9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES

CAPITULO 9

INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES

En el caso de que el integrando contiene potencias faccionarias de la variable de
integración, estas se simplifican usando una sustitución del tipo:
x = tn , n x = t , siendo “n “el m.c.m de los denominadores de los exponentes.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

9.1.-Encontrar: ∫ xdx
1+ x

Solución.- La única expresión “irracional” es x , por lo tanto:

x = t ⇒ x = t2, dx = 2tdt , luego:

∫ xdx = ∫ t(2tdt) = ∫2 t 2dt = 2∫ ⎛⎝⎜1 − 1 1 2 ⎠⎟⎞dt = 2∫ dt −2∫ dt = 2t − 2 arcτ gt +c
1+ x 1+ t2 1+ t2 +t t2 +1

Dado que: t = x , se tiene: = 2 x − 2 arcτ g x + c

Respuesta: ∫ xdx = 2 x − 2 arcτ g x +c
1+ x

9.2.-Encontrar: ∫ dx x)
x (1+

Solución.- Análogamente al caso anterior: x = t ⇒ x = t2, dx = 2tdt , luego:

∫ dx x) = ∫ 2 t dt = ∫ 2dt = 2 η t +1 +c
x (1+ t (1+ t) 1+ t

Dado que: t = x , se tiene: = 2 η x +1 + c

Respuesta: ∫ dx =2 η x +1 +c
x (1+ x)

9.3.-Encontrar: ∫ 3 + dx + 2
x

Solución.- La expresión “irracional” es ahora x + 2 , por lo tanto:

x + 2 = t ⇒ x = t2 − 2, dx = 2tdt , luego:

∫ 3+ dx 2 = ∫ 2tdt = 2∫ ⎝⎛⎜1− t 3 3 ⎞ dt = 2∫ dt − 6∫ dt = 2t − 6 η t +3 +c
x+ 3+t + ⎠⎟ t+3

Dado que: t = x + 2 , se tiene: = 2 x + 2 − 6 η x + 2 + 3 + c

Respuesta: ∫ 3+ dx 2 = 2 x+2−6 η x+2+3 +c
x+

199

9.4.-Encontrar: ∫ 1− 3x + 2 dx
1+ 3x + 2

Solución.- La expresión “irracional” es ahora 3x + 2 , por lo tanto:

3x + 2 = t ⇒ 3x = t2 − 2, dx = 2 3 tdt , luego:

∫ 1− 3x + 2 dx = ∫ 1− t 2 3 tdt = 2 ∫ t −t2 dt = 2 ∫ ⎛ −t + 2 − 2 ⎞ dt
1+ 3x + 2 1+ t 3 1+ t 3 ⎜⎝ +1 ⎠⎟
t

= − 2 ∫ tdt + 4 ∫ dt − 4 ∫ dt = − 1 t 2 + 4 t − 4 η t +1 +c
3 3 3 +1 3 3 3
t

Dado que: t = 3x + 2 , se tiene:

= − 1 (3x + 2) + 4 3x + 2 − 4 η 3x + 2 +1 + c
33 3

(= −x − 2 + 4 3x + 2 − 4 η 3x + 2 +1 + c = −x − 2 + 4 3x + 2 − η )3x + 2 +1 + c
33 3 33

1− 3x + 2 dx = −x − 2 + 4
( )Respuesta: 1+
∫ 3x + 2 33 3x + 2 − η 3x + 2 +1 + c

9.5.- Encontrar: ∫ 1+ x dx

Solución.- La expresión “irracional” es ahora x , por lo tanto:

x = t ⇒ x = t2, dx = 2tdt , luego: ∫ ( 1+ x )dx = ∫ 1+ t 2tdt , como apareció la

expresión: 1+ t ; se procede análogamente: w = 1+ t ⇒ t = w2 −1, dt = 2wdw , esto

∫ ∫es: 1+ t 2tdt = w2(w2 −1)2wdw = 4 (w4 − w2 )dw = 4w5 − 4w3 + c

53

Dado que: w = 1+ t , se tiene: = 4(1+ t)52 − 4(1+ t)32 + c
53

∫Respuesta: 1+ x dx = 4(1+ x )52 − 4(1+ x )32 + c

53

9.6.-Encontrar: ∫ dx
x +1+ 4 x +1

Solución.- Previamente se tiene que el m.c.m. de los índices de Las raíces es: 4 ,

por lo cual: x +1 = t4, dx = 4t3dt , de donde:

