หมากรุกสากล

การศกึ ษารูปแบบการวางเเละจาํ นวนชองท่ีบชิ อปเดนิ ถึงไดบ น

ตารางสีเ่ หลย่ี มจัตุรัสขนาด N × N โดยไมสามารถกนิ กนั

จดั ทาํ โดย

นางสาวพลอยชมพู งามพลวิโรจน เลขท่ี 7

นางสาวพิมลพรรณ ปุริมายะตา เลขท่ี 9
นางสาวตน กลา ฤกษนิมติ กลุ เลขที่ 16
นางสาวพอใจ เลิศจงซ่ือสกุล เลขท่ี17

นางสาวสิตานนั พพิ ัฒนป ระทานพร เลขท่1ี 9

ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 หอ ง 2
เสนอ

คุณครสู ุภาดา ศิริขจร
โรงเรียนสตรีวดั มหาพฤฒาราม ในพระบรมราชินูปถมั ภ

ภาคเรียนที่ 1 ปการศกึ ษา 2565

โครงงานคณิตศาสตร์
เรื่อง การศึกษารปู แบบการวางเเละจานวนชอ่ งท่ีบชิ อปเดินถงึ ได้

บนตารางสี่เหลีย่ มจตั รุ ัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกัน

นางสาวพลอยชมพู จดั ทาโดย เลขที่ 7
นางสาวพมิ ลพรรณ งามพลวโิ รจน์ เลขที่ 9
นางสาวตน้ กลา้ ปรุ มิ ายะตา เลขท่ี 16
นางสาวพอใจ ฤกษ์นิมติ กลุ เลขที่ 17
นางสาวสิตานัน เลิศจงซือ่ สกุล เลขท่ี 19
พิพัฒน์ประทานพร

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 หอ้ ง 2

เสนอ
คุณครูสภุ าดา ศิริขจร

รายงานฉบบั นเี้ ป็นส่วนหนงึ่ ของรายวิชา ค32203 คณติ ศาสตรพ์ ิเศษ 3
โรงเรียนสตรีวัดมหาพฤฒาราม ในพระบรมราชินปู ถมั ภ์
ภาคเรยี นท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2565

ก

คานา

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การศึกษารูปแบบการวางเเละจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้บนตารางสี่เหลี่ยม
จัตรุ สั ขนาด N × N โดยไมส่ ามารถกินกนั เป็นส่วนหน่ึงของรายวิชาคณติ ศาสตร์พเิ ศษ 3 (ค32203) ชัน้ มธั ยมศึกษา
ปีท่ี 5 จดั ทาขน้ึ โดยมีจุดประสงคเ์ พ่อื นาความรู้คณิตศาสตร์ที่ได้ศกึ ษามาประยกุ ตใ์ ชใ้ นการหาสูตรในการคานวณหา
จานวนช่องท่ีบชิ อปเดนิ ถงึ ไดแ้ ละรูปแบบในการวางบิชอปบนตารางสเ่ี หลย่ี มจตั รุ ัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกัน
ทั้งนี้โครงงานนี้มีเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ คือ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่าโครงงาน
คณิตศาสตรฉ์ บับนี้จะเป็นประโยชนแ์ ก่ผูอ้ า่ นหากมีขอ้ ผิดพลาดประการใดทางคณะผจู้ ดั ทาขออภยั มา ณ ที่นี้

คณะผจู้ ดั ทา
วนั ที่ 21 กันยายน 2565

ข

ช่อื โครงงาน : การศกึ ษารปู แบบการวางเเละจานวนชอ่ งทบี่ ชิ อปเดินถงึ ได้บนตารางส่เี หลี่ยมจตั รุ ัสขนาด N × N

โดยไมส่ ามารถกนิ กนั

ผู้จดั ทา : นางสาวพลอยชมพู งามพลวิโรจน์ เลขท่ี 7

นางสาวพิมลพรรณ ปรุ ิมายะตา เลขท่ี 9

นางสาวตน้ กล้า ฤกษ์นมิ ิตกลุ เลขที่ 16

นางสาวพอใจ เลิศจงซอ่ื สกลุ เลขที่ 17

นางสาวสติ านัน พพิ ฒั น์ประทานพร เลขที่ 19

ครูทป่ี รึกษา : นางสาวสุภาดา ศริ ิขจร

ปกี ารศกึ ษา : 2565

บทคดั ย่อ

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การศึกษารูปแบบการวางเเละจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้บนตารางสี่เหลี่ยม
จตั ุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกนั จัดทาข้นึ โดยมวี ัตถปุ ระสงค์เพ่ือหารูปแบบการวางบิชอปและจานวนช่อง
ที่บิชอปเดินถึงได้บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกัน ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ทางคณะ
ผู้จัดทาใช้ได้แก่ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ และหลักการนับเบื้องต้น โดยมีขั้นตอนการดาเนินการคือศึกษาเเละ
รวบรวมข้อมูล จากนั้นนาข้อมูลที่ได้มาใช้ประกอบกับการคิดสูตรการคานวณหาจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้บน
ส่เี หลย่ี มจัตรุ สั ขนาด N x N โดยท่ไี มส่ ามารถกนิ กนั ได้

ผลการดาเนินงานการจัดทาโครงงานสรุปได้ว่า ผลการศึกษารูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบน
สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N x N โดยที่ไม่สามารถกินกันได้ ทาให้คณะผู้จัดทาได้สูตรในการคานวณหาออกมา
โดยสูตรในการคานวณหาแบ่งออกได้เป็น 2 กรณี เเละจากการตรวจสอบพบว่าสูตรการคานวณมีความเเม่นยา
ซงึ่ บรรลุตามวตั ถุประสงค์ของโครงงานท่ีต้ังไว้

ค

Abstract

Study of Placement Patterns and Number of Holes that Bishops Can Walk on a Square of
N × N Size without Comparatively Mathematics Project is Developed with the objective of figuring
out the bishop's placement pattern and the number of openings the bishop can reach on an
N × N square grid without interfering. The mathematical knowledge that the authors use include
Mathematical Induction and Fundamental Principles of Counting The procedure is to study and
collect data. The data was then used in conjunction with the formula for calculating the number
of openings the bishop could walk on a square of size N x N without being able to eat together.

The results of the preparation of the project can be concluded that The results of the
study were to place the largest number of bishops on a square of size N x N without being able
to eat. causing the organizing committee to come up with a formula for calculating The formula
for the calculation can be divided into 2 cases, and from the examination it was found that the
calculation formula was accurate. which achieves the objectives of the project set.

ง

กติ ตกิ รรมประกาศ

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การศึกษารูปแบบการวางเเละจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้บนตารางสี่เหลี่ยม
จัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกันนี้ สาเร็จลุล่วงไปได้ด้วยดีจากความกรุณาเเละความช่วยเหลืออย่างสูงย่ิง
จาก คุณครู สุภาดา ศิริขจร ครูที่ปรึกษาโครงงาน ที่ได้กรุณาให้คาปรึกษา และคาแนะนา ตลอดจนช่วยเเก้ไข
ข้อบกพร่องทุกขั้นตอนของการจัดทาโครงงานจนโครงงานเล่มนี้เสร็จสมบูรณ์ คณะผู้จัดทาขอขอบพระคุณ
เปน็ อยา่ งสงู

ขอขอบพระคุณคุณครูปภาวรินทร์ กิตติอมรพงศ์ และคุณครูวัชรมล เจริญผล ที่ได้ให้คาปรึกษาและ
คาแนะนาในการจัดทาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การศึกษารูปแบบการวางเเละจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้
บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกันน้ี รวมไปถึงผู้เกี่ยวข้องทุกท่านที่มีส่วนช่วยเหลือให้
โครงงานฉบบั นี้สาเรจ็ ลุลว่ งไปไดด้ ว้ ยดี

