Λύσεις Προβλημάτων Κρούσης ΦΥΣ- Γ-ΛΥΚΕΙΟΥ

Από την (1) βρίσκουμε fs = f1 (υ −υs ) = 473, 7 Hz

υ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

5.41 α΄ τρόπος

Αναλύουμε την ταχύτητα υ1 της κινούμε
νης σφαίρας αμέσως πριν την κρούση σε
δύο άξονες. Ο ένας περνάει από τα κέ
ντρα των σφαιρών και ο άλλος είναι κά
θετος σ’ αυτόν. Αν η σφαίρα 1 είχε πριν
την κρούση μόνο την υ1 η κρούση θα
ήταν κεντρική και ελαστική, οι σφαίρες
θα άλλαζαν μεταξύ τους ταχύτητες, επει
δή έχουν ίδιες μάζες, δηλαδή η σφαίρα 1 θα έμενε ακίνητη μετά την
κρούση ενώ η σφαίρα 2 θα αποκτούσε ταχύτητα υ1 . Αν η σφαίρα
1 είχε πριν την κρούση μόνο την υ1 δεν θα γινόταν κρούση και η
σφαίρα 1 θα συνέχιζε την κίνησή της με υ1 . Συνδυάζοντας τα δύο
αποτελέσματα καταλήγουμε ότι μετά την κρούση η σφαίρα 1 κινείται
με υ1 ενώ η σφαίρα 2 με υ1 . Οι δύο ταχύτητες είναι κάθετες μεταξύ
τους.

β΄ τρόπος

Από τη διατήρηση ορμής για την κρούση έχουμε

mυ m ′ + m ′2 οπότε υ1 = υ′1 + υ′2

όπου υ1 η ταχύτητα της κινούμενης σφαίρας πριν την κρούση, υ′ η
ταχύτητα της πρώτης σφαίρας μετά την κρούση και υ′ η ταχύτητα

της αρχικά ακίνητης σφαίρας μετά την κρούση.

Από τον κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε

υ12 = υ1′2 + υ2′2 + 2υ1′υ2′συνθ (1)
όπου θ η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα υ′ και υ′

84

Εφόσον η κρούση είναι ελαστική ισχύει επίσης

1 mυ12 = 1 mυ1′2 + 1 mυ2′2
2 2 2

ή υ12 = υ1′2 + υ2′2 (2)

Συγκρίνοντας τις (1) και (2) βρίσκουμε ότι

συνθ = 0 δηλαδή θ = 90º

5.42 α) Από την αρχή διατήρησης της ορμής
για την πλαστική κρούση έχουμε

mυ = (m + M )V

οπότε V = mυ
m+M

Από το θεώρημα έργου - ενέργειας για
το συσσωμάτωμα από τη θέση (1) έως
τη θέση (2) έχουμε

0 − 1 (m + M )V 2 = WFελ
2

ή − 1 (m + M )  mυ 2 = − 1 Kxm2 ax
2  m+M  2

και xmax = K m2υ 2 ) = 0,1 m

(m + M

β) Πριν την κρούση το σύστημα είχε την κινητική ενέργεια του βλή-

ματος 1 mυ 2
2
Eαρχ = K1 =

Τελικά το σύστημα έχει τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου

Eτελ = Uελ = 1 Kxm2 ax
2

Το ποσοστό της ενέργειας που έχασε το σύστημα είναι

85

∆E 1 mυ 2 − 1 Kxm2 ax
Eαρχ 2 2
100% = 1 mυ 2 100% = 95%

2

5.43 Από την αρχή διατήρησης της ορμής για την πλαστική κρούση έχουμε

mυ = (m + M )V

οπότε υ = m+MV
m

Από το θεώρημα έργου - ενέργειας για το συσσωμάτωμα από τη θέση

(Ι) έως τη θέση (II) έχουμε

οπότε 0 − 1 (m + M )V 2 = −(m + M ) gh = −(m + M ) gl (1− συνθ )

2

V = 2gl (1− συνθ )

Αντικαθιστούμε στην (1) και βρίσκουμε

υ = m + M 2gl (1 − συνθ )

m

Θεωρούμε το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από το κέντρο μάζας του
συσσωματώματος στη θέση (I) ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέρ-
γειας λόγω θέσης μέσα στο πεδίο βαρύτητας.

Αρχικά το σύστημα είχε την κινητική ενέργεια του βλήματος

Eαρχ = K1 = 1 mυ 2 ή
2

Eαρχ = 1 m  m+M 2gl (1− συνθ ) 2 = (m +M )2 gl (1− συνθ )
2 m  m

86

Τελικά τo σύστημα έχει τη δυναμική ενέργεια του συσσωματώματος
λόγω της θέσης του μέσα στο πεδίο βαρύτητας

Eτελ = U = (m + M ) gh = (m + M ) gl (1− συνθ )

Η μηχανική ενέργεια που έχασε το σύστημα είναι

∆EΜΗΧ = (m + M )2 gl (1−συνθ ) − (m + M ) gl (1 −συνθ ) = 255 J

m

5.44 Από την αρχή διατήρησης της
ορμής για την πλαστική κρού-
ση έχουμε

m2υ = (m1 + m2 )V

οπότε V = m2υ
m1 + m2

Από το θεώρημα έργου -
ενέργειας για το συσσωμά-
τωμα από τη θέση (I) έως τη
θέση (II) έχουμε

0 − 1 ( m1 + m2 )V 2 = Ww + Wℑ
2

Ww = − (m1 + m2 ) gηµϕ s

Wℑ = −ℑs = −µK ns = −µK (m1 + m2 ) gσυνϕ s

οπότε − 1 ( m1 + m2 ) m2υ 2 =
2 m1 + m2 
 

= − (m1 + m2 ) gηµϕ s − µK (m1 + m2 ) gσυνϕ s

και τελικά s= 2 ( m1 + m2 )2 m22υ 2 + µKσυνϕ ) = 1,8 m

g (ηµϕ

87

β) Το συσσωμάτωμα θα επιστρέψει αν η συνιστώσα wx του βάρους

είναι μεγαλύτερη από το όριο της στατικής τριβής την οποία εδώ θε-
ωρούμε ίση με την τριβή ολίσθησης

wx = (m1 + m2 ) gηµϕ = 250 N
ℑ = µK n = µK (m1 + m2 ) gσυνϕ = 250 N

Παρατηρούμε ότι wx = ℑ οπότε το συσσωμάτωμα δεν επιστρέφει.

5.45 α) Εφαρμόζουμε το θε-
ώρημα έργου - ενέργει-
ας για το σώμα 1 από
τη θέση (I) έως τη θέση
(II)

1 mυ 2 = Ww1
2

Ww1 = mgηµϕ s1 οπότε

1 mυ 2 = mgηµϕ s1 και
2

υ = 2gηµϕ s1

Από την αρχή διατήρη-
σης της ορμής για την
πλαστική κρούση έχου-
με mυ = 2mV οπότε

V = υ = gηµϕ s1
22

Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου - ενέργειας για το συσσωμάτωμα
από τη θέση (III) έως τη θέση (IV)

0 − 1 2mV 2 = Ww + Wℑ
2

Ww = 2mgηµϕ (s − s1 )

Wℑ = −ℑ(s − s1 ) = −µK n( s − s1 ) = −µK 2mgσυνϕ (s − s1 ) οπότε

88

−m gηµϕ s1 = 2mgηµϕ (s − s1 ) − µK 2mgσυνϕ (s − s1 )
2
ηµϕ s1
2 + 2ηµϕ (s − s1 ) 53
13
και τελικά µK = 2συνϕ ( s − s1 ) =

β) Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας λόγω βαρύτη

τας το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από τη βάση του πλάγιου επι

πέδου.

Η αρχική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων είναι

Eαρχ = mgh1 + mgh2 = mgηµϕ s + ( s − s1 ) = 34 J

Η τελική ενέργεια του συστήματος είναι Eτελ = 0

Η συνολική θερμότητα που παράχθηκε είναι

∆E = Eαρχ − Eτελ = 34 J

5.46 Το σύστημα άνθρωπος - αερόστατο αρχικά ηρεμεί οπότε η συνιστα

μένη των εξωτερικών δυνάμεων που δέχεται είναι μηδενική και το

κέντρο μάζας του συστήματος είναι ακίνητο.

Όταν ο άνθρωπος αρχίσει να ανεβαίνει το αερόστατο θα κατεβαίνει

ώστε το κέντρο μάζας να παραμένει ακίνητο στην αρχική του θέση.

Αναγκαστικά το κέντρο μάζας βρίσκεται στο σημείο συνάντησης του

ανθρώπου με το αερόστατο.

Η θέση του κέντρου μάζας βρίσκεται σε ύψος y από το έδαφος και

ισχύει y2 = MH
m+M
και επομένως το αερόστατο θα κατέβει κατά

y1 =H − y2 =H − MH =H m
m+M m+M

89

5.47 α) Εφαρμόζουμε το θεώρημα

έργου - ενέργειας για το σώμα

μάζας από τη θέση (3) έως τη

θέση (4)

0 − 1 m1υ1′2 = Wℑ
2

Wℑ = −ℑx = −µK nx = −µK m1gx

οπότε − 1 m1υ1′2 = −µK m1gx
2

και υ1′ = 2µK gx

Εφόσον η κρούση είναι ελαστι-
κή και μετωπική και το σώμα
μάζας m ήταν αρχικά ακίνητο,
μετά την κρούση, το σώμα μά-
ζας θα έχει ταχύτητα

υ1′ = m1 − m2 υ1 = − υ1 οπότε υ1 = −3υ1′ = −3 2µK gx
m1 + m2 3

(Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η υ1 έχει φορά αντίθετη με τη υ1′ )

Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου - ενέργειας για το σώμα μάζας
από τη θέση (1) έως τη θέση (2)

1 m1υ12 − 1 m1υ02 = Wℑ
2 2

Wℑ = −ℑx = −µK nx = −µK m1gx

οπότε 1 m1υ12 − 1 m1υ02 = −µK m1gx
ή 2 2

( )1 2 1 υ02 −µK
2
2
3 2µK gx − = gx

και υ0 = 2µK gx + 18µK gx = 10 m / s

90

β) Η ταχύτητα του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση είναι

υ2′ = 2m1 υ1 = 2 3 2µK gx = 8µK gx
m1 + m2 3

Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου - ενέργειας για το σώμα μάζας

από τη θέση (3) έως τη θέση (4)

0 − 1 mυ2′2 = Wℑ
2

Wℑ = −ℑs = −µK n2s = −µK m2gx

οπότε − 1 m2υ2′2 = −µK m2 gs και s= υ2′2 = 8µK gx = 4x = 4m
2 2µK g 2µK g

5.48 Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου - ενέργειας για το σώμα 1 από τη
θέση (I) έως τη θέση (II)

1 m1υ12 = Ww1
2
1
Ww1 = m1gηµϕ l οπότε 2 m1υ12 = m1gηµϕ l

και υ1 = 2gηµϕ l

91

Αμέσως μετά την κρούση τα σώματα θα έχουν ταχύτητες

υ1′ = m1 − m2 υ1 = − υ1 = − gηµϕ l
m1 + m2 2 2

και υ2′ = 2m1 υ1 = υ1 = gηµϕ l
m1 + m2 2 2

To πρόσημο της ταχύτητας υ1′ υποδηλώνει ότι η φορά κίνησης του
σώματος 1 είναι αντίθετη με την αρχική.

Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου - ενέργειας για το σώμα μάζας 1 από

τη θέση (III) έως τη θέση (IV)

0− 1 m1υ1′2 = Ww1
2

Αλλά Ww1 = −m1gηµϕ s1 επομένως − 1 m1υ1′2 = −m1gηµϕ s1
2

υ1′2 gηµϕ l
2gηµϕ
και s1 = = 2 = l =1m
2gηµϕ 4

Το σώμα 2 πριν την κρούση ισορροπεί στη θέση στην οποία η συσπεί-
ρωση του ελατηρίου είναι , οπότε

Fελ = w2x ή Kx1 = m2gηµϕ

και x1 = m2 gηµϕ = 0, 025 m
K

Η ταχύτητα του σώματος 2 θα μηδενιστεί όταν διανύσει στο πλάγιο
επίπεδο απόσταση V

Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου - ενέργειας για το σώμα 2 από τη
θέση (III) έως τη θέση (IV).

0 − 1 m2υ2′2 = Ww2 + WFελ
2

92

Ww2 = m2gηµϕ s2 και

WFελ = 1 Kx12 − 1 K ( s2 + )x1 2
2 2

οπότε − 1 m2υ2′2 = m2 gηµϕ s2 + 1 Kx12 − 1 K ( s2 + x1 )2
2 2 2

ή − 1 m2 gηµϕ l = m2 gηµϕ s2 + 1 Kx12 − 1 K ( s2 + x1 )2
2 2 2 2

και τελικά s2 = 0,1 5m

5.49 α) Εφαρμόζουμε την

αρχή διατήρησης της ορμής

για το σύστημα βλήμα - σώμα

Σ αμέσως πριν και αμέσως

μετά την πλαστική κρούση.

mBυB = (mB + m1 )V οπότε

V = mB m1 υ B = 5 m / s
mB +

To σύστημα (συσσωμάτωμα -
Σ ) είναι απομονωμένο οπότε
η ορμή του διατηρείται στα-
θερή.

( mB + m1 )V = (mB + m1 + m2 )V ′

όπου V ′ η κοινή ταχύτητα που αποκτά το σύστημα τελικά

οπότε V ′ = mB + m1 V = 1 m / s
mB + m1 + m2

Η συνολική θερμότητα που παράγεται είναι ίση με τη διαφορά της
αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος και της τελικής κινητικής
ενέργειας του συστήματος.

Q = 1 mBυ 2 − 1 ( mB + m1 + m2 )V ′2 = 247, 5 J
2 B 2

93

β) Το συσσωμάτωμα (βλήμα - Σ ) επιβραδύνεται λόγω της τριβής που
δέχεται από το Σ λόγω της σχετικής του κίνησης με αυτό. Η τριβή

είναι σταθερή και έχει μέτρο ℑ = µn = µ (mB + m1 ) g

Η επιβράδυνση με την οποία κινείται το συσσωμάτωμα είναι

a = ( mB ℑ m1 ) = µ (mB + m1 ) g = 5 m / s2
+ ( mB + m1 )

Από V ′ = V − at1 βρίσκουμε τον χρόνο κίνησης του συσσωματώματος
μέχρι να απόκτησει το σύστημα κοινή ταχύτητα

t1 = V −V ′ = 0,8 s
a

Το διάστημα που διάνυσε το συσσωμάτωμα ως προς το έδαφος στον
χρόνο αυτό είναι

s = Vt1 − 1 at12 = 2, 4 m
2

Στο ίδιο χρονικό διάστημα το Σ κάνει κίνηση ομαλά επιταχυνόμενη
με την επίδραση της δύναμης που του ασκεί το συσσωμάτωμα και εί-
ναι η αντίδραση στην τριβή που δέχεται το συσσωμάτωμα από το Σ .

Το Σ σε χρόνο διανύει, ως προς το έδαφος, διάστημα

s′ = 1 a′t12 όπου a′ = ℑ = µ (mB + m1 ) g = 1,25 m / s2
2
m2 m2

οπότε s′ = 0,4 m

Τελικά το συσσωμάτωμα μετακινήθηκε ως προς το Σ κατά

∆s = s − s′ = 2 m

5.50 Η μεγαλύτερη κάλυψη επιτυγχάνεται όταν ο άξονας της
ομπρέλας τοποθετείται κατά τη διεύθυνση της ταχύτη-
τας των σταγόνων όπως την αντιλαμβάνεται ο άνθρω-
πος. Το διάνυσμα της ταχύτητας της βροχής ως προς τον

άνθρωπο είναι υ′2 = υ2 − υ1

94