∫ x dx x +1 = ∫ 4t 3dt = 4∫ ⎛ t −1+ t2 t t ⎞ dt = 4∫ tdt − 4∫ dt + 4∫ dt
+1+ 4 t2 +t ⎜⎝ + ⎟⎠ t +1

= 2t2 − 4t + 4 η t +1 + c , dado que: t = 4 x +1

Se tiene: = 2( x + 1) 1 − 4( x + 1) 1 +4 η (x + 1)12 +1 +c
2 2

∫Respuesta: dx = 2( x + 1) 1 − 4( x + 1) 1 +4 η (x + 1)12 +1 +c
2 2

x +1+ 4 x +1

200

9.7.-Encontrar: ∫ dx
x+3 x

Solución.- Previamente se tiene que el m.c.m. de los índices de Las raíces es: 6 ,

por lo cual: x = t6 ⇒ t = 6 x, dx = 6t5dt , de donde:

∫ dx = ∫ 6t 5 dt = 6∫ t 3dt = 6∫ ⎛ t 2 −t +1− 1 ⎞ dt = 6∫ t2dt − 6∫ tdt + 6∫ dt − 6∫ dt
x+3 t3 + t2 t +1 ⎝⎜ + ⎠⎟ +1
x t 1 t

= 2t3 − 3t2 + 6t − 6 η t +1 + c

Dado que: t = 6 x
Se tiene: = 2( 6 x )3 − 3( 6 x )2 + 6 6 x − 6 η 6 x +1 + c

∫Respuesta: dx = 2 x − 33 x + 66 x − 6 η 6 x +1 + c

x+3 x

9.8.-Encontrar: ∫ dx
x +1 + (x +1)3

Solución.- Previamente se tiene igual índice por lo

cual: x +1 = t ⇒ x = t2 −1, dx = 2tdt , de donde:

∫ ∫ ∫dx = 2tdt = 2 dt = 2 arcτ gt + c
t +t3 1+ t2
x +1 + (x +1)3

Dado que: t = x +1 , Se tiene: = 2 arcτ g x +1 + c

Respuesta: ∫ dx = 2 arcτ g x +1 + c
x +1 + (x +1)3

9.9.-Encontrar: ∫ 3 x −1dx
x +1

Solución.- Previamente se tiene que el m.c.m. de los índices de Las raíces es: 6 ,

por lo cual: x = t6 ⇒ t = 6 x, dx = 6t5dt , de donde:

∫ ∫ ∫ ∫x −1dx = t3 −1 6t 5 dt = 6 t8 −t5 dt = 6 ⎛ t 6 − t 4 − t 3 + t 2 + t − 1− t −1 ⎟⎞⎠dt
t2 +1 t2 +1 ⎜⎝ t2 +1
3 x +1

6 t7 6 t5 3 t4 2t 3 3t 2 2t − 2
∫= 7 − 5 − 2 + + − 6t + c1 − 3 dt
t 2 + 1

6 t7 6 t5 3 t4 2t 3 3t 2 2t − 2dt + 6 dt
7 5 2 t2 +1 t2 +1
∫ ∫= − − + + − 6t + c1 − 3

= 6 t7 − 6 t5 − 3 t4 + 2t3 + 3t2 − 6t − 3 η t2 +1 + 6 arcτ gt + c
752

Dado que: t = 6 x , se tiene:

= 6 x 6 x − 6 6 x5 − 3 3 x2 + 2 x + 33 x − 6 6 x − 3 η 1+ 3 x + 6 arcτ g 6 x + c
7 52

201

Respuesta:

∫ x −1dx = 6 x 6 x − 6 6 x5 − 3 3 x2 + 2 x + 33 x − 6 6 x − 3 η 1+ 3 x + 6 arcτ g 6 x + c

3 x +1 7 5 2

9.10.-Encontrar: ∫ xdx
x+2

Solución.- La expresión “irracional” es x , por lo tanto:

x = t ⇒ x = t2, dx = 2tdt ,

luego: ∫ xdx = ∫ t(2tdt) = 2∫ t 2 dt = 2∫ ⎛⎜⎝1− t 2 2 2 ⎞⎟⎠dt = 2∫ dt − 4∫ t dt 2
x+2 t2 + 2 t2 + 2 + 2+

= 2t − 4 arcτ g t + c , dado que: t = x , se tiene: = 2 x − 2 2 arcτ g x2 +c
22

Respuesta: ∫ xdx = 2 x −2 2 arcτ g x2 +c
x+2

9.11.-Encontrar: ∫ ( x +1 + 2)dx
(x +1)2 − x +1

Solución.- Previamente se tiene igual índice por lo

cual: x +1 = t ⇒ x = t2 −1, dx = 2tdt , de donde:

