรับ x ทุกจ านวน x • 1 = 1 • x จะได้ ∀x [x • 1 = 1 • x] ; U ∈ ℝ • มีจ านวนเต็มบางจ านวนคี่ x + 2x = 5x จะได้ ∃x [x + 2x = 5x] ; U ∈ I • มีจ านวนเต็ม M ซึ่ง M 2 = 4 จะได้ ∃M [M 2 = 4] ; U ∈ I
สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร ์ พ้นืฐาน ม.4 หน่วยท่ี2 เร่อืง ตรรกศาสตร ์ ห น้ า | 12 10. ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว ก าหนด p(x) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร x ∀x[p(x)] → เป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวแทนใน p(x) ได้ เป็นเท็จ เมื่อ x บางตัวแทนใน p(x) ได้ ∃x[p(x)] → เป็นจริง เมื่อ x บางตัวแทนใน p(x) ได้ เป็นเท็จ เมื่อ x ทุกตัวแทนใน p(x) ได้ • ประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ จะประกอบไปด้วย 3 อย่าง 1. ตัวบ่งปริมาณ ; ∀ และ ∃ 2. ประโยคเปิด ; p(x) 3. เอกภพสัมพัทธ์ ; U เช่น จงหาค่าความจริงของ ∃x [x < 0] ; U = {0, 2, 4} จะได้ x = 0 ; 0 < 0 ไม่จริง x = 2 ; 2 < 0 ไม่จริง x = 4 ; 4 < 0 ไม่จริง ดังนั้น เป็นเท็จ เช่น จงหาค่าความจริงของ ∀x [x + 1 > 0] ; U ∈ ℕ จะได้ x + 1 > 0 x > -1 ดังนั้น เป็นจริง -∞ ∞ -1 (-1, ∞)