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Published by cecilaster, 2019-07-09 00:05:57

8 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO

TÉCNICA DE INTEGRACIÓN 6

CAPITULO 8

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO

Existen funciones racionales que conllevan formas trigonométricas, reducibles por

si a: seno y coseno. Lo conveniente en tales casos es usar las siguientes

sustituciones: z = τ g x , de donde: x = 2 arcτ gz y dx = 2dz . Es fácil llegar a verificar
2 1+ z2

que de lo anterior se consigue: s e n x = 2z y cos x = 1− z2
1+ z2 1+ z2

EJERCICIOS DESARROLLADOS

8.1.-Encontrar: ∫ 2 dx x
− cos

Solución.- La función racional con expresión trigonométrica es: 1 , y su
2 − cos x

solución se hace sencilla, usando sustituciones recomendadas, este es:

z = τ g x , x = 2 arcτ gz , dx = 2dz , cos x = 1− z2 ∴
2 1+ z2 1+ z2

2dz 2dz

1+ z2
2 + 2z −1+ z2
dx =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 − cos x
1+ z2 = = 2dz = 2dz
3z2 +1
2 − 1 − z 2 3( z 2 + 1 )
1 + z 2 3
1+ z2

3∫= 2 dz = 2 3 arcτ g 3z + c , recordando que: z = τ g x , se tiene:3 2
z2 + ( 1 )2
3

= 2 3 arcτ g 3τ g x + c
32

Respuesta: ∫ 2 dx x = 2 arcτ g 3τ g x + c
− cos 3 2

8.2.-Encontrar: ∫ 2 − dx n x
se

Solución.- Forma racional: 1 ,
2−sen x

sustituciones: z = τ g x , x = 2 arcτ gz , dx = 2dz , s e n x = 2z ∴
2 1+ z2 1+ z2

2dz 2dz

1+ z2 2 dz = dz
2 + 2z2 − 2z
dx =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 − s e n x
1+ z2 = = 2 (1+ z2 − z) (z2 − z +1)
2 z
2 − 1 + z 2 1+ z2

188


Ahora bien: z2 − z +1 = (z2 − z + 14) +1− 1 = (z − 12)2 + 3 = (z − 12)2 + ( 3 2 )2
4 4

1 2z −1
2
∫∴ dx = 1 arcτ g z − + c = 2 arcτ g 2 +c
(z − 12)2 + ( 3 2 )2
3 3 33
22
2

= 2 arcτ g 2z −1 + c ,recordando que: z = τ g x , se tiene:
33 2

= 2 3 arcτ g 2τ g x 2 −1 + c
33

Respuesta: ∫ dx = 2 3 arcτ g 2τ g x −1 + c
se 3 2
2 − n x 3

8.3.-Encontrar: ∫ 4 − dθ
5 cos θ

Solución.- Forma racional: 1 ,
4 − 5cosθ

sustituciones: z =τ g θ , x = 2 arcτ gz , dx = 2dz , cos x = 1− z2
2 1+ z2 1+ z2

2dz 2dz

∴ dx = 1+ z2 = 1+ z2 = 2dz = 2dz
∫ ∫ ∫ ∫ ∫4 − 5cosθ
4 − ⎛ 1− z2 ⎞ 4 + 4z2 −5+ 5z2 9z2 −1 9(z2 − 19)
5⎜ 1+ z2 ⎟ 1+ z2



∫= 2 dz =2 1 η z − 1 +c = 1 η 3z −1 + c
3

9 z2 − ( 1 )2 9 2 ( 13) z + 1 3 3z +1
3 3

Recordando que: z = τ g θ , se tiene: =1 η 3τ gθ 2 −1 + c
2 3 3τ gθ 2 +1

Respuesta: ∫ 4 − dθ =1 η 3τ g θ 2 −1 + c
5 cos θ 3 3τ g θ 2 +1

8.4.-Encontrar: ∫ 3 cosθ dθ s e nθ
+4

Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

2dz 2dz

∫ ∫ ∫dθ = 1+ z2 = 1+ z2
3 − 3z2 + 8z
3cosθ + 4s e nθ ⎛ z2 ⎞
3⎜ 1− z2 ⎟ + 4 ⎛ 2z ⎞ 1+ z2
1+ ⎠ ⎝⎜ 1+ z2 ⎟⎠