⎣⎡( x + 1) 1 + 2⎤⎦ dx
2
( x +1 + 2)dx =

∫ ∫ ∫ ∫(x +1)2 − x +1
1 = t + 2 2tdt = 2 (t + 2) t dt
(x + 1)2 − (x + 1) 2 t4 −t t (t3 −1)

= 2∫ (t (t + 2)dt (∗) , considerando que:
−1)(t2 + t +1)

(t t+ 2 t + 1) = (t A + Bt + C ⇒ A = 1, B = −1, C = −1
− 1)(t 2 + −1) (t2 + t +1)

Dado que: t = x +1 , Se tiene: = 2 arcτ g x +1 + c

(∗) 2∫ (t (t + 2)dt = 2∫ dt + 2∫ −t −1 dt = 2∫ dt − 2∫ (t 2 t +1 dt
−1)(t2 + t +1) (t −1) (t2 + t +1) (t −1) + t +1)

= 2∫ dt − 2∫ 1 (2t + 1) + 1 = 2∫ dt − ∫ (2t +1)dt − ∫ dt
(t −1) 2 2dt (t −1) (t2 + t +1) +t

(t2 + t +1) (t 2 + 1)

= 2∫ (t dt − ∫ (2t +1)dt − ∫ 2 + dt + 3
−1) (t2 + t +1) + 14)
(t t 4

= 2 η t −1 − η t2 + t +1 − 2 arcτ g 2t +1 + c
33

= η (t −1)2 − 2 arcτ g 2t +1 + c
(t2 + t +1) 3 3

Dado que: t = x +1 , se tiene

202

∫Respuesta: ( x +1 + 2)dx = η ( x +1 −1)2 − 2 arcτ g 2 x +1 +1 + c
(x +1)2 − x +1 ( x +1 + x + 2) 3 3

EJERCICIOS PROPUESTOS

9.12.- ∫ 1+ x dx 9.13.- ∫ 1− x dx 9.14.- ∫ a dx x
1+ x 1+ x +b

9.15.- ∫ x + a dx 9.16.- ∫ xdx ∫9.17.- x−6 x
x+a +4 x dx
1 3 x +1

9.18.- ∫ x − dx dx 9.19.- ∫ 1+ x dx 9.20.- ∫ x + a dx
2− x 1− x x+b

3 x +1 a 2− x2 9.23.- ∫ x2 x + adx
x x3
9.21.- ∫ dx ∫9.22.- dx

∫9.24.- dx ∫9.25.- x3 x2 + a2 dx

x + 4 x + 28 x

RESPUESTAS

9.12.- ∫ 1+ x dx
1+ x

Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t2, dx = 2tdt

∫ 1+ x dx = ∫ 1+ t2 2tdt = 2∫ t +t3 dt = 2∫ ⎛ t 2 − t + 2 − 2 ⎞⎟⎠dt
1+ x 1+ t 1+ t ⎜⎝ +
t 1

= 2∫ t2dt − 2∫ tdt + 4∫ dt − 4∫ t dt = 2t 3 − 2t2 + 4t − 4 η t +1 +c
+1 3 2

= 2 x3 − x + 4 x − 4 η x +1 +c
3

9.13.- ∫ 1− x dx
1+ x

Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t2, dx = 2tdt

∫ 1− x dx = ∫ 1 − t 2tdt = 2∫ t −t2 dt = −2∫ tdt + 4∫ dt − 4∫ t dt = −t 2 + 4t − 4 η t +1 +c
1+ x 1 + t 1+ t +1

= −x+ 4 x −4 η x +1 +c

9.14.- ∫ a dx x
+b

Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t2, dx = 2tdt

203

∫ a dx x = ∫ 2tdt = 2∫ tdt = 2∫ ⎛ 1 − a a 1 ⎟⎠⎞dt = 2 ∫ dt − 2a ∫ bdt
+b a + bt a + bt ⎝⎜ b b + bt b b2 a + bt

