Lingkaran Kelas VIII
LINGKARAN
PROBLEM-BASED LEARNING
SMP/MTs KELAS VIII
KURIKULUM 2013
ii Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
E-MODUL MATEMATIKA
PROBLEM BASED LEARNING
Penulis : Mondia Nova Pratiwi, S.Pd.
Pembimbing : Dr. Suparman, M.Si., DEA.
Ahli Media : 1. Dr. Puguh Prasetyo, M.Sc.
2. Anggit Prabowo, M.Pd.
Ahli Materi : 1. Dr. Teguh Wibowo, M.Pd.
2. Dr. Burhanudin Arif Nugroho, S.Si., M.Sc.
Desain Cover : Mutiara Restri Afsari, Amd. Keb.
Layout : Mondia Nova Pratiwi, S.Pd
Software : Canva, Microsoft Word 2013,
Anyflip
Ukuran kertas : 21 cm x 29, 7 cm ( A4 / Quarto )
Tahun Pembuatan : 2020
Matematika | SMP/MTs sederajat iii
Lingkaran Kelas VIII
Kata Pengantar
Alhamdulillah, puji syukur saya panjatkan pada kehadirat Allah SWT atas
rahmat dan hidayah-Nya sehingga saya dapat menyelesaikaan e-modul matematika
materi lingkaran. E-modul ini dihadirkan sebagai bahan ajar matematika untuk
memfasilitasi siswa belajar mandiri dalam pemahaman konsep dan dapat
mengkontruksi pemahaman dengan belajar secara bersama yang berbasis pada
masalah.
E-modul ini disusun untuk memenuhi kebutuhan siswa dalam mempelajari
matematika dalam materi lingkaran secara mudah dan lengkap. Pembahasan materi
dalam e-modul ini diupayakan menggunakan bahasa yang sederhana namun
komunikatif, sehingga siswa mudah memahami materi yang disajikan dalam e-
modul. Selain itu setiap permasalahan dan contoh-contoh soal yang disajikan
menyangkut dengan kehidupan sehari-hari sehingga siswa akan lebih mudah dalam
memahaminya. Strategi yang digunakan juga mendorong siswa untuk aktif
mengkomunikasikan pengetahuan yang telah dipelajari untuk didiskusikan dengan
teman yang lainnya sehingga siswa akan berperan sebagai guru untuk mengajarkan
materi kepada teman sejawatnya.
Penulis menyadari bahwa penyusunan e-modul ini dapat diselesaikan atas
doa, dukungan, dan bantuan dari berbagai pihak. E-modul ini juga jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran terhadap e-modul ini sangat
diharapkan sebagai evaluasi kedepannya. Terimakasih.
Yogyakarta, April 2020
Penyusun
Mondia Nova Pratiwi
iv Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Kompetensi Inti dan
Kompetensi Dasar untuk
materi Lingkaran.
Kompetensi dasar dan indikator
pencapaian kompetensi untuk materi
lingkaran.
Peta konsep sebagai petunjuk garis besar
materi yang akan dipelajari dalam modul
pembelajaran matematika.
Matematika | SMP/MTs sederajat v
Lingkaran Kelas VIII
Ilustrasi gambar sebagai gambaran yang
digunakan untuk memperjelas materi yang
disajikan dalam modul pembelajaran.
Soal latihan sebagai bahan untuk
diskusi dan menyajikan hasil kerja
dalam pembelajaran.
Uji kompetensi berisi soal-soal pilihan ganda
dan soal esay dari materi yang dipelajari. Soal
dibuat bervariasi agar siswa lancar
mengerjakan berbagai tipe soal.
vi Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
DAFTAR ISI
Halaman
Cover ............................................................................................................... i
Kata Pengantar............................................................................................... iv
Sajian Isi Modul ............................................................................................. v
Daftar Isi.......................................................................................................... vii
Pendahuluan ................................................................................................... viii
Petunjuk Penggunaan E-modul .................................................................... viii
Hubungan Kemampuan Berpikir Kreatif
dengan Sintaks Problem-Based Learning …………………………………. ix
Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar ...................................................... x
Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi ....................... xii
Peta Konsep .................................................................................................... xiii
LINGKARAN
Unsur- unsur Lingkaran......................................................................... 4
Keliling dan Luas Lingkaran ................................................................. 8
Latihan 1 ............................................................................................... 15
Sudut Pusat dan Sudut Keliling ............................................................. 16
Latihan 2 ............................................................................................... 22
Panjang Busur dan Luas Juring ............................................................ 24
Latihan 3 ............................................................................................... 29
Aplikasi Lingkaran dalam Kehidupan Sehari-hari ............................. 30
Latihan 4 ............................................................................................... 31
Rangkuman.............................................................................................. 32
Uji Kompetensi ........................................................................................ 33
Daftar Pustaka ......................................................................................... 38
Matematika | SMP/MTs sederajat vii
Lingkaran Kelas VIII
PENDAHULUAN
E-modul matematika berbasis problem-based learning ini disusun dengan
menggunakan bahasa yang mudah kamu pahami. Di dalam e-modul ini kamu akan
menjumpai soal-soal yang dapat meningkatkan berpikir kreatifmu. Dengan harapan
kamu akan tertarik serta membantumu belajar matematika dan aplikasinya dalam
kehidupan sehari-hari.
Setiap awal bab di e-modul ini disajikan ilustrasi gambar sesuai dengan
materinya. Tujuan penyusunan e-modul matematika materi lingkaran ini adalah dapat
memfasilitasi peserta didik yang dirasa belum begitu paham tentang materi lingkaran.
Selain itu, diharapkan dengan menggunakan modul ini peserta didik dapat melakukan
pembelajaran dengan mandiri tanpa tergantung dengan penjelasan dari pendidik.
Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari e-modul ini ada beberapa hal yang harus diperhatikan, yaitu
sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari e-modul ini haruslah berurutan, karena materi sebelumnya
merupakan konsep dasar untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Ikutilah kegiatan belajar yang disajikan dalam e-modul ini, dan perhatikan petunjuk
mempelajari kegiatan belajar.
3. Apabila kamu masih merasa belum memahami materi yang disajikan, ulangi lagi
mempelajari kegiatan belajar dan lanjutkan ke kegiatan belajar selanjutnya jika
kamu sudah menguasai.
viii Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Hubungan Kemampuan Berpikir Kreatif dengan Sintaks Problem-Based Learning
Indikator Kemampuan Berpikir Kreatif
Sintaks Problem- Simbol
Based Learning Kefasihan Fleksibilitas Kebaruan
Mengenalkan Siswa dapat
konsep melalui menyelesaikan
permasalahan masalah secara
kepada siswa benar.
Mengorganisasika Siswa menjawab siswa siswa
n siswa untuk masalah dengan memecahkan menjawab
meneliti berbagai macam masalah dengan masalah dengan
jawaban dengan berbagai cara beberapa
benar. yang berbeda- jawaban yang
beda. berbeda-beda
tetapi satu
jawaban yang
dilakukan
secara
berkelompok.
Membantu Siswa menjawab
investigasi masalah dengan
mandiri dan berbagai macam
kelompok jawaban dengan
benar
Mengembangkan siswa
dan memecahkan
mempresentasika masalah dengan
n interpretasi dan berbagai cara
pemecahan yang berbeda-
masalah siswa beda.
Menganalisis dan Siswa menjawab
mengevaluasi masalah dengan
proses dan hasil berbagai macam
pemecahan jawaban dengan
masalah siswa benar
Matematika | SMP/MTs sederajat ix
Lingkaran Kelas VIII
KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR
KOMPETENSI INTI KOMPETENSI DASAR
1.1Menghargai dan menghayati
ajaran agama yang
dianutnya.
2.1 Menunjukkan perilaku jujur, 2.1 Menunjukkan perilaku teliti
disiplin, tanggung jawab, dan sesuai prosedur dalam
peduli (toleran, gotong melakukan ativitas di rumah,
royong), santun, dan sekolah, dan masyarakat
percaya diri dalam sebagai wujud implementasi
berinteraksi secara efektif menggambar sketsa grafik
dengan lingkungan sosial fungsi aljabar sederhana pada
dan alam dalam jangkauan sistem koordinat Kartesius
pergaulan dan mengikuti prosedur.
keberadaannya. 2.2 Menunjukkan perilaku ingin
tahu dalam melakukan
aktivitas di rumah, sekolah,
dan masyarakat sebagai
wujud implementasi
penyelidikan sifat-sifat kubus,
balok, prisma dan limas serta
bagian-bagiannya melalui alat
peraga.
2.3 Menunjukkan perilaku jujur
dan bertanggung jawab
sebagai wujud implementasi
kejujuran dalam melaporkan
data pengamatan.
x Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
3.1 Memahami dan menerapkan 3.7 Menjelaskan sudut pusat,
pengetahuan faktual, sudut keliling, panjang busur,
konseptual, prosedural, dan dan luas juring lingkaran,
metakognitif pada tingkat serta hubungannya.
teknis dan spesifik sederhana
berdasarkan rasa ingin
tahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni,
budaya dengan wawasan
kemanusiaan, kebangsaan,
dan kenegaraan terkait
fenomena dan kejadian
tampak mata.
4.1 Menunjukkan keterampilan 4.7 Menyelesaikan masalah
menalar, mengolah, dan kontekstual yang berkaitan
menyaji secara kreatif, dengan sudut pusat, sudut
produktif, kritis, mandiri, keliling, panjang busur, dan
kolaboratif, dan komunikatif,
dalam ranah konkret dan luas juring lingkaran, serta
ranah abstrak sesuai dengan hubungannya.
yang dipelajari di sekolah dan
sumber lain yang sama dalam
sudut pandang teori.
Matematika | SMP/MTs sederajat xi
Lingkaran Kelas VIII
KOMPETENSI DASAR
3.7 Menjelaskan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas
juring lingkaran, serta hubungannya.
4.7 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sudut
pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran,
serta hubungannya.
INDIKATOR
PENCAPAIAN KOMPETENSI
1. Mengidentifikasi unsur-unsur lingkaran.
2. Menghitung keliling dan luas lingkaran.
3. Mengidentifikasi konsep sudut pusat dan sudut keliling.
4. Menentukan langkah-langkah besar sudut keliling dan sudut
pusat.
5. Menyelesaikan masalah tentang sudut keliling dan sudut pusat.
6. Mengidentifikasi konsep panjang busur dan luas juring serta
hubungannya.
7. Menghitung panjang tali busur dan luas juring.
xii Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
LINGKARAN
UNSUR-UNSUR PANJANG BUSUR
LINGKARAN DAN LUAS JURING
KELILING DAN SUDUT PUSAT
LUAS DAN SUDUT
LINGKARAN KELILING
APLIKASI LINGKARAN DALAM
KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Matematika | SMP/ MTs sederajat xiii
LINGKARAN
Zu
Chongzhi
dilahirkan pada tahun 429 M di kota Jian
Kang (Sekarang Nanking: Ibukota
Provinsi Jiangsu, provinsi kedua terbesar
di bawah Shanghai). Kota Nanking saat itu
merupakan salah satu dari 4 Ibukota Cina
kuno. Pada masa tersebut juga dikenal
pemerintahan yang terdiri dari 10 dinasti.
Kota Nanjing kuno ini dikenal dengan kota surga, karena perannya menjadi
pusat perpolitikan dan perekonomian di sekitaran sungai Yang Tze. Keturunan
Zu Chongzi memang dari orang ternama, Zu Chang sang kakek dikenal sebagai
pejabat pemerintahan yang bertanggungjawab akan pembangunan dinasti.