189


= ∫ −3( z 2 2dz −1) = − 2 ∫ z2 − dz −1 , pero:
− 83 3 8
z z
3

z2 − 8 z −1 = (z2 − 8 3 z + 16 9) − 1 − 16 9 = (z − 4 3)2 − (53)2 , luego:
3

∫= − 2 − dz , sea: w = z − 4 3 , dw = dz ; de donde:
43)2 − (53)2
3 (z

=−2 1 z − 4 3 − 5 +c=−1 3z − 9 =τ gθ
3 5 3z +1
η η + c, como: z , se tiene:
3 5 z − 43 + 53 2
2( 3 )

=−1 η 3τ g θ 2 −9 + c
5 3τ g θ 2 +1

Respuesta: ∫ 3 cos θ dθ s e nθ =−1 η 3τ g θ 2−9 +c
+4 5 3τ g θ 2 +1

8.5.-Encontrar: ∫ 3 + 2 dθ 2 s e nθ
cosθ +

Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

2dz 2dz

∫ ∫ ∫dθ = 1+ z2 = 1+ z2

3 + 2 cosθ + 2s e nθ ⎛ z2 ⎞ 2− 2z2 + 4z
3 + 2 ⎜ 1− z2 ⎟ + 2 ⎛ 2z ⎞ 3+ 1+ z2 1+ z2
⎝ 1+ ⎠ ⎜⎝ 1+ z2 ⎟⎠

2dz

1+ z2 2dz = 2dz arcτ
+ 2 − 2z2 z2 + 4z +5 + 2)2
∫ ∫ ∫= = = 2 g ( z + 2) + c
3 + 3z2 + 4z (z + 1

1+ z2

Como: z = τ g θ 2 , se tiene: = 2 arcτ g(τ g θ 2 + 2) + c

Respuesta: ∫ 3 + 2 dθ 2 s e n θ = 2 arcτ g(τ g θ 2 + 2) + c
cosθ +

8.6.-Encontrar: ∫ τ gθ dx e n θ
−s

Solución.- Antes de hacer las sustituciones recomendadas, se buscará la
equivalencia correspondiente a τ gθ

2z

τ gθ = s e nθ = 1+ z2 = 2z , procédase ahora como antes:
cosθ 1− z2 1− z2

1+ z2

190


2dz 2dz

1+ z2 2(1− z2 )dz
z2 ) − 2z(1− 2z + 2z3 −2z + 2z3
dx =

∫ ∫ ∫ ∫τ gθ − s e nθ
1+ z2 = 2 z (1 + z2) =
2z + 2z
1− z2 1+ z2 (1− z2 ) (1+ z2 )

(2 − 2z2 )dz = 1 z−3dz − 1 dz = − 1 − 1 η z +c
4z3 2 2 z 4z2 2
∫ ∫ ∫=

Como: z = τ g θ , se tiene: = − 1 (coτ g 2 θ 2) − 1 η τgθ 2 +c
4 2
2

Respuesta: ∫ τ gθ dx = − 1 (coτ g 2 θ 2) − 1 η τgθ 2 +c
−senθ 4 2

8.7.-Encontrar: ∫ 2 + dx n x
se

Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

2dz 2dz

1+ z2 dz = dz
2 + 2z2 + 2z z2 + z +1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫dx =

2+sen x
1+ z2 = = 3
2 z (z2 + + 14) + 4
2 + + z z

1 2 1+ z2

∫= 2dz = 1 arcτ g (z + 12) + c = 2 arcτ g 2z +1 + c
(z + 12)2 + ( 3 2 )2 3 3 33
2 2

Como: z = τ g x 2 , se tiene: = 2 arcτ g 2τ g x 2 +1 + c
33

Respuesta: ∫ 2 + dx n x = 2 arcτ g 2τ g x 2 +1 + c
se 33

8.8.-Encontrar: ∫ cos xdx
1+ cos x

Solución.-usando las sustituciones recomendadas:

⎛ 1− z2 ⎞ ⎛ 2dz ⎞ ⎛ 1− z2 ⎞ ⎛ 2dz ⎞
⎜ ⎟ ⎝⎜ ⎠⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 1+ z2 ⎠ 1 + z2 ⎝ 1 + z 2 ⎠⎝ 1+ z2 ⎠ 2 (1− z2 )dz = (1− z2 )dz
1+ (1+ z2 ) 2 (1+ z2 )
cos xdx = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫1+ cos x
1− z2 1+z2 +1−z2