= 2 t − 2a η a + bt + c = 2 x − 2a η a+b x +c
b b2 b b2

9.15.- ∫ x + a dx
x+a

Solución.- Sea: x + a = t ⇒ x = t2 − a, dx = 2tdt

∫ x + a dx = ∫ t 2t dt = 2∫ dt = 2t + c = 2 x+a +c
x+a t2

9.16.- ∫ 1 xdx
+4 x

Solución.- m.c.m: 4 ; Sea: 4 x = t ⇒ x = t4, dx = 4t3dt

t 2 4t3dt = 4 t5dt = 4
1+ t 1+ t
∫ ∫ ∫ ∫xdx = ⎛ t 4 − t3 + t2 − t +1− 1 ⎟⎞⎠dt
1+ 4 x ⎝⎜ +1
t

= ⎛ t5 − t4 + t3 − t2 + t − η t +1 ⎞ + c = 4t 5 − t4 + 4t 3 − 2t 2 + 4t − 4 η t +1
4⎜ 5 4 3 2 ⎟ 5 3
⎠
⎝

= 4x54 − x + 4x34 − 2 x 1 + 4 x 1 −4 η x1 +1
2 4 4

53

∫9.17.- x−6 x
dx
3 x +1

Solución.- m.c.m: 6 ; Sea: 6 x = t ⇒ x = t6, dx = 6t5dt

t3 (t8 − t6 )dt
t2 t2 +1
x − 6 x dx =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫3 x +1
− t 6t5dt = 6 = 6 t6dt − 2 t4dt + 2 t2dt − 2 dt + 2 dt
+1 1+ t2

= ⎛ t7 − 2t 5 + 2t 3 − 2t + 2 arcτ gt ⎞ + c = 6t 7 − 12t5 + 4t 3 − 12t +12 arcτ gt + c
6⎜ 7 5 3 ⎟ 7 5
⎠
⎝

= 6x76 − 12x52 + 4 x 1 − 12 x 1 + 12 arcτ gx 1 +c
2 6 6

75

9.18.- ∫ x − dx dx
2− x

Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t2, dx = 2tdt

∫ x − dx dx = ∫ t2 2tdt = ∫ (2t −1) +1 = ∫ 2t −1 + ∫ t2 dt 2
2− x −2−t dt dt −t−

t2 −t −2 t2 −t −2

∫ ∫= 2t −1 dt + dt = η t2 − t − 2 + 1 η t − 32 + c
t2 −t −2 (t − 12)2 − 9 4 23 t + 3
2 2

204

= η t2 − t − 2 + 1 η 2t − 3 + c = η x − x − 2 + 1 η 2 x − 3 + c
3 2t + 3 3 2 x+3

9.19.- ∫ 1+ x dx
1− x

Solución.- Notará el lector, que este caso se diferencia de los anteriores, sin

embargo la técnica que se seguirá, tiene la misma fundamentación y la

información que se consiga es valiosa. (∗)

Sea: 1+ x = t ⇒ 1+ x = t2 ⇒ 1+ x = t2 − t2 x ⇒ x(1+ t2 ) = t2 −1
1− x 1− x

x = t2 −1 ⇒ dx = 4tdt , luego:
t2 +1 (t 2 +1)2

1+ x dx = t4tdt = 4t 2 dt t2dt (∗∗) ,
1− x (t2 +1)2 (t2 +1)2 t 2 +1)4
∫ ∫ ∫ ∫(∗) = 4 haciendo uso de

(

sustituciones trigonométricas convenientes en (∗∗) , y de la figura se tiene:

t2 + 1 t

Se tiene: t = τ gθ , dt = sec2 θ dθ ; t2 +1 = secθ θ

1

4τ g 2θ sec2 θ dθ = 4 τ g 2θ
sec 4 θ sec2 θ
∫ ∫ ∫(∗∗) 4 t2dt = dθ

( t2 +1)4

= 4∫ s e n2 θ dθ = 2∫ dθ − 2∫ cos 2θdθ = 2θ − s e n 2θ + c = 2θ − 2s e nθ cosθ + c

= 2 arcτ gt − 2 t 1 + c = 2 arcτ gt − t 2t 1 + c = 2 arcτ g 1+ x − 2 1+ x + c
t2 +1 2+ 2+ 1− x 1− x
t 1
1+ x +1
1− x

= 2 arcτ g 1+ x − (1− x) 1+ x + c
1− x 1− x

9.20.- ∫ x + a dx
x+b

Solución.- Sea: x + a = t ⇒ x = t2 − a, dx = 2tdt

t2dt = 2 ⎛ ⎞
t2 + (b − a) ⎜1 ⎟dt
∫ ∫ ∫x + a dx = ⎝ b− a ⎠
+ (b −
x+b
∫ t2tdt = 2 − t 2 a)
t2 −a +b