Karya karya Zu Chongzi memiliki arti penting dalam dunia matematika.
Salah satu karya beliau adalah perbandingan keliling sebuah lingkaran dan
diameter. Pada masa tersebut orang Cina sudah menemukan bahwa
perbandingan diameter suatu lingkaran dengan kelilingnya adalah 1:3. Namun
dengan perhitungan yang akurat Zu Chongzi menghitung nilai perbandingan
tersebut lebih rinci hingga 7 angka desimal Sebelumnya perhitungan yang lebih
teliti dilakukan oleh gurunya sendiri Liu Hiu hanya sampai 4 angka desimal.
Perhitungan ini dilakukan dengan cara mengambil sebuah lingkaran dengan
diameter 10000000. Dari lingkaran tersebut ditemukan keliling lingkaran
tersebut antara 31425927 hingga 31425926. Ini artinya pendekatan yang
dilakukan lebih dekat dalam bentuk pecahan 355 . Kelak nilai ini yang di
133
22
sederhanakan menjadi . Nilai tersebut digunakan selama bertahun tahun oleh
7
matematika di seluruh dunia. Hal berikutnya yang ditemukan oleh Zu Chongzi
adalah cara menghitung volume bola. Pada saat Zu telah menemukan rumus
volume bola sebagai hasil perkalian antara perbandingan keliling dan diameter
dengan pangkat 3 diameternya yang dibagi 3.
Lingkaran Kelas VIII
http://bit.ly/martabakmaniis
M
alam ini Luqman dan Keyko berjanji untuk makan bersama dengan teman-
temannya. Keyko mendapat tugas untuk membeli kue. Keyko memutuskan
untuk membeli martabak manis seperti pada gambar di atas. Bangun datar apakah yang serupa
dengan bentuk martabak manis tersebut? Jika ada 6 orang yang hadir makan bersama dan setiap
orang mendapatkan satu potong yang sama besar, bagaimana cara pembuat martabak manis
menentukan ukuran tiap potongan? Bandingkan dengan ukuran potongan jika yang hadir 9
orang.
Inti materi: Kunci:
• Unsur lingkaran • Sudut Keliling • Jari-jari • Tembereng
• Keliling Lingkaran • Panjang Busur • Diameter • Juring
• Luas Lingkaran • Luas Juring • Busur • Apotema
• Tali Busur • Titik Pusat
2 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Sering sekali kita mendengar istilah lingkaran. Pada Sekolah Dasar, kamu sudah
mempelajari tentang luas dan keliling lingkaran dan sudah mengenal unsur-unsur
lingkaran seperti jari-jari dan diameter. Pada bab ini kita akan mempelajari kembali
tentang lingkaran secara lebih dalam. Apa manfaat mempelajari lingkaran?
Menghitung biaya yang diperlukan untuk membangun pembatas area taman
berbentuk lingkaran merupakan salah satu penggunaan konsep lingkaran dalam
kehidupan sehari-hari.
Untuk menguji kepahamanmu tentang lingkaran, kerjakan soal-soal berikut.
1. Jika titik P merupakan titik pusat lingkaran, berilah nama titik- titik yang lain yang
berwarna biru. Kemudian, tentukan diameter dan jari-jari masing- masing
lingkaran berikut ini.
2. Hitunglah keliling dan luas lingkaran berikut ini.
Matematika | SMP/MTs sederajat 3
Lingkaran Kelas VIII
1 UNSUR-UNSUR LINGKARAN
Sebelum mempelajari unsur-unsur lingkaran, kamu harus tahu terlebih dahulu
apa itu lingkaran. Apa yang kamu ketahui tentang lingkaran? Apa saja ciri-ciri
lingkaran? Lakukanlah kegiatan berikut.
Amatilah benda-benda di
sekitarmu yang
permukaannya berbentuk
lingkaran.
Bentuklah kelompok yang
beranggotakan 3-4 orang.
Diskusikanlah bersama dengan
kelompok masing-masing.
Catatlah hasil pengamatan kalian. Sebutkan ciri-ciri yang ada pada
benda tersebut dan tuliskan hasilnya pada tabel berikut.
No. Nama Benda Ciri-ciri
4 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Diskusikanlah persoalan di atas dengan
kelompokmu, kemudian carilah informasi
yang berkaitan dengan persoalan tersebut
sebanyak-banyaknya.
Buatlah hasil pengamatan dan informasi
yang kamu dapatkan dengan
kelompokmu dari persoalan di buku
tugasmu.
Untuk mempelajari unsur-unsur lingkaran lebih lanjut,
silakan tonton video pada link berikut.
https://bit.ly/unsurlingkaran
Matematika | SMP/MTs sederajat 5
Lingkaran Kelas VIII
Informasi apa yang kalian
dapatkan dari video tersebut?
Bentuklah kelompok yang
beranggotakan 3-4 orang.
Catatlah hasil pengamatan kalian. Sebutkan
unsur- unsur lingkaran.
………………………………………………………………….……
…………………………………………………………….…………
……………………………………………………….………………
………………………………………………….…………………….
..………………………………………….…………………………..
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….
Diskusikanlah persoalan di atas dengan
kelompokmu. Kemudian, apa yang dimaksud
dengan lingkaran?
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
……………….........................................................
……………….