1+ z2 1+ z2

= ∫ (−z2 +1)dz = ∫ ⎛ −1 + z 2 1 ⎟⎠⎞dz = ∫ dz + 2∫ dz = −z + 2 arcτ gz + c
(z2 +1) ⎝⎜ 2+ z2 +1

Como: z = τ g x 2 , se tiene: = −τ g x + 2 arcτ g (τ g x ) + c
2 2

Respuesta: ∫ cos xdx = −τ g x + x + c
1+ cos x 2

191


8.9.-Encontrar: ∫ 1+ s e dx cos x
nx+

Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

2dz

∫ ∫ ∫dx =
1+ z2 = 2dz
1+ s e n x + cos x ⎛ 2z ⎞ ⎛1− z2 ⎞ 1+z2 + 2z +1−z2
1+ ⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ + ⎜ z2 ⎟
⎝ 1 + ⎠

= ∫ 2dz = ∫ dz = η z +1 +c , como: z =τ g x , se tiene: = η τ g x2 +1 +c
2z + 2 z +1 2

Respuesta: ∫1+ se dx cos x = η τ g x2 +1 +c
nx+

8.10.-Encontrar: ∫ cos x + dx n x + 3
2se

Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

2dz

dx = 1+ z2 2dz = 2dz
∫ ∫ ∫ ∫cos x + 2s e n x + 3 =
⎛1− z2 ⎞ ⎛ 4z ⎞ 1− z2 + 4z + 3+ 3z2 2z2 + 2z + 2
⎜ z2 ⎟ + ⎜⎝ 1+ z2 ⎟⎠ + 3
⎝ 1 + ⎠

= ∫ z2 dz = ∫ dz = arcτ g(z + 1) + c , como: z = τ g θ 2 ,
+ 2z + 1)2
+ 2 (z +1

Se tiene: = arcτ g(τ g x 2 +1) + c

Respuesta: ∫ dx = arcτ g (τ g x 2 + 1) + c
2se
cos x + n x + 3

8.11.-Encontrar: ∫ s e n xdx
1+sen2 x

Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

⎛ 2z ⎞⎛ 2dz ⎞ 4zdz
⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ (1+ z2 )2 =
s e n xdx =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫1+ s e n2 x
1+ ⎛ 2z ⎞2 1 + 4 z2 4zdz = 4zdz
⎜⎝ 1+ z2 ⎠⎟ + z2 (1+ z2 )2 + 4z2 1+ 2z2 + z4 + 4z2

(1 )2

4zdz 4zdz 4zdz
+ 6z2 6z2 + (z2 + 3)2 − ( 8)2
∫ ∫ ∫= 4 = =
z + 1 (z4 + 9) − 8

Sea: w = z2 + 3, dw = 2zdz

∫= 2 dw = 2 η w − 8 + c = 8 η w − 8 + c = 8 η z2 + 3 − 8 + c
w2 − ( 8)2 2 8 w + 8 8 w+ 8 8 z2 +3+ 8

Como: z = τ g θ 2 , se tiene: = 2 η z2 +3− 8 +c= 2 η τg2 x2 +3−2 2
4 z2 +3+ 8 4 τg2 x2 +3+2 +c

2

192


∫Respuesta: s e n xdx = 2 η τ g2 x +3− 2 2
2 +c

1+sen2 x 4 τ g2 x2 +3+ 2 2

8.12.-Encontrar: ∫ 5 + dθ
4 cosθ

Solución.-usando las sustituciones recomendadas:

2dz

2dz = 2dz dz
5 + 5z2 + 4 − 4z2 z2 +9 z2 + 32
dx =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫5 + 4cosθ
1+ z2 = = 2
⎛ 1− z2 ⎞
5 + 4⎜ 1+ z2 ⎟



= 2 arcτ g z + c , como: z = τ g θ , se tiene: = 2 arcτ g τ g θ 2 + c
33 2 33

Respuesta: ∫ dθ = 2 arcτ g τ g θ 2 +c
5 + 4 cosθ 33

8.14.-Encontrar: ∫ s e n dx cos x
x+

Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

2dz

dx = dz
(−z2 + 2z +1)
∫ ∫ ∫ ∫s e n x + cos x
1+ z2 = 2dz = 2
2z +1−
⎛ 2z ⎞ + ⎛ 1− z2 ⎞ z2
⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ ⎜ 1+ z2 ⎟
⎝ ⎠

dz dz =−2 1 η z −1− 2 +c
2z +1) (z −1)2 − ( 2)2 2 2 z −1+ 2
∫ ∫= −2 = −2
(z2 − − 2