= 2∫ dt − 2(b − a)∫ t 2 + dt − a) = 2t − 2(b − a) 1 arcτ g t +c
(b b−a b−a

205

= 2 x + a − 2 b − a arcτ g x + a + c
b−a

3 x +1
x
9.21.- ∫ dx

Solución.- Sea: 3 x +1 = t ⇒ x = t3 −1, dx = 3t2dt

3 x +1 t 3t 2 dt t 3dt 3∫ ⎜⎛⎝1+ 1 ⎞⎠⎟dt dt
x t3 −1 t3 −1 − t3 −1
∫ dx = ∫ = 3∫ = t 3 1 = 3∫ dt + 3∫

= 3∫ dt + 3∫ (t dt t + 1) (∗) , por fracciones parciales:
−1)(t2 +

(t 3 + t + 1) = (t A + Bt + C ⇒ 3 = A(t 2 + t + 1) + (Bt + C)(t −1) , de donde:
− 1)(t 2 −1) (t2 + t +1)

A = 1, B = −1,C = −2 , luego:

(∗) = 3∫ dt + ∫ dt − ∫ t+2 dt = 3t + η t −1 − 1 η t2 +t +1 − 3 arcτ g ⎛ 2t +1 ⎞ + c
−1 2 +t+ 1 2 ⎜⎝ 3 ⎠⎟
t t

∫9.22.- a2 − x2 dx

x3

Solución.- Sea: a2 − x2 = t ⇒ x2 = a2 − t2 , xdx = −tdt

∫ ∫ ∫ ∫ ∫a2 − x2 dx = −t2dt (∗)
x3
a2 − x2 xdx = − ttdt = −t2dt =
x4 (a2 − t2)2 (a2 − t2)2 (a + t)2(a − t)2

Por fracciones parciales:

−t2 = A + B + C + D , de donde:
(t + a)2 (t − a)2 (t + a) (t + a)2 (t − a) (t − a)2

A = 1 a, B = − 1 ,C = − 1 a, D = − 1 , luego:
4 4 4 4

(∗)∫ −t 2 dt = 1 ∫ dt − 1 ∫ (t dt − 1 ∫ dt − 1 ∫ (t dt
(a + t)2(a − t)2 4a (t + a) 4a + a)2 4a (t − a) 4a − a)2

= 1 η (t + a) + 1 − 1 η (t − a) + 1 + c
4a 4(t + a) 4a 4(t − a)

= 1 η (t + a) + 1 + 1 + c
4a (t − a) 4(t + a) 4(t − a)

=1 η a2 − x2 + a + a2 − x2 + c = 1 η a2 − x2 + a − a2 − x2 +c
4a a2 − x2 − a 2( a2 − x2 −a2 ) 4a a2 − x2 − a 2x2

= 1 η ( a2 − x2 + a)2 − a2 − x2 + c = 1 η a2 − x2 + a − 1 η x − a2 − x2 + c
4a a2 − x2 −a2 2x2 2a 2a 2x2

9.23.- ∫ x2 x + adx

Solución.- Sea: x + a = t ⇒ x = t2 − a, dx = 2tdt

206

∫ ∫ ∫ ∫x2 x + adx = (t2 − a)2 t2tdt = 2 t2 (t2 − a)2 dt = 2 (t6 − 2at4 + a2t2 )dt

∫ ∫ ∫= 2 t6dt − 4a t4dt + 2a2 t2dt = 2t7 − 4at5 + 2a2t3 + c

75 3

= 2(x + a)72 − 4a(x + a)52 + 2a2 (x + a)32 + c
75 3

∫9.24.- dx

x + 4 x + 28 x

Solución.- Sea: 8 x = t ⇒ x = t8, dx = 8t7dt

∫ ∫ ∫ ∫dx = t4 8t 7 dt 2t = 8 t3 t 6 dt 2 = 8 ⎛ t3 − t − 2 + t2 + 4t + 4 ⎞
+t2 + +t+ ⎜ t3 +t + 2 ⎟dt
x + 4 x + 28 x ⎝ ⎠

t3 −8 t2 + 4t + 4dt t4 8t 2 t2 + 4t + 4
8 dt
∫ ∫ ∫ ∫ ∫t3 + t + 2 +8
=8 tdt −16 dt + 8 = − −16t t3 +t + 2
42

∫= 2t4 − 4t2 −16t + 8 t2 + 4t + 4dt(∗) , por fracciones parciales:

t3 +t + 2

t2 + 4t + 4 = (t t2 + 4t + 4 2) = (t A + Bt + C ⇒ A = 1 , B = 34,C = 14 4 , luego:
(t3 + t + 2) +1)(t2 − t + + 1) (t2 − t + 2) 4