คณะผ้จู ดั ทาจึงขอขอบพระคุณทุกท่านดงั กลา่ วทีก่ ล่าวมาถงึ ขา้ งตน้ และทีไ่ ม่ไดก้ ล่าวถึง ณ ท่นี ีเ้ ป็นอยา่ งสูง

คณะผจู้ ดั ทา
วันที่ 21 กันยายน 2565

สารบญั จ

คานา หน้า
บทคัดยอ่
กิตติกรรมประกาศ ก
สารบัญ ข
สารบญั รูปภาพ ง
สารบัญตาราง จ
บทที่ 1 บทนา ช
ซ
ทมี่ าและความสาคัญ 1
วัตถุประสงค์ 1
ขอบเขตของการศึกษา 1
ประโยชนท์ ค่ี าดว่าจะได้รบั 2
นิยามศพั ทเ์ ฉพาะ 2
บทที่ 2 เอกสารและงานวจิ ัยทเ่ี กี่ยวข้อง 2
ความรู้พน้ื ฐานในการเล่นหมากรกุ สากล 3
วิธกี ารเล่นหมากรกุ สากล 3
ความรทู้ างคณติ ศาสตร์ 5
งานวิจยั ที่เก่ยี วข้อง 6
บทท่ี 3 วธิ ีการดาเนนิ งาน 7
ขัน้ ตอนการดาเนินงานโครงงาน 9
ตารางขนั้ ตอนการดาเนินงาน 9
11

ฉ

สารบญั

หน้า

บทที่ 4 ผลการดาเนนิ งาน 13

ผลการหารูปแบบการวางบชิ อปที่มีจานวนมากท่ีสุดบนตารางสเี่ หลยี่ มจตั รุ ัสขนาด N × N โดยไมส่ ามารถ 13

ผลการหาจานวนบิชอปท่ีวางไดม้ ากท่ีสุดบนตารางสีเ่ หล่ยี มจัตรุ ัสขนาด N × N โดยไมส่ ามารถกินกนั 15

ผลการหาจานวนวิธีทั้งหมดของการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด n × n

โดยไม่สามารถ 15

ผลการหาสตู รการคานวณจานวนช่องทบี่ ิชอปหน่ึงตัวเดินถึงได้ในรูปแบบการวางบชิ อปที่มีจานวนมากท่ีสุดโดยไม่

สามารถกิน 15

บทท่ี 5 สรปุ ผล อภิปรายผล และขอ้ เสนอแนะ 17

สรปุ ผลการศกึ ษา 17

อภปิ รายผลการดาเนินโครงงาน 17

ข้อเสนอแนะ 17

บรรณานกุ รม 18

สารบญั รูปภาพ ช

รูปที่ 2.1 หมากคงิ หน้า
รูปที่ 2.2 การเดนิ ของคิง
รูปที่ 2.3 หมากควนี 3
รูปที่ 2.4 การเดนิ ของควีน 3
รูปที่ 2.5 หมากเรอื 4
รูปที่ 2.6 การเดินของเรือ 4
รูปที่ 2.7 หมากบิชอป 4
รูปที่ 2.8 การเดินของบิชอป 4
รูปที่ 2.9 หมากอัศวิน 4
รูปที่ 2.10 การเดินของอศั วนิ 4
รูปที่ 2.11 หมากเบ้ยี 5
รูปที่ 2.12 การเดนิ ของเบ้ีย 5
รูปที่ 4.1 รูปแบบการวางบชิ อป กรณที ่ี N = 3 5
รูปที่ 4.2 รปู แบบการวางบิชอป กรณีท่ี N = 4 5
รูปที่ 4.3 รปู แบบการวางบิชอป กรณีที่ N = 5 13
รูปที่ 4.4 รปู แบบการวางบชิ อป กรณเี มอื่ N เปน็ จานวนนับ 14
14
14

สารบญั ตาราง ซ

ตารางท่ี 3.1 ตารางข้นั ตอนการดาเนนิ งาน หน้า
11

1

บทท่ี 1
บทนา

1.1 ท่ีมาและความสาคญั

จากมินิซีรีส์เรื่อง The Queen’s Gambit - เกมกระดานแห่งชีวิต ของทาง Netflix ที่ได้มีการถ่ายทอด
เรื่องราวเกี่ยวกับนักหมากรุกหญิงอัจฉริยะกับเกมหมากรุกสากล ทาให้คณะผู้จัดทาสนใจที่จะศึกษาข้อมูลเกี่ยวกับ
การเลน่ หมากรุกสากล ซึ่งการเล่นต้องใชท้ ักษะการคิด วิเคราะห์ การวางแผน และปฏิภาณไหวพริบชิงความไดเ้ ปรียบ
ในการแข่งขันเพื่อชนะคู่ต่อสู้ (หนังสือหมากรุกสากล, 2560) นอกจากนี้หมากรุกสากลยังมีจานวนวิธี
ในการเล่นมากมาย เช่น หากทั้งสองฝ่ายเดินคนละสองตาจะมีวิธีที่เป็นไปได้มากกว่า 7,200 วิธี หรือถ้าเดิน
คนละสี่ตาจะมีวิธีที่เป็นไปได้มากกว่า 288 พันล้านวิธี (ทรงเกียรติและคณะ, 2555) จากการที่มีวิธีการเล่น
หลากหลายทาใหเ้ กิดการตั้งคาถามเกี่ยวกับหมากรุกสากลมากมาย เช่น Max Bezzel นกั เลน่ หมากรุกชาวเยอรมัน
(Alchetron, 2561) ได้ตั้งคาถามการวางควีน N ตัว ว่าการวางควีนบนกระดานหมากรุก ขนาด 8×8 ได้มากที่สุด
กี่ตัวโดยให้ควีนแต่ละตัวไม่สามารถกินกันได้ จากปัญหาการวางควีนข้างต้นได้มีการนามาประยุกต์ใช้ในยุคปัจจุบนั
ท่ีเทคโนโลยกี ้าวหน้า เชน่ การควบคมุ จราจร เป็นต้น (ทรงเกียรติและคณะ, 2555)

จากที่กล่าวมาข้างต้นปัญหาการเดินตัวหมากบนกระดานหมากรุกสากลเป็นแรงบันดาลใจให้คณะผู้จัดทา
สนใจในการเดินหมากโดยเปลีย่ นตัวหมากจากควีนเป็นบิชอปเพื่อหาศึกษารูปแบบการวางบิชอปเเละจานวนช่องท่ี
บชิ อปเดินถงึ ได้บนตารางสเี่ หล่ียมจตั ุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกนั

1.2 วัตถปุ ระสงค์

1) หารปู แบบการวางบิชอปทมี่ ีจานวนมากท่ีสดุ โดยไมส่ ามารถกนิ กนั ได้
2) หาจานวนบชิ อปท่ีวางได้มากทีส่ ดุ บนตารางสี่เหลีย่ มจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกนิ กนั
3) หาจานวนวิธีทั้งหมด ในการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุด บนสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดย
ไม่สามารถกนิ กันได้
4) หาสตู รการคานวณจานวนช่องทีบ่ ชิ อปหนง่ึ ตัว เดนิ ถึงไดใ้ นรูปแบบการวางบิชอปทม่ี ีจานวนมากทส่ี ดุ โดย
ไม่สามารถกนิ กนั

2

1.3 ขอบเขตการศกึ ษา

1) เนอื้ หาคณิตศาสตรท์ ่เี กีย่ วข้อง
- อปุ นัยเชงิ คณิตศาสตร์ (Mathematical induction)
- หลกั การนับเบ้ืองต้น (Fundamental Principles of Counting)