=− 2 η z −1− 2 + c , como: z = τ g x 2 , se tiene: = − 2 η τ g x −1− 2
2 z −1+ 2 2 τ g 2 −1+ +c

x 2
2

Respuesta: ∫ se n dx x = − 2 η τ g x2 −1− 2
x + cos 2 τ g x2 −1+ +c

2

8.14.-Encontrar: ∫ sec sec xdx −1
x + 2τ gx

Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

1 dx 2dz
cos x
∫ sec xdx = ∫ + 2sen x = ∫ dx = ∫ 1+ z2
x + 2τ gx x cos x 2sen x
sec −1 1 −1 1+ − cos x 1+ ⎛ 4z ⎞ − ⎛ 1− z2 ⎞
cos ⎜⎝ 1+ z2 ⎠⎟ ⎜ 1+ z2 ⎟
⎝ ⎠

193


2dz

1+ z2 2dz = 2 dz = dz (∗)
2z2 + 4z 2 (z2 + 2z) z(z + 2)
∫ ∫ ∫ ∫= =
1 + z2 + 4z −1 + z2

1+ z2

Ahora bien: 1 = A + B , de donde:
z(z + 2) z z + 2

1 = A(z + 2) + B(z) ⇒1= A(z + 2) + B(z) , de donde: A= 1 , B =− 1
z(z + 2) z(z + 2) 2 2

(∗) ∫ dz = ∫ 1 dz − ∫ 1 dz = 1 ∫ dz − 1 ∫ dz = 1 η z −1 η z+2 +c
z(z + 2 2 2 z 2 z+2 2 2

2) z z+2

=1 η z + c , como: z = τ g x 2 , se tiene: = 1 η τg x2 +c
2 z+2 2 τg x2+2

Respuesta: ∫ sec sec xdx − 1 = 1 η τ τ g x2 +c
x + 2τ gx 2 g x2+
2

8.15.-Encontrar: ∫ 1− cos dx s e n x
x+

Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

2dz 2dz

dx = 1+ z2 1+ z2 2dz
∫ ∫ ∫ ∫1− cos x + s e n x = = 2z2 + 2z
⎛ 1− z2 ⎞ ⎛ 2z ⎞ 1 + z2 −1 + z2 + 2z
1− ⎜ 1+ z2 ⎟ + ⎝⎜ 1+ z2 ⎟⎠
⎝ ⎠ 1+ z2

= ∫ 2 dz z) = ∫ dz (∗)
2 (z2 + z(z +1)

Ahora bien: 1 = A + B , de donde se tiene:
z(z +1) z z +1

1 = A(z +1) + B(z) ⇒ 1 = A(z +1) + B(z) , de donde: A = 1, B = −1 , luego:
z(z +1) z(z +1)

∫ dz = ∫ dz − ∫ dz = η z− η z +1 +c = η z + c , como: z = τ g x 2 ,
z+ z z +1 +
z( 1) z 1

Se tiene: = η τ τg x + c
gx 2

2 +1

Respuesta: ∫1− cos dx se n x = η τ τg x + c
x+ gx 2

2 +1

8.16.-Encontrar: ∫ 8 − 4 s e dx 7 cos x
nx+

194


Solución.- usando las sustituciones recomendadas:

2dz 2dz

∫ ∫ ∫dx = 1+ z2 = 1+ z2
8 − 4s e n x + 7 cos x 8 + 8z2 −8z + 7 − 7z2
8 − ⎛ 8z ⎞ + 7 ⎛ 1− z2 ⎞
⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ ⎜ 1+ z2 ⎟ 1+ z2
⎝ ⎠

= ∫ z2 2dz = ∫ (z 2dz (∗)
− 8z +15 − 3)(z − 5)

Ahora bien: 2 = A + B , de donde se tiene:
(z − 3)(z − 5) (z − 3) (z − 5)

⇒ 2 = A(z − 5) + B(z − 3) , de donde: A = −1, B = 1 , luego:

∫ (z − 2dz − 5) = −∫ dz + ∫ dz = − η z−3 + η z−5 +c= η z−5 +c,
3)( z z−3 z−5 z−3

como: z = τ g x 2 , se tiene: = η τg x −5 +c
τg 2 −3

x
2

Respuesta: ∫ 8 − 4 s e dx 7 cos x = η τ g x 2 −5 + c
nx+ τ g x 2 −3

EJERCICIOS PROPUESTOS

8.17.- ∫ 1+ dx x 8.18.- ∫ 1− dx x 8.19.- ∫ s e n xdx
cos cos 1 + cos x

8.20.- ∫ cos xdx 8.21.- ∫ 5 − dθ 8.22.- ∫ s e nθ dθ − 2
2 − cos x 4 cosθ cos2 θ − cosθ

8.23.- ∫ sec xdx 8.24.- ∫ cosθ dθ 8.25.- ∫ cosθ dθ gθ
5 + 4 cosθ + coτ

RESPUESTAS

8.17.- ∫ 1+ dx x
cos

Solución.-

2dz 2dz

1+ z2 =
1+ z2 +1− z2

1+ z2
∫ ∫ ∫ ∫dx =
1+ cos x
1+ z2 = dz = z + c = τ g x 2 + c
⎛1− z2 ⎞
1+ ⎜ z2 ⎟
⎝ 1 + ⎠

8.18.- ∫ 1− dx x
cos

Solución.-

195


2dz 2dz

1+ z2 2 dz 1
∫ ∫ ∫ ∫dx = 1+ z2 = = 2 z2 = − z + c = − coτ g x + c
2
1− cos x 1− ⎛1− z2 ⎞ 1 + z2 −1 − z2
⎜ z2 ⎟
⎝ 1+ ⎠ 1+ z2

8.19.- ∫ s e n xdx
1+ cos x

Solución.-

⎛ 2z ⎞⎛ 2dz ⎞ 4zdz

⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ = (1+ z2 )2
=

1+ z2 +1−z2
1+ z2
s e n xdx =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫1+ cos x
1+ ⎛ 1 − z2 ⎞ 4zdz = 2zdz
⎜ 1 + z2 ⎟ 2(1+ z2 ) (1+ z2 )
⎝ ⎠

= η 1+ z2 + c = η 1+τ g2 x 2 + c

8.20.- ∫ cos xdx
2 − cos x

Solución.-

⎛ 2dz ⎞
⎝⎜ 1+ z2 ⎟⎠
∫ cos xdx = ∫ ⎛ −1 + 2 ⎞ dx = −∫ dx + 2∫ dx = −∫ dx + 2∫
2 − cos x ⎜⎝ 2 − cos x ⎟⎠ 2 − cos x ⎛ 1 − z 2 ⎞
2 − ⎜ 1 + z 2 ⎟
⎝ ⎠

2dz

= −∫ dx + 2∫ (1+ z2 ) = −∫ dx + 2∫ 2dz = − ∫ dx + 4 ∫ dz
2 + 2z2 −1+ z2 3z2 + 3
1 ( z 2 + 1 )
3
1+ z2

= −∫ dx + 4 ∫ z2 + dz )2 = −x + 4 1 arcτ g z + c = −x + 4 3 arcτ g 3z + c
3 (1 3 1 1 3

3 33

= −x + 4 3 arcτ g( 3τ g x 2) + c
3

8.21.- ∫ 5 − dθ
4 cosθ

Solución.-

⎛ 2dz ⎞ 2dz

⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ = (1+ z2 )
5 + 5z2 − 4 + 4z2 =

1+ z2
dθ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫5 − 4cosθ
5 − ⎛ 1− z2 ⎞ 2dz = 2 dz
4⎜ 1+ z2 ⎟ 9z2 +1 9 (z2 +1)



∫= 2 dz = 2 1 arcτ g z +c = 2 arcτ g3z + c = 2 arcτ g(3τ g x 2) + c
9 9 1 1 3 3
z2 + ( 1 )2
3 3 3