6 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Berdasarkan video di atas, kamu sudah mengetahui apa saja
yang merupakan unsur-unsur lingkaran. Maka, definisikanlah
1. Titik pusat
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
2. Jari-jari dan diameter
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
3. Busur
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
4. Tali busur
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
5. Tembereng
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
6. Juring
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
7. Apotema
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Matematika | SMP/MTs sederajat 7
Lingkaran Kelas VIII
2 KELILING DAN LUAS
LINGKARAN
Bilangan pi ( ) merupakan sebuah bilangan tak berujung yang
diperoleh dari rasio atau perbandingan antara keliling suatu lingkaran dengan
diameternya. Apabila terdapat suatu lingkaran dengan diameter sebesar 1
satuan panjang (meter), maka diperlukan meter untuk mengelilingi lingkaran
tersebut. Pendekatan nilai berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan
perhitungan luas lingkaran dan ilustrasi pendekatan nilai pada lingkaran,
dapat dilihat tampilan video pada link di bawah ini.
http://bit.ly/nilaiphi
22
≈ , jika nilai jari-jarinya merupakan kelipatan 7 (dapat dibagi dengan 7). Atau
7
≈ 3,14 , jika nilai jari-jarinya merupakan kelipatan 10 atau bilangan acak
lainnya.
A. Keliling Lingkaran
Pada dasarnya rumus mencari keliling sebuah lingkaran sangat penting
untuk Anda pahami karena rumus ini merupakan konsep dasar untuk menguasai
materi selanjutnya, misalnya untuk mencari volume tabung, luas permukaan
tabung, volume kerucut, luas permukaan kerucut, dan luas juring lingkaran.
Bagaimana rumus mencari luas lingkaran? Nah, untuk itu langsung saja kita
simak bagaimana cara menghitung keliling lingkaran.
8 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
http://bit.ly/tartcoklat
Besok adalah hari ulang tahun Kurnia. Ibu
membuatkan kue yang bentuknya bulat dengan diameter 40 cm
untuk Kurnia. Bagian kue yang dihias pertama yaitu bagian atas
tepi kue yang berbentuk lingkaran dengan coklat. Keliling
lingkaran dapat kamu hitung dengan mengukur panjang tepi
bagian atas kue tersebut.
Informasi apa yang kalian dapatkan
dari persoalan di atas? Bentuklah
kelompok yang beranggotakan 3-4
orang.
Catatlah hasil pengamatan pada
buku tugas kalian. Kemudian, apa
yang dimaksud dengan keliling
lingkaran?
Matematika | SMP/MTs sederajat 9
Lingkaran Kelas VIII
Diskusikanlah persoalan di atas dengan
kelompokmu, kemudian carilah informasi
yang berkaitan dengan keliling lingkaran
sebanyak-banyaknya.
Berdasarkan permasalahan di atas,
apa rumus untuk keliling lingkaran?
Keliling lingkaran = ___. ___
atau
Keliling lingkaran = 2. ___.____
Contoh:
1. Sebuah roda sepeda dengan diameter 20 dm. Berapa keliling roda sepeda
tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui:
Diameter = 20 dm
Ditanya:
Berapa keliling lingkaran?
Jawab:
Keliling = ___.___
= ___.___
= ___
10 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
2. Tentukan panjang jari-jari lingkaran joka diketahui kelilingnya 440 cm.
Penyelesaian:
Diketahui: Keliling = 440 cm
Ditanya: Berapa jari-jari lingkaran?
Jawab:
Keliling = 2. ___. ___
440 = 2. ___. ___
___= ___. ___
___. ___
=
___
=___
Jadi, panjang jari-jari lingkaran adalah ... cm.
3. Sebuah ban mobil memiliki panjang jari-jari 30 cm. Ketika mobil tersebut berjalan,
ban mobil tersebut berputar sebanyak 100 kali. Tentukan diameter ban mobil,
keliling ban mobil, dan jarak yang ditempuh mobil.
Penyelesaian:
Diketahui: = 30 cm
Ditanya: a. diameter
b. keliling ban mobil
c. jarak yang ditempuh mobil
Jawab:
a. = 2.___ = 2. ___cm = ___cm
b. Keliling = . ___
= 3,14. ___ cm
= ___ cm
c. Jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali adalah
Jarak = ... × banyak putaran
= ... cm × …
= ... cm
Jadi, jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali adalah ... cm =
... m.
Matematika | SMP/MTs sederajat 11
Lingkaran Kelas VIII
B. Luas Lingkaran
Bagaimana menentukan luas lingkaran? Tahukah kamu, apa rumus luas
lingkaran? Untuk menentukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatan berikut.
Buatlah sebuah lingkaran dengan jari-jari 10 cm. lalu tarik
diameter simpangannya. Lingkaran dibagi menjadi 24 juring
yang sama besar. Juring tersebut kemudian diperbanyak.
Gunting juring-juring sesuai dengan besar juringnya. Kemudian,
susunlah potongan juring tersebut menjadi susunan juring yang lebih
rapat. Amati bagaimana panjang dan tingginya.
Bentuklah kelompok yang beranggotakan 3-4
orang. Kemudian, apa yang dimaksud
dengan luas lingkaran?
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
Catatlah hasil pengamatan kalian. Kemudian,
susunlah potongan-potongan lingkaran tersebut seperti
gambar di bawah ini. Bentuk gambar tersebut menyerupai
jajar genjang.
×
Jajar genjang tersebut memiliki alas yang panjangnya setengah
keliling lingkaran, dan tingginya merupakan jari- jari lingkaran.
Berdasarkan keterangan di atas, maka
luas bangun tersebut = alas × tinggi
= ... × …
= ...
12 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Diskusikanlah hasil pengamatan yang
kalian peroleh, kemudian carilah informasi
yang berkaitan dengan luas lingkaran
sebanyak-banyaknya.
Karena luas bangun tersebut sama dengan
luas lingkaran, maka luas lingkaran yang berjari-
jari dirumuskan
Luas lingkaran= . . . × . . . atau luas
lingkaran dengan diameter dirumuskan
1
Luas lingkaran = ×. . . × . . .
4
Contoh
1. Hitunglah luas daerah lingkaran dengan jari-jari 7cm!
Penyelesaian:
Diketahui: =…
Ditanya: =…?
Jawab:
=... × …
=... × …
=... × ...
= …
2
Jadi, luas daerah lingkaran dengan jari-jari 7cm adalah…cm .