∫ ∫⎛ 1 dt 3 4 t + 14 4 ⎞
4 ⎟
(∗) = 2t4 − 4t2 −16t + 8⎜ + dt
⎝⎜ t +1 t2 − t + 2 ⎠⎟

4 2 8 ⎛⎜⎝ 1 dt + 1 3t +14 ⎞ 4 2 dt + 2 3t +14
4 t +1 4 2 −t+2 ⎟⎠ t +1
∫ ∫ ∫ ∫= − + = − +
2t 4t −16t t dt 2t − 4t 16t 2 t 2 − t + dt
2

∫= 2t4 − 4t2 −16t + 2 η t +1 + 2 3 2t + 28 − 31 + 31
3 3 3
dt
2 t2 −t + 2

= 2t4 − 4t2 −16t + 2 η t +1 + 3 (2t −1) dt + 31 dt
∫ ∫t2 − t + 2 t2 −t + 2

∫= 2t4 − 4t2 −16t + 2 η t +1 + 3 η t2 − t + 2 + 31 dt

(t − 12)2 + 7 4

= 2t4 − 4t2 −16t + 2 η t +1 +3 η t2 − t + 2 + 31 2 arcτ g t − 1 + c
2

77 2

= 2t4 − 4t2 −16t + 2 η t +1 + 3 η t2 − t + 2 + 62 arcτ g 2t −1 + c
77

1 1 1 x1 x1 1 62 2 x 1 −1+ c
2 4 8 8 4 8 8

= 2x − 4 x − 16 x +2 η +1 +3 η − x +2 + arcτ g
77

∫9.25.- x3 x2 + a2 dx

Solución.- Sea: x2 + a2 = t ⇒ x2 = t2 − a2 , xdx = tdt

207

∫ ∫ ∫ ∫ ∫x3 x2 + a2 dx = x2 x2 + a2 xdx = (t2 − a2 )ttdt = (t2 − a2 )t2dt = (t4 − a2t2 )dt

= t5 − a2t3 +c = (x2 + a2)52 − a2(x2 + a2)32 +c = (x2 + a2)32 ⎛ x2 + a2 − a2 ⎞ + c
5 3 5 3 ⎜ 5 3 ⎟
⎝ ⎠

= (x2 + a2 )3 ⎛ 3x2 − 2a2 ⎞ + c
2 ⎜ 15 ⎟
⎝ ⎠

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

A continuación, se adjunta un listado de ejercicios que se proponen al lector.
Observará que no se indica técnica alguna solicitada para el desarrollo de los
mismos, y que además no se han respetado normas relativas a niveles de
dificultad, ni a las técnicas mismas. Como siempre, se adjuntaran las soluciones
cuyos desarrollos pueden diferir de los aquí presentados. No importa, eso es
posible; además una consulta con su profesor aclarará cualquier discrepancia.

Encontrar: 2.- ∫ θ dθ ∫3.- θ eθ dθ
(1+ θ )2
∫1.- t e3 sent4 cos t 4dt (1+θ )2

∫4.- eτ g3θ sec2 3θ dθ 5.- ∫ 3 xdx 6.- ∫ x2 −1
ax + b x +1

7.- ∫ (2 − dx 1− x ∫8.- e2−xdx ∫9.- exdx
x)
aex − b

10.- ∫ t (t +1)dt 11.- ∫ sec ϕ dϕ 12.- ∫τ gθ dθ
2 + 2t − 5 2

13.- ∫ η2 s e n η dη 14.- ∫ϕ sec2 ϕdϕ 15.- ∫ dx
a b 5x

16.- ∫ sec2 (1− x)dx 17.- ∫ xdx 18.- ∫ dy
16 − x4
1+ 1+ y

19.- ∫ dx 20.- ∫ cos ecθdθ ∫21.- t (1 − t 2 ) 1 dt
x+4− 2

x+3

∫22.- t (1 − t 2 ) 1 arcs e n tdt 23.- ∫ 1s+ecno2s22xxdx x2 +1
2 x3 − xdx

∫24.-

25.- ∫ e x dx 26.- ∫ ( x dx 27.- ∫ (3x + 4)dx
28.- ∫ 9 − e2x − 1)3 2 x + x2
ds
4 − s2 ∫29.- dx 30.- ∫ xdx
x2 x2 + e 1+ x

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