196


8.22.- ∫ sen θ dθ − 2
cos2 θ − cosθ

Solución.-

⎛ 2z ⎞⎛ 2dz ⎞ 4zdz

⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1+ z2 ⎠⎟ = (1+ z2 )2
∫ ∫ ∫s e nθ dθ = z2 ⎞2 z2 (1− z2 )2 − (1− z2 )(1+ z2 ) − 2(1+ z2 )2
⎛ z2 ⎟ z2 ⎞
cos2 θ − cosθ − 2 ⎜ ⎠ ⎟ (1+ z2 )2
⎝ 1− − ⎛1− ⎠ − 2
1+ ⎜
⎝ 1 +

4zdz = − 1 2zdz = − 1 η z2 1 −1 η τ g2 x 1
−6z2 − 2 3 (z2 − 13) 3 3 3 2 3
∫ ∫= − +c = − +c

8.23.- ∫ sec xdx

Solución.-

2dz

∫ sec xdx = ∫ dx = ∫ 1+ z2 = ∫ 2dz = ∫ (1 + 2dz z) (∗)
cos x 1− z2 (1− z2 ) z )(1 −

1+ z2

Ahora bien: 2 = A + B , de donde: A = 1, B = 1 , luego:
(1+ z)(1− z) 1+ z 1− z

(∗) ∫ (1 + 2dz z) = ∫ dz − ∫ dz = η 1+ z − η 1− z + c = η 1+ z +c
z )(1 − 1+ z 1− z 1− z

Como: z = τ g x 2 , Se tiene: = η 1+τ g x +c
1−τ g 2

x
2

8.24.- ∫ cosθ dθ
5 + 4 cosθ

Solución.-

⎛ 1− z2 ⎞ ⎛ 2dz ⎞ 2(1− z2 )dz
⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎟
⎝ 1+ z2 ⎠ + z2 (1+ z2 ) 2 (2 − 2z2 )dz
dθ = 1 = = (1+ z2 )(9 + z2 )

∫ ∫ ∫ ∫5 + 4cosθ
5 + 4 ⎛ 1 − z2 ⎞ (5 + 5z2 + 4 − 4z2 )
⎜ 1 + z2 ⎟
⎝ ⎠ (1+ z2 )

Ahora bien: (z2 2 − 2z2 = Az +B + Cz +D , de donde: A = 0, B = 1 , C = 0, D = −52 ,
+1)(z2 + 9) z2 +1 z2 +9 2

luego:

∫ ∫ ∫(2 − 2z2 ) = 1 dz − 5 dz = 1 arcτ gz + 5 arcτ g z + c
(z2 +1)(z2 + 9) 2 z2 +1 2 z2 + 9 2 23

= 1 arcτ g θ 2 − 5 arcτ g τ gθ 2 ) + c = θ − 5 arcτ g τ gθ 2 ) + c
2 6 ( 3 4 6 ( 3

8.25.- ∫ cosθ dθ gθ
+ coτ

197


Solución.-

⎛ 2dz ⎞ 2dz

⎜⎝ 1+ z2 ⎠⎟ (1+ z2 )
∫ ∫ ∫dθ = = 2z(1− z2 ) + (1− z2 )(1+ z2 )
z2
cosθ + coτ gθ z2 (1+ z2 )2z
⎛ 1− ⎞ + ⎛1− z2 ⎞
⎜ 1+ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 2z ⎠

= 4zdz = 4zdz = 4zdz (∗)

∫ ∫ ∫2z(1− z2 ) + (1− z2 )(1+ z2 ) (1− z2 )(z2 + 2z +1) (1+ z3)(1− z)

Ahora bien: 4z = A + B + C + D
(1+ z3)(1− z) 1+ z (1+ z)2 (1+ z)3 (1− z)

De donde: A = 12, B = 1,C = −2, D = 1 , luego:
2

(∗) ∫ (1 + 4z z) = 1 ∫ dz + ∫ dz − 2∫ dz + 1 ∫ dz
z 3 )(1 − 2 1+ z (1+ z)2 (1+ z)3 2 1− z

= 1 η 1+ z − 1 + 1 − 1 η 1− z +c = 1 η 1+ z − 1 + 1 +c
2 1+ z (1+ z)2 2 2 1− z 1+ z (1+ z)2

=1 η 1+ z + −(1 + z) +1 + c = 1 η 1+ z −z +c= 1 η 1+τ gθ 2 − τgθ 2 )2 +c
2 1− z (1 + z)2 2 1− z (1+ z)2 2 1−τ gθ 2 +τ gθ 2
(1

198


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