Matematika | SMP/MTs sederajat 13
Lingkaran Kelas VIII
2. Sebuah lingkaran mempunyai luas 78,5 cm . Berapakah panjang jari-jarinya?
2
Penyelesaian:
Diketahui: = 78,5 cm 2
Ditanya: = …?
Jawab:
=… × …
=… × …
… × …
=
…
= …
Jadi, jari-jari lingkaran tersebit adalah …cm.
3. Sebuah taman bermain berbentuk lingkaran dengan keliling 176 m. Berapa
luas taman bermain tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui: Keliling taman 176 m.
Ditanya: = …?
Jawab:
Keliling taman = keliling lingkaran
= 2 × … × …
176 = 2 × …× …
…
176 = 2 × ×
… …
176 = × …
…
…× … = . .. × …
…
=
…
… =
Luas taman = Luas lingkaran
=… × … .
=… × … .
=… × …
= …
2
Jadi, luas taman bermain tersebut adalah … m .
14 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Latihan 1
Kerjakan soal-soal berikut dengan menggunakan dua cara penyelesaian.
1. Tentukan keliling lingkaran yang berjari-jari 10 cm.
2. Sebuah lingkaran mempunyai keliling 220 cm. Berapa panjang jari-jari
lingkaran tersebut?
3. Diameter sebuah lingkaran adalah 21 cm, Tentukan keliling dan luas
lingkarannya.
2
4. Aksel mempunyai taman yang berbentuk lingkaran dengan luas 616 m .
Tentukan keliling taman tersebut.
5. Luas sebuah kolam ikan yang berbentuk lingkaran adalah 3.850 m .
2
Berapakah diameter kolam ikan tersebut?
6. Sebuah lingkaran berdiameter 42 cm. Tentukanlah:
a. Jari-jari lingkaran
b. Keliling lingkaran
c. Luas lingkaran
7. Lengkapilah tabel berikut:
Jari-jari Diameter Keliling Luas
14
26
21
9
12
18
20
11
8. Hitunglah luas dan keliling daerah yang diarsir.
14cm
32cm
Matematika | SMP/MTs sederajat 15
Lingkaran Kelas VIII
3 SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING
Kemarin kita sudah mempelajari unsur-unsur lingkaran, keliling lingkaran dan
luas lingkaran. Sekarang kita akan belajar tentang sudut pusat dan sudut keliling.
Bagaimana cara menentukan sudut pusat dan sudut keliling? Apa yang ada ketahui
tentang sudut pusat dan sudut keliling? Perhatikan gambar di bawah ini.
Dari gambar di atas, ∠ adalah sudut pusat
lingkaran dan ∠ merupakan sudut keliling lingkaran.
Apa yang dimaksud dengan sudut pusat lingkaran dan
sudut keliling lingkaran?
Bentuklah kelompok yang beranggotakan
3-4 orang. Kemudian, diskusi bersama
tentang sudut pusat dan sudut keliling
lingkaran. Berapa besar sudut pusat dan
sudut keliling tersebut?
16 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 1 Gambar 2
Gambar 3
Pada Gambar 1, busur merupakan busur kecil pada lingkaran,
dan titik terletak pada lingkaran tetapi tidak terletak pada busur .
Sebuah sinar garis dilukis melalui titik O, untuk ketiga gambar di
atas, berlaku sebagai berikut.
= (jari-jari pada lingkaran)
∠ = ∠ … (sudut dihadapan sisi yang sama panjang)
Sekarang, ∠ = ∠ + ∠ (∠ sudut pelurus dari ∠ )
∠ = ∠ … + ∠ …
∠ = 2 × ∠ …
Demikian pula, ∠ = 2 × ∠ …
Matematika | SMP/MTs sederajat 17
Lingkaran Kelas VIII
Sekarang, pada Gambar 1, busur merupakan busur kecil.
∠ = ∠ + ∠
= (2 × ∠ … ) + (2 × ∠ …)
= 2(∠ …+ ∠ …)
= 2 × ∠ …
Pada Gambar 2, busur merupakan busur setengah lingkaran.
∠ = 180°
= ∠ … + ∠…
= 2 × ∠ …
Pada Gambar 3, ∠ ( ) = 360° − ∠ ( )
= 360° − (∠ …+ ∠ … )
= (180° − ∠ … ) + (180° − ∠ …)
= ∠ … + ∠…
= (2 × ∠ … ) + ∠ …
= 2 × ∠ …
Berdasarkan persoalan di atas, dapat
disimpulkan bahwa jika besar sudut pusat dan
sudut keliling suatu lingkaran menghadap busur
yang sama, maka
Besar sudut pusat = ⋯× … … …… … …… … …..
atau
Besar sudut keliling = ⋯× … …… … …… … … ..
18 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Bagaimana sifat-sifat dari sudut keliling? Untuk mengetahui tentang sifat-sifat
sudut keliling lebih dalam, lakukanlah kegiatan berikut.
Pada gambar di samping,
merupakan diameter lingkaran
dan ∠ adalah sudut keliling
lingkaran yang menghadap
busur setengah lingkaran.
Bagaimana cara menghitung
besar ∠ ?
Bentuklah kelompok yang
beranggotakan 3-4 orang. Kemudian,
diskusi bersama tentang persoalan di
atas. Berapa besar ∠ ?
Besar sudut keliling = ⋯× … … …… … …… … ..
∠ = ⋯ ° (∠ merupakan sudut ……………)
∠ = 2 × ∠ … (sudut pusat = ……..…………………)
Maka, ∠ =. .. × ∠ …
∠ = ⋯°
Jadi, besar sudut keliling yang menghadap busur berupa
diameter merupakan sudut ……………… dan besarnya …°.
Matematika | SMP/MTs sederajat 19
Lingkaran Kelas VIII
Pada gambar di samping,
membatasi ∠ ,∠ , ∠ .