2) ระยะเวลา
1 สงิ หาคม 2565 ถงึ 22 กนั ยายน 2565

1.4 ประโยชน์ทคี่ าดวา่ จะได้รบั

1) สามารถหารูปแบบการวางของบชิ อปที่มีจานวนมากท่ีสุด โดยไมส่ ามารถกินกันได้
2) สามารถใชส้ ตู รในการคานวณหาจานวนชอ่ งที่บิชอปจานวนหน่งึ ตวั เดินถงึ ได้อยา่ งแม่นยา

1.5 นิยามศพั ทเ์ ฉพาะ

1) บิชอป (Bishop) คอื ตัวหมากรกุ ท่ีใชใ้ นหมากรกุ สากล

2) วิธีการเดินของบิชอป คือ เดินในแนวทแยงมุม 4 ทิศทาง (  ) ในระยะยาวจนสุดกระดาน หรือ

จนกวา่ จะมตี ัวยืนขวาง
3) ตารางส่เี หล่ียมจัตุรัสขนาด N × N โดย N คือ จานวนนบั
4) จานวนช่องที่บิชอบเดินถึงได้ คือ ช่องที่บิชอปหนึ่งตัวสามารถเดินได้บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด

N×N
5) ไม่กินกัน คือ ไม่มีตัวหมากมายนื ขวางในช่องทส่ี ามารถเดนิ ถึงได้

3

บทท่ี 2
เอกสารและงานวจิ ยั ท่ีเก่ียวขอ้ ง

ในการจัดทาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การศึกษารูปแบบการวางเเละจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้
บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกันนี้ ผู้จัดทาโครงงานได้ศึกษาเอกสารเเละงานวิจัยท่ี
เกีย่ วขอ้ ง ดังตอ่ ไปน้ี

2.1 ความรู้พน้ื ฐานในการเลน่ หมากรุกสากล
2.2 วธิ ีการเลน่ หมากรกุ สากล
2.3 ความรูท้ างคณติ ศาสตร์

1) การอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์ (Mathematical induction)
2) หลกั การนบั เบือ้ งตน้ (Fundamental Principles of Counting)
2.4 งานวจิ ยั ทีเ่ กี่ยวข้อง

2.1 ความรู้พนื้ ฐานในการเลน่ หมากรุกสากล

ผู้เล่นแต่ละคนเริ่มต้นด้วยตัวหมากรุก 16 ตัว ได้แก่ คิง 1 ตัว ควีน 1 ตัว เรือ 2 ตัว อัศวิน 2 ตัว บิชอป 2 ตัว
และเบี้ย 8 ตัว ตัวหมากรุกทั้ง 6 ประเภทมีการเดินแตกต่างกัน ตัวหมากรุกใช้โจมตีและยึดตัวหมากรุกฝ่าย
ตรงข้าม โดยมีเป้าหมายเพื่อ "รุกจน" (Checkmate) คิงของฝ่ายตรงข้ามโดยทาให้คิงนั้นเสี่ยงต่อการถูกยึดและ
เดินหนีไม่ได้ (Inescapable threat of capture) นอกเหนือไปจากการรุกจนแล้ว หมากรุกสากลยังชนะได้
หากฝ่ายตรงขา้ มสมคั รใจถอนตวั ซึง่ มักเกดิ ขึ้นเมอ่ื เสียตวั หมากรุกมากเกนิ ไป หรอื หากการรุกจนดเู หมือนจะเกิดขึ้น
แน่นอนหมากรุกสากลยังอาจจบลงด้วยการเสมอในหลายวิธี โดยไม่มีผู้เล่นฝ่ายใดชนะ ซึ่งหมากรุกแต่ละประเภท
มวี ิธีในการเดิน ดงั ต่อไปน้ี

1) คงิ (King)

รูปที่ 2.1 หมากคิง รูปที่ 2.2 การเดินของคิง

เดนิ ได้ 8 ทศิ รอบตัวทีละ 1 ช่องยกเวน้ ตากินของคตู่ ่อสู้ (ยกเวน้ การเข้าปอ้ ม) การกนิ เหมือนกับการเดิน

4

2) ควนี (Queen)

รูปที่ 2.3 หมากควนี รูปที่ 2.4 การเดนิ ของควีน

เดินได้ 8 ทศิ รอบตวั ก่ชี ่องก็ได้ การกินเหมอื นกับการเดิน

3) เรือ (Rook)

รูปที่ 2.5 หมากเรือ รูปที่ 2.6 การเดนิ ของเรอื

เดินได้ 4 ทศิ รอบตัวในแนวตง้ั และแนวนอน ก่ีช่องกไ็ ด้ การกนิ เหมือนกับการเดนิ

4) บชิ อป (Bishop)

รูปที่ 2.7 หมากบชิ อป รูปที่ 2.8 การเดนิ ของบชิ อป

เดนิ ได้ 4 ทศิ รอบตวั ในแนวทแยงมุม กชี่ อ่ งกไ็ ด้ การกินเหมอื นกบั การเดิน

5

5) อศั วนิ (Knight)

รูปที่ 2.9 หมากอศั วิน รูปที่ 2.10 การเดินของอศั วิน

เดินได้ 8 ทิศรอบตัว แต่เป็นการเดิน 2 จังหวะคือ เดินคล้ายเรือไป 2 ช่องและหักมุมอีก ช่องเป็นรูปตัว L

การกนิ เหมอื นกับการเดนิ แตไ่ ม่สามารถเดนิ ไดถ้ ้ามเี บย้ี ขวางอยู่ 2 ดา้ น

6) เบ้ยี (Pawn)

รูปที่ 2.11 หมากเบย้ี รูปที่ 2.12 การเดนิ ของเบยี้

เดินได้ 1 ทิศคือไปข้างหน้าทีละ 1 ช่อง (ยกเว้นตาแรกของเบี้ยจะเลือกเดิน 1 หรือ 2 ช่องได้

การกนิ กินในแนวทแยงดา้ นหน้า 1 ชอ่ ง)

2.2 วิธีการเล่นหมากรุกสากล

ในกรณีที่เราเดินเบี้ยไปแถวที่ห้า และคู่ต่อสู้เดินเบี้ยมาหนึ่งช่อง เราสามารถกินเบี้ยของคู่ต่อสู้ได้ แต่ถ้า
คู่ต่อสู้พยายามหลบตัวเบี้ยไม่ให้ถูกกินโดยการเดินทีเดียวสองช่องมาอยู่ในช่องด้านซ้ายหรือขวา เราสามารถจับ
ตัวเบีย้ ของคตู่ ่อสกู้ ินไดเ้ ลย โดยให้ยกเบ้ยี ของคู่ต่อสู้ออกจากกระดาน แล้วเดนิ เบีย้ เฉียงไปข้างหน้าหน่ึงช่อง ก็คือไป
ลงชอ่ งทีเ่ บีย้ ของคูต่ อ่ สู้เพิง่ จะเดนิ ขา้ มมานน่ั เอง

ถ้าเราเดินเบี้ยไปจนถึงแถวหลังสุดของคู่ต่อสู้ เราสามารถประกาศให้เบี้ยตัวนั้นเป็นตัวอะไรก็ได้ที่มี
ศักดิ์สูงขึ้น เว้นแต่ให้เป็นคิง โดยปกติแล้วคนทั่วไปจะเลือกเป็นควีน เพราะควีนมีอานาจมาก เมื่อเปลี่ยนเบี้ยให้
เปน็ ควนี แลว้ จงึ จะมีควนี สองตวั อยู่บนกระดานได้

ให้ผลัดกันเดินคนละตา โดยสีขาวจะได้เป็นฝ่ายเริ่มก่อนเสมอ ถือเป็นธรรมเนียมที่จะเปลี่ยนสีตัวหมาก
กันเล่นหลังจบแตล่ ะเกมส์ เราสามารถเดนิ หมากไดท้ ลี ะตัว เว้นแต่เวลาเข้าปอ้ ม เมื่อรุกไปถึงตัวคิง ควรเตือนคูต่ อ่ สู้

6

โดยพูดว่า “รุก” (Check) (แม้จะไม่ใช่ข้อบังคับว่าจะต้องเตือนก็ตาม) หลังจากนั้นคู่ต่อสู้ต้องเดินคิงออกไปให้พ้น
จากการรกุ หรอื กนิ ตัวหมากทก่ี าลังรุกอยู่ หรือกนั การรุกโดยการเดนิ หมากตัวอืน่ มาขวางทางไว้

ถ้าหากว่าคู่ต่อสู้ไม่สามารถทาอย่างใดอย่างหนึ่งได้ ถือเป็นการรุกฆาต และเกมส์จะยุติลงทันทีเกมส์
จะเสมอกัน (Draw) หากไม่มีฝ่ายใดสามารถเอาชนะกันได้ เมื่อผู้เล่นไม่สามารถเดินไปไหนได้เมื่อถึงตาของตัวเอง
แตว่ ่าคิงไม่ไดถ้ กู รุกอยู่ จะเรียกว่า “จน” (Stalemate) และจะถอื ว่าเป็นการเสมอกัน

2.3 ความรทู้ างคณติ ศาสตร์

1) อปุ นยั คณิตศาสตร์ (Mathematical Induction)
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) คือการพิสูจน์สาหรับประโยคที่มีตัวแปรเป็นจานวนนับ
โดยการพสิ ูจน์อาศัยหลกั ท่ีวา่ ประโยคเร่มิ ตน้ เป็นจรงิ (คือ P(1) เปน็ จริง) และถา้ เราสามารถแสดงวา่ การพสิ ูจนค์ า่ ความจรงิ
ของประโยค P(n+1) เกดิ จากค่าความจริงของประโยค P(n) เราจะไดว้ ่า P(n) เปน็ จริงทุกค่าของ n

2) หลกั การนบั เบ้อื งตน้ (Fundamental Principles of Counting)
หลักการนับเบื้องต้น (Fundamental Principles of Counting) หลักการบวกและหลักการคูณ ในการที่
เราจะนับจานวนสิ่งของ เหตุการณ์ หรือจานวนวิธีในการทางานบางอย่าง อาจจะสามารถนับได้โดยตรงจากการ
คอ่ ย ๆ ไล่นบั ไปจนครบ แตห่ ากสงิ่ ท่จี ะนับมีจานวนมาก อาจจะทาใหก้ ารนับโดยตรงนั้นทาได้ยาก จงึ มหี ลักการนับ
สง่ิ ตา่ ง ๆ เบอ้ื งตน้ เพอื่ ชว่ ยใหก้ ารนับสิง่ ท่ีมจี านวนเยอะ ๆ ทาไดง้ า่ ยข้ึน โดยแบ่งเปน็

กฎการบวก ถ้างานชนิ้ หนง่ึ แบ่งเป็น k กรณี โดย
กรณีท่ี 1 เลือกทาได้ n1 วิธี
กรณีท่ี 2 เลอื กทาได้ n2 วธิ ี

กรณีที่ k เลอื กทาได้ nk วิธี
เราจะมีวิธที างานชิ้นนไี้ ดท้ ง้ั หมด n1 + n2 + … + nk วธิ ี

7

กฎการคณู ถา้ งานช้ินหน่งึ แบง่ เป็น k ขัน้ ตอนยอ่ ย โดย
ข้นั ตอนท่ี 1 เลอื กทาได้ n1 วิธี
ขั้นตอนท่ี 2 เลือกทาได้ n2 วธิ ี

ข้นั ตอนที่ k เลอื กทาได้ nk วิธี
เราจะมวี ิธที างานชน้ิ นีไ้ ด้ท้ังหมด n1× n2 × … × nk วธิ ี
ในโครงงานเร่อื งการศึกษารปู แบบการวางเเละจานวนช่องท่ีบิชอปเดนิ ถึงได้บนตารางสีเ่ หลีย่ จตั ุรัสขนาด
N × N โดยไมส่ ามารถกินกันน้ที างคณะผู้จดั ทาไดใ้ ช้หลักการนับเบอื้ งตน้ เร่ือง กฎการบวก

2.4 งานวจิ ัยที่เกี่ยวขอ้ ง

งานวิจยั ในประเทศ
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. ทรงเกียรติ สุเมธกิจการ (2012) จากโครงงานคณิตศาสตร์ปัญหา

การวางตวั เบี้ยบนตารางจัตรุ สั โดยมวี ัตถปุ ระสงคว์ า่ กาหนดปญั หาขนึ้ ใหมจ่ ากการขยายปัญหาเดมิ ในท่นี ้ปี ญั หาเดิม
คือ ปัญหาการวางควีนจานวนมากที่สุด ลงบนตารางขนาด N × N โดยที่มีควีนอย่างมากหนึ่งตัวในแต่ละแถว
แต่ละหลัก และแนวทแยง และปัญหาใหม่ที่กาหนดขึ้นนั้น คือ ปัญหาการวางควีนจานวนมากที่สุดลงบนตาราง
ขนาด N × N โดยที่มีควีนอย่างมากสองตัวในแต่ละแถว หลัก และแนวทแยง ความรู้ทางคณิตศาสตร์ท่ีเกี่ยวข้อง
คือ หลักการรังนกพิราบ (Pigeonhole principle) ซึ่งได้ผลว่า บนกระดานขนาด N × N ถ้าวางตัวเบี้ยใน
แต่ละแถว จานวน 2 ตัว จะวางตัวเบี้ยได้ 2N ตัว และโดยหลักการรังนกพิราบ จะได้ว่าในการวางตัวเบี้ย 2N+1
ตวั ในแถว N แถว จะมีอย่างนอ้ ย 1 แถว ทมี่ ีตวั เบี้ยอย่างน้อย 3 ตวั ดงั นั้นจงึ สรปุ ไดว้ า่ วางตัวเบี้ยไดไ้ ม่เกิน 2N ตัว

วารสารคณ ิ ตศาสตร ์ MJ-MATH (2562) โดยสมาคมคณ ิ ตศาสตร ์ แห ่ งประเทศไทย

ในพระบรมราชูปถัมภ์จากโครงงานสูตรของจานวนช่องที่หมากรุกเดินถึงได้แบบ (2, b) เมื่อ b  {2, 4, 6, 8}
Formula for Squares Reachable by a Knight with (2, b) – Knight’s Move for b  {2, 4, 6, 8} ไดศ้ ึกษา

และพิจารณาการเดินของม้าหมากรุกแบบ (a, b) โดยแทนคู่ลาดับด้วยจานวนเต็มประกอบด้วย 2, 4, 6, 8 บน
กระดานหมากรุกขนาดอนันต์จากช่องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสช่องหนึ่งไปอีกช่องหนึ่ง โดยเดินม้าหมากรุกไป a ช่องตาม
แนวตั้งหรือแนวนอนแล้วเดินเลี้ยวทามุม 90 องศากับแนวเดิมไปอีก b ช่อง ในบทความนี้พิจารณาการเดินของม้า

หมากรุกเดินแบบ (2, b) เมื่อ b  {2, 4, 6, 8} จากนั้นพิสูจน์และนาเสนอสูตรของจานวนช่องที่ม้าสามารถเดิน
ไปถึงในแบบ (2, b) เมื่อ b  {2, 4, 6, 8} ไปถึงได้บนกระดานหมากรุกขนาดอนันต์และจานวนช่องสะสมที่ม้า

สามารถเดนิ ไปถึงด้วยการเดินเพยี ง k ครั้ง

8

งานวจิ ัยต่างประเทศ

Belal Al khateep (2013) ได้ศึกษาวจิ ัยเรอ่ื ง Solving 8 - Queens Problem by Using Genetic Algorithms,
Simulated Annealing, and Randomization Method ศึกษาการแก้ปัญหาควีน 8 ตัว โดยใช้ Metaheuristic
ซ่งึ มี 2 กระบวนการด้วยกัน คอื Genetic Algorithm (GA) กบั Simulated Annealing (SA) ได้นามาประยุกตห์ า
คาตอบ พบว่าได้วิธีที่ดีกว่ากระบวนการสุ่ม SA จะมีประสิทธิภาพที่ดีกว่า GA เพราะต้องใช้จานวนการทาซ้า
ประมาณครึ่งหนึ่ง ส่วน GA ต้องหาความเป็นไปได้ทั้งหมดของวิธีการแก้ปัญหาควีน 8 ตัว เนื่องจากโดยปกติแล้ว
SA ช่วยใหย้ อมรับความนา่ จะเปน็ ของวิธกี ารแก้ปัญหาใกล้เคยี งทยี่ งั ไม่ปรบั ปรงุ

Dudeney (1 9 7 0 ) แ ล ะ Madachy (1 9 7 9 ) จ า ก บ ท ค ว า ม Bishops Problem ไ ด ้ ค ้ น ค ว้ า
หาจ านวนสูงสุดของบิชอป B(n) ที่สามารถวางบนกระดานหมากรุก N x N โดยที่ไม่สามารถกินกัน
ได้สูตรว่า 2(n) - 2 โดยกาหนดให้ n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 จากความแตกต่างของการหมุนตารางจึงทาให้มีการ
แบ่งออกเป็น 2 กรณี ได้แก่ กรณีที่ n  2 และกรณีที่ n > 1

9

บทท่ี 3
วธิ กี ารดาเนนิ งาน

ในการจัดทาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การศึกษารูปแบบการวางเเละจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้
บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกัน เพื่อหารูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดและ
สูตรการคานวณจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้ในรูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสขนาด
N × N โดยไม่สามารถกินกันได้ คณะผ้จู ัดทามวี ิธกี ารดาเนินงานทาโครงงานตามขัน้ ตอนตอนดงั ต่อไปนี้

3.1 ข้นั ตอนการดาเนินงาน
3.2 ตารางขั้นตอนการดาเนินงาน
ซงึ่ แต่ละข้นั ตอนมรี ายละเอียดดงั ต่อไปน้ี

3.1 ขั้นตอนการดาเนินงาน

1) กาหนดหัวข้อโครงงานทศ่ี กึ ษา
คณะผู้จัดทามีความสนใจที่จะศึกษารูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยม

จัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกัน ซึ่งนาไปสู่การหารูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดและหาสูตร
การคานวนจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกัน
จึงเลือกศกึ ษาและกาหนดหัวขอ้ การทาโครงงาน เรื่อง การศึกษารูปแบบการวางเเละจานวนช่องที่บชิ อปเดนิ ถึงได้
บนตารางส่เี หลี่ยมจัตุรสั ขนาด N × N โดยไม่สามารถกนิ กนั

2) ศกึ ษาค้นควา้ และรวบรวมข้อมูลทใ่ี ช้ในการทาโครงงาน
โดยขอ้ มูลที่คณะผู้จัดทาไดศ้ กึ ษาค้นควา้ และรวบรวมข้อมูลมีดงั น้ี

2.1 วิธีการวางบิชอป
2.2 ประวตั ิของหมากรุก
2.3 วิธกี ารเลน่ หมากรุก

- ความรพู้ ้นื ฐานในการเลน่ หมากรกุ
2.4 ความรทู้ างคณิตศาสตร์

- การอุปนัยเชงิ คณติ ศาสตร์ (Mathematical induction)
- หลักการนบั เบือ้ งต้น (Fundamental Principles of Counting)
3) จัดทาโครงร่างของโครงงานเบ้ืองต้น
ทางคณะผู้จัดทาได้วางโครงร่างของโครงงานเบื้องต้น โดยการกาหนดหัวข้อโครงงาน วัตถุประสงค์
ประโยชน์ท่คี าดวา่ จะได้รบั และขอบเขตของการศึกษา

10

4) หารูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุด บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดย
ไม่สามารถกนิ กัน

ทางคณะผู้จัดทาได้สังเกตรูปแบบการวางบิชอป ทาให้คณะผู้จัดทาได้รูปแบบการวางที่มากที่สุดบน
ส่เี หลย่ี มจัตุรสั ขนาด N × N โดยทไ่ี ม่สามารถกนิ กนั ได้

5) หาจานวนบิชอปที่วางได้มากทีส่ ุด บนตารางสเ่ี หลยี่ มจตั ุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกนิ กัน
ทางคณะผู้จัดทาได้สังเกตรูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N
โดยไมส่ ามารถกินกนั ได้ พบวา่ สามารถหาจานวนบิชอปท่ีวางได้มากทสี่ ุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่
สามารถกนิ กนั
6) หาจานวนวิธีทั้งหมด ในการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุด บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N
โดยไมส่ ามารถกินกนั
ทางคณะผู้จัดทาได้สังเกตรูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N
โดยไมส่ ามารถกนิ กนั ได้ ทาให้คณะผู้จัดทาพบว่าสามารถหาจานวนวิธที ง้ั หมดในการวางบิชอปทมี่ ีจานวนมากท่ีสุดบน
ตารางส่ีเหล่ียมจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกันได้ โดยใช้กฎการบวกในการหาจานวนวธิ ีทง้ั หมด
7) หาสูตรการคานวณจานวนช่องที่บชิ อปจานวนหนึ่งตัว เดินถึงได้ในรปู แบบการวางบิชอปที่มจี านวน
มากทสี่ ดุ โดยไมส่ ามารถกนิ กนั
ทางคณะผู้จัดทาได้สังเกตการเดินของบิชอปในรูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตาราง
สี่เหลีย่ มจัตุรัสขนาด N x N ทาใหท้ างคณะผู้จดั ทาพบว่ามีความสัมพันธใ์ นการเดินของบิชอปในรูปเเบบการวางบชิ อป
ที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N x N ทางคณะผู้จัดทาจึงได้คิดสูตรในการคานวณจานวณช่อง
ท่ีบชิ อปเดินถงึ ได้ คอื
กรณที ่ี 1 : N  2 และ N เป็นจานวนเตม็ คู่
กรณีที่ 2 : N > 1 และ N เป็นจานวนเตม็ ค่ี
8) ตรวจสอบสูตรการคานวณทค่ี ิดได้
ทางคณะผูจ้ ดั ทาได้ทาการตรวจสอบสตู รการคานวณโดยใชอ้ ปุ นัยเชิงคณติ ศาสตร์ ตามขนั้ ตอนดงั น้ี
9) สรุปผลขอ้ มลู
ทางคณะผู้จัดทาไดน้ าผลทีไ่ ด้จากการตรวจสอบ เพอื่ นามาจดั ทารูปเลม่
10) จัดทารูปเลม่ โครงงานและนาเสนอแกค่ รทู ่ปี รกึ ษามาพัฒนาโครงงาน
11) แก้ไข้ขอ้ บกพร่องและนาคาแนะนาของครทู ่ปี รึกษามาพัฒนาโครงงาน

11

3.2 ตารางขนั้ ตอนการดาเนินงาน
ตารางที่ 3.1 ตารางข้นั ตอนการดาเนนิ งาน

วิธกี ารดาเนินงาน กรกฎาคม สิงหาคม กนั ยายน

ลาดบั สัปดาห์ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 กาหนดหวั ข้อโครงงาน
ทศ่ี ึกษา

2 ศกึ ษาคน้ ควา้ และ
รวบรวมข้อมลู ที่เกีย่ วขอ้ ง
ในการทาโครงงาน

3 จัดทาโครงร่างของ
โครงงานเบอ้ื งต้น

4 หารูปแบบการวางบชิ อป
ที่มีจานวนมากที่สุดโดย
ไมส่ ามารถกนิ กนั

5 หาจานวนบิชอปท่ีวาง
ได้มากท่ีสุด บนตาราง
สี่เหลี่ยมจัตรุ สั ขนาด
N × N โดยไมส่ ามารถกนิ
กนั

6 หาจานวนวิธีทงั้ หมดใน
การวางบิชอปท่ีมจี านวน
มากทีส่ ุดบนตาราง
สีเ่ หลีย่ มจตั ุรสั ขนาด
N × N โดยไมส่ ามารถกนิ
กนั

12

วิธีการดาเนนิ งาน กรกฎาคม สิงหาคม กนั ยายน

ลาดบั สัปดาห์ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

7 หาสตู รการคานวณ
จานวนชอ่ งที่บชิ อปหน่ึง
ตัวเดินถึงไดใ้ นรูปแบบ
การวางบิชอปท่มี จี านวน
มากทสี่ ดุ โดยไม่สามารถ
กนิ กัน

8 ตรวจสอบสตู รการคานวณ
ที่คดิ ได้

9 สรุปผลขอ้ มูล

10 จัดทารูปเลม่ โครงงาน
และนาเสนอแก่
ครูทีป่ รึกษาโครงงาน

11 แก้ไขขอ้ บกพรอ่ ง และนา
คาแนะนาของครทู ี่
ปรกึ ษามาพัฒนา
โครงงานให้ดขี ้ึน

13

บทที่ 4
ผลการดาเนนิ งาน

ในการจดั ทาโครงงานคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง การศึกษารูปแบบการวางเเละจานวนช่องที่บิชอปเดินถงึ ได้บน
ตารางสเี่ หลย่ี มจัตรุ ัสขนาด N × N โดยไมส่ ามารถกินกนั มวี ตั ถุประสงคเ์ พ่อื หารูปแบบการวางบิชอปทม่ี ีจานวนมาก
ทส่ี ดุ และหาสตู รการคานวนช่องทีบ่ ชิ อปเดินถึงได้บนตารางสเ่ี หล่ียมจัตรุ ดั ขนาด N × N โดยไมส่ ามารถกนิ กนั
ซ่ึงมผี ลการดาเนนิ งานดงั นี้

4.1 ผลการหารูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดย
ไม่สามารถกินกัน

4.2 ผลการหาจานวนบชิ อปท่วี างได้มากทสี่ ุดบนตารางส่เี หลยี่ มจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกนิ กัน
4.3 ผลการหาจานวนวิธีท้ังหมดของการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรสั ขนาด N × N
โดยไม่สามารถกินกัน
4.4 ผลการหาสูตรการคานวณจานวนช่องที่บิชอปหนึ่งตัวเดินถึงได้ในรูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมาก
ท่สี ดุ โดยไม่สามารถกินกนั

4.1 ผลการหารปู แบบการวางบิชอปท่ีมจี านวนมากทส่ี ุดบนตารางสี่เหล่ยี มจตั รุ ัสขนาด N × N โดยที่
ไมส่ ามารถกินกันได้

จากการสังเกตรูปแบบการวางบิชอป ทาให้คณะผู้จัดทาได้รูปแบบการวางที่มากที่สุดบนสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ขนาด N × N โดยท่ีไมส่ ามารถกนิ กนั ได้ ดงั น้ี

กรณีท่ี N = 3 จะไดร้ ูปแบบการวางบชิ อป ดงั รปู ท่ี 4.1

⚫⚫⚫

⚫

รูปที่ 4.1 รปู แบบการวางบชิ อป กรณีท่ี N = 3

14

กรณีที่ N = 4 จะได้รูปแบบการวางบิชอป ดังรปู ที่ 4.2

⚫⚫⚫⚫

⚫⚫

รูปที่ 4.2 รปู แบบการวางบชิ อป กรณที ี่ N = 4
กรณีที่ N = 5 จะไดร้ ูปแบบการวางบชิ อป ดังรูปท่ี 4.3

⚫⚫⚫⚫⚫

⚫⚫⚫

รูปที่ 4.3 รูปแบบการวางบิชอป กรณีท่ี N = 5
กรณเี ม่ือ N เปน็ จานวนนับ จะไดร้ ปู แบบการวางบชิ อป ดังรูปท่ี 4.4

⚫ ⚫ ⚫ ... ⚫ ⚫ ⚫

⚫ ⚫ ... ⚫ ⚫

รูปที่ 4.4 รปู แบบการวางบิชอป กรณีเมอ่ื N เป็นจานวนนบั

จากรปู แบบการวางบชิ อปข้างต้นจะเห็นไดว้ ่าในการวางของบชิ อปจะมีรูปแบบการท่ีสามารถวางบิชอป
ได้มากที่สุดโดยวางบิชอปบนแถวริมสุดฝั่งใดฝั่งหนึ่งทุกช่องและวางแถวฝั่งตรงข้ามยกเว้นตัวแรกและตัวท้ายสุด
ของตาราง

15

4.2 ผลการหาจานวนบชิ อปทีว่ างได้มากทส่ี ุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดยที่ไมส่ ามารถกนิ กนั ได้

ผลการสงั เกตรูปแบบการวางบิชอปท่มี ีจานวนมากทส่ี ดุ บนตารางสี่เหล่ียมจัตุรสั ขนาด N × N โดยไม่สามารถ

กินกันได้ ทาให้คณะผู้จัดทาได้สูตรในการคานวณหาจานวนของบิชอปที่สามารถวางได้มากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยม

จตั ุรัสขนาด N x N โดยไม่สามารถกินได้ คอื จานวน N + ( N - 2 ) ตัว

4.3 ผลการศึกษาหาจานวนวิธีทั้งหมดของการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ขนาด N × N โดยไมส่ ามารถกินกนั ได้

ผลการสงั เกตรูปแบบการวางบชิ อปท่ีมีจานวนมากที่สุดบนตารางส่ีเหล่ยี มจัตรุ สั ขนาด N × N โดยไม่สามารถ

กินกันได้ ทาใหค้ ณะผูจ้ ัดทาพบว่าสามารถหาจานวนวิธที ง้ั หมดในการวางบชิ อปทมี่ ีจานวนมากทสี่ ุดบนตารางสี่เหลี่ยม

จัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกันได้ โดยทางคณะผู้จัดทาได้ใช้กฎการบวกในการหาจานวนวิธีทั้งหมด

ซึ่งมจี านวนวิธีท้งั หมด 4 วิธี

4.4 ผลการหาสูตรการคานวณจานวนช่องที่บิชอปหนึ่งตัวเดินถึงได้ในรูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวน

มากที่สุด โดยไม่สามารถกนิ กนั ได้

ผลจากการสังเกตการเดินของบิชอปในรูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกันได้ ทาให้คณะผูจ้ ัดทาไดส้ ตู รในการหาจานวนชอ่ งท่บี ิชอปเดนิ ถงึ ได้ โดยสูตรในการหา

แบง่ ออกเป็น 2 กรณี ไดแ้ ก่

กรณีท่ี 1 : N  2 และ N เปน็ จานวนเต็มคู่

ตารางสเ่ี หลีย่ มจตั ุรัสขนาด 2 x 2 จานวนชอ่ งท่ีบชิ อปเดนิ ได้นัน้ มจี านวน 1 ช่อง

ตารางสี่เหลี่ยมจตั รุ สั ขนาด 4 x 4 จานวนชอ่ งทบี่ ิชอปเดนิ ไดน้ ้นั มจี านวน 1 + 2 = 3 ชอ่ ง

ตารางส่เี หลี่ยมจตั รุ สั ขนาด 6 x 6 จานวนชอ่ งทบ่ี ิชอปเดนิ ได้นน้ั มีจานวน 1 + 2 + 2 = 5 ชอ่ ง

ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 4 x 4 จานวนช่องทบ่ี ิชอปเดนิ ไดน้ ้ันมีจานวน 1 + 2 + 2 + 2 = 7 ชอ่ ง

ด้วยวิธีการนับแบบนี้จะคาดการณ์ได้ว่าที่ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N จะมีจานวนช่องอยู่ทั้งหมด

1 + (2 + 2 + 2 + ... + 2) + 2 = N – 1 ชอ่ ง

2( N − 2)
2
กรณีท่ี 2 : N > 1 และ N เปน็ จานวนเตม็ ค่ี

ตารางสี่เหล่ียมจัตรุ ัสขนาด 3 x 3 จานวนชอ่ งทีบ่ ชิ อปเดนิ ไดน้ น้ั มีจานวน 2 ชอ่ ง

ตารางสี่เหลย่ี มจัตุรัสขนาด 5 x 5 จานวนช่องท่ีบชิ อปเดินได้นนั้ มีจานวน 2 + 2 = 4 ช่อง

ตารางสเ่ี หลยี่ มจัตุรัสขนาด 7 x 7 จานวนชอ่ งทบ่ี ิชอปเดนิ ได้นน้ั มจี านวน 2 + 2 + 2 = 6 ชอ่ ง

ตารางสี่เหล่ยี มจัตุรสั ขนาด 9 x 9 จานวนช่องทบ่ี ิชอปเดินไดน้ ้นั มีจานวน 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ช่อง

ด้วยวิธีการนับแบบนี้จะคาดการณ์ได้ว่าที่ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N จะมีจานวนช่องอยู่ทั้งหมด

2 + (2 + 2 + 2 + ... + 2) + 2 = N − 1ช่อง

2 ( N − 2 )
2

16

เพ่ือพิสจู น์ข้อความคาดการณ์ ทางคณะผจู้ ดั ทาไดใ้ ช้การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์พิสจู นว์ ่าขอ้ ความคาดการณ์

เปน็ จริง โดยใชก้ ารอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์พสิ ูจนว์ า่ 1 + (2 + 2 + 2 + ... + 2) + 2 = N – 1 ; N  2

2 ( N − 2 )
2

ให้ P(N) แทนข้อความ 1 + (2 + 2 + 2 + ... + 2) + 2 = N – 1 ; N  2

2 ( N − 2 )
2

จะแสดงวา่ P(2) เปน็ จรงิ

1–2+2=2–1

1=1

เพราะฉะนั้น P(2) เป็นจริง

พสิ จู นว์ า่ ถ้า P(k) เปน็ จริงแล้ว P(k + 1) จะเป็นจรงิ ด้วย

ให้ P(k) เปน็ จริง

1 + (2 + 2 + 2 + ... + 2) + 2 = k – 1

2 ( k − 2 )
2

จะแสดงว่า P(k + 1) เปน็ จรงิ นนั่ คอื

1 + (2 + 2 + 2 + ... + 2) + 2 = (k + 1) – 1

2 ( k +1 − 2 )
2

1 + 2  k + 1 − 2  + 2 = (k + 1) – 1
2

=k
น่ันคอื P(k + 1) เป็นจริง
เพราะฉะน้ันโดยหลกั อปุ นยั คณติ ศาสตร์จงึ ไดว้ ่าข้อความคาดการณ์เปน็ จริง

17

บทที่ 5
สรปุ ผล อภปิ รายผล และขอ้ เสนอแนะ

ในการจัดทาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การศึกษาการหารูปแบบการวางเเละหาสูตรจานวนช่องที่บิชอป
เดินถึงได้บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกัน มีวัตถุประสงค์เพื่อหารูปแบบ และจานวน
ช่องที่บิชอปเดินถึงได้บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N × N โดยไม่สามารถกินกัน โดยจากการดาเนินการดังกล่าว
สามารถสรุปผลการดาเนนิ งานโครงงานอภปิ รายผลการดาเนนิ โครงงาน และข้อเสนอแนะได้ ดังตอ่ ไปนี้

5.1 สรุปผลการศกึ ษา

รูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดเเละสูตรการคานวณจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้บนตาราง
สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด N x N โดยไม่สามารถกินกันที่ทางคณะผู้จัดทาคิดได้นั้น เป็นรูปเเบบการรูปแบบการวาง
บชิ อปทมี่ ีจานวนมากท่ีสุดโดยไมส่ ามารถกินกนั เเละสตู รการคานวณจานวนชอ่ งทีบ่ ชิ อปเดินถึงไดน้ นั้ เเบ่งออกเป็น
2 กรณี คือ กรณีที่ N เป็นจานวนเต็มคู่ และกรณีที่ N เป็นจานวนเต็มคี่ โดยที่ N  2 จากการตรวจสอบสูตรโดย
ใชอ้ ปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์ พบว่าสตู รการคานวณมคี วามเเม่นยาร้อยละ 100

5.2 อภิปรายผล

จากสรุปผลการศึกษาพบว่า รูปแบบการวางบิชอปและสูตรการคานวณจานวนช่องที่บิชอปหนึ่งตัว
เดินถึงได้บนตารางสี่เหลี่ยมจัตรุ ัส ขนาด N x N โดยไม่สามารถกินกันที่หาได้ เป็นรูปเเบบการวางบิชอปทีม่ ีจานวน
มากที่สุดโดยไม่สามารถกินกัน เเละสามารถคานวณจานวนช่องที่บิชอปเดินถึงได้อย่างเเม่นยา อ้างอิงจากการ
ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ แสดงให้เห็นว่ารูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดและสูตรการคานวณจานวน
ช่องที่บิชอปเดินถึงได้ สามารถนามาใช้ได้อย่างแม่นยา ตรงตามวัตถุประสงค์ของโครงงานที่กาหนดขึ้ น
คือสามารถคิดรูปแบบการวางบิชอปที่มีจานวนมากที่สุดและหาสูตรการคานวณจานวนช่องที่บิชอปหนึ่งตัวเดินถึง
ไดบ้ นตารางสีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั ขนาด N × N โดยไมส่ ามารถกนิ กนั

5.3 ขอ้ เสนอแนะ

สามารถนาเนื้อหาภายในโครงงานมาปรับเปลี่ยน เพื่อแก้ไขปัญหาหรือตอบปัญหาใหม่ ๆ ได้แ ก่
เปลี่ยนบชิ อปเป็นตัวเบีย้ อ่ืนบนกระดาน เปลี่ยนกฎการเดิน หรือเปลีย่ นลักษณะกระดาน เป็นต้น อีกทั้งสามารถนา
ขอ้ มูลไปเป็นแนวทางและเทคนคิ ในการเลน่ หมากรกุ ใหช้ นะในเกมน้ัน

18

บรรณานกุ รม

ดารงค ทิพยโยธา. (2558). อปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตร์. สืบค้นเม่อื 25 สิงหาคม 2565, จาก
http://www2.math.sc.chula.ac.th/~tdumrong/book/induction_01Dec2015.pdf

ทรงเกยี รติ สุเมธกิจการ. (2555) ปัญหาการวางตัวเบยี้ บนตารางสีเ่ หลย่ี มจัตรุ สั . สืบค้นเมื่อ 25 สิงหาคม
2565, จาก

https://www.slideshare.net/kiattika/89-2
ธนาพล ธนโรจน์รงุ่ . (2560). หมากรุกสากล. กรงุ เทพฯ: อมรนิ ทร์พริน้ ติ้งฯ
รชั พล ธนโรจนร์ ุง่ . (2560). หมากรกุ สากล. กรุงเทพฯ: ชมรมหมากกระดาน.
วกิ ติ ารา. (2563). หมากรุกสากล. สืบค้นเมอ่ื 6 สงิ หาคม 2565, จาก

https://th.m.wikibooks.org/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0
%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A5
วกิ พิ เี ดีย. (2561). หมากรกุ สากล. สบื คน้ เม่ือ 6 สิงหาคม 2565, จาก
https://images.app.goo.gl/BwcbWUhRazg1mv
วกิ ิพเี ดยี . (2565). บชิ อป. สืบค้นเม่ือ 6 สงิ หาคม 2565, จาก
https://www.wikiwand.com/th/%E0%B8%9A%E0%B8%B4%E0%B8%8A%E0%B8%AD%E0
%B8%9B_(%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B8
%E0%B8%81)
วิกพิ ีเดยี . (2564). หมากรกุ สากล. สบื ค้นเม่ือ 6 สิงหาคม 2565, จาก

https://www.google.co.th/search?q=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%
B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%81+%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B5%
E0%B8%99&tbm=isch&ved=2ahUKEwjf-ITq_bH5AhVwj9gFHWJBBP4Q2-
cCegQIABAC&oq=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%
B8%B8%E0%B8%81+%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B5%E0%B8%99&gs_lcp=ChJtb2
JpbGUtZ3dzLXdpei1pbWcQAzIFCAAQgAQ6BAgAEEM6BggAEB4QCDoECAAQGFCKBlj_E2DbF
mgBcAB4AIABhQGIAfcFkgEDMi41mAEAoAEBwAEB&sclient=mobile-gws-wiz-img&ei=Sj_uYt-
rKfCe4t4P4oKR8A8&bih=664&biw=390&client=safari&prmd=ivn&hl=th#imgrc=1YVnWahl27
TADM

19

วิกิพีเดยี . (2564). หมากรุกสากล. สืบค้นเม่อื 6 สงิ หาคม 2565, จาก
https://www.google.co.th/search?q=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81
%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%81+%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B7%E0%B8
%AD&tbm=isch&ved=2ahUKEwji1aai_7H5AhWujtgFHQMfAMgQ2-
cCegQIABAC&oq=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%
B8%B8%E0%B8%81+%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B7%E0%B8%AD&gs_lcp=ChJtb
2JpbGUtZ3dzLXdpei1pbWcQAzIFCAAQgAQ6BAgAEBg6BAgAEEM6BggAEB4QCDoGCAAQHhA
FUJ0EWJ8TYIAWaABwAHgAgAF_iAG1B5IBAzMuNpgBAKABAcABAQ&sclient=mobile-gws-wiz-
img&ei=zUDuYqK7Bq6d4t4Pg76AwAw&bih=664&biw=390&client=safari&prmd=ivn&hl=th#
imgrc=LH7MPhaQy3Y8pM

วิกพิ ีเดยี . (2561). หมากรุกสากล. สืบค้นเมอื่ 6 สิงหาคม 2565, จาก
https://www.google.co.th/search?q=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81
%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%81+%E0%B8%9A%E0%B8%B4%E0%B8%8A%E0%B8
%AD%E0%B8%9A&tbm=isch&ved=2ahUKEwiQ85-4_7H5AhX-BbcAHc8vCQIQ2-
cCegQIABAC&oq=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%
B8%B8%E0%B8%81+%E0%B8%9A%E0%B8%B4%E0%B8%8A%E0%B8%AD%E0%B8%9A&
gs_lcp=ChJtb2JpbGUtZ3dzLXdpei1pbWcQAzIICAAQHhAIEA06BQgAEIAEOgYIABAeEAg6BAgA
EBg6BAgAEENQhgZYhakEYPerBGgKcAB4AIABmAKIAfcKkgEFMS44LjGYAQCgAQHAAQE&sclien
t=mobile-gws-wiz-img&ei=-0DuYtCJCP6L3LUPz9-
kEA&bih=664&biw=390&client=safari&prmd=ivn&hl=th#imgrc=GDoFMrAk08p_5M

วกิ พิ ีเดยี . (2564). หมากรุกสากล. สืบค้นเม่อื 6 สงิ หาคม 2565, จาก
https://www.google.co.th/search?q=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81
%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%81+%E0%B8%A1%E0%B9%89%E0%B8%B2&tbm=isc
h&ved=2ahUKEwi9sfCu_7H5AhUsgWMGHRkNDXoQ2-
cCegQIABAC&oq=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%
B8%B8%E0%B8%81+%E0%B8%A1%E0%B9%89%E0%B8%B2&gs_lcp=ChJtb2JpbGUtZ3dz
LXdpei1pbWcQAzIFCAAQgAQyBQgAEIAEMgYIABAeEAgyBggAEB4QCDIECAAQGDoGCAAQHhA
FUIgGWLEUYNEWaABwAHgAgAGOAYgBngeSAQMxLjeYAQCgAQHAAQE&sclient=mobile-gws-
wiz-
img&ei=50DuYv2hHayCjuMPmZq00Ac&bih=664&biw=390&client=safari&prmd=ivn&hl=th#
imgrc=RV4m8pya97oJjM

20

วิกพิ ีเดีย. (2564). หมากรุกสากล. สืบค้นเมือ่ 6 สงิ หาคม 2565, จาก
https://www.google.co.th/search?q=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81
%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%81+%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B5%E0%B9
%89%E0%B8%A2&tbm=isch&ved=2ahUKEwiQ85-4_7H5AhX-BbcAHc8vCQIQ2-
cCegQIABAC&oq=%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%
B8%B8%E0%B8%81+%E0%B9%80%E0%B8%9A&gs_lcp=ChJtb2JpbGUtZ3dzLXdpei1pbWc
QARgAMgUIABCABDoGCAAQHhAIOgQIABAYOgQIABBDOgYIABAeEAVQ8wRYgRRg3xtoBHAAeA
CAAcoBiAGtBJIBBTEuMi4xmAEAoAEBwAEB&sclient=mobile-gws-wiz-img&ei=-
0DuYtCJCP6L3LUPz9-
kEA&bih=664&biw=390&client=safari&prmd=ivn&hl=th#imgrc=rNZ4XyReIdjQDM

Belal Al-Khateeb and Wadhah Zeyad Tareq. (2556). Solving 8-Queens Problem. สบื คนเมื่อ 21
กนั ยายน 2565, จาก

https://www.researchgate.net/publication/294121515_Solving_8-
Queens_Problem_by_Using_Genetic_Algorithms_Simulated_Annealing_and_Randomizati
on_Method
Max Bezzel. (2561). 8-Queens Problem. สืบค้นเม่ือ 10 สิงหาคม 2565, จาก
Max Bezzel - Alchetron, The Free Social Encyclopedia
Panyasociety. (2565). หลกั การนับเบอื้ งต้น. สบื ค้นเมอ่ื 25 สงิ หาคม 2565, จาก
https://panyasociety.com/pages/summary-math-502-counting/
Rubyzz. (2557). กฎการเลน่ หมากรกุ สากล. สืบคน้ เมอ่ื 6 สิงหาคม 2565, จาก
https://sites.google.com/site/31137visarut/kt-ktika
THE MAN FORM MOON. (2563). สอนวธิ ีการเลน่ หมากรุก (Chess) ทัง้ แบบไทยและแบบสากล.
สืบคน้ เมอ่ื 6 สงิ หาคม 2565, จาก
https://themanfrommoon.com/teach-you-how-to-play-chess-both-thai-and-western/

Wolfram MathWorld. (2565). Bishops problem. สืบค้นเมือ่ 10 สงิ หาคม 2565, จาก
https://mathworld.wolfram.com/BishopsProblem.html

21