∠ dan ∠ merupakan sudut
keliling lingkaran tersebut. Berapa
besar ∠ dan ∠ ? Apakah
besar sudutmya sama?
Karena besar sudut pusat adalah dua kalinya sudut keliling,
maka:
∠ = 2 × ∠ …
atau
∠ = 2 × ∠ …
Jadi, jika beberapa sudut keliling menghadap busur yang
sama maka memiliki besar yang ….
Berdasarkan persoalan di atas, dapat
disimpulkan bahwa sifat dari sudut keliling yaitu,
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
20 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Contoh
1. Perhatikan gambar di samping!
Tentukanlah:
a. ∠ ,
b. ∠ ,
c. ∠ ,
d. ∠ .
Penyelesaian:
a. ∠ :
karena ∠ menghadap busur CA maka, besar ∠ adalah 90°.
b. Perhatikan ∆
∠ + ∠ + ∠ = 180°
90° + 40° + ∠ = 180°
∠ = 180° − (90° + 40°)
= 180° − 130°
= 50°
c. Karena ∠ menghadap diameter . Maka, besar ∠ adalah 90°.
d. Perhatikan ∆
∠ + ∠ + ∠ = 180°
90° + 25° + ∠ = 180°
∠ = 180° − (90° + 25°)
= 180° − 115°
= 65°
2. Perhatikan gambar di bawah, tentukanlah besar ∠ dan besar ∠ .
Matematika | SMP/MTs sederajat 21
Lingkaran Kelas VIII
Penyelesian:
1
∠ = × ∠
2
1
= × 100°
2
= 50°
Jadi, ∠ adalah 50° oleh karena ∠ juga merupakan sudut keliling yang
menghadap busur maka ∠ = ∠ = 50°.
Latihan 2
1. Sebuah lingkaran yang berpusat di titik
seperti gambar tersebut. Tentukan
besar ∠ !
2. Tentukan besar ∠ dan ∠ dengan titik
pusat pada gambar di samping!
3. Pusat lingkaran berada di titik , jika ∠ +
∠ + ∠ = 120°. Tentukan besar ∠
pada gambar disamping!
22 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
4. Besar ∠ pada gambar di samping adalah
54° dan ∠ adalah 30°. Tentukanlah besar
∠ !
5. Hitunglah besar ∠ pada gambar berikut!
6. Perhatikan gambar di samping. Kemudian,
hitunglah:
a. ∠
b. ∠
c. ∠
d. ∠
7. Pada gambar di bawah ini, adalah diameter lingkaran. Berapakah besar
∠ ?
Matematika | SMP/MTs sederajat 23
Lingkaran Kelas VIII
4 PANJANG BUSUR DAN LUAS
JURING
3 Pernahkah anda melihat orang yang sedang bermain tolak peluru?
Perhatikanlah gambar berikut ini.
https://bit.ly/olahragatolakpeluru
Gambar di atas merupakan orang yang sedang mengikuti lomba tolak peluru
dan dia akan melempar peluru tersebut.
Gambar A
Apakah anda pernah mengikuti
permainan tolak peluru? Bagaimana
bentuk lapangan permainan tolak
peluru? Gambar A di samping
merupakan gambar ilustrasi bentuk
lapangan tolak peluru di atas.
https://bit.ly/ukuranlapangan
24 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Gambar di bawah ini merupakan ilustrasi dari Gambar A di atas.
Gambar B
https://bit.ly/lapangantpl
Berapa panjang busur yang dibentuk oleh sudut 45 pada
gambar di atas? Sekarang perhatikan Gambar A, titik A sama
seperti gambar B. Jika jarak anak A dan anak B sejauh 100m,
Berapa panjang busur yang dibentuk oleh anak B dan anak C?
Kemudian, pada gambar di bawah ini merupakan lingkaran
yang berpusat di O dengan jari-jari . Kemudian ditarik garis AB
sehingga membentuk sudut dengan luas juring AOB.
Bagaimana jika ∠ diperbesar menjadi ∠ dengan luas
juring AOC?
Matematika | SMP/MTs sederajat 25
Lingkaran Kelas VIII
Bentuklah kelompok yang beranggotakan 3-4
orang. Informasi apa yang kalian dapatkan dari
persoalan di atas? Dengan menggunakan konsep
perbandingan senilai maka hubungan antara
sudut pusat, panjang busur dan luas juring adalah
∠… Panjang busur… Luas juring…
= =
∠... Panjang busur… Luas juring…
Sekarang bagaimana kalau sudut pusat AOB, panjang busur AB,
dan luas juring AOB diperbesar menjadi sudut pusat AOD, panjang
busur AD, dan luas juring AOD? Maka akan berlaku:
∠... Panjang busur… Luas juring…
= =
∠... Panjang busur… Luas juring…
Se karang bagaimana kalau sudut pusat AOB dengan luas juring AOB
diperbesar menjadi satu lingkaran penuh?
Diskusikanlah hasil pengamatan yang kalian peroleh, Ingat
sudut satu lingkaran penuh besarnya 360° dan luas juring
untuk satu lingkaran penuh sama dengan luas lingkaran, maka
akan berlaku:
∠… Luas ….…………………
=
∠… Luas…………………….
…
…° =
…° ...
...
∠ … =
...
∠ =…
atau
...°
Luas juring = × …
...°
26 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Contoh
1. Pada gambar di samping titik adalah titik
pusat lingkaran, jika jari-jari lingkaran 7 cm.
Hitunglah luas juring dan panjang busur
!
Penyelesaian:
Diketahui: = 7 cm
∠ = 45°
Ditanya: a. Luas juring
b. Panjang busur
Jawab:
∠
2
a. Luas juring = ×
360
2
= 45 × 22 × 7
360 7
1
= × 22 × 7
8
= 2,75 × 7
= 19,25
2
Jadi, luas juring adalah 19,25 cm .
b. Panjang busur = ∠ × 2
360
= 45 × 2 . 22 . 7
360 7
1
= × 2.22
8
1
= × 22
4
= 5,5
Jadi, Panjang busur adalah 5,5 cm.
Matematika | SMP/MTs sederajat 27
Lingkaran Kelas VIII
2. Pada gambar disamping titik O adalah titik pusat lingkaran.
a. Jika keliling lingkaran adalah 108 cm, maka hitunglah panjang busur EF!
b. Jika luas lingkaran 72 cm , maka hitunglah luas juring AOF!
2
Penyelesaian:
a. Panjang busur : keliling lingkaran = ∠ :360°
∠
Panjang busur = × keliling lingkaran
360
= 40 × 108
360
= 12
Jadi, panjang busur tersebut adalah 12 cm.
b. ∠ = 360° − ∠ − ∠ − ∠ − ∠ − ∠
∠ = 360° − 40° − 70° − 40° − 70° − 40°
∠ = 100°
Luas juring : Luas lingkaran = ∠ ∶ 360°
∠…
Luas juring = × luas lingkaran
360
= 100 × 72
360
= 20
2
Jadi, luas juring tersebut adalah 20 cm .
28 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
Latihan 3
1. Perhatikan gambar di samping. EF adalah
diameter lingkaran dan luas daerah juring DNE
= 25 .
2
Hitunglah:
a. Luas lingkaran
b. Luas juring DNF
2. Pada gambar di samping, luas
2
daerah juring = 60 .
Hitunglah:
a. Luas daerah lingkaran
b. Luas daerah juring DOB
3. Panjang busur = 12 cm, hitunglah:
a. Keliling lingkaran,
b. Panjang busur KM dan LM,
c. Jari-jari lingkaran,
d. Luas daerah lingkaran, dan
e. Luas daerah juring KQL, KQM, dan LQM
4. Perhatikan pada gambar di
samping. Hitunglah:
a. Panjang busur
b. Luas daerah juring
Matematika | SMP/MTs sederajat 29
Lingkaran Kelas VIII
APLIKASI LINGKARAN DALAM
KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Aplikasi dari lingkaran banyak sekali dalam kehidupan sehari-hari, baik aplikasi
dari keliling lingkaran maupun luas lingkaran. Untuk memahaminya, perhatikan contoh
berikut.
Contoh
1. Luqman memiliki sepeda dengan jari-jari roda 70 cm. Setelah sepeda dikayuh,
roda sepeda tersebut berputar sebanyak 300 kali. Berapa jarak yang ditempuh
oleh Luqman?
Penyelesaian:
Panjang lintasan = Keliling roda × banyaknya roda berputar
Keliling = 2 × ×
22
= 2 × × 70 cm
7
= 2 × 220 cm
= 440 cm
Panjang lintasan = Keliling roda × banyaknya roda berputar
= 440 cm × 300
= 13200 cm
= 13,2 m
Jadi, jarak yang ditempuh oleh Luqman menggunakan sepeda tersebut adalah
13,2 m.
2. Diketahui sebuah taman di Purwokerto berbentuk lingkaran dengan diameter 56
meter. Setengah dari luas taman tersebut akan ditanami rumput. Tentukan luas
taman yang ditanami rumput tersebut.
Penyelesaian:
Diameter taman ( ) = 56 m
30 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
56 m
Jari-jari taman ( ) = = = 28 m
2 2
2
Luas keseluruhan taman= ×
22
= × 28 × 28
7
= 2464
Karena luas taman yang ditanami rumput adalah setengah dari luas keseluruhan,
1
maka luas taman yang di tanami rumput yaitu: × 2464 m = 1232 m .
2
2
2
Jadi, luas taman yang ditanami rumput adalah 1232 m .
2
3. Pak Sugeng memiliki sebuah taman berbentuk persegi yang panjang sisinya 30m.
Pada bagian tengah taman akan dibangun kolam berbentuk lingkaran dengan
diameter 14m. Kemudian, sisa lahan taman akan ditanami rumput. Harga rumput
per m adalah Rp8.000,00. Berapa dana yang dibutuhkan oleh Pak Sugeng untuk
2
menanam rumput di tamannya?
Penyelesaian:
Luas persegi = ×
2
= 30m × 30m = 900m
Luas lingkaran =
2
22
= × 7m × 7m = 154m 2
7
Luas sisa lahan = luas persegi − luas lingkaran
2
2
2
= 900m − 154m = 746m
Dana yang dibutuhkan = 746m × 8.000,00
2
= Rp 5.968.000,00
Jadi, dana yang dibutuhkan Pak Sugeng untuk menanam rumput adalah
Rp 5.968.000,00
Matematika | SMP/MTs sederajat 31
Lingkaran Kelas VIII
Latihan 4
1. Sebuah roda berjari- jari 25 cm menggelinding sebanyak 200 kali. Berapa
panjang lintasan roda tersebut?
2. Ibu membelikan Aksel mainan spin wheel. Setelah diukur, keliling dari spin
wheel Aksel yaitu 132 cm. Berapa luas spin wheel yang dimiliki oleh Aksel?
3. Di belakang rumah Kays ada kolam ikan berbentuk setengah lingkaran.
Kolam ikan tersebut memiliki diameter 8 meter. Berapa keliling dan luas
kolam ikan Kays?
4. Sebuah roda bus berputar 8.000 rpm (rotasi per menit). Jika diameter roda
35 cm, tentukan jarak yang ditempuh bus tersebut dalam waktu 1 jam dengan
asumsi kecepatan mobil konstan.
5. Sekarang Lukman kelas lima dan dia mendapat tugas pelajaran seni budaya
untuk membuat kerajinan dari kain flanel. Kemudian, Luqman membuat alas
gelas berbentuk lingkaran berdiameter 10 cm. Jika Luqman membuat 1 lusin
alas gelas, berapa luas kain flanel yang dibutuhkan oleh Luqman untuk
membuat 1 lusin luas alas gelas tersebut?
6. Keyko akan membangun sebuah taman di belakang rumah. Taman tersebut
direncanakan berbentuk lingkaran dengan diameter 63m. Di tengah taman
tersebut akan dibangun kolam air mancur dengan ukuran diameter 17m.
Tentukan luas taman di luar kolam air mancur tersebut.
7. Aji membuat sebuah meja berbentuk lingkaran dengan jari-jari 63cm. Biaya
2
untuk membuat meja adalah Rp75.000,00/ . Berapa biaya total yang
diperlukan Adi untuk membuat meja tersebut?
8. Di pusat kota Purwokerto rencananya akan dibuat sebuah taman yang
berbentuk lingkaran dengan diameter 56m. Di dalam taman itu akan dibuat
kolam berbentuk lingkaran dengan diameter 28m. Di luar kolam akan
ditanami rumput dengan harga Rp16.000,00/ . Berapa biaya total yang
2
harus di keluarkan untuk menanam rumput di pusat kota tersebut?
32 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
RANGKUMAN
1. Lingkaran adalah kumpulan dari titik-titik pada garis lengkung yang mempunyai
jarak yang sama terhadap pusat lingkaran.
2. Unsur- unsur lingkaran yaitu jari- jari, diameter, titik pusat lingkaran, busur, tali
busur, juring, tembereng, dan apotema.
3. Daerah yang dibatasi oleh kumpulan titik-titik pada tepi lingkaran disebut daerah
lungkaran (luas lingkaran).
4. Untuk setiap lingkaran,berlaku rumus:
Keliling lingkaran = . atau 2
1
2
2
Luas lingkaran =
4
dengan: = jari-jari
= diameter
22
= atau 3,14
7
5. Besar sudut pusat yaitu dua kalinya besar sudut keliling ketika sudut pusat dan
sudut keliling menghadap busur yang sama.
6. Jika sudut keliling menghadap busur lingkaran berupa diameter lingkaran, maka
selalu membentuk sudut 90º atau biasa disebut dengan sudut siku-siku.
7. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama akan memiliki besar sudut yang
sama pula. Sedangkan, Sudut-sudut keliling yang saling berhadapan akan memiliki
jumlah total sudut 180 derajat.
Matematika | SMP/MTs sederajat 33
Lingkaran Kelas VIII
UJI KOMPETENSI
A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.
1. Di bawah ini, yang merupaka unsur-unsur lingkaran adalah….
a. Diameter, busur, sisi, dan bidang diagonal
b. Jari-jari, tali busur, juring, dan diagonal
c. Juring, tembereng, apotema, dan jari-jari
d. Garis tengah, jari-jari, busur, dan diagonal
2. Daerah yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur pada lingkaran
adalah....
a. Tali busur
b. Tembereng
c. Juring
d. Busur
3. Ruas garis yang ditarik dari titik pusat dan tegak lurus pada tali busurnya adalah....
a. Juring
b. Busur
c. Tali busur
d. Apotema
4. Jari-jari suatu lingkaran yang diameternya 36 adalah....
a. 15
b. 16
c. 18
d. 19
5. Keliling lingkaran yang jari-jarinya 11 adalah….
a. 66,00
b. 67,04
c. 69,00
d. 69,08
6. Luas daerah lingkaran yang diameternya 14 adalah....
a. 1,5386
2
2
b. 15,386
34 Matematika | SMP/MTs sederajat
Lingkaran Kelas VIII
2
c. 153,86
2
d. 1538,6
2
7. Jika luas daerah lingkaran adalah 36 , maka keliling lingkaran tersebut
π
adalah....
a. 11 cm
b. 12 cm
c. 13 cm
d. 14 cm
8. Keliling persegi panjang adalah 130 cm. Jika panjangnya 15 cm lebih dari
lebarnya, maka lebar persegi panjang tersebut adalah ….
a. 55
b. 40
c. 25
d. 20
9. Sebuah taman yang berbentuk lingkaran, setengah dari luas daerah taman tersebut
akan ditanami bunga jika diameter taman tersebut 14 m. Maka luas daerah taman
yang ditanami bunga adalah....
2
a. 22 m
2
b. 77 m
2
c. 115 m
2
d. 154 m
10. Jika K merupakan keliling lingkaran dan L merupakan luas daerah lingkaran,
hubungan K dan L yang benar adalah....
a. = √2
b. = √4
c. = 2
2
2
d. = 2
11. Jika jari-jari dua lingkaran adalah 4 cm dan 6 cm, maka perbandingan luas daerah
kedua lingkaran tersebut adalah....
a. 4 : 9
b. 2 : 3
c. 3 : 2
d. 9 : 4
Matematika | SMP/MTs sederajat 35
Lingkaran Kelas VIII
2
2
12. Diberikan jari-jari lingkaran 15 cm dan 20 cm , perbandingan Luas daerah
kedua lingkaran tersebut adalah....
a. 3 : 8
b. 9 : 16
c. 16 : 9
d. 8 : 3
13. Suatu busur panjangnya 44 cm. jika besar
sudut pusat busur 90°, panjang jari-jari
lingkaran adalah....
a. 28 cm
b. 26 cm
c. 25 cm
d. 24 cm
14. Keliling daerah yang diarsir pada gambar di
samping dengan jari-jari 14 cm adalah....
a. 88 cm
b. 66 cm
c. 55 cm
d. 44 cm
15. Perhatikan gambar berikut. Jika besar ∠ adalah 65° dan ∠ adalah 20°,
maka besar ∠ pada gambar di samping adalah....
a. 95°
b. 100°
c. 110°
d. 115°
16. Besar ∠ pada gambar di bawah ini adalah....
a. 60°
b. 80°
c. 90°
d. 100°
36 Matematika | SMP/MTs